Post on 03-Apr-2023
Lección 9: Polinomios
Nosot ros ya hemos t rabaj ado con dist int as expresiones
algebraicas desde el primer curso de secundaria y sabemos
que en las expresiones algebraicas, las let ras represent an
números. Ahora veremos algo más referent e a est as
expresiones y cómo podemos operar con el las recordando
las propiedades que hemos vist o para las operaciones
arit mét icas.
Definiciones
Comenzaremos por conocer algunos nombres con los
que se ident if ican algunas expresiones algebraicas.
• Se l lama monomio a una expresión algebraica en la que
no hay sumas ni rest as. Por ej emplo:
3xz2, 5y, - w, ab, et c.
111
c) (8 + 3)3 j ) [–19.56 – (–19.56)] 8 q) (3a x 2b)3
d) (3 – 5)4 k) (6z)2 r) [ k–10 ÷ (k5 · k3)]2
e) (2.1 ÷ 0.3)2 l ) (y · z)3 s) (v2 ÷ u3)4
f ) (–5)3 + (–4)3 m) (c ÷ d)7 t ) (p + q)2
g) (10 x 0.23)2 n) (g7 ÷ g3)2
1
2
• Se l lama binomio a la suma o rest a de dos monomios.
Por ej emplo:
–4m + 2n, 7x + 5xy, – 5x + 8, et c.
• Se l lama trinomio a la suma y/ o rest a de t res monomios.
Por ej emplo:
m + n + 4.5n, 7.8x – 5x + x, 9y – 2xy – 17, et c.
• Se l lama polinomio a un binomio, a un t r inomio o a la
suma y/ o rest a de más de t res monomios. Por ej emplo:
8a2 – 27b + 4c – 25, –2k + 0.5k2 – , et c.
• A los monomios que conforman un binomio, t r inomio
o pol inomio t ambién se los l lama términos.
• Un t érmino o un monomio est á compuest o por un número
que mult ipl ica a una o varias variables; est e número se
l lama coeficiente. Por ej emplo, en el t érmino –5 mn el
coef icient e es –5 y las let ras m y n son variables. En
general, cuando el coef icient e es 1, no se escribe:
por ej emplo, en el monomio ab el coef icient e es 1.
Cuando dos monomios t ienen la misma part e l i t eral , es decir,
las mismas let ras con los mismos exponent es, se dice que son
términos semejantes. En los ej emplos ant eriores t enemos los
siguient es t érminos semej ant es:
8, 17 y 25
n, 4.5n y 2n;
112
1
2
1
2
3
4
3
7
5
k
5y, –5y y 9y;
2xy y 5xy;
m y –4m;
7x, 7.8x, 5x y x.
Observe que los t érminos -2k, 0.5k2 y no son t érminos
semej ant es, porque aun cuando en t odos aparece la let ra k, ést a
est á elevada a dist int os exponent es en cada uno de los monomios:
en –2k, el exponent e es 1, en 0.5k2 es 2 y en el exponent e es
–1.
Diga si las siguient es expresiones son monomios, binomios, t r i-
nomios o pol inomios. En el caso en que no sean monomios,
indique cuáles son los t érminos que las componen.
a) 67d + 12.4 ed c) 58.7wqyhk e) 78s – 12r + 41u –34v + 87
b) a – ab + abc – 4 d) t + e + f f ) –5h + 5h
En los siguient es pol inomios indique los t érminos semej ant es:
a) 5 ab4 + a2b – a2b c) –4r – 2s + 28r2
b) m – 7nm + 2m + 2mn d) 6xy + 3x2y – 7xy2 + 2x2y2
113
3
4
5
k
5
k
Ejercicio 1
Ejercicio 2
3
7
3
4
Operaciones con polinomios
En est a sección veremos cómo se opera con pol inomios.
Empezaremos revisando la suma y rest a de pol inomios,
cont inuaremos con la mult ipl icación de pol inomios y
f inal izaremos con la división de un pol inomio ent re un
monomio. Conviene t ener present e en est as operaciones
que los t érminos de un pol inomio est án compuest os de
coef icient es numéricos y de let ras que represent an números,
por lo que est aremos apl icando cont inuament e las propiedades
de las operaciones ent re números reales que revisamos en la
lección 7, así como las propiedades de las operaciones con
exponent es que vimos en la lección 8.
La suma o resta de dos o más polinomios es la suma o
rest a de los monomios o t érminos que los conforman. Por el lo,
el problema de suma o rest a de pol inomios se reduce a conocer
cómo se opera con monomios.
Sólo se pueden resolver las sumas o rest as de monomios
semej ant es, para lo cual se ut i l izan las propiedades de la suma y
rest a ent re números que ust ed ya ha vist o desde primer grado de
secundaria. Cuando t enemos sumas de t érminos no semej ant es, la
dej amos indicada, ya que no se puede avanzar en su resolución.
Veamos los siguient es ej emplos:
Si queremos sumar los monomios 3mn y 4mn, al escribir la
suma ya t enemos un binomio:
3mn + 4mn =
114
Para resolver la suma indicada podemos pensar del siguient e
modo, por un lado t enemos 3 veces el product o mn, y por ot ro
lado lo t enemos 4 veces, si hacemos la suma podemos decir que
t enemos 7 veces el product o mencionado. Ent onces:
3mn + 4mn = 7mn
Un modo más formal de expl icar est e modo de resolver la
operación, es recordando la propiedad dist ribut iva del product o
con respect o de la suma. Volvamos a nuest ro ej emplo:
3mn + 4mn = (3 + 4) mn,
porque si apl icamos la propiedad dist ribut iva al segundo miembro
se obt iene el primero. Como 3 + 4 es 7, l legamos al result ado
ant erior. Est a forma de "ver al revés" la propiedad dist ribut iva
se conoce como sacar f act or común . Se l lama fact or común al
número o let ra que est á como fact or (es decir mult ipl icando),
en dist int os t érminos de un pol inomio. En nuest ro ej emplo, m
y n son fact ores comunes.
El procedimient o que hemos seguido en est e ej emplo puede
general izarse a la suma y a la rest a de dos t érminos semej ant es
cualesquiera:
• El resultado de la suma de términos semejantes es otro
monomio semejante a los anteriores, cuyo coeficiente
es la suma de los coeficientes de los sumandos.
• El resultado de la resta de dos términos semejantes
es otro monomio semejante a los anteriores, cuyo
coeficiente es la diferencia entre los coeficientes
del minuendo y el sustraendo.
115
• Como los coeficientes son números reales, al sumarlos o
restarlos se tendrán en cuenta las reglas de operaciones
de esos números.
Veamos ot ro ej emplo. Supongamos que t enemos una
operación como la siguient e:
el monomio 3x más el binomio 5y – 4x
Primero escribimos el t r inomio result ant e:
3x + 5y – 4x
y luego reordenamos los sumandos para poder operar con los
t érminos semej ant es:
3x + 5y – 4x = 3x – 4x + 5y = (3 – 4) x + 5y = –1x + 5y
Finalment e, como en general no se escribe el coef icient e 1,
t enemos que
3x + 5y – 4x = –x + 5y
Cuando se resuelven sumas o rest as ent re t érminos de un
pol inomio, se dice que se reducen t érminos.
Si queremos sumar dos pol inomios simplement e reordenamos
y agrupamos los t érminos semej ant es de cada uno de el los para
efect uar, como en los ej emplos ant eriores, las operaciones que
sean posibles. Si en el pol inomio aparecen rest as es út i l
escribir las como sumas considerando los inversos adit ivos,
de est a forma será más fácil reagrupar los t érminos.
116
A modo de ej emplo, vamos a efect uar la suma de los
siguient es t res pol inomios:
2x + 4y – 5; 3x – y + 16; 7y + 3
Primero vamos a convert ir las rest as que aparecen en el
primer pol inomio y en el segundo, en sumas
2x + 4y – 5 = 2x + 4y + (–5);
3x – y + 16 = x + (–y) + 16;
Para expresar la suma podemos acomodar los sumandos
uno a cont inuación de ot ro y después reordenar para agrupar
los t érminos semej ant es o podemos acomodar los pol inomios en
posición vert ical de modo que los t érminos semej ant es queden
en la misma columna. Veamos los dos modos:
Primer modo:
2x + 4y + (–5) + 3x + (–y) + 16 + w + 7y + 3 =
= (2x + 3x) + [4y + (–y) + 7y] + w + [ (–5) + 16 + 3]
= (2 + 3) x + (4 – 1 + 7) y + w + 14
= 5 x + 10 y + w + 14
Segundo modo:
2x + 4y + (–5)
3x + (–y) + 16
w + 7y + 3
w + 5x + 10y + 14
117
+
Si quisiéramos rest ar dos pol inomios act uamos de forma muy
similar, más aún, podemos convert ir la rest a ent re los pol inomios
en una suma considerando el inverso adit ivo de cada uno de los
t érminos del sust raendo. Por ej emplo vamos real izar la siguient e
rest a:
Al pol inomio 8a + 5b – 4ab, le vamos a rest ar el pol inomio
3ab –2a + 8. Ent onces t enemos que:
(8a + 5b – 4ab) – (3ab –2a + 8) = (8a + 5b – 4ab) + [–3ab –
(–2a) + (– 8)]
Como ahora se t iene una suma ust ed puede resolverla
del mismo modo en que lo hicimos en el ej emplo ant erior
y segurament e l legará al result ado: 10a + 5b – 7ab – 8.
Veamos a cont inuación cómo efect uar la multiplicación
de polinomios. Aquí se pueden present ar t res sit uaciones que
anal izaremos por separado: el product o de dos monomios, el
product o de un pol inomio por un monomio y el product o de
dos pol inomios.
Para mult ipl icar dos monomios no es necesario que ést os
sean semej ant es. Veamos el siguient e ej emplo
(4 x2) (2 xy)
Como cada monomio expresa una mult ipl icación, t enemos 4
por x2 que mult ipl ica a 2 por x por y, y nosot ros sabemos por las
propiedades conmut at iva y asociat iva del product o que podemos
cambiar el orden de los fact ores y agruparlos como nos convenga,
118
para poder mult ipl icar como ya sabemos hacerlo. La expresión
ant erior se nos conviert e ent onces en:
(4) (2) (x 2) (x) (y) = 8x3y
Habrá observado que al mult ipl icar (x2) (x), usamos
la regla de product o de dos pot encias de igual base, es decir
sumamos los exponent es.
Veamos algunos ej emplos más:
( x) (–3x4) =( ) (–3) (x) (x4) =- x5
(–4pq2) (–p3q5) = 4p4q7
(–0.5k) (7kr) (–2k2r) = 7k4r2
La segunda sit uación que veremos es el product o de un
pol inomio por un monomio. En est e caso apl icamos la propiedad
dist ribut iva y cada vez t enemos el product o de dos monomios.
Por ej emplo:
(3g + 2h) (c) = 3gc + 2hc
Veamos ot ro ej emplo:
(5x + 3xz – 2z2) (xz) = (5x) (xz) + (3xz) (xz) – (2z2) (xz) =
5x2z + 3x2z2 – 2xz3
119
1
2
3
2
1
2
Como el result ado es un pol inomio cuyos t érminos no son
semej ant es, no podemos reducir t érminos, por lo que hemos
t erminado la operación.
Finalment e, para mult ipl icar dos pol inomios apl icamos
t ambién la propiedad dist ribut iva, recordando que debemos
mult ipl icar cada t érmino de un pol inomio por cada t érmino
del ot ro.
Veamos un primer ej emplo: mult ipl iquemos los pol inomios
(5w + 2) y (z + 3). Primero dist ribuiremos el binomio z + 3
mult ipl icándolo por el binomio 5w + 2, y después dist ribuiremos
est e úl t imo mult ipl icándolo por cada uno de los t érminos del
primero:
(5w + 2) (z + 3) = (5w + 2) (z) + (5w + 2) (3) =
= (5w) (z) + (2) (z) + (5w) (3) + (2) (3) =
= 5wz + 2z + 15w + 6
Veamos un segundo ej emplo.
(ab2 + b3) (2a – b) =
Ant es de hacer la mult ipl icación, t al vez result e más sencil lo
si expresamos la rest a del segundo binomio como suma para poder
apl icar la ley de los signos de la mult ipl icación:
(ab2 + b3) (2a – b) = ab2 + b3) [ 2a + (– b) ]
Ahora procederemos a la mult ipl icación y haremos las dos
dist ribuciones de una sola vez:
120