Lección 9: Polinomios

Nosot ros ya hemos t rabaj ado con dist int as expresiones

algebraicas desde el primer curso de secundaria y sabemos

que en las expresiones algebraicas, las let ras represent an

números. Ahora veremos algo más referent e a est as

expresiones y cómo podemos operar con el las recordando

las propiedades que hemos vist o para las operaciones

arit mét icas.

Definiciones

Comenzaremos por conocer algunos nombres con los

que se ident if ican algunas expresiones algebraicas.

• Se l lama monomio a una expresión algebraica en la que

no hay sumas ni rest as. Por ej emplo:

3xz2, 5y, - w, ab, et c.

111

c) (8 + 3)3 j ) [–19.56 – (–19.56)] 8 q) (3a x 2b)3

d) (3 – 5)4 k) (6z)2 r) [ k–10 ÷ (k5 · k3)]2

e) (2.1 ÷ 0.3)2 l ) (y · z)3 s) (v2 ÷ u3)4

f ) (–5)3 + (–4)3 m) (c ÷ d)7 t ) (p + q)2

g) (10 x 0.23)2 n) (g7 ÷ g3)2

1

2

• Se l lama binomio a la suma o rest a de dos monomios.

Por ej emplo:

–4m + 2n, 7x + 5xy, – 5x + 8, et c.

• Se l lama trinomio a la suma y/ o rest a de t res monomios.

Por ej emplo:

m + n + 4.5n, 7.8x – 5x + x, 9y – 2xy – 17, et c.

• Se l lama polinomio a un binomio, a un t r inomio o a la

suma y/ o rest a de más de t res monomios. Por ej emplo:

8a2 – 27b + 4c – 25, –2k + 0.5k2 – , et c.

• A los monomios que conforman un binomio, t r inomio

o pol inomio t ambién se los l lama términos.

• Un t érmino o un monomio est á compuest o por un número

que mult ipl ica a una o varias variables; est e número se

l lama coeficiente. Por ej emplo, en el t érmino –5 mn el

coef icient e es –5 y las let ras m y n son variables. En

general, cuando el coef icient e es 1, no se escribe:

por ej emplo, en el monomio ab el coef icient e es 1.

Cuando dos monomios t ienen la misma part e l i t eral , es decir,

las mismas let ras con los mismos exponent es, se dice que son

términos semejantes. En los ej emplos ant eriores t enemos los

siguient es t érminos semej ant es:

8, 17 y 25

n, 4.5n y 2n;

112

1

2

1

2

3

4

3

7

5

k

5y, –5y y 9y;

2xy y 5xy;

m y –4m;

7x, 7.8x, 5x y x.

Observe que los t érminos -2k, 0.5k2 y no son t érminos

semej ant es, porque aun cuando en t odos aparece la let ra k, ést a

est á elevada a dist int os exponent es en cada uno de los monomios:

en –2k, el exponent e es 1, en 0.5k2 es 2 y en el exponent e es

–1.

Diga si las siguient es expresiones son monomios, binomios, t r i-

nomios o pol inomios. En el caso en que no sean monomios,

indique cuáles son los t érminos que las componen.

a) 67d + 12.4 ed c) 58.7wqyhk e) 78s – 12r + 41u –34v + 87

b) a – ab + abc – 4 d) t + e + f f ) –5h + 5h

En los siguient es pol inomios indique los t érminos semej ant es:

a) 5 ab4 + a2b – a2b c) –4r – 2s + 28r2

b) m – 7nm + 2m + 2mn d) 6xy + 3x2y – 7xy2 + 2x2y2

113

3

4

5

k

5

k

Ejercicio 1

Ejercicio 2

3

7

3

4

Operaciones con polinomios

En est a sección veremos cómo se opera con pol inomios.

Empezaremos revisando la suma y rest a de pol inomios,

cont inuaremos con la mult ipl icación de pol inomios y

f inal izaremos con la división de un pol inomio ent re un

monomio. Conviene t ener present e en est as operaciones

que los t érminos de un pol inomio est án compuest os de

coef icient es numéricos y de let ras que represent an números,

por lo que est aremos apl icando cont inuament e las propiedades

de las operaciones ent re números reales que revisamos en la

lección 7, así como las propiedades de las operaciones con

exponent es que vimos en la lección 8.

La suma o resta de dos o más polinomios es la suma o

rest a de los monomios o t érminos que los conforman. Por el lo,

el problema de suma o rest a de pol inomios se reduce a conocer

cómo se opera con monomios.

Sólo se pueden resolver las sumas o rest as de monomios

semej ant es, para lo cual se ut i l izan las propiedades de la suma y

rest a ent re números que ust ed ya ha vist o desde primer grado de

secundaria. Cuando t enemos sumas de t érminos no semej ant es, la

dej amos indicada, ya que no se puede avanzar en su resolución.

Veamos los siguient es ej emplos:

Si queremos sumar los monomios 3mn y 4mn, al escribir la

suma ya t enemos un binomio:

3mn + 4mn =

114

Para resolver la suma indicada podemos pensar del siguient e

modo, por un lado t enemos 3 veces el product o mn, y por ot ro

lado lo t enemos 4 veces, si hacemos la suma podemos decir que

t enemos 7 veces el product o mencionado. Ent onces:

3mn + 4mn = 7mn

Un modo más formal de expl icar est e modo de resolver la

operación, es recordando la propiedad dist ribut iva del product o

con respect o de la suma. Volvamos a nuest ro ej emplo:

3mn + 4mn = (3 + 4) mn,

porque si apl icamos la propiedad dist ribut iva al segundo miembro

se obt iene el primero. Como 3 + 4 es 7, l legamos al result ado

ant erior. Est a forma de "ver al revés" la propiedad dist ribut iva

se conoce como sacar f act or común . Se l lama fact or común al

número o let ra que est á como fact or (es decir mult ipl icando),

en dist int os t érminos de un pol inomio. En nuest ro ej emplo, m

y n son fact ores comunes.

El procedimient o que hemos seguido en est e ej emplo puede

general izarse a la suma y a la rest a de dos t érminos semej ant es

cualesquiera:

• El resultado de la suma de términos semejantes es otro

monomio semejante a los anteriores, cuyo coeficiente

es la suma de los coeficientes de los sumandos.

• El resultado de la resta de dos términos semejantes

es otro monomio semejante a los anteriores, cuyo

coeficiente es la diferencia entre los coeficientes

del minuendo y el sustraendo.

115

• Como los coeficientes son números reales, al sumarlos o

restarlos se tendrán en cuenta las reglas de operaciones

de esos números.

Veamos ot ro ej emplo. Supongamos que t enemos una

operación como la siguient e:

el monomio 3x más el binomio 5y – 4x

Primero escribimos el t r inomio result ant e:

3x + 5y – 4x

y luego reordenamos los sumandos para poder operar con los

t érminos semej ant es:

3x + 5y – 4x = 3x – 4x + 5y = (3 – 4) x + 5y = –1x + 5y

Finalment e, como en general no se escribe el coef icient e 1,

t enemos que

3x + 5y – 4x = –x + 5y

Cuando se resuelven sumas o rest as ent re t érminos de un

pol inomio, se dice que se reducen t érminos.

Si queremos sumar dos pol inomios simplement e reordenamos

y agrupamos los t érminos semej ant es de cada uno de el los para

efect uar, como en los ej emplos ant eriores, las operaciones que

sean posibles. Si en el pol inomio aparecen rest as es út i l

escribir las como sumas considerando los inversos adit ivos,

de est a forma será más fácil reagrupar los t érminos.

116

A modo de ej emplo, vamos a efect uar la suma de los

siguient es t res pol inomios:

2x + 4y – 5; 3x – y + 16; 7y + 3

Primero vamos a convert ir las rest as que aparecen en el

primer pol inomio y en el segundo, en sumas

2x + 4y – 5 = 2x + 4y + (–5);

3x – y + 16 = x + (–y) + 16;

Para expresar la suma podemos acomodar los sumandos

uno a cont inuación de ot ro y después reordenar para agrupar

los t érminos semej ant es o podemos acomodar los pol inomios en

posición vert ical de modo que los t érminos semej ant es queden

en la misma columna. Veamos los dos modos:

Primer modo:

2x + 4y + (–5) + 3x + (–y) + 16 + w + 7y + 3 =

= (2x + 3x) + [4y + (–y) + 7y] + w + [ (–5) + 16 + 3]

= (2 + 3) x + (4 – 1 + 7) y + w + 14

= 5 x + 10 y + w + 14

Segundo modo:

2x + 4y + (–5)

3x + (–y) + 16

w + 7y + 3

w + 5x + 10y + 14

117

+

Si quisiéramos rest ar dos pol inomios act uamos de forma muy

similar, más aún, podemos convert ir la rest a ent re los pol inomios

en una suma considerando el inverso adit ivo de cada uno de los

t érminos del sust raendo. Por ej emplo vamos real izar la siguient e

rest a:

Al pol inomio 8a + 5b – 4ab, le vamos a rest ar el pol inomio

3ab –2a + 8. Ent onces t enemos que:

(8a + 5b – 4ab) – (3ab –2a + 8) = (8a + 5b – 4ab) + [–3ab –

(–2a) + (– 8)]

Como ahora se t iene una suma ust ed puede resolverla

del mismo modo en que lo hicimos en el ej emplo ant erior

y segurament e l legará al result ado: 10a + 5b – 7ab – 8.

Veamos a cont inuación cómo efect uar la multiplicación

de polinomios. Aquí se pueden present ar t res sit uaciones que

anal izaremos por separado: el product o de dos monomios, el

product o de un pol inomio por un monomio y el product o de

dos pol inomios.

Para mult ipl icar dos monomios no es necesario que ést os

sean semej ant es. Veamos el siguient e ej emplo

(4 x2) (2 xy)

Como cada monomio expresa una mult ipl icación, t enemos 4

por x2 que mult ipl ica a 2 por x por y, y nosot ros sabemos por las

propiedades conmut at iva y asociat iva del product o que podemos

cambiar el orden de los fact ores y agruparlos como nos convenga,

118

para poder mult ipl icar como ya sabemos hacerlo. La expresión

ant erior se nos conviert e ent onces en:

(4) (2) (x 2) (x) (y) = 8x3y

Habrá observado que al mult ipl icar (x2) (x), usamos

la regla de product o de dos pot encias de igual base, es decir

sumamos los exponent es.

Veamos algunos ej emplos más:

( x) (–3x4) =( ) (–3) (x) (x4) =- x5

(–4pq2) (–p3q5) = 4p4q7

(–0.5k) (7kr) (–2k2r) = 7k4r2

La segunda sit uación que veremos es el product o de un

pol inomio por un monomio. En est e caso apl icamos la propiedad

dist ribut iva y cada vez t enemos el product o de dos monomios.

Por ej emplo:

(3g + 2h) (c) = 3gc + 2hc

Veamos ot ro ej emplo:

(5x + 3xz – 2z2) (xz) = (5x) (xz) + (3xz) (xz) – (2z2) (xz) =

5x2z + 3x2z2 – 2xz3

119

1

2

3

2

1

2

Como el result ado es un pol inomio cuyos t érminos no son

semej ant es, no podemos reducir t érminos, por lo que hemos

t erminado la operación.

Finalment e, para mult ipl icar dos pol inomios apl icamos

t ambién la propiedad dist ribut iva, recordando que debemos

mult ipl icar cada t érmino de un pol inomio por cada t érmino

del ot ro.

Veamos un primer ej emplo: mult ipl iquemos los pol inomios

(5w + 2) y (z + 3). Primero dist ribuiremos el binomio z + 3

mult ipl icándolo por el binomio 5w + 2, y después dist ribuiremos

est e úl t imo mult ipl icándolo por cada uno de los t érminos del

primero:

(5w + 2) (z + 3) = (5w + 2) (z) + (5w + 2) (3) =

= (5w) (z) + (2) (z) + (5w) (3) + (2) (3) =

= 5wz + 2z + 15w + 6

Veamos un segundo ej emplo.

(ab2 + b3) (2a – b) =

Ant es de hacer la mult ipl icación, t al vez result e más sencil lo

si expresamos la rest a del segundo binomio como suma para poder

apl icar la ley de los signos de la mult ipl icación:

(ab2 + b3) (2a – b) = ab2 + b3) [ 2a + (– b) ]

Ahora procederemos a la mult ipl icación y haremos las dos

dist ribuciones de una sola vez:

120