ANÁLISIS ESTRUCTURAL VIGAS (ESFUERZO CORTANTE Y MOMENTO) A TRAVÉSDEL METODO DE INTERPOLACION DE NEWTON

Johanna Jiseth Bojacá Silva, Óscar Mauricio SierraFacultad Tecnológica, Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Bogotá, Colombia.

johannabojacasilva@gmail.comoscarmauriciosierra@gmail.com

Abstract: El documentopresenta el análisisestructural de vigas y lasolución de las mismas através del método deinterpolación de Newton. Eldiseño y estudio de una vigade soporte se debe regir porlas leyes físicas y estáticas,sin dejar de lado lascondiciones de seguridad ypensando en el potencialriesgo que representa para laspersonas que dependan de estesistema. Este análisis que sepresenta solo es una forma demuchas por las cuales sepodría efectuar el cálculo,diseño y fabricación de unaviga, con la expectativa deser exacta y concisa a la horade aplicar, ya que se abarcael tema de varias teoríasmatemáticas y físicas,aplicadas en los métodosnuméricos.

I INTRODUCCIÓN

El análisis y diseño de vigas,es decir, de elementosestructurales que soportan lascargas aplicadas en variospuntos a lo largo del elemento,es una parte compleja de la

física la cual requiere unagran cantidad de tiempo yesfuerzo al realizar loscálculos y generar así unaconclusión final y unaentrega de datos confiable.Las vigas son comúnmenteelementos prismáticos largos yrectos, de acero y aluminioque juegan un papel importantetanto en ingenieríaestructural como en ingenieríamecánica, las vigas de maderase emplean en construcciónresidencial. En la mayor partede los casos las cargas sonperpendiculares al eje de laviga, tales cargastransversales solo causanflexión y corte en la viga.Cuando las cargas no seencuentran en ángulo recto conla viga también se producencargas axiales en ella.

II MARCO TEÓRICO

Elementos de análisis de vigasViga: elementos estructuralesrígidos que soportan lascargas aplicadas en uno ovarios puntos a lo largo delelemento. “ver [1], [2] [3]”

Carga: fuerza o esfuerzo quetiene la cualidad de deformara través de la presiónaplicada en un punto definido.“ver [1], [2] [3]”

Flexión: deformaciónrealizada en el sentidoperpendicular al ejelongitudinal de la viga. “ver[1], [2] [3]”

Momento: efecto físicogenerado al aplicar una fuerzaen una distancia determinada.“ver [1], [2] [3]”

Punto de soporte: punto en elcual descansa el peso de laviga parcialmente permitiendoun apoyo contra los esfuerzos“ver [1], [2]” [3]

Clasificación de las vigas Las vigas se clasifican deacuerdo con la manera en quese encuentran apoyadas, lospuntos de apoyo son aquelloselementos que se utilizan parasostener la totalidad de lascargas contenidas en la vigay están distribuidos a lolargo de ella, estos puntospueden ser, empotramiento,punto fijo o patín móvil. “ver[1], [2] [3]”

Viga en empotramiento es unaviga con un punto de apoyo yque consiste en incrustar unaparte considerable de la vigaen una pared o estructura queservirá de soporte a esta y

sus cargas este tipo de vigase denomina viga empotrada.Esta genera reacciones en losdos ejes x, y. “Ver [3]”

Viga simplemente apoyada esuna viga que puede combinardos tipos de apoyo del mismotipo o combinados,sencillamente la viga estáapoyada en los extremos porlos puntos de apoyodistribuyendo así losdiferentes tipos de cargas enella. .”Ver [3]”

Métodos de análisis de flexiónen una viga

Ecuación diferencial de laelástica

Para entender mejor este temase debe tomar como base laecuación diferencial de laelástica, en la cual serelaciona la curvatura de lasuperficie neutra con elmomento flector en una vigasometida a flexión pura

(1)

Ecuación diferencial de laelástica (fórmula 1)donde (p)es el radio decurvatura, (E)es el módulo deelasticidad del material en elcual está construida la viga,(I) es el momento de inercia

de la sección transversal dela viga y (M(X)) es el momentoflector en el que estásometida la misma. En estecaso, el último término se hadesignado como dependiente dela longitud medida desde unextremo de la viga. “ver [1],[4]”

Método de doble integración Es el más general paradeterminar deflexiones, sepuede usar para resolver casicualquier combinación decargas y condiciones y apoyoen vigas estáticamentedeterminadas e indeterminadas,su uso requiere la capacidadde escribir las ecuaciones delos diagramas de fuerzacortante y momento flectorpara posteriormente obtener laecuación de la pendiente ydeflexión de una viga. Elmétodo de doble integraciónproduce ecuaciones para lapendiente la deflexión entoda la viga por medio delcálculo integral Recordando la ecuacióndiferencial de la elástica

(1)

El producto (E.I) se conocecomo la rigidez de la flexióny en caso que varíe a lo largode la viga, como es el caso deuna viga de seccióntransversal variable debeexpresar en función de X antes

de integrar la ecuacióndiferencial sin embargo parauna viga prismática que es elcaso considerado la rigidez ala flexión es constante Podemos multiplicar ambostérminos por la ecuación delmódulo de rigidez e integrararespecto a X y se plantea:

(2)

Donde C1 es una constante deintegración que depende de lascondiciones de frontera, comola variación de lasdeflexiones es muy pequeña essatisfactoria la aproximación.“ver [4]”

(3)

De modo que con la expresiónanterior se puede determinarque la inclinación de la rectatangente a la curva de laelástica para cualquierlongitud X de la viga

Interpolacion de Newton

Se basa en la obtención de unpolinomio a partir de unconjunto de puntos dado,aproximándose lo mas posible ala curva buscada. La ecuación general para laobtención de la función poreste método es:

(4)Donde las “bi” se obtienenmediante la aplicación de unaserie de funciones incluidasen una tabla dediferencias. “ver [5], [6]”

III DESARROLLO DEL MÉTODO

Calculo de una viga con fuerzadistribuida por el metodo deE.D.O y doble integracion “ver[4],[6],[7]”

Fig 1.Calculo de una viga con fuerzadistribuida

Calculo de las ecuacionesMetodo de equilibrio M=F.d donde + - -

Rj=9000 KgF

Ahora se suman los esfuerzoscortantes

Ri=9000KgF

Cálculo por segmentos deesfuerzo cortante y momentos

Para intervalo 0 ≤ X ≤ 4(primer segmento)

W(x) =

V(x) =

V(x) =

V(x) =

Se suma la magnitud de lareacción del segmento

(5)

Primera integración ecuaciónaplicable para cualquierdistancia X en el intervalo 0≤ X ≤ 4

V= esfuerzo cortante

V(x)=

Segunda integración

M(x)=

M(x)=

(6)

Ecuación de momentos aplicablepara cualquier distancia X enel intervalo 0≤ X ≤ 4

Evaluada en 4

Segundo segmento

W(x)=

V(x)=

(7)

Ecuación para esfuerzocortante

M(x)

(6)

Ecuación para momento en elsegmento 2

V (4)=-9000

M (4)=0

Diagrama de cortante

Fig. 2. Diagrama de cortante

Ecuación de la curva

(8)

Área bajo la curva

(8)

V(x)=

Diagrama de momento

Fig. 3. Diagrama de momento

IV APLICANDO METODO DEINTERPOLACION DE NEWTON. “ver

[6], [7]”

Para V(x)=

para (0, 2, 4, 6, 8)

Tenemos los siguientes datos

TABLA 1DATOS PARA INTERPOLACIÓN

0m 2m 4m 6m 8m 9000N

2250N

0N -2250N

9000N

Realizando la interpolación deNewton tenemos

TABLA 2DATOS DE LA INTERPOLACIÓN

X Fx F(Xi-

1)Xi

F(Xi-1)(Xi-2)

F(Xi-1)(Xi-2)(Xi-3)

F(Xi-1)….

(Xi-5)

0 9000

2 2250 -3375

4 0 -1125

2250

6 -2250

-1125

0 -375

8 -9000

-3375

562.5

93.75

58.593

Por lo tanto el polinomio deinterpolación de Newton es

F(x) 9000-3375(x-0) +2250(x-0)(x-2)-375(x-0) (x-2) (x-4)+58.593(x-0) (x-2) (x-4) (x-6)

Este polinomio nos sirve paraconocer el valor esfuerzocortante cuando se nos dan lasdistancias y el valor de una omás reacciones

V CONCLUSIONES

Al utilizar un método numéricocomo la interpolación deNewton para este tipo decasos, se facilita y se reduceel proceso de encontrar elvalor los diferentes puntos yse tiene la seguridad de quehay menos errores de cálculo

.La metodología empleadapermitió determinar lasvariaciones de los primerosmétodos utilizados paraencontrar las ecuaciones delas vigas estudiadas,cumpliendo con el análisis delcomportamiento dinámico

No se encontraron diferenciasentre los resultados de las

E.D.O y el método de dobleintegración con el métodonumérico de interpolación deNewton

Los métodos numéricos son unaherramienta fundamental en losprocesos de cálculo yplanteamiento de ecuaciones delas diferentes áreas de laingeniería

Ecuaciones y graficas deldocumento

Ecuación 1“ver [1], [4]” Ecuación 2 “ver [4]” Ecuación 3 “ver [4]” Ecuación 4“ver [5], [6]” Ecuación 5, 6, 7 y 8 “ver

[4],[6]” Fig 1.Calculo de una viga

con fuerza distribuida.Fuente propia

Fig. 2. Diagrama decortante. Fuente propia

Fig. 3. Diagrama demomento. Fuente propia

BIBLIOGRAFÍA

[1] Resistencia de materiales–primera parte, teoríaelemental y problemasTimoshenko - vol.1

[2] Mecanica De Materiales(3rd Ed by Ferdinand Beer,Johnston & Dewolf)

[3] Mecanica vectorial paraingenieros, estática,Ferdinand P Beer, E RussellJohnston, octava edicion

[4] Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, Dennis G. ZillLoyola Marymount University, sextaedición

[5] Mecanica para ingenieros,dinámica, J.L Meriam, L.GKraige, tercera edicion

[6] Métodos Numéricos: Resumeny ejemplosTema 2: Aproximación e interpolaciónFrancisco PalaciosEscuela Politécnica Superior de Ingeniería de ManresaUniversidad Politécnica de CataluñaFebrero 2008, Versión 1.4

[7] métodos numéricos paraingeniería, ing. Ricardoseminario Vásquez,http://disi.unal.edu.co/~lctorress/MetNum/LiMetNu2.pdf