Álgebra Booleana y Simplificación Lógica

M. en C. Erika Vilches

Parte 1

Operaciones Booleanas y Expresiones

• Variable, complemento y literal son los términos utilizados en álgebra booleana.

• Variable → símbolo utilizado para representar una cantidad lógica

• Complemento → el inverso de una variable y se indica con una barra sobre la variable

• Literal → una variable o el complemento de una variable

Suma Booleana: Equivalente a la operación OR

Multiplicación Booleana: Equivalente a la operacion AND

Leyes del Algebra BooleanaLeyes conmutativas

Para la suma de dos variables se escribe:

A + B = B + A

El orden en que se OReen las variables no hace diferencia.

Para la multiplicación de dos variables se escribe:AB = BA

El orden en que se ANDeen las variables no hace diferencia

Leyes asociativas

Para la suma de tres variables se escribe:

A + (B + C) = (A + B) + C

Para la multiplicación de tres variables se escribe:

A(BC) = (AB)C

Cuando se ORean más de dos variables, el resultado es el mismo sin importar la agrupación

Cuando se ANDean dos o más variables, no importa el orden en que se agrupen las variables

Ley Distributiva

Se escribe para tres variables como:

A(B + C) = AB + AC

ORear dos o más variables y ANDear posteriormente el resultado con una sola variable es equivalente a ANDear la variable sola con cada una de las dos o más variables y despues ORear los productos

El proceso inverso (factorización) también es expresado por esta ley. Una variable común se factoriza de los términos.

Reglas del Algebra Booleana

Reglas útiles para manipular y simplificar expresiones Booleanas.

Regla 1. A + 0 = A. Una variable OReada con 0 es siempre igual a la variable.

Regla 2. A + 1 = 1. Una variable OReada con 1 es siempre igual a 1.

Regla 3. A ⋅ 0 = 0. Una variable ANDeada con 0 es siempre igual a 0.

Regla 4. A ⋅ 1 = A. Una variable ANDeada con 1 es siempre igual a la variable.

Regla 5. A + A = A. Una variable OReada con sigo misma es siempre igual a la variable.

Regla 6. . Una variable OReada con su complemento es siempre igual a 1.

Regla 7. A ⋅ A = A. Una variable ANDeada con ella misma es siempre igual a la variable.

Regla 8. . Una variable ANDeada con su complemento es siempre igual a 0.

Regla 9. . El doble complemento de una variable es siempre igual a la variable.

Regla 10. A + AB = A. Esta regla se puede probar aplicando la ley distributiva, la regla 2 y la regla 4.

A + AB = A(1 + B) = A⋅1

= A

Factorización (ley distributiva)Regla 2: (1 + B) = 1Regla 4: A⋅1 = A

Regla 11. . Esta regla se puede probar como sigue:

Regla 12. (A + B)(A + C) = A + BC. Esta regla se puede probar como sigue:

Teoremas de DeMorgan

• El complemento de un producto de variables es igual a la suma de los complementos de las variables

• En otras palabras: El complemento de dos o más variables ANDeadas es equivalente al OR de los complementos de las variables individuales

Primer Teorema de DeMorgan

• El complemento de la suma de variables es igual al producto de los complementos de las variables.

• En otras palabras: El complemento de dos o más variables OReadas es equivalente al AND de los complementos de las variables individuales

Segundo Teorema de DeMorgan

Para el primer teorema de DeMorgan →

Para el segundo teorema de DeMorgan →

Los teoremas de DeMorgan pueden ser aplicados a expresiones con más de dos variables.

Ejemplos:

Tres variables →

Cuatro variables →

Cada variable en los teoremas de DeMorgan puede representar una combinación de otras variables.

Ejemplo:

Si aplicamos a la expresión →obtenemos →

Si a los 2 términos del resultado anterior y les aplicamos individualmente el teorema

nos queda →Si volvemos a aplicar el teorema de DeMorgan a

y a nos queda →

El resultado se podría simplificar más con las reglas y leyes Booleanas, pero ya no más con con los teoremas de DeMorgan

Aplicación de los teoremas de DeMorgan y algebra Booleana a la expresión →

1. Identificar los términos a los que se les puede aplicar los teoremas de DeMorgan y pensar en ellos como si fuesen 1 sola variable. Tomemos y .

2. Dado que ,

3. Utilizar la regla 9 para cancelar las barras dobles sobre el término de la izquierda (esto no es parte de los teoremas de DeMorgan) →4. Aplicar el teorema de DeMorgan al segundo término →5. Utilizar la regla 9 para cancelar las barras dobles sobre →

Ejemplo: Aplique los teoremas de DeMorgan a la siguiente expresión →

Tomemos y . La expresiónse encuentra en la forma y se puede reescribir como →Ahora, aplicar el teorema de DeMorgan al término →

Ejemplo: Aplique los teoremas de DeMorgan a la siguiente expresión →

Tomemos y . La expresiónse encuentra en la forma y se puede reescribir como →Ahora, aplicar el teorema de DeMorgan alos términos y →

Ejemplo: Aplique los teoremas de DeMorgan a la siguiente expresión →

Tomemos , y . La expresiónse encuentra en la forma y se puede reescribir como →Ahora, aplicar el teorema de DeMorgan alos términos , y →