Post on 22-Apr-2023
Ruang Lingkup
• Dasar Geometri
• Sistem Koordinat Viewport
• Drawing (Elemen Dasar dan Primitive)• Drawing (Elemen Dasar dan Primitive)
• Matriks
• Transformasi Affine
• Koordinat Homogenous
Dasar Geometri
• Geometri adalah cabang matematikayang bersangkutan denganpertanyaan bentuk,ukuran, posisi relatif tokoh, dan sifatukuran, posisi relatif tokoh, dan sifatruang.
• Geometri digunakan sebagai dasaruntuk menggambar dibidangkomputer
Sistem Koordinat Viewport
• Standar pemetaanpixel/titik adalahmenggunakan Sistemkoordinat kartesian Koordinat Viewport
• Diperlukan persepsiyang sama antaraSistem koordinatviewport dan kartesian +X
+Y
-X
-Y
(0,0)
Koordinat Kartesian
Drawing
• Drawing adalah kegiatan untukmenggambar
• Pada grafika komputer menggunakan primitif grafik dasar.
• Primitif ini memudahkan untuk • Primitif ini memudahkan untuk menggambar pada layar monitor sebagaimana penggunaan persamaan geometrik sederhana.
• Contoh primitif grafik dasar adalah Titik, Garis, Persegi, Kurva, Lingkaran, ellipse.
Matriks
• Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun secara baris dan kolom danditempatkan pada kurung biasa ataukurung siku.
• Koordinat titik disajikan dalam bentukvektor dengan matriks kolom(misal : A(x,y))
• Perkalian matriks dan vektor dapat
2221
1211
aa
aaA
by
bxB
CBA .• Perkalian matriks dan vektor dapatdigunakan untuk transformasi linier suatuvektor
• Sehingga Transformasi Linier dapat …
– Memetakan suatu vektor ke vektor lain
– Menyimpan suatu kombinasi linier
• Suatu sekuens transformasi linier berkorespondensi dengan matrikskorespondennya
CBA .
cy
cx
byabxa
byabxa
by
bx
aa
aa
.22.21
.12.11
2221
1211
Matriks (…)
• Dengan menggunakan matrik tidak perludibuat prosedur-prosedur khusus untuksetiap jenis transformasi tetapi cukupmelakukan perkalian matrik saja.melakukan perkalian matrik saja.
• Isi dari matriks transformasi bergantung pada jenis transformasi yang dilakukan.
Transformasi Affine
• Disebut juga dengan transformasi geometri.
• Pada dasarnya, transformasi merupakan suatuoperasi modifikasi bentuk objek tanpa merusakbentuk dasar dari objek.bentuk dasar dari objek.
• Terdapat 4 macam transformasi Affine :– Translasi
– Rotasi
– Skala
– Shearing
Transformasi Affine (Translasi)
• Adalah transformasidengan menggeser / memindah objek. A(x,y)
A(x’,y’)
txty
x’=x+txy’=y+tyx’=x+txy’=y+ty
Transformasi Affine (Rotasi)
• Rotasi adalah mereposisi semua titik dariobjek sepanjang jalur lingkaran denganpusatnya pada titik pivot.
• Berikut ini adalah rotasi pada pivot (0,0) ; x = r cos(Q)y = r sin (Q)
A(x,y)
A(x’,y’)
P
Q
y = r sin (Q)x’= r cos(Q+ P)
= r cos(Q)cos(P) - r sin(Q)sin(P)y’= r sin(Q+ P)
= r sin(Q)sin(P) + r cos(Q)cos(P)
sehingga diperoleh :
• Rotasi dapat dilakukan dan bergantungpada pivotnya.
x’= x cos(P)-y sin(P)y’= x sin(P)+y cos(P)x’= x cos(P)-y sin(P)y’= x sin(P)+y cos(P)
Transformasi Affine (Rotasi) …
• Untuk pivot pada titik tertentu dapatdigunakan :
x’= xp +(x-xp)*cos(P)-(y-yp)*sin(P)y’= yp+(x-xp)*sin(P)+(y-yp)*cos(P)x’= xp +(x-xp)*cos(P)-(y-yp)*sin(P)y’= yp+(x-xp)*sin(P)+(y-yp)*cos(P)y’= yp+(x-xp)*sin(P)+(y-yp)*cos(P)y’= yp+(x-xp)*sin(P)+(y-yp)*cos(P)
Transformasi Affine (Skala)
• Penskalaandimaksudkan untukmenggandakan setiapkomponen yang adapada objek secara
A(x,y)
A(x’,y’)
pada objek secaraskalar/faktor kali.
• Skalar dapatdilakukan pada salahsatu atau seluruhsumbu atau sebuahtitik
Sumbu x : x’=x*sx; y’=ySumbu x : x’=x; y’=y*sySumbu x & y : x’=x*sx; y’=y*syTitik :x’= xf + (x-xf).sxy’= yf + (y-yf).sy
Sumbu x : x’=x*sx; y’=ySumbu x : x’=x; y’=y*sySumbu x & y : x’=x*sx; y’=y*syTitik :x’= xf + (x-xf).sxy’= yf + (y-yf).sy
Transformasi Affine (Shear)
• Shear adalah bentuktransformasi yang membuat distorsi daribentuk suatu objek, seperti menggeser sisiseperti menggeser sisitertentu.
• Shear hanya berlakupada salah satu sumbuatau sebuah garis yang sejajar pada sumbu.
Sumbu x : x’=x+shx*y ; y’=ySumbu y : x’=x ; y’=shy*x+yGaris x :x’=x+shx*y-shx*yref; y’=yGaris y :x’=x; y’=shy*x+y-shy*xref
Sumbu x : x’=x+shx*y ; y’=ySumbu y : x’=x ; y’=shy*x+yGaris x :x’=x+shx*y-shx*yref; y’=yGaris y :x’=x; y’=shy*x+y-shy*xref
Koordinat Homogenous
• Sistem koordinat homogen adalahsystem koordinat yang mempunyai satudimensi lebih tinggi dari system koordinat yang ditinjau.
• Transformasi homogeneous adalahtransformasi yang menggunakan matrik transformasi yang menggabungkantransformasi yang menggabungkantransformasi translasi, penskalaan, dan rotasi kedalam suatu model transformasi.
• Dengan menggunakan matrik tidakperlu dibuat prosedur - prosedur khususuntuk setiap jenis transformasi tetapicukup melakukan perkalian matrik saja
Koordinat Homogenous (Translasi)
100
010
01 Tx
100
10
001
Ty
100
10
01
Ty
Tx
a. Sejauh Tx c. Sejauh Tx dan Tyb. Sejauh Ty
1
'
'
1100
10
01
y
x
y
x
Ty
Tx
Contoh Transformasi Translasi sejauh Tx dan Ty
Koordinat Homogenous (Rotasi)
100
0)cos()sin(
0)sin()cos(
PP
PP
100
)cos(*)sin(*)cos()sin(
)sin(*)cos(*)sin()cos(
PypPxpypPP
PypPxpxpPP
a. Thd titik(0,0) b. Thd titik(xp,yp)
1
'
'
1100
0)cos()sin(
0)sin()cos(
y
x
y
x
PP
PP
Contoh Transformasi Rotasi Thd titik (0,0)
Koordinat Homogenous (Skala)
100
00
00
Sy
Sx
100
010
00Sx
100
00
001
Sy
100
)1(0
)1(0
SyyfSy
SxxfSx
a. Thd titik(0,0) b. Thd X c. Thd Y d. Thd titik (Xf, Yf)
1
'
'
1100
00
00
y
x
y
x
Sy
Sx
Contoh Transformasi Skala Thd titik (0,0)
Koordinat Homogenous (Shear)
100
010
01 Shx
a. Thd sb. x
100
01
001
Shy
100
010
*1 xrefShxShx
100
*1
001
yrefShyShy
b. Thd sb. y c. Thd grs sejajar sb. x d. Thd grs sejajar sb. y
1
'
'
1100
*1
*1
y
x
y
x
yrefShyShy
xrefShxShx
a. Thd sb. x
Contoh Transformasi Shear
b. Thd sb. y c. Thd grs sejajar sb. x d. Thd grs sejajar sb. y