Geometri, Koordinat Homogen, dan TransformasiAffine

Computer Graphics #03#04#05

Ruang Lingkup

• Dasar Geometri

• Sistem Koordinat Viewport

• Drawing (Elemen Dasar dan Primitive)• Drawing (Elemen Dasar dan Primitive)

• Matriks

• Transformasi Affine

• Koordinat Homogenous

Dasar Geometri

• Geometri adalah cabang matematikayang bersangkutan denganpertanyaan bentuk,ukuran, posisi relatif tokoh, dan sifatukuran, posisi relatif tokoh, dan sifatruang.

• Geometri digunakan sebagai dasaruntuk menggambar dibidangkomputer

Sistem Koordinat Viewport

• Standar pemetaanpixel/titik adalahmenggunakan Sistemkoordinat kartesian Koordinat Viewport

• Diperlukan persepsiyang sama antaraSistem koordinatviewport dan kartesian +X

+Y

-X

-Y

(0,0)

Koordinat Kartesian

Drawing

• Drawing adalah kegiatan untukmenggambar

• Pada grafika komputer menggunakan primitif grafik dasar.

• Primitif ini memudahkan untuk • Primitif ini memudahkan untuk menggambar pada layar monitor sebagaimana penggunaan persamaan geometrik sederhana.

• Contoh primitif grafik dasar adalah Titik, Garis, Persegi, Kurva, Lingkaran, ellipse.

Matriks

• Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun secara baris dan kolom danditempatkan pada kurung biasa ataukurung siku.

• Koordinat titik disajikan dalam bentukvektor dengan matriks kolom(misal : A(x,y))

• Perkalian matriks dan vektor dapat

2221

1211

aa

aaA

by

bxB

CBA .• Perkalian matriks dan vektor dapatdigunakan untuk transformasi linier suatuvektor

• Sehingga Transformasi Linier dapat …

– Memetakan suatu vektor ke vektor lain

– Menyimpan suatu kombinasi linier

• Suatu sekuens transformasi linier berkorespondensi dengan matrikskorespondennya

CBA .

cy

cx

byabxa

byabxa

by

bx

aa

aa

.22.21

.12.11

2221

1211

Matriks (…)

• Dengan menggunakan matrik tidak perludibuat prosedur-prosedur khusus untuksetiap jenis transformasi tetapi cukupmelakukan perkalian matrik saja.melakukan perkalian matrik saja.

• Isi dari matriks transformasi bergantung pada jenis transformasi yang dilakukan.

Transformasi Affine

• Disebut juga dengan transformasi geometri.

• Pada dasarnya, transformasi merupakan suatuoperasi modifikasi bentuk objek tanpa merusakbentuk dasar dari objek.bentuk dasar dari objek.

• Terdapat 4 macam transformasi Affine :– Translasi

– Rotasi

– Skala

– Shearing

Transformasi Affine (Translasi)

• Adalah transformasidengan menggeser / memindah objek. A(x,y)

A(x’,y’)

txty

x’=x+txy’=y+tyx’=x+txy’=y+ty

Transformasi Affine (Rotasi)

• Rotasi adalah mereposisi semua titik dariobjek sepanjang jalur lingkaran denganpusatnya pada titik pivot.

• Berikut ini adalah rotasi pada pivot (0,0) ; x = r cos(Q)y = r sin (Q)

A(x,y)

A(x’,y’)

P

Q

y = r sin (Q)x’= r cos(Q+ P)

= r cos(Q)cos(P) - r sin(Q)sin(P)y’= r sin(Q+ P)

= r sin(Q)sin(P) + r cos(Q)cos(P)

sehingga diperoleh :

• Rotasi dapat dilakukan dan bergantungpada pivotnya.

x’= x cos(P)-y sin(P)y’= x sin(P)+y cos(P)x’= x cos(P)-y sin(P)y’= x sin(P)+y cos(P)

Transformasi Affine (Rotasi) …

• Untuk pivot pada titik tertentu dapatdigunakan :

x’= xp +(x-xp)*cos(P)-(y-yp)*sin(P)y’= yp+(x-xp)*sin(P)+(y-yp)*cos(P)x’= xp +(x-xp)*cos(P)-(y-yp)*sin(P)y’= yp+(x-xp)*sin(P)+(y-yp)*cos(P)y’= yp+(x-xp)*sin(P)+(y-yp)*cos(P)y’= yp+(x-xp)*sin(P)+(y-yp)*cos(P)

Transformasi Affine (Skala)

• Penskalaandimaksudkan untukmenggandakan setiapkomponen yang adapada objek secara

A(x,y)

A(x’,y’)

pada objek secaraskalar/faktor kali.

• Skalar dapatdilakukan pada salahsatu atau seluruhsumbu atau sebuahtitik

Sumbu x : x’=x*sx; y’=ySumbu x : x’=x; y’=y*sySumbu x & y : x’=x*sx; y’=y*syTitik :x’= xf + (x-xf).sxy’= yf + (y-yf).sy

Sumbu x : x’=x*sx; y’=ySumbu x : x’=x; y’=y*sySumbu x & y : x’=x*sx; y’=y*syTitik :x’= xf + (x-xf).sxy’= yf + (y-yf).sy

Transformasi Affine (Shear)

• Shear adalah bentuktransformasi yang membuat distorsi daribentuk suatu objek, seperti menggeser sisiseperti menggeser sisitertentu.

• Shear hanya berlakupada salah satu sumbuatau sebuah garis yang sejajar pada sumbu.

Sumbu x : x’=x+shx*y ; y’=ySumbu y : x’=x ; y’=shy*x+yGaris x :x’=x+shx*y-shx*yref; y’=yGaris y :x’=x; y’=shy*x+y-shy*xref

Sumbu x : x’=x+shx*y ; y’=ySumbu y : x’=x ; y’=shy*x+yGaris x :x’=x+shx*y-shx*yref; y’=yGaris y :x’=x; y’=shy*x+y-shy*xref

Koordinat Homogenous

• Sistem koordinat homogen adalahsystem koordinat yang mempunyai satudimensi lebih tinggi dari system koordinat yang ditinjau.

• Transformasi homogeneous adalahtransformasi yang menggunakan matrik transformasi yang menggabungkantransformasi yang menggabungkantransformasi translasi, penskalaan, dan rotasi kedalam suatu model transformasi.

• Dengan menggunakan matrik tidakperlu dibuat prosedur - prosedur khususuntuk setiap jenis transformasi tetapicukup melakukan perkalian matrik saja

Koordinat Homogenous (Translasi)

100

010

01 Tx

100

10

001

Ty

100

10

01

Ty

Tx

a. Sejauh Tx c. Sejauh Tx dan Tyb. Sejauh Ty

1

'

'

1100

10

01

y

x

y

x

Ty

Tx

Contoh Transformasi Translasi sejauh Tx dan Ty

Koordinat Homogenous (Rotasi)

100

0)cos()sin(

0)sin()cos(

PP

PP

100

)cos(*)sin(*)cos()sin(

)sin(*)cos(*)sin()cos(

PypPxpypPP

PypPxpxpPP

a. Thd titik(0,0) b. Thd titik(xp,yp)

1

'

'

1100

0)cos()sin(

0)sin()cos(

y

x

y

x

PP

PP

Contoh Transformasi Rotasi Thd titik (0,0)

Koordinat Homogenous (Skala)

100

00

00

Sy

Sx

100

010

00Sx

100

00

001

Sy

100

)1(0

)1(0

SyyfSy

SxxfSx

a. Thd titik(0,0) b. Thd X c. Thd Y d. Thd titik (Xf, Yf)

1

'

'

1100

00

00

y

x

y

x

Sy

Sx

Contoh Transformasi Skala Thd titik (0,0)

Koordinat Homogenous (Shear)

100

010

01 Shx

a. Thd sb. x

100

01

001

Shy

100

010

*1 xrefShxShx

100

*1

001

yrefShyShy

b. Thd sb. y c. Thd grs sejajar sb. x d. Thd grs sejajar sb. y

1

'

'

1100

*1

*1

y

x

y

x

yrefShyShy

xrefShxShx

a. Thd sb. x

Contoh Transformasi Shear

b. Thd sb. y c. Thd grs sejajar sb. x d. Thd grs sejajar sb. y