Post on 12-Mar-2023
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CHILPANCINGODepartamento de Ciencias de la Tierra
Departamento de Ciencias Básicas
Graciela Castañón Alfaro
Jorge Edgardo Alcaraz Vega
Noviembre de 2013
CÁLCULO DIFERENCIAL Unidad II 4 Álgebra de funciones
Álgebra de funciones
Operaciones entre funciones
Las operaciones elem entales de sum a, resta, m ultiplicación y división -establecidas en principio para relacionar cantidades constantes y posteriorm ente para tratar con cantidades variables- se utilizan tam bién para operar funciones de distinto tipo y obtener por resultado otras nuevas, am pliando de m anera im portante las posibilidades de definición de funciones.
Sean xf y xg dos funciones con dom inios fD y gD respectivam ente. I) La sum a de las dos funciones es otra función cuyo dom inio es el conjunto intersección de los dom inios de los sum andos:
xhxgfxgxf 1 de dom inio gfh DDD1
II) La diferencia de las dos funciones es otra función cuyo dom inio es el conjunto intersección de los dom inios del m inuendo y el sustraendo:
xhxgfxgxf 2 de dom inio gfh DDD2
2
Álgebra de funciones
Operaciones entre funciones III) El producto de las dos funciones es otra función cuyo dom inio es el conjunto intersección de los dom inios de los factores:
xhxgfxgxf 3 de dom inio gfh DDD3
IV) El cociente de las dos funciones es otra función cuyo dom inio es el conjunto intersección de los dom inios del dividendo y el divisor:
xhx
gf
xgxf
4
, con 0xg ; es decir, su dom inio no com prende los
valores de x que hacen que g(x) sea cero.
En la representación gráfica de funciones, definiendo a xfy1 y xgy2 , la sum a de am bas funciones resulta 213 yyy ; cuyo significado es que cada elem ento
gf DDx constituye la abscisa de un punto de la gráfica de la función cuya ordenada es el valor correspondiente de 3y .
3
xcosxy5 X,D5 Y,R5
xcosxy4 X,D4 Y,R4
Álgebra de funciones
Funciones: Dom inio: Rango:
xcosy2 X,D1 Y1,1R1
xy1 X,D2 Y,R2
xcosxy3 X,D3 Y,R3
xcosxy6 X
25,
23
2,
2D6
Y,R6
Ejem. 1)
Ejem. 2)
Ejem. 3)
Ejem. 4)
4
213 yyy xcosxy3
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
xcosy2
xy1
xcosxy3
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
Ejem. 1)
5
214 yyy xcosxy4
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
xcosy2
xy1
xcosxy4
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
Ejem. 2)
6
215 yyy xcosxy5
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
xcosy2
xy1
xcosxy5
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
Ejem. 3)
7
2
16 y
yy xcos
xy6
xcosy2
xy1
xcosxy6
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
X
Y
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
X
Y
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
X
Y
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
X
Y
Ejem. 4)
8
x234 exy X,D4
Y21,R4
x22 ey X,D1 Y,0R1
Funciones: Dom inio: Rango:
31 xy X,D2 Y,R2
x233 exy X,D3
Y,R3
Álgebra de funciones
2xexy 35 X,D5
Y,R5
x2
36 e
xy X,D6
Y154.0,R6
Ejem. 5)
Ejem. 6)
Ejem. 7)
Ejem. 8)
9
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
X
Y
213 yyy x233 exy
x22 ey
31 xy
x233 exy
Ejem. 5)
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
X
Y
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
X
Y
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
X
Y
10
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
X
Y
213 yyy x233 exy
x22 ey
31 xy
x233 exy
Ejem. 6)
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
X
Y
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
X
Y
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
X
Y
11
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
X
Y
213 yyy x233 exy
x22 ey
31 xy
x233 exy
Ejem. 7)
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
X
Y
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
X
Y
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
X
Y
12
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
X
Y
2
13 y
yy x2
3
3 exy
x22 ey
31 xy
x2
3
3 exy
Ejem. 8)
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
X
Y
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
X
Y
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
X
Y
13
Composición de funciones
Sean xf y xg dos funciones con dom inios fD y gD respectivam ente.
La función xgfxgf recibe el nom bre de función compuesta de f con g, o bien función f compuesta g. El dom inio de gf es el conjunto de todas las x del dom inio de g tales que xg esté en el dom inio de f.
A
x
xg
g f
xgf
B
C
gf 14
1x2xf X,D2 Y,R2
Composición de funciones
Funciones: Dom inio: Rango:
xcosxg X,D1 Y1,1R1
La función f compuesta g. se sim boliza gf y se define con la expresión: 1xcos2xcosfxgfxgfxh1
Ejem. 9)
1xcos2xh1 X,D 1h Y1,3R 1h
15
Composición de funciones Ejem. 9)
xcosxg
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
X
Y
1xcos2xcosfxgfxgf
1x2xf
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
X
Y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
X
Y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
X
Y
16
1x2xf X,D2 Y,R2
Composición de funciones
Funciones: Dom inio: Rango:
xcosxg X,D1 Y1,1R1
La función g compuesta f. se sim boliza fg y se define con la expresión: 1x2cos1x2gxfgxfgxh2
Ejem. 10)
1x2cosxh1 X,D 1h Y1,1R 1h
17
Composición de funciones Ejem. 10)
xcosxg -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
X
Y
1x2xf
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
X
Y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
X
Y
1x2cos1x2gxfgxfgxh2
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
X
Y
18
F unciones inversas
Al establecerse clasificaciones de funciones se m encionó la existencia de una función inversa de alguna función biyectiva.
Dada una función inyectiva f con dom inio XD f . codom inio YC f y rango YR f , puede definirse la función g con dom inio fg RD , codom inio XC g y rango XRg com o una función inversa de f . La expresión analítica de la definición de
función inversa es xxff 1 .
1b1
b11
b1 xffyfx
2b1
b21
b2 xffyfx
11b yxf
22b yxf
X
Y
bf
1bf
19
F unciones inversas Determ inar la función inversa de 3xxf 3
Dada la función: 3xxf 3 [1]
De la definición de funciones inversas se tiene: xxff 1 [2]
Sustitución en [1] del valor de x dado por [2]: x3xf 31 [3]
Sum a de (3) en am bos m iem bros de [3]: 3xxf 31 [4] Extracción de raíz cúbica en am bos m iem bros de [4] 31 3xxf [5]
Ejem. 11)
Denom inando xfxg 1 : 3 3xxg
20
F unciones inversas
Ejem. 11)
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
X
Y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
X
Y
3xxf 3
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
X
Y
3 3xxg
21
Sustitución en [1] del valor de x dado por [2]: xxfln 1 [3]
Sim plificación de térm inos de [4] x1 exf [5]
Exponenciando con base e am bos m iem bros de [3]: xx1flnee
[4]
De la definición de funciones inversas se tiene: xxff 1 [2]
F unciones inversas Determ inar la función inversa de xlnxf
Dada la función: xlnxf [1]
Ejem. 12)
Denom inando xfxg 1 : xexg
22
F unciones inversas
Ejem. 11)
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
X
Y
xlnxf
xexg
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
X
Y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
X
Y
23
La definición de funciones inversas im plica, en principio, que no existen funciones inversas para funciones no inyectivas y no Sobreyectivas; sin em bargo, bajo situaciones de restricciones para el dom inio y codom inio de algunas funciones que no son biyectivas, es posible definir funciones inversas en el contexto de dichas restricciones. La función senxxf , cuyo dom inio es XD f y rango Y1,1R f , evidentem ente no es una función biyectiva por no ser sobreyectiva. Por lo tanto no puede existir para este caso una función inversa. Sin em bargo, considerarse la función senxxg con dom inio X
2,
2Dg
, y
codominio Y1,1C g en cuyo caso arcsenxxg 1 es la función inversa de g. Para la relación xgy se tiene, entonces, que senxy y arcsenyx cuyo significado es que el valor de x es la m edida del arco del ángulo cuyo seno vale y .
F unciones inversas
Debe considerarse que el concepto de función inversa no es equivalente al de función
recíproca, pues si bien la función senx
1xcsc es función recíproca de senx , no es la función inversa de senx. 24
25
senxy -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
X
Y
F unciones inversas
arcsenxy
1x,senxy 1-
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
X
Y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
X
Y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
X
Y
26
xcosy -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
X
Y
F unciones inversas
xarccosy
1x,xcosy 1-
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
X
Y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
X
Y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
X
Y
27
xtany -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
X
Y
F unciones inversas
xarctany
2x,xtany 2-
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
X
Y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
X
Y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
X
Y
28
xsecy -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
X
Y
F unciones inversas
xsecarcy
2x,xsecy 2-
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
X
Y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
X
Y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
X
Y
29
xcscy -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
X
Y
F unciones inversas
xcscarcy
x,xcscy -
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
X
Y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
X
Y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
X
Y
Una función xf se considera una función explícita en tanto su definición exhibe el conjunto de operaciones y el orden en que éstas deban realizarse sobre la variable x para determ inar la correspondiente variable y. Se trata, por ello, de una función de dos variables, x y y, que puede denotarse com o y,xF donde la variable ubicada en prim er térm ino tiene carácter de independiente y de dependiente la colocada en segunda instancia. Una función implícita, por lo tanto, es aquella contenida en una expresión m atem ática de igualdad que sí bien perm ite identificar operaciones y orden de realización de éstas sobre una cierta variable, esa identificación no llega a explicar por com pleto, con las relaciones entre las variables, la definición de la variable dependiente. En el caso de una expresión m atem ática que com prenda de m anera im plícita una función, ésta puede definirse de m anera explícita m ediante procedim ientos m atem áticos de transform ación
F unciones implícitass
30
Determ inar xfy de la ecuación 1xy2xcosy .
Factorización de y: 1xcosx21y
Sum a de xcos en am bos m iem bros: xcos1x21y
M ultiplicación de x21
1
en am bos m iem bros: x211xcosy
x211xcosy
, con X,21
21,D y
y Y,00,R y
Ejem. 12)
F unciones implícitass
31