Post on 28-Feb-2023
PERAMALAN PENJUALAN SPEEDY DENGAN
MENGGUNAKAN METODE BOX-JENKINS
MAKALAH disusun untuk memenuhi Ujian Akhir Semester mata kuliah Metode Runtun Waktu
Disusun oleh :
ASEP RIDWAN LUBIS
NIM : 1205344
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA
UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
2015
i
KATA PENGANTAR
Puji Syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, Allah SWT dengan karunianya
saya selaku penulis makalah ini diberikan kekuatan mulai dari mencari data, mengolah
data hingga akhirnya terbentuk suatu makalah ini.
Sekilas tentang laporan peramalan yang ditulis dalam judul โPeramalan
Penjualan Speedy dengan menggunakan metode Box-Jenkinsโ menyajikan tentang
suatu metode peramalan menggunakan metode Box-Jenkins yang biasa digunakan
untuk meramalkan data runtun waktu.
Data yang digunakan dalam peramalan ini yaitu penjualan speedy di daerah
Gegerkalong-Bandung yang didapatkan dari PT Telekomunikasi Indonesia Tbk yang
terdapat pada suatu skripsi berjudul โGeneralized Space Time Autoregressiveโ karya
Gabriel Novianti.
Pada Bagian Landasan Teori, dijelaskan Metode Box-Jenkins mulai dari
penentuan model, estimasi parameter, verifikasi model lalu difiksasi suatu model
berdasarkan prinsip Parsimony. Selain makalah ini menjadi laporan tentang
peramalan, diharapkan juga menjadi referensi materi untuk kegiatan perkuliahan
Metode Runtun Waktu.
Tidak lupa saya ucapkan terimakasih kepada dosen pengampu Entit Puspita,
S.Pd.,M.Si yang senantiasa membimbing penulisan makalah ini.
Terakhir, tidak ada gading yang tidak retak karya tulis ini masih banyak
kekurangan. Oleh karena itu, diharapkan pembaca memberikan masukan yang
membangun kepada penulis.
ii
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR .............................................................................................................. i DAFTAR ISI .......................................................................................................................... ii BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang .......................................................................................... 1 1.2 Rumusan Masalah .................................................................................... 2 1.3 Batasan Masalah ...................................................................................... 2 1.4 Tujuan Penulisan ...................................................................................... 2 1.5 Sistematika Penulisan ............................................................................... 3
BAB II LANDASAN TEORI
2.1 Konsep Dasar Runtun Waktu ................................................................... 4 2.1.1 Stasioneritas ................................................................................ 5 2.1.2 Fungsi Autokorelasi (FAK) ............................................................ 5 2.1.3 Fungsi Autokorelasi Parsial (FAKP) .............................................. 6 2.1.4 Proses white noise ....................................................................... 6
2.2 Model-Model Runtun Waktu Box-Jenkins Stasioner ............................... 7 2.2.1 Proses Autoregressive (AR) ......................................................... 9 2.2.2 Proses Moving Average (MA) ...................................................... 10 2.2.3 Proses Autoregressive Moving Average (ARMA) ........................ 12
2.3 Model-Model Runtun Waktu Box-Jenkins Nonstasioner ......................... 12 2.4 Pembentukan Model Runtun Waktu Box-Jenkins .................................... 14
2.4.1 Identifikasi Model ........................................................................ 14 2.4.2 Estimasi Parameter dalam Model ............................................... 15 2.4.3 Verifikasi Model .......................................................................... 16
2.5 Peramalan (Forecasting) ........................................................................... 18 BAB III PENGOLAHAN DATA
3.1 Proses pengolahan di Minitab .................................................................. 19 3.2 Identifikasi model ..................................................................................... 25 3.3 Estimasi Parameter .................................................................................. 26 3.4 Verifikasi model ......................................................................................... 29 3.5 Peramalan ................................................................................................ 36
BAB IV PENUTUP
4.1 Kesimpulan ............................................................................................... 38 4.2 Saran ......................................................................................................... 38
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................... 39
LAMPIRAN .......................................................................................................................... 40
1 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Perkembangan teknologi dan informasi berbasis internet sangat cepat.
Internet merupakan jaringan komputer seluruh dunia yang diatur oleh server
sehingga para pengguna internet bisa mengirim dan menerima e-mail, unduh
berbagai konten keilmuan, hiburan, dan lain-lain.
Di Indonesia, salah satu perusahaan penyedia layanan internet yaitu PT.
Telekomunikasi Indonesia Tbk. Salah satu penyediaan jasa koneksi internet yang
ditawarkan perusahaan tersebut diberi nama speedy. Dengan produk speedy
komputer personal dapat dihubungkan dengan jaringan internet. Berikut penjelasan
yang saya kutip dari situs telkomspeedy.com
Speedy merupakan layanan broadband akses internet dari Telkom Indonesia
berkualitas tinggi bagi perumahan serta SME (Small Medium Enterprise). Speedy
menggunakan teknolgi ADSL (Asymmetric Digital Line Subcriber), MSAN (Multi Service
Acces Node), dan GPON (Gigabit Passive Optical Network), yang menghantarkan
sinyal digital berkecepatan tinggi melalui jaringan telepon secara optimal bagi
keperluan konsumsi konten internet, kecepatan data minimal 512kbps (PT
Telekomunikasi Indonesia Tbk, n.d.).
Salah satu daerah di kota Bandung, Gegerkalong menjadi kota tujuan saya
untuk melakukan peramalan penjualan speedy karena daerah ini sangat potensial
untuk lebih dikembangkan bisnis pemasangan produk internet speedy. Gegerkalong
menjadi pusat kampus Universitas Pendidikan Indonesia dan semakin banyak kantor
didirikan tidak hanya itu, kompleks pondok pesantren Daarut Tauhiid juga berpusat
di daerah ini.
Metode peramalan data berdasarkan analisis data runtun waktu yang dicatat
per hari dengan menggunakan metode Box-Jenkins. Proses peramalan ini dibantu
2 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
dengan menggunakan software Minitab versi 16. Data penjualan speedy berasal dari
PT. Telekomunikasi Indonesia Tbk. Dengan dilakukan peramalan maka bisa diketahui
perkiraan banyak produk speedy yang terjual pada hari-hari berikutnya.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian di atas, maka rumusan masalah yang akan dibahas pada
makalah ini adalah sebagai berikut :
1) Bagaimana mengidentifikasi model penjualan speedy di daerah
gegerkalong?
2) Bagaimana mengestimasi parameter dalam model penjualan speedy di
daerah gegerkalong?
3) Bagaimana memverifikasi model penjualan speedy di daerah
gegerkalong?
4) Bagaimana meramalkan penjualan speedy per hari selama satu bulan di
daerah gegerkalong?
1.3 Batasan Masalah
Dalam makalah ini, masalah akan dibatasi pada peramalan berdasakan data
yang memenuhi stasioneritas dengan metode Box-Jenkins, yaitu model
Autoregressive (AR), Moving Average (MA) dan autoregressive Moving Average
(ARMA).
1.4 Tujuan Penulisan
Adapun tujuan penulisan makalah ini sebagai berikut :
1) Mengidentifikasi model dari data runtun waktu.
2) Mengestimasi parameter dalam model.
3) Memverifikasi model penjualan speedy di daerah gegerkalong
4) Meramalkan penjualan speedy per hari selama satu bulan di daerah
gegerkalong
3 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
1.5 Sistematika Penulisan
Adapun sistematika penulisan makalah ini adalah sebagai berikut :
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
1.2 Rumusan Masalah
1.3 Batasan Masalah
1.4 Tujuan Penulisan
1.5 Sistematika Penulisan
BAB II LANDASAN TEORI
2.1 Konsep Dasar Runtun Waktu
2.2 Model-Model Runtun Waktu Box-Jenkins Stasioner
2.3 Model-Model Runtun Waktu Box-Jenkins Nonstasioner
2.4 Pembentukan Model Runtun Waktu Box-Jenkins
2.5 Peramalan (Forecasting)
BAB III PENGOLAHAN DATA
3.1 Proses pengolahan di Minitab
3.2 Identifikasi model
3.3 Estimasi Parameter
3.4 Verifikasi model
3.5 Peramalan
BAB IV PENUTUP
4.1 Kesimpulan
4.2 Saran
4 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Konsep Dasar Runtun Waktu
Runtun waktu adalah serangkaian data hasil pengamatan suatu peristiwa,
kejadian, gejala, atau variabel yang diambil dari waktu ke waktu dan dicatat menurut
urutan waktu terjadinya kemudian disusun sebagai data statistik. Ciri-ciri analisis
runtun waktu yang menonjol adalah bahwa deretan observasi pada suatu variabel
dipandang sebagai realisasi dari variabel random berdistribusi bersama. (Zanzawi
Soejati, 1987).
Jenis runtun waktu dilihat dari polanya :
1) Runtun waktu deterministik
Jika dari sejarah data masa lalu keadaan yang akan datang dari suatu runtun
waktu dapat diramalkan dengan pasti.
2) Runtun waktu stokastik
Jika dari sejarah data masa lalu keadaan yang akan datang suatu runtun waktu
hanya dapat menentukan struktur probabilistik keadaan yang akan datang, maka
runtun waktu tersebut disebut stokastik (statistik). Runtun waktu statistik dapat
dianggap sebagai realisasi dari suatu proses stokastik (statistik), yaitu proses di
mana seseorang tidak bisa memperoleh himpunan observasi serupa seperti yang
sudah diperolehnya.
Menurut , ada beberapa faktor yang mempengaruhi data masa lalu, yaitu
1) Trend adalah suatu gerakan yang menunjukkan arah perkembangan secara
umum baik yang mengalamai pertumbuhan ataupun yang mengealami
penurunan. Bentuk pola ini terjadi apabila penurunan atau kenaikan data
berlangsung lama.
2) Variasi musiman menunjukkan perubahan yang berulang secara periodik dalam
runtun waktu. Gerakan musiman sering dijumpai pada data kuartalan, bulanan,
atau mingguan.
5 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
3) Gerak siklis yang sering juga disebut siklis bisnis. Gerak siklis menunjukkan
ekspansi dan penurunan aktivitas bisnis disekitar nilai normal. Panjang dari setiap
siklis relatif pendek dan tidak tetap.
2.1.1 Stasioneritas
Setelah kita mengetahui beberapa faktor yang memepengaruhi masa lalu kita
dapat mengklasifikasikan data yaitu : data stasioner dan data non stasioner. Secara
umum, data stasioner adalah data yang tidak mengalami ketiga faktor diatas sehingga
data runtun waktu tersebut tidak terjadi trend, variasi musiman atau gerak siklis. Data
nonstasioner adalah data runtun waktu yang mengalami trend, variasi musiman atau
gerak siklis.
Suatu data dikatakan stasioner jika data tersebut mempunyai nilai rata-rata
dan variansi yang relatif konstan dari waktu ke waktu. Sebaliknya, data yang tidak
stasioner mempunyai rata-rata dan variansi yang tidak konstan atau berubah
dikarenakan beberapa faktor yang mempengaruhi data masa lalu.
Syarat stasioner dibutuhkan agar kita bisa melakukan peramalan
menggunakan metode Box-Jenkins.
2.1.2 Fungsi Autokorelasi (FAK)
Fungsi autokorelasi digunakan untuk menghitung koefisien korelasi yang
berurutan dalam runtun waktu dengan selisih waktu (lag) 0, 1, 2 periode atau lebih,
ditulis {๐๐: ๐ = 1,2, โฆ } dengan ๐0 = 1. Autokorelasi lag ke-๐ didefinisikan sebagai :
๐๐ =๐ถ๐๐ฃ(๐๐ก, ๐๐กโ๐)
โ๐๐๐(๐๐ก)โ๐๐๐(๐๐กโ๐)=
๐พ๐
๐๐
Pada umumnya, ๐ dan ๐พ๐ ditaksir oleh
๏ฟฝ๏ฟฝ = ๏ฟฝ๏ฟฝ =1
๐โ ๐๐ก
๐๐ก=1 dan ๐๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐ถ๐ =
1
๐โ (๐๐ก โ ๏ฟฝ๏ฟฝ)(๐๐กโ๐ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ)๐
๐ก=1 ,
sehingga autokorelasi lag ke-๐ ditaksir oleh:
๐๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐๐ =๐ถ๐
๐ถ๐
6 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
Untuk runtun waktu stasioner yang normal, Bartlett menyatakan bahwa variansi ๐๐
dirumuskan sebagai:
๐๐๐(๐๐) โ1
๐(1 + 2โ ๐๐
2๐
๐=1)
Dan akar positifnya adalah sesatan standar ๐๐ untuk lag besar.
2.1.3 Fungsi Autokorelasi Parsial (FAKP)
Fungsi autokorelasi parsial (fakp) adalah himpunan autokorelasi parsial untuk
berbagai lag, ditulis {๐๐๐, ๐ = 1, 2, โฆ }.
Matriks autokorelasi berukuran N didefinisikan oleh:
PN =
[
1ฯ1
ฯ2
ฯ3
โฎฯNโ1
ฯ1
1ฯ1
ฯ2
โฎฯNโ2
ฯ2
ฯ1
1ฯ1
โฎฯNโ3
ฯ3
ฯ2
ฯ1
1โฎ
ฯNโ4
โฆโฆโฆโฆโฑโฆ
ฯNโ1
ฯNโ2
ฯNโ3
ฯNโ4
โฎ1 ]
Autokorelasi parsial lag ke- dinotasikan oleh ฯkk yang didefinisikan oleh: ฯkk =|Pk
โ|
|Pk|
, di mana Pkโ adalah Pk dengan kolom terakhir di ganti oleh [
ฯ1
ฯ2
โฎฯk
]
Untuk lag yang cukup besar, Quinouille menyatakan bahwa:
Var(ฯkk) โ1
N
Jika |rk| < 2๐๐ธ(rk), maka fakp tidak berbeda secara segnifikan dengan nol (terputus
setelah lag ke-๐).
2.1.4 Proses white noise
White noise adalah proses yang dibentuk oleh variabel random berdistribusi
independen identik normal dengan rata-rata nol dan variansinya konstan yang dapat
ditulis sebagai:
๐๐ก โผ ๐(0, ๐๐2)
7 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
dari pengertian tersebut white noise adalah stasioner dengan fungsi autokovariansi
๐พ๐ = {๐๐
2, ๐ = 00, ๐ โ 0
fungsi autokorelasi
๐พ๐ = {1, ๐ = 00, ๐ โ 0
dan fungsi autokorelasi parsialnya
๐พ๐ = {1, ๐ = 00, ๐ โ 0
Residual dari model diharapkan bersifat white noise artinya residual tersebut
berdistribusi normal dengan rata-rata nol dan variansinya konstan. Jika residual
bersifat white noise, maka residual hanya merupakan suatu proses gangguan kecil
yang tidak perlu diperhatikan.
2.2 Model-Model Runtun Waktu Box-Jenkins Stasioner
Metode Box-jenkins untuk analisis runtun waktu menggunakan operator
backshift B yang didefinisikan sebagai
B๐ง๐ก = ๐ง๐กโ1
dan operator differensi yang didefinisikan sebagai
zt = ๐ง๐ก โ ๐ง๐กโ1 = (1 โ B) ๐ง๐ก
dengan demikian kedua operator ini memiliki hubungan
= (1 โ B)
Bentuk linier umum yang sering dijumpai dalam pemodelan runtun waktu :
(B)zt = (B) ๐๐ก (1)
(B) dan (B) adalah polinom
๐ง๐ก adalah runtun waktu
๐๐ก adalah runtun getaran yang dibangkitkan oleh suatu proses white noisse
8 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
White noisse adalah suatu proses yang independen dan berdistribusi normal
dengan mean 0 dan variansinya konstan
๐๐ก~๐(0, ๐๐2)
Bentuk persamaan (1) dapat dituliskan sebagai
๐ง๐ก= = ฯ(B) at , (2)
dengan ฯ(B) =(B)
(B)
ฯ(B) dapat dianggap bahwa runtun waktu ๐ง๐ก dihasilkan dengan melewatkan
๐๐ก mealui linier filter dengan fungsi transfer ฯ(B).
Representasi bentuk (2) disajikan dalam bentuk :
๐ง๐ก = ๐ + ๐๐ก + ๐1๐๐กโ1 + ๐2๐๐กโ2 + โฏ (3)
Keterangan :
๐ = rata-rata proses
๐ง๐ก = ๐ + (๐๐ก + ๐1๐ต๐๐ก + ๐2๐ต2๐๐ก + โฏ)
๐ง๐ก = ๐ + (1 + ๐1๐ต + ๐2๐ต2 + โฏ)๐๐ก
๐ง๐ก = ๐ + ๐(๐ต)๐๐ก
๐ง๐ก โ ๐ = ๐(๐ต)๐๐ก
zt = ๐(๐ต)๐๐ก
Umumnya ditulis zt = zt dengan asumsi ๐ = 0
Pandang ๐(๐ต) = (1 + ๐1๐ต + ๐2๐ต2 + โฏ)
Pada praktiknya ๐1, ๐2, ๐3, โฆ dapat berhingga/ tak berhingga. Jika
๐1, ๐2, ๐3, โฆ berhingga atau tidak berhingga tetapi konvergen maka fungsi transfer
tersebut disebut stabil, dan runtun waktu yang dihasilkannya dikatakan stasioner.
Dari bentuk (3) dapat dikatakan bahwa zt dapat dinyatakan sebagai jumlah terboboti
proses white noise sekarang dan yang lalu.
Bentuk (1) dapat juga disajikan dalam bentuk :
๐(๐ต)๐ง๐ก = ๐๐ก (4)
Representasi (4) adalah
9 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
๐ง๐ก โ ๐1๐ง๐กโ1 โ ๐2๐ง๐กโ2 โ โฏ = ๐๐ก
๐ง๐ก = ๐1๐ง๐กโ1 + ๐2๐ง๐กโ2 + โฏ+ ๐๐ก
Dapat dikatakan bahwa zt diregresikan kepada nilai ๐ง๐กโ1, ๐ง๐กโ2 , โฆ
Model zt = ๐(๐ต)๐๐ก dikatakan invertible jika disajikan dalam bentuk ๐(๐ต)๐ง๐ก jika
๐1 , ๐2 , . .. merupakan deret yang konvergen.
Hubungan antara ๐(๐ต) dan ๐(๐ต)
Jika bentuk (2) dikalikan dengan ๐(๐ต) maka
๐(๐ต)๐ง๐ก = ๐(๐ต) ๐(๐ต)๐๐ก
dari bentuk (4) ๐(๐ต)๐ง๐ก = ๐๐ก
๐๐ก = ๐(๐ต) ๐(๐ต)๐๐ก
๐(๐ต)๐(๐ต) = 1
๐(๐ต) =1
๐(๐ต)
2.2.1 Proses Autoregressive (AR)
Proses Autoregressive (AR) pertama kali dikembangkan oleh Yule pada tahun
1926 dan kemudian dikembangkan oleh Walker pada tahun 1931.
Bentuk umum dari proses AR tingkat p, ditulis AR (p) adalah
๐ง๐ก = ๐1๐ง๐กโ1 + ๐2๐ง๐กโ2 + โฏ + ๐๐๐ง๐กโ๐ + ๐๐ก
atau
๐(๐ต)๐ง๐ก = ๐๐ก
di mana ๐๐ก~๐(0, ๐๐2).
1) AR (1)
Bentuk umum dari proses AR (1) adalah
๐ง๐ก = ๐๐ง๐กโ1 + ๐๐ก
Variansi dari ๐ง๐ก adalah ๐๐ง2 =
๐๐2
1โ๐2, sehingga daerah stasioneritas untuk proses AR (1)
harus memenuhi โ1 < ๐ < 1. Adapun ciri dari proses AR(1) yaitu:
10 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
Fak untuk AR(1) adalah ฯk = ฯk. Pada selang โ1 < ๐ < 0, fak akan turun
berganti tanda secara eksponensial menuju nol, sedangkan pada selang 0 <
๐ < 1, fak turun secara eksponensial tanpa berganti tanda.
Fakp terputus setelah lag ke-1
(๐11 = ๐1 = ๐, ๐๐๐ = 0; ๐ โฅ 2).
2) AR (2)
Bentuk umum dari proses AR(2) adalah
๐ง๐ก = ๐1๐ง๐กโ1 + ๐2๐ง๐กโ2 + ๐๐ก
Varians dari zt adalah ฯz2 =
(1โฯ2)ฯa2
(1โฯ2)(1โฯ1โฯ2)(1+ฯ1โฯ2) , sehingga daerah stasioneritas
untuk proses AR(2) harus memenuhi berikut:
โ1 < ฯ2
ฯ1 + ฯ2 < 1
โฯ1 + ฯ2 < 1
Adapun ciri dari AR(2) adalah:
Fak untuk AR(2) adalah ฯk = ฯ1ฯkโ1 + ฯ2ฯkโ2, turun secara eksponensial
menuju nol.
Fakp terputus setelah lag ke-2 (ฯ11 =ฯ1
1โฯ2 , ฯ22 = ฯ2, ฯkk = 0; k โฅ 3)
Secara umum, ciri teoritik proses AR(p) adalah:
Fak turun secara eksponensial menuju nol.
Fakp terputus setelah lag ke-p.
2.2.2 Proses Moving Average (MA)
Proses Moving Average (MA) pertama kali digunakan oleh Slutzky pada tahun
1927(Wei,2006). Bentuk umum dari proses MA tingkat q, ditulis MA(q) adalah
๐ง๐ก = ๐๐ก + ๐1๐๐กโ1 + ๐2๐๐กโ2 + โฏ+ ๐๐๐๐กโ๐
atau
11 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
๐ง๐ก = ๐(๐ต)๐๐ก, di mana ๐๐ก~๐(0, ๐๐2)
Jika q berhingga, maka runtun waktu tersebut selalu stasioner. Bentuk ๐ง๐ก =
๐(๐ต)๐๐ก dapat ditulis sebagai ๐(๐ต)โ1๐ง๐ก = ๐๐ก atau (1 โ ๐1๐ต โ ๐2๐ต2 โ โฏ)๐ง๐ก = ๐๐ก.
Jika ๐1, ๐2, โฆ merupakan deret yang konvergen, maka proses MA (q) tersebut
dikatakan invertibel (dapat dibalik).
Dengan kata lain, proses MA ekivalen dengan proses AR, yaitu :
MA (q) dengan model ๐ง๐ก = ๐(๐ต)๐๐ก ekivalen dengan proses AR ๐(๐ต)๐ง๐ก =
๐๐ก dengan orde ~
AR (p) dengan model ฯ(B)zt = at ekivalen dengan proses MA zt = ฮธ(B)at
dengan orde ~
1) MA (1)
Bentuk umum dari proses MA (1) adalah
๐ง๐ก = ๐๐ก + ๐๐๐กโ1
Adapun ciri dari proses MA (1) , yaitu :
a) Fak terputus setelah lag ke-1 (ฯ1 =ฮธ
1+ฮธ2 , ฯk = 0; k โฅ 2).
b) Fakp untuk proses MA (1) adalah ฯkk =(-1)k-1ฮธk(1-ฮธ2)
1-ฮธ2(k+1) , turun secara
geometris menuju nol.
c) Daerah invertibel memenuhi โ1 < ๐ < 1
2) MA (2)
Bentuk umum dari proses MA (2) adalah
๐ง๐ก = ๐1๐๐กโ1 + ๐2๐๐กโ2 + ๐๐ก
Adapun ciri dari proses MA (2) , yaitu :
a. Fak terputus setelah lag ke-2
12 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
(ฯ1 =ฮธ1 + ฮธ1ฮธ2
1 + ฮธ12 + ฮธ2
2 , ฯ2 =ฮธ2
1 + ฮธ12ฮธ2
2 , ฯk = 0; k โฅ 3)
b. Fakp turun secara geometris menuju nol.
c. Daerah invertibel memenuhi :
โ1 < โฮธ2
โฮธ1 โ ฮธ2 < 1
ฮธ1 โ ฮธ2 < 1
Secara umum, ciri teoritik proses MA (q) adalah:
Fak terputus setelah lag ke-q
Fakp turun secara geometris menuju nol.
2.2.3 Proses Autoregressive Moving Average (ARMA)
Model ARMA (p,q) adalah model campuran yang merupakan perluasan dari model
Autoregressive (AR(p)) dan model Moving Average (MA(q)). Dasar-dasar teoritis ARMA
pertama kali digunakan oleh Wold pada tahun 1938.
dituliskan ARMA(p, q). Bentuk umum dari proses ARMA(p, q) adalah
zt = ฯ1ztโ1 + โฏ+ ฯpztโp + ๐๐ก + ฮธ1๐๐กโ1 + โฏ+ ฮธq๐๐กโ๐ ............. (5)
Bentuk (5) dapat ditulis sebagai
๐(๐ต)๐ง๐ก = ๐(๐ต)๐๐ก
Untuk stasioneritas dan invertibilitas harus memenuhi โ1 < ๐ < 1 dan โ1 <
๐ < 1. Adapun ciri teoritik dari proses ARMA(p, q) adalah:
Fak dari proses ARMA(p, q) menyerupai fak dari proses AR(p), yakni turun
secara ekponensial menuju nol.
Fakp dari proses ARMA(p, q) menyerupai fakp dari proses MA(q), yakni turun
menuju nol.
2.3 Model-Model Runtun Waktu Box-Jenkins Nonstasioner
Pada kenyataannya sangat jarang sekali ditemui data runtun waktu yang
stasioner, namun stasioneritas merupakan asumsi penting pada pemodelan runtun
waktu. Model ARIMA merupakan bentuk model untuk runtun waktu nonstasioner.
13 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
Biasanya, runtun waktu nonstasioner disebabkan karena runtun waktu mempunyai
rata-rata yang tidak tetap atau terjadi trend selama selang waktu tertentu.
Adapun runtun waktu nonstasioner homogen adalah runtun waktu yang
walaupun bergerak bebas pada suatu lokasi tetapi gerakannya pada lokasi lain pada
dasarnya sama. Runtun waktu ini ditandai oleh suatu runtun waktu di mana selisih
data yang berurutannya adalah stasioner. Banyaknya penyelisihan yang dilakukan
dinotasikan dengan ๐.
Misalkan runtun waktu stasioner ๐ค๐ก adalah runtun waktu stasioner,
๐ค1, ๐ค2, โฆ , ๐ค๐โ1 adalah data runtun waktu selisih pertama.
Misalkan kita memiliki model ARMA (p, q)
wt = ฯ1wtโ1 + โฏ+ ฯpwtโp + ๐๐ก + ฮธ1๐๐กโ1 + โฏ+ ฮธq๐๐กโ๐ ............ (6)
dan misalkan data para wt diperoleh dari selisih data para zt yang tidak stasioner (data
mentah). Karena, wt = zt โ ztโ1, maka persamaan bentuk (6) dapat ditulis sebagai
zt = (1 + ฯ1)ztโ1 + (ฯ1 โ ฯ2)ztโ2 + โฏโ ฯpztโpโ1 + ๐๐ก + ฮธ1๐๐กโ1 + โฏ+ ฮธq๐๐กโ๐
................................................... (7)
Persamaan bentuk (7) disebut dengan persamaan differensi.
Dari bentuk wt = zt โ ztโ1 diperoleh zt = wt + ztโ1, ztโ1 = wtโ1 + ztโ2,
ztโ2 = wtโ2 + ztโ3, ... , sehingga zt = wt + wtโ1 + wtโ2 + โฏ. Sehingga runtun
waktu nonstatsioner zt disebut dengan Integrated Auto Regressive Moving AverageI
(ARIMA), dituliskan ARIMA(p, d,q). Bentuk umum proses ARIMA(p,d,q) adalah
ฯ(B)zt = ฮธ(B)at
Secara umum, ARIMA (p, d, q) adalah runtun waktu nonstasioner yang jika
diselisihkan ๐ kali menjadi stasioner dengan model ARMA(p,q).
wt = โd zt
Adapun ciri teoritik untuk runtun waktu nonstasioner adalah:
Plot data tidak berfluktuasi (memiliki trend untuk selang yang cukup lebar).
14 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
Fak turun secara lambat dan cenderung linier.
Pada grafik fakp, hanya ฯ11 yang nilainya mendekati 1 atau โ1, sedangkan
yang lainnya tidak berbeda secara signifikan dengan nol.
2.4 Pembentukan Model Runtun Waktu Box-Jenkins
Langkah-langkah pembentukan model secara iteratif adalah sebagai berikut :
2.4.1 Identifikasi Model
Identifikasi model bertujuan untuk menentukan model yang merupakan
representasi data runtun waktu Z1, ๐2, โฆ , Zn. Adapun langkah-langkah yang dilakukan
sebagai berikut:
1. Menentukan rata-rata dan varians dari data runtun waktu.
2. Menentukan fak beserta 2๐๐ธ(๐๐) dari data runtun waktu.
3. Menentukan fakp beserta 2๐๐ธ(๐๐๐) dari data runtun waktu.
4. Membandingkan fak dan fakp data runtun waktu dengan fak dan fakp teoritik.
Berikut ini adalah tabel pendekatan {rk} dan {ฯkk} untuk berbagai model.
Pendekatan Model
ฯkk~N(0,1
N) , k > ๐ AR(p)
rk~N(0,1
N(1 + 2โri
2
q
i=1
)) MA(q)
Baik ฯkk maupun rk tidak teputus ARMA(p, q)
Sebelum pemodelan dilakukan, hal berikut adalah mutlak diperlukan.
a. Plot data untuk melihat kestasioneran data.
b. Grafik dari distribusi frekuensi untuk melihat asumsi normalitas.
c. Informasi lain (kemiringan, keruncingan, dll).
15 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
Jika E(zt) = z โ 0, maka model dituliskan sebagai zt = zt โ z, sehingga
perlu diuji apakah z = 0. Hipotesis yang harus diuji adalah
H0 โถ z = 0 (rata-rata tidak berbeda secara signifikan dengan 0)
H1 โถ z โ 0 (rata-rata berbeda secara signifikan dengan 0)
Kriteria:
Tolak H0 , jika |z| > 2๐๐ธ(z) (rata-rata berbeda secara signifikan dengan 0)
Tabel: nilai pendekatan Var(z) untuk proses ARMA(p, q) dengan p + q โค 2.
Model Pendekatan
AR(1) C0(1 + r1)
N(1 โ r1)
MA(1) C0(1 + 2r1)
N
AR(2) C0(1 + r1)(1 โ 2r1
2 + r2)
N(1 โ r1)(1 โ r2)
MA(2) C0(1 + 2r1 + 2r2)
N
ARMA(1, 1) C0
N(1 +
2r12
r1 โ r2)
2.4.2 Estimasi Parameter dalam Model
Setelah beberapa model di identifikasi, langkah selanjutnya adalah
menentukan estimasi terbaik (paling efesien) untuk setiap parameter yang tedapat
pada model. Estimasi yang efisien yaitu estimasi yang meminimumkan kuadrat selisih
antara nilai parameter taksiran dengan nilai parameter sebenarnya. Untuk data yang
cukup banyak, estimasi yang efesien adalah estimasi yang memaksimumkan fungsi
Likelihood.
16 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
Diperlukan taksiran interval untuk estimasi parameter. Di sini perlu diuji
apakah ฮธ dan ฯ berbeda secara signifikan dengan nol. Jika |ฮธ| < 2๐๐ธ(ฮธ), maka ฮธ
tidak berbeda secara signifikan dengan nol. Begitu pula jika |ฯ| < 2๐๐ธ(ฯ), maka ฯ
tidak berbeda secara signifikan dengan nol.
Tabel: Daerah diterima, estimasi awal beberapa proses
Proses Daerah diterima Estimasi awal
AR(1) โ1 < r1 < 1 ฯ0 = r1
AR(2)
โ1 < r2 < 1
r12 <
1
2(r2 + 1)
ฯ0 =r1(1 โ r2)
1 โ r12
ฯ0 =r2 โ r1
2
1 โ r12
MA(1) โ0,5 < r1 < 0,5 ฮธ0 =1 โ โ1 โ 4r12
2r1
ARMA(1, 1) 2r12 โ |r1| < r2 < |r1|
ฯ0 =r2
r1
ฮธ0 =(bยฑโb2โ4)
2, dengan
b =(1 โ 2r2 + ฯ0
2)
r1 โ ฯ0
dimana |ฯ0| < 1
2.4.3 Verifikasi Model
Langkah selanjutnya adalah verifikasi, yaitu memeriksa apakah model yang
diestimasi cukup sesuai dengan data yang dimiliki. Verivikasi model dilakukan dengan
membandingkan nilai dari masing-masing model tentatif yang didapatkan yang
kemungkinan sesuai dengan data. Jika terjadi penyimpangan yang cukup serius, maka
model baru harus dirumuskan kembali. Langkah-langkah yang harus dilakukan pada
tahap verifikasi adalah sebagai berikut:
1. Uji Keberartian Koefisien
Hipotesis yang harus diuji adalah
H0 โถ koefisien tidak berbeda secara signifikan dengan nol.
17 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
H1 : koefisien berbeda secara signifikan dengan nol.
Adapun kriteria untuk uji keberartian koefisien adalah.
Tolak H0 , jika :
|ฯ| > 2๐๐ธ(ฯ)
|ฮธ| > 2๐๐ธ(๐)
Tolak H0 , jika ๐ ๐ฃ๐๐๐ข๐ < ๐ผ = 5%
2. Nilai Variansi Sesatan
Nilai variansi sesatan bisa langsung dilihat dari output Minitab 16 atau dihitung
dengan menggunakan rumus
๐๐2 =
๐๐โ๐๐
๐ท๐น
SS : Kuadrat jumlah (Sum Square)
MS : Kuadrat rata-rata (Mean Square)
DF : Derajat kebebasan (Degree Free)
3. Uji Kecocokan (lack of fit)
Hipotesis yang diuji
H0 โถ Model sesuai
H1 โถ Model tidak sesuai
Dengan statistik uji:
R =1
Nโri
2
k
i=1
ri menyatakan fak lag ke-I dan ๐ menyatakan berapa banyak lag yang
dipertimbangkan. Kemudian membandingkan dengan statistik tabel
R~ ฯ2(kโpโq)
18 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
Adapun kriteria uji kecocokan adalah sebagai berikut.
Tolak H0 jika ฯhit2 > ฯtabel
2 , atau
Tolak H0 jika ๐ ๐ฃ๐๐๐ข๐ < ๐ผ = 5%
Jika pada langkah verifikasi menghasilkan lebih dari satu model cocok dengan
data maka dalam penentuan model terbaik digunakan prinsip parsimony, yaitu
dengan memilih model yang paling sederhana.
2.5 Peramalan (Forecasting)
Langkah terakhir dari sebuah pemodelan adalah peramalan beberapa periode
ke depan. Artinya, berdasarkan model yang paling sesuai, ingin ditentukan distribusi
bersyarat observasi yang akan datang berdasarkan pola data masa lalu. Model yang
diturunkan dari data runtun waktu bukan merupakan model yang sebenarnya, tetapi
hanya merupakan pendekatan yang tentunya memiliki kesalahan baik pada tahap
identifikasi maupun tahap estimasi.
Sebuah ide yang mengilhami harga harapan bersyarat dipertimbangkan
sebagai metode peramalan adalah karena harapan bersyarat merupakan sebuah nilai
yang memiliki sifat-sifat yang baik, yaitu memiliki sesan kuadrat rata-rata minimum,
artinya jika terdapat penaksir yang lain maka dia akan memilliki sesatan yang
kuadratnya lebih besar.
zt(k) = E( zt+k| z1, z2, โฆ , zt = Ht) adalah ramalan untuk zt+kpada saat kita
memiliki data sampai dengan ke zt.
19 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
BAB III
PENGOLAHAN DATA
3.1 Proses pengolahan di Minitab
Dengan menggunakan Minitab versi 16. Langkah โlangkah untuk memodelkan
data runtun waktu metode Box-Jenkins :
1. Input data
Tabel 3.1 data terlampir pada lampiran
2. Menampilkan Plot data
Stat Time Series Time Series Plot
klik Penjualan Speedy lalu klik select, OK
Melihat adanya trend atau tidak
20 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
Stat Time Series Trend Analysis
klik Penjualan Speedy lalu klik select, OK
817263544536271891
7
6
5
4
3
2
1
0
Index
Pe
nju
ala
n S
pe
ed
y MAPE 42.3435
MAD 1.1159
MSD 1.9967
Accuracy Measures
Actual
Fits
Variable
Trend Analysis Plot for Penjualan SpeedyLinear Trend Model
Yt = 1.264 + 0.00210*t
Perhatikan bahwa plot data mengalami trend yang ditunjukan dengan garis
merah yang cenderung naik sehingga bisa disimpulkan bahwa data penjualan speedy
nonstasioner.
Akan dilakukan differencing 1
Stat Time Series Differences
21 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
klik Penjualan Speedy lalu klik select, Store differences in: untuk meletakan
runtun data hasil differencing 1. misal ketik C2 maka kolom C2 akan terisi, sehingga
Beri nama โDif-1โ
Plot Data Dif-1
22 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
817263544536271891
7.5
5.0
2.5
0.0
-2.5
-5.0
Index
Dif
-1
Time Series Plot of Dif-1
Trend analysis
817263544536271891
7.5
5.0
2.5
0.0
-2.5
-5.0
Index
Dif
-1
MAPE 99.5074
MAD 1.2278
MSD 3.0801
Accuracy Measures
Actual
Fits
Variable
Trend Analysis Plot for Dif-1Linear Trend Model
Yt = 0.024 + 0.000236*t
Perhatikan plot data dif-1 cenderung bergerak disekitar rata-rata bisa
disimpulkan data stasioner. Untuk menambah keakuratan klaim bahwa data tersebut
stasioner perhatikan juga trend analysis, garis merah yang menunjukan trend tidak
berbeda secara signifikan dengan nol (y=0) sehingga menambahkan fakta bahwa data
stasioner.
Proses selanjutnya data runtun waktu yang akan digunakan adalah dif-1
karena data memenuhi kriteria stasioner.
3. Menampilkan FAK
Stat Time Series Autocorrelation
23 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
klik Dif-1 lalu klik select, beri nama pada title โFAK Penjualan Speedy Dif-1โ OK
222018161412108642
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Lag
Au
toco
rre
lati
on
FAK Penjualan Speedy Dif-1
Secara intuisi, FAK diatas merepresentasikan model MA(1) karena lag terputus
setelah lag ke-1
4. Menampilkan FAKP
Stat Time Series Partial Autocorrelation
24 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
klik Dif-1 lalu klik select, beri nama pada title โFAKP Penjualan Speedy Dif-1โ
OK
222018161412108642
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Lag
Pa
rtia
l A
uto
co
rre
lati
on
FAKP Penjualan Speedy Dif-1
5. Pengolahan Model
Pengolahan untuk model-model yang telah diklaim sebagai model runtun
waktu. Berdasarkan langkah sebelumnya model-model yang akan diestimasi
parameter yaitu : MA(1), AR(2) dan ARMA (2,1)
Stat Time Series ARIMA
Klik Dif-1 lalu select
1. Untuk MA (1)
Isikan 1 pada kolom Moving Average, 0 untuk yang lainnya
25 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
2. Untuk AR (2)
Isikan 2 pada kolom Moving Average, 0 untuk yang lainnya
3. Untuk ARMA (2,1)
Isikan 1 pada kolom Autoregressive, 2 pada kolom Moving Average, 0
untuk yang lain
3.2 Identifikasi model
Perhatikan grafik FAK dan FAKP penjualan speedy, diperoleh beberapa model yang
mungkin merepresentasikan runtun waktu tersebut yaitu :
1. FAK merepresentasikan model MA(1) karena lag terputus setelah lag ke-1 dan
turun secara eksponensial
2. FAKP merepresentasikan model AR(2) karena lag terputus setelah lag ke-2 dan
turun secara eksponensial
26 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
3. Model campuran ARMA (p, q) adalah ARMA (2, 1)
3.3 Estimasi Parameter
3.1 Model MA(1)
Berikut output model MA (1) yang dapat dilihat pada jendela session
ARIMA Model: Penjualan Speedy Dif-1
Estimates at each iteration
Iteration SSE Parameters
0 245.167 0.100 0.135
1 217.876 0.250 0.086
2 195.709 0.400 0.060
3 178.039 0.550 0.045
4 165.133 0.700 0.035
5 160.849 0.842 0.025
6 160.524 0.816 0.025
7 160.522 0.818 0.025
8 160.522 0.818 0.024
Relative change in each estimate less than 0.0010
Final Estimates of Parameters
Type Coef SE Coef T P
MA 1 0.8176 0.0688 11.89 0.000
Constant 0.02449 0.02837 0.86 0.391
Mean 0.02449 0.02837
Number of observations: 86
Residuals: SS = 159.860 (backforecasts excluded)
MS = 1.903 DF = 84
Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic
Lag 12 24 36 48
Chi-Square 5.2 14.3 19.6 31.7
DF 10 22 34 46
P-Value 0.879 0.889 0.977 0.946
Jika E(wt) = w โ 0, maka model dituliskan sebagai wt = wt โ w,
sehingga perlu diuji apakah w = 0. Hipotesis yang harus diuji adalah
H0 โถ w = 0 (rata-rata tidak berbeda secara signifikan dengan 0)
27 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
H1 โถ w โ 0 (rata-rata berbeda secara signifikan dengan 0)
Kriteria : Tolak H0 , jika |w| > 2๐๐ธ(w) .
Berdasarkan output diatas model MA(1) yang mungkin adalah ๐ค๐ก = ๐๐ก +
๐๐๐กโ1 atau (๐ค๐ก โ ๏ฟฝ๏ฟฝ) = ๐๐ก + ๐๐๐กโ1. dengan ๐ค๐ก = ๐ง๐ก โ ๐ง๐กโ1
Karena |w| = |0.02449| โฏ 2(0.02837) = 2๐๐ธ(z) maka H0 diterima sehingga w
tidak berbeda secara signifikan dengan nol. Akibatnya, model yang dipilih adalah
model dengan bentuk ๐ค๐ก = ๐๐ก + ๐๐๐กโ1.
Jadi, model untuk MA (1) adalah ๐ค๐ก = ๐๐ก + ๐๐๐กโ1.
3.2 Model AR(2)
Berikut output model AR (2) yang dapat dilihat pada jendela session : ARIMA Model: Penjualan Speedy Dif-1
Estimates at each iteration
Iteration SSE Parameters
0 301.395 0.100 0.100 0.108
1 252.317 -0.050 -0.021 0.098
2 214.211 -0.200 -0.143 0.093
3 187.048 -0.350 -0.265 0.091
4 170.835 -0.500 -0.387 0.089
5 165.625 -0.635 -0.498 0.087
6 165.595 -0.645 -0.507 0.087
7 165.595 -0.646 -0.508 0.087
8 165.595 -0.646 -0.508 0.087
Relative change in each estimate less than 0.0010
Final Estimates of Parameters
Type Coef SE Coef T P
AR 1 -0.6463 0.0967 -6.68 0.000
AR 2 -0.5077 0.0984 -5.16 0.000
Constant 0.0869 0.1519 0.57 0.569
Mean 0.04034 0.07054
Number of observations: 86
Residuals: SS = 164.748 (backforecasts excluded)
MS = 1.985 DF = 83
Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic
Lag 12 24 36 48
Chi-Square 6.5 16.7 22.4 31.1
DF 9 21 33 45
P-Value 0.685 0.727 0.919 0.942
28 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
Jika E(wt) = w โ 0, maka model dituliskan sebagai wt = w โ w, sehingga
perlu diuji apakah w = 0. Hipotesis yang harus diuji adalah
H0 โถ w = 0 (rata-rata tidak berbeda secara signifikan dengan 0)
H1 โถ w โ 0 (rata-rata berbeda secara signifikan dengan 0)
Kriteria: Tolak H0 , jika |๏ฟฝ๏ฟฝ| > 2๐๐ธ(๏ฟฝ๏ฟฝ)
Berdasarkan output diatas model AR (2) yang mungkin adalah
๐ค๐ก = ๐1๐ค๐กโ1 + ๐2๐ค๐กโ2 + ๐๐ก atau
(๐ค๐ก โ ๏ฟฝ๏ฟฝ) = ๐1(๐ค๐กโ1 โ ๏ฟฝ๏ฟฝ) + ๐2(๐ค๐กโ2 โ ๏ฟฝ๏ฟฝ) + ๐๐ก , dengan ๐ค๐ก = ๐ง๐ก โ ๐ง๐กโ1
karena |๏ฟฝ๏ฟฝ| = |0.0403| < 2(0.07054) = 2๐๐ธ(w) maka H0 diterima sehingga w
tidak berbeda secara signifikan dengan nol. Akibatnya, model yang dipilih adalah
model dengan bentuk ๐ค๐ก = ๐1๐ค๐กโ1 + ๐2๐ค๐กโ2 + ๐๐ก
3.3 Model ARMA (2,1)
Berikut output model ARMA (2,1) yang dapat dilihat pada jendela session : ARIMA Model: Penjualan Speedy Dif-1
Estimates at each iteration
Iteration SSE Parameters
0 277.729 0.100 0.100 0.100 0.108
1 257.866 -0.050 0.043 0.014 0.114
2 250.819 -0.200 0.011 -0.111 0.127
3 247.983 -0.350 -0.012 -0.251 0.143
4 246.439 -0.500 -0.033 -0.395 0.159
5 245.385 -0.650 -0.053 -0.541 0.176
6 244.585 -0.800 -0.073 -0.688 0.192
7 243.910 -0.950 -0.093 -0.836 0.208
8 239.961 -1.100 -0.132 -0.966 0.216
9 219.836 -1.234 -0.282 -0.969 0.149
10 211.758 -1.369 -0.432 -0.968 0.088
11 211.525 -1.388 -0.454 -0.968 0.086
12 211.485 -1.389 -0.456 -0.967 0.086
13 211.456 -1.389 -0.457 -0.967 0.086
Relative change in each estimate less than 0.0010
29 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
Final Estimates of Parameters
Type Coef SE Coef T P
AR 1 -1.3888 0.1003 -13.85 0.000
AR 2 -0.4566 0.0983 -4.64 0.000
MA 1 -0.9672 0.0405 -23.87 0.000
Constant 0.0861 0.3390 0.25 0.800
Mean 0.0303 0.1192
Number of observations: 86
Residuals: SS = 209.777 (backforecasts excluded)
MS = 2.558 DF = 82
Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic
Lag 12 24 36 48
Chi-Square 21.7 35.3 41.0 50.2
DF 8 20 32 44
P-Value 0.005 0.018 0.131 0.242
Jika E(wt) = w โ 0, maka model dituliskan sebagai wt = w โ w, sehingga perlu
diuji apakah w = 0. Hipotesis yang harus diuji adalah
H0 โถ w = 0 (rata-rata tidak berbeda secara signifikan dengan 0)
H1 โถ w โ 0 (rata-rata berbeda secara signifikan dengan 0)
Kriteria: Tolak H0 , jika |๏ฟฝ๏ฟฝ| > 2๐๐ธ(๏ฟฝ๏ฟฝ)
Berdasarkan output diatas model AR (2) yang mungkin adalah
๐ค๐ก = ๐1๐ค๐กโ1 + ๐2๐ค๐กโ2 + ๐๐๐กโ1 + ๐๐ก atau
(๐ค๐ก โ ๏ฟฝ๏ฟฝ) = ๐1(๐ค๐กโ1 โ ๏ฟฝ๏ฟฝ) + ๐2(๐ค๐กโ2 โ ๏ฟฝ๏ฟฝ) + ๐๐๐กโ1 + ๐๐ก ,
dengan ๐ค๐ก = ๐ง๐ก โ ๐ง๐กโ1
karena |๏ฟฝ๏ฟฝ| = |0.0303| < 2( 0.1192) = 2๐๐ธ(w) maka H0 diterima sehingga w
tidak berbeda secara signifikan dengan nol. Akibatnya, model yang dipilih adalah
model dengan bentuk ๐ค๐ก = ๐1๐ค๐กโ1 + ๐2๐ค๐กโ2 + ๐๐๐กโ1 + ๐๐ก
3.4 Verifikasi model
Untuk alasan efektifitas kerja, urutan langkah verifikasi model yaitu :
1. Uji keberartian koefisien,
30 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
2. Uji kecocokan
3. Nilai variansi sesatan
MA (1)
Akan dilakukan verifikasi terhadap model MA (1).
Adapun uraian setiap langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut :
1. Uji Keberartian Koefisien
Hipotesis yang harus diuji adalah
H0 : koefisien tidak berbeda secara signifikan dengan nol.
H1 : koefisien berbeda secara signifikan dengan nol.
Kriteria : Tolak H0, jika |๐| > 2๐๐ธ(๐) atau
Tolak H0, jika ๐ ๐ฃ๐๐๐ข๐ < ๐ผ = 5%
Karena ๐ = |0.8176 | > 2|0.0688| = 2๐๐ธ(๐), atau ๐ ๐ฃ๐๐๐ข๐ =
0,000 < ๐ผ = 0,05 maka H0 ditolak. Ini berarti bahwa koefisien ๐ berbeda
secara signifikan dengan nol.
Model MA (1) yang telah diperoleh dapat dituliskan sebagai
๏ฟฝ๏ฟฝ๐ก = 0.8176 ๐๐กโ1+๐๐ก.
2. Uji Kecocokan (lack of fit)
Hipotesis yang diuji adalah
H0 โถ Model sesuai
H1 โถ Model tidak sesuai
Kriteria : Tolak H0 jika ฯhit2 > ฯtabel
2 , atau
Tolak H0 jika ๐ ๐ฃ๐๐๐ข๐ < ๐ผ = 5%
31 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
lag P-value
12 0.879
24 0.889
36 0.977
48 0.946
Karena ๐ ๐ฃ๐๐๐ข๐ > ๐ผ = 5% untuk berbagai lag, maka H0 diterima.
Artinya, runtun waktu penjualan speedy sesuai jika dimodelkan sebagai
MA (1).
3. Nilai Variansi Sesatan
Berdasarkan output Minitab 16,
Variable Mean Variance
RESI1 0.009 1.881
nilai variansi sesatan adalah ๐2 =159.860โ1.903
84= 1.881, sedangkan rata-
rata (๐๐ก) = 0,009, yang tidak berbeda secara signifikan dengan nol. Ini
berarti bahwa ๐๐ก~๐(0; 1.881). Model MA (1) yang telah diperoleh dapat
dituliskan sebagai
๏ฟฝ๏ฟฝ๐ก = 0.8176 ๐๐กโ1 + ๐๐ก ,
dengan ๐๐ก~๐(0; 1.881)
AR(2)
Selanjutnya akan dilakukan verifikasi terhadap model AR (2).
Adapun langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut :
a. Uji Keberartian Koefisien
Hipotesis yang harus diuji adalah
32 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
H0 : koefisien tidak berbeda secara signifikan dengan nol.
H1 : koefisien berbeda secara signifikan dengan nol.
Kriteria : Tolak H0, jika |ฯ| > 2๐๐ธ(ฯ)
Tolak H0 , jika ๐ ๐ฃ๐๐๐ข๐ < ๐ผ = 5%
Type Coef SE Coef T P
AR 1 -0.6463 0.0967 -6.68 0.000
AR 2 -0.5077 0.0984 -5.16 0.000
Karena ๐1 = |โ0.6463| > 2|0.0967 | = 2๐๐ธ(๐1), atau
๐ ๐ฃ๐๐๐ข๐ = 0,000 < ๐ผ = 0,05 maka H0 ditolak. Ini berarti bahwa
koefisien ๐1 berbeda secara signifikan dengan nol.
๐2 = |โ0.5077| > 2|0.0984 | = 2๐๐ธ(๐2) atau ๐ ๐ฃ๐๐๐ข๐ =
0,000 < ๐ผ = 0,05 maka H0 ditolak. Ini berarti bahwa koefisien ๐2
berbeda secara signifikan dengan nol.
Model AR (1) yang telah diperoleh dapat dituliskan sebagai
๏ฟฝ๏ฟฝ๐ก = โ0.6463๐ค๐กโ1 โ 0.5077๐ค๐กโ2 + ๐๐ก
b. Uji Kecocokan (lack of fit)
Hipotesis yang diuji
H0 โถ Model sesuai
H1 โถ Model tidak sesuai
Kriteria : Tolak H0 jika ฯhit2 > ฯtabel
2 , atau
Tolak H0 jika ๐ ๐ฃ๐๐๐ข๐ < ๐ผ = 5%
Berdasarkan Output Minitab 16 diperoleh
33 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
lag P-value
12 0,685
24 0,727
36 0,919
48 0,942
Karena ๐ ๐ฃ๐๐๐ข๐ > ๐ผ = 5% untuk berbagai lag, maka H0
diterima. Artinya, data runtun waktu penjualan speedy sesuai jika
dimodelkan sebagai AR (2).
c. Nilai Variansi Sesatan
Berdasarkan output Minitab 16,
Variable Mean Variance
RESI2 0.007 1.938
nilai variansi sesatan adalah ๐๐2 = 1.938, sedangkan rata-rata
(๐๐ก) = 0,007 yang tidak berbeda secara signifikan dengan nol. Ini berarti
bahwa ๐๐ก~๐(0; 1.938). Model AR (2) yang telah diperoleh dapat
dituliskan sebagai
๏ฟฝ๏ฟฝ๐ก = โ0.6463๐ค๐กโ1 โ 0.5077๐ค๐กโ2 + ๐๐ก
dengan ๐๐ก~๐(0; 1.938)
ARMA (2, 1)
Selanjutnya akan dilakukan verifikasi terhadap model ARMA (2, 1).
Adapun langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut :
a. Uji Keberartian Koefisien
Hipotesis yang harus diuji adalah
34 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
H0 : koefisien tidak berbeda secara signifikan dengan nol.
H1 : koefisien berbeda secara signifikan dengan nol.
Kriteria : Tolak H0, jika |ฯ| > 2๐๐ธ(ฯ)
Tolak H0 , jika ๐ ๐ฃ๐๐๐ข๐ < ๐ผ = 5%
Type Coef SE Coef T P
AR 1 -1.3888 0.1003 -13.85 0.000
AR 2 -0.4566 0.0983 -4.64 0.000
MA 1 -0.9672 0.0405 -23.87 0.000
Karena ๐1 = |โ1.3888| > 2| 0.1003 | = 2๐๐ธ(๐1), atau
๐ ๐ฃ๐๐๐ข๐ = 0,000 < ๐ผ = 0,05 maka H0 ditolak. Ini berarti bahwa
koefisien ๐1 berbeda secara signifikan dengan nol.
๐2 = |โ0.4566| > 2|0.0983| = 2๐๐ธ(๐2) atau ๐ ๐ฃ๐๐๐ข๐ =
0,000 < ๐ผ = 0,05 maka H0 ditolak. Ini berarti bahwa koefisien ๐2
berbeda secara signifikan dengan nol.
๐1 = |โ0.9672| > 2|0.0405| = 2๐๐ธ(๐1) atau ๐ ๐ฃ๐๐๐ข๐ =
0,000 < ๐ผ = 0,05 maka H0 ditolak. Ini berarti bahwa koefisien ๐1
berbeda secara signifikan dengan nol.
Model ARMA (2, 1) yang telah diperoleh dapat dituliskan sebagai
๐ค๐ก = โ1.3888๐ค๐กโ1 โ 0.4566๐ค๐กโ2 โ 0.9672๐๐กโ1 + ๐๐ก
b. Uji Kecocokan (lack of fit)
Hipotesis yang diuji
H0 โถ Model sesuai
H1 โถ Model tidak sesuai
Kriteria : Tolak H0 jika ฯhit2 > ฯtabel
2 , atau
Tolak H0 jika ๐ ๐ฃ๐๐๐ข๐ < ๐ผ = 5%
Berdasarkan Output Minitab 16 diperoleh
35 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
lag P-value
12 0.005
24 0.018
36 0.131
48 0.242
Lag 36 dan Lag 48 nilai ๐ ๐ฃ๐๐๐ข๐ > ๐ผ = 5%, maka H0 diterima.
Artinya, data runtun waktu penjualan speedy sesuai jika dimodelkan
sebagai ARMA (2, 1).
c. Nilai Variansi Sesatan
Berdasarkan output Minitab 16,
Variable Mean Variance
RESI3 0.008 2.468
nilai variansi sesatan adalah ๐๐2 = 1.938, sedangkan rata-rata
(๐๐ก) = 0,008 yang tidak berbeda secara signifikan dengan nol. Ini berarti
bahwa ๐๐ก~๐(0; 1.938). Model AR (2) yang telah diperoleh dapat
dituliskan sebagai
๏ฟฝ๏ฟฝ๐ก = โ1.3888๐ค๐กโ1 โ 0.4566๐ค๐กโ2 โ 0.9672๐๐กโ1 + ๐๐ก
dengan ๐๐ก~๐(0; 2.468)
36 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
Didapatkan model-model yang lolos verifikasi yaitu
MA (1) ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ก = 0.8176 ๐๐กโ1 +๐๐ก
๐๐ก~๐(0; 1.881)
AR (2) ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ก = โ0.6463๐ค๐กโ1 โ 0.5077๐ค๐กโ2 + ๐๐ก
๐๐ก~๐(0; 1.938)
ARMA (2, 1) ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ก = โ1.3888๐ค๐กโ1 โ 0.4566๐ค๐กโ2
โ 0.9672๐๐กโ1 + ๐๐ก ๐๐ก~๐(0; 2.468)
Berdasarkan tabel diatas, karena MA(1) memiliki varians yang paling kecil
maka akan dipilih model MA(1) untuk digunakan sebagai peramalan.
3.5 Peramalan
Setelah dilakukan identifikasi, estimasi, dan verifikasi terhadap berbagai model,
diperoleh model MA (1) sebagai model yang paling sesuai untuk data runtun waktu
penjualan speedy di daerah Gegerkalong Bandung, yaitu :
๏ฟฝ๏ฟฝ๐ก = 0.8176 ๐๐กโ1 +๐๐ก
๐ง๐ก โ ๐ง๐กโ1 = 0.8176 ๐๐กโ1 + ๐๐ก
๐ง๐ก = 0.8176 ๐๐กโ1 + ๐๐ก + ๐ง๐กโ1
dengan ๐๐ก~๐(0; 1.881)
Berikut adalah ramalan banyaknya penjualan speedy 10 periode berikutnya
dari data runtun waktu penjualan speedy di daerah Gegerkalong Bandung yang
dihasilkan software Minitab 16.
37 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
Berdasarkan output diatas, ramalan untuk penjualan speedy di daerah
gegerkalong untuk 30 hari (21 April โ 20 Juni ) mendatang adalah
Tanggal Forecast Penjualan
Speedy Tanggal Forecast
Penjualan
Speedy
21 2.94443 3 6 3.31173 3
22 2.96891 3 7 3.33622 3
23 2.99340 3 8 3.36071 3
24 3.01789 3 9 3.38519 3
25 3.04238 3 10 3.40968 3
26 3.06686 3 11 3.43417 3
27 3.09135 3 12 3.45866 3
28 3.11584 3 13 3.48314 3
29 3.14032 3 14 3.50763 4
30 3.16481 3 15 3.53212 4
1 3.18930 3 16 3.55660 4
2 3.21378 3 17 3.58109 4
3 3.23827 3 18 3.60558 4
4 3.26276 3 19 3.63006 4
5 3.28725 3 20 3.65455 4
38 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
BAB IV
PENUTUP
4.1 Kesimpulan
Setelah dilakukan proses pengolahan data runtun waktu, diperoleh model MA (1)
untuk merepresentasikan forecasting (peramalan) penjualan speedy di daerah
Gegerkalong, Bandung, yaitu :
๐ง๐ก = 0.8176 ๐๐กโ1 + ๐๐ก + ๐ง๐กโ1
dengan ๐๐ก~๐(0; 1.881)
Model tersebut bisa digunakan untuk peramalan n-hari kedepan tidak hanya
terbatas untuk 30 hari kedepan.
Berdasarkan data pada tabel peramalan, penjualan speedy pada hari-hari
berikutnya antara 3-4 produk terjual per hari. Hal ini bisa berguna untuk distributor
dan penjual untuk menyediakan sesuai dengan perhitungan peramalan ini.
4.2 Saran
Adapun beberapa saran terkait dengan proses peramalan dari data runtun waktu
ini adalah :
1. Kuantitas data runtun waktu lebih banyak lebih baik untuk keakuratan
peramalan.
2. Diperlukan ketelitian dan kesabaran dalam proses pengolahan data runtun waktu
karena ketelitian dalam menentukan model yang tepat sangat dibutuhkan dalam
peramalan ini.
3. Untuk bagian marketing produk speedy, diperlukan program yang lebih kreatif
agar permintaan kostumer meningkat signifikan.
39 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
DAFTAR PUSTAKA
PT Telekomunikasi Indonesia Tbk. (n.d.). Speedy True Broadband. Retrieved
Desember 31, 2014, from telkomspeedy: http://telkomspeedy.com/product-
description
Zanzawi Soejati, P. (1987). ANALISIS RUNTUN WAKTU. Jakarta: Karunika Jakarta.
Puspita, Entit. 2010. Petunjuk Praktikum Metode Runtun Waktu. Jurusan Pendidikan
Matematika Universitas Pendidikan Indonesia
Universitas Pendidikan Indonesia. 2012. Pedoman Penulisan Karya Ilmiah.
Bandung: UPI Press.
Sulistiawati, R. (2012). Ramalan Pembelian Ayam di CV Sumber Jaya dengan Metode
Runtun Waktu. Bandung: tidak diterbitkan
40 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y
LAMPIRAN A. Tabel penjualan Speedy di daerah Gegerkalong-Bandung dari tanggal 20 Januari-20
April 2011
Bulan Tanggal Produk terjual Bulan Tanggal Produk Terjual
Januari
20 0
Maret
9 0
21 2 10 0
22 1 11 0
24 0 12 0
25 0 13 0
26 0 14 0
27 2 15 1
28 2 16 1
29 1 17 0
31 3 18 1
Februari
1 3 19 1
2 0 20 0
3 0 21 1
4 0 22 0
5 0 23 1
6 2 24 1
7 3 25 1
8 3 26 0
9 1 27 1
10 1 28 0
11 4 29 0
12 0 30 2
14 2 31 0
16 2
April
1 1
17 3 2 0
18 4 3 1
19 2 4 2
20 1 5 1
21 3 6 2
22 4 7 0
23 2 8 1
24 4 9 1
25 0 10 1
26 1 11 2
27 0 12 2