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Conjuntos Ordenados 4

4.1 INTRODUCCION

En temas anteriores hemos comentado las posibilidades que brindan los conjuntos, como estructura lgica adecuada para sistematizar el proceso de la generacin de alternativas. Ahora nos ocuparemos de los casos especiales, en que la asignacin de los elementos de un conjunto se efecta en un orden especfico (permutaciones), o seleccionando un subconjunto con un nmero fijo de elementos (combinaciones), o tomando en cue4nta tanto criterios de seleccin como de ordenacin (variaciones o arreglos).

Por lo tanto, ser til examinar el concepto de orden, el de conjunto ordenado, y el de producto cartesiano de conjuntos.

4.2 NOCION INTUITIVA DE ORDEN

Al tratar la nocin de conjuntos bien definido, entre los diversos requisitos necesarios, hemos mencionado que el orden no es una propiedad importante. Ahora por el contrario, nos interesa considerar conjuntos en que es fundamental el orden en que estn dispuestos los elementos.

Ante todo, Qu es el orden? Una definicin puramente matemtica de orden es complicada, ya que existe ms de una nocin de orden, o mejor dicho, ya que existen diversos tipos de orden. Esencialmente, el orden es una relacin entre los elementos de un conjunto.

A veces, el orden surge de la propia naturaleza de los elementos que forman el conjunto. Por ejemplo, cuando registramos operaciones que siguen un orden cronolgico, tales como los asientos contables de un libro Diario; los resultados de una competencia automovilstica; los alumnos que forman un cuadro de honor; la sucesin de presidentes constitucionales de un pas; etctera.

Otras veces, el orden no es natural, sino que surge de un criterio convencionalmente aceptado. Por ejemplo: el conjunto de los nmeros naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6,, suele ordenarse convencionalmente en sentido creciente; las letras abecedario; en el orden alfabtico convencional.

Nos valdremos ahora de estas formulas y de los conocimientos adquiridos en los dos captulos anteriores, con fines de obtencin y anlisis de informacin administrativa.

3.3 OBTENCION, ANALISIS Y EVALUACION DE INFORMACION: APLIACACIONES

Aplicacin 1

Un mtodo usual en la investigacin de mercado es la tcnica del panel. Consiste en seleccionar una muestra de la poblacin entrevistada repetidas veces a diferentes intervalos de tiempo, en relacin con el consumo de un producto determinado.*

Supongamos una muestra de 2,000 amas de casa, a las que se entrevista preguntndoles si utilizan el desodorante Mgico, para analizar los efectos de la publicidad sobre el consumo. Seis meses despus se entrevista a esas mismas personas para preguntarles si continan utilizndolo y lo mismo ocurre al ao de iniciar la encuesta. Sean P, S y T los conjuntos de personas que respondieron afirmativamente a las entrevistas en la primera, segunda y tercera ocasin. En el cuadro siguiente se especifican los datos obtenidos del trabajo de campo.

Conjuntos Personas que respondieron Entrevistas

Afirmativamente

P838Primera

S827Secunda

T808Tercera

P S542Primera y segunda

P T474Primera y tercera

S T498Segunda y tercera

P S T317Primera, segunda y tercera

Utilizando los diagramas de Ven para tres conjuntos, vamos a determinar la cantidad de usuarios que pertenecen a cada una de las ocho categoras o subconjuntos de usuarios. Estos son los elementos de las regiones R 1 a R 5. Comenzaremos por la parte inferior de la tabla.

Vemos que n (S T) = 498 y que n(P S T) = 317; entonces n (P S T) = n (S T) - n (P S T) =498 317 =181.

En la seleccin de la muestra se utilizan procedimientos cientficos de diseo, proporcionados por la teora de muestreo, una de las ramas de la estadstica matemtica.

En trminos de regiones del diagrama:

n (R 5) = 181.

Se concluye que en la muestra hay 317 personas que respondieron en las tres oportunidades que utilizan el desodorante Mgico, mientras que hay 181 personas que informaron que no usaban el desodorante en la primera encuesta, y respondieron afirmativamente en la segunda y tercera entrevistas.

Analgicamente n (P S) = 542 y n (P S T) =317, de donde n (P S T) = n (P S) - n (P S T) = 542 317 = 225.

O sea: 225 personas respondieron que utilizaban el producto en la primera visita y en la segunda entrevista, pero no en la tercera. En trminos de regiones del diagrama:

n (R 5) = 225.

Se tiene que n (P T) = 474 y n (P S T) = 317, de donde n (P S T) =

n (P T) - n (P S T) = 474 317 = 157.

Esta informacin nos indica que hubo 157 amas de casa que informaron que utilizar el producto en la primera y tercera encuesta, pero no en la segunda.

En trminos de regiones:

n (R 5) = 157.

Se sabe que n (P) = 838, n (P S) = 542, n (P T) = 474 y n (P S T) = 317.

Por lo tanto,

n (P S T) = n (P) - n (P S) - n (P T) + n (P S T) =383 542 474 + 317 =139.

Que corresponde a la regin R 4 . Estos son los consumidores que corresponden afirmativamente solo en la primera encuesta.

Se sabe que n (S) = 827, n (P S)= 542, n (S T)= 498 y n (P S T) = 317.

De donde n (P S T) = n (S) - n (P S) - n (S T) +

+ n (P S T)

= 827 542 498 + 317.= 104.

Que corresponde a la regin R 5

Se tiene que n (T) = 808, n (P T) = 474, n (S T) = 498 y n (P S T) = 317.

De donde

n (P S T) = n (T) - n (P T) - n (S T) + n (P S T)

= 808 474 498 + 317 = 153

Que corresponde a la regin R 1

Finalmente, para determinar el nmero de elementos de la regin R 8 , recurrimos a la frmula del nmero de elementos de la unin.

n (P U S U T) = n (P) + n (S) + n (T) - n (P S) - n (P T) - n (S T) +

+ n (P S T)

= 838 + 827 + 808 542 474 498 + 317 = 1,276.

Por lo tanto n (P S T) = n () - n (P U S U T) = 2,000 1,276 = 724 que corresponde a la regin R 5

Esta es la informacin numrica que hemos podido obtener en base a los datos originales; corresponde ahora interpretarla con fines de anlisis y evaluacin.

Al comparar las cifras de respuestas afirmativas en cada encuesta, parecera que la poblacin de consumidores se mantiene aproximadamente estable, con una leve declinacin: n (P) = 838, n (S) = 827 y n (T) = 808.

Sin embargo, la cifra n (P S T) = 317 est indicando que la cantidad de consumidores fieles al producto es mucho menor.

En trminos porcentuales, las repuestas afirmativas constituyen respectivamente el 41.9 %, 41.4 % de la poblacin muestreada, mientras el porcentaje cautivo de ese mercado es de 15.8 %.

Cmo se explican esas diferencias?

Suponiendo que la informacin original es fidedigna, se puede interpretar as:

n (P S T) = 157 significa que un 7.8% de los consumidores no estuvieron muy convencidos de la propiedades del producto; que en la poca de la segunda encuesta estaban experimentando con algn producto competidor, y que finalmente han regresado al producto original.

ii) n (P S T) = 225 significa que un 11.3 % de los consumidores estaban probando otros productos al momento de responder la tercera encuesta.

iii) n (P S T) = 181 puede interpretarse como el incremento de mercado logrado durante el periodo que se est analizando, que representa el 9% del total.

iv) n (P S T) = 139 puede interpretarse como la disminucin de mercado ocurrida en ese periodo, que es cercana al 7 % del total.

v) tanto n (P S T) = 104 como n (P S T) = 153 representan grupos de consumidores sobre los cuales ha influido la publicidad efectuada en el periodo considerado; un 5.2% probando el producto Mgico en la poca de la segunda encuesta y al no convencerse de sus cualidades volvieron a usar el producto que consuman originalmente. Por otra parte, un 7.6% de los consumidores, estn experimentando con este producto al efectuarse la tercera encuesta.

vi) n (P S T) = 724 significa que un 36.2% del mercado no consume este producto, y que la publicidad no ha tenido ningn efecto sobre esas personas.

vii) en resumen, se puede interpretar que al producto lo conoce un 63.8% de la poblacin sometida a encuesta; que un 15.8% es mercado cautivo del producto; que el efecto neto de la publicidad ha sido aumentar un 2% ese mercado (puntos iii y iv) que a esos 15.8% deben agregarse un 7.8 % de consumidores que han vuelto a usar este producto despus de experimentar con otros; que hay un 11.3% de consumidores no satisfechos, etc. *

Aplicacin 2

Un jefe de publicidad ha entrevistado a 2,000 personas para apreciar los efectos de tres programas radiales. Al tabular los resultados de la muestra ha concluido que:

580 personas escuchaban el programa A

840 personas escuchaban el programa B

920 personas escuchaban el programa C

260 personas escuchaban el programa A y B

220 personas escuchaban el programa A y C

300 personas escuchaban el programa B y C

100 personas escuchaban el programa A, B y C.

Se pregunta:

Cuntas personas escuchaban solo el programa A?, solo el programa B?, solo el programa C?Cuntas personas escuchaban solo los programas A y B?, solo los programas A y C?, solo los programas B y C?Cuntas personas escuchaban el programa B; el C o ambos?Cuntas personas escuchaban al menos uno de los tras programas?Cuntas personas no escuchaban ninguno de los tres programas?

*Aun cuando esta informacin no es concluyente sobre la efectividad de las tcnicas de mercadotecnia y debe complementarse con anlisis especficos de otra ndole, representa un conjunto de informaciones tiles que se derivan de los datos originales, sin costos para los anlisis de mercado.

Datos:

n (A) = 580n (A B) = 260n (A B C) = 100

n (B) = 840n (A C) = 220n () = 2,000

n (C) = 920n (B C) = 300

Solucin:

1. Solo el programa A significa el conjunto A B C, que en un diagrama de Venn corresponde a la regin R 4 . *

En base a los datos disponibles, se tiene que:

n (A B C) = n (A) - n (A B) - n (A C) + n (A B C)

= 580 260 220 + 100 = 200.

2. solo el programa B significa el conjunto A B C, que en un diagrama de Venn, corresponde a la regin R 6 . *

n (A B C) = n (B) - n (A B) - n (B C) + n (A B C)

= 840 - 260 300 + 100 = 380.

3. solo el programa C corresponde al conjunto A B C, o sea a la regin R 1 de un diagrama de Venn.*

Analgicamente a los dos casos anteriores:

n (A B C) = n (C) - n (A C) - n (B C) + n (A B C)

= 920 - 220 300 + 100 = 500.

A B

C

Figura 3.1

Solo los programas A y B corresponden a la regin R 2 de un diagrama de Venn.*

El nmero de elementos se calcula as:

n (A B C) = n (A B) - n (A B C) = 260 100 = 160.

*Vase figura 2.10

2. Solo los programas A y C corresponden al conjunto A B C, o sea a la regin R 4 de un diagrama de Venn.

El nmero de elementos se calcula as:

n (A B C) = n (A C) - n (A B C) = 220 100 = 120.

3. Solo los programas B y C corresponden a la regin R 5 de un diagrama de Venn.

Analgicamente a los dos casos anteriores:

n (A B C) = n (B C) - n (A B C) = 300 100 = 200.

A B

C

Figura 3.2

El programa B, el C, o ambos, en el diagrama de Venn de la figura 3.3 corresponde a la zona rayada.

El nmero de elementos se calcula as:

n (B U C) = n (B) + n (C) - n (B C) = 840 + 920 300 = 1,460.

A B

C

Figura 3.3

Figura 3.3

Al menos uno de los tres programas, se representa grficamente en la zona rayada del diagrama siguiente:

A B

C

Figura 3.3

Figura 3.3

Figura 3.4

El numero de los elementos se calcula as:

n (A U B U C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A B) - n (A C)

n (B C) + n (A B C) =

= 580 + 840 + 920 260 220 300 + 100 = 1,660.

Ninguno de los tres programas corresponde a la zona no rayada en el diagrama anterior (Figura 3.4). Corresponde al conjunto A B C.

Utilizando el resultado de n (A U B U C) se tiene:

n (A B C) = n () - n (A U B U C) = 2,000 1,660 = 340.

La informacin obtenida permite efectuar anlisis semejantes a los del ejemplo anterior.

Aplicacin 3

Un investigador de mercados ha sido contratado para determinar que proporcin de personas de una poblacin dada prefieren tequila, cuantas brandy y cuantas whisky. Es natural que algunas de las personas entrevistadas declaren que les gustan todos los licores mencionados, que algunos gusten tequila y whisky pero no brandy, que algunos gusten whisky solamente etctera. Adems, siempre es posible encontrar algunas personas que no gustan de ningn licor.

El investigador decidi que estas ltimas personas no se incluirn en la muestra y entrevisto a 1,000 personas que gustaban de la menos una de las bebidas listadas. Das despus presento su reporte, informando que la poblacin investigada:

729 gustan tequila (T)

814 gustan brandy (B)

628 gustan whisky (W)

592 gustan tequila y brandy (T y B)

465 gustan tequila y whisky (T y W)

411 gustan brandy y whisky (B y W)

300 gustan de los tres (T, B y W).

La empresa que contrato la investigacin es precavida y sospecha que las entrevistas no son realizadas con honestidad, es decir que algunas de las cifras presentadas provienen de la imaginacin del investigador. Se trata de comprobar esta hiptesis.

Sean:

T = conjunto de personas entrevistadas a las que les gusta el tequila.

B = conjunto de personas entrevistadas a las que les gusta el brandy.

W = conjunto de personas entrevistadas a las que les gusta el whisky.

Entonces:

T U B U W = conjunto de personas entrevistadas.

T B = conjunto de personas entrevistadas a las que les gusta el tequila y el brandy.

T W = conjunto de personas entrevistadas a las que les gusta el tequila y el whisky.

B W = conjunto de personas entrevistadas a las que les gusta el brandy y el whisky.

T B W = conjunto de personas entrevistadas a las que les gusta los tres licores.

De acuerdo con la informacin reportada.

n (T U B U W) = 1,000n (T B)= 592

n (T)= 729n (T W)= 465

n (B)= 814n (B W)= 411

n (W)= 628 n (T B W)= 300.

Si el investigador es veraz, debe confirmarse mediante la frmula del nmero de elementos de la unin de conjuntos, que n (T U B U W) = 1,000.

La formula expresa que:

n (T U B U W) = n (T) + n (B) + n (W) - n (T B) - n (T W) - n (B W)

+ n (T B W)

Y sustituyendo valores se obtiene:

= 729 + 814 + 628 592 465 411 + 300 = 1,003.

Conclusin:

El conjunto de datos presentados en el reporte no es internamente consistente, e indica la necesidad de verificar la veracidad del investigador, o su manejo de al asimtrica.

Aplicacin 4

La cmara de la Industria Textil de la ciudad de Nuble ha efectuado un estudio sobre un grupo de 692 empleados de varias empresas. En lo referente a sexo, estado civil y lugar de origen. Se han obtenido los siguientes resultados:

300 hombres, 230 casados, 370 nacidos en el distrito federal, 150 hombres casados, 180 hombres del distrito federal, 90 casados, del distrito federal y 10 hombres solteros, nacidos fuera del distrito federal.

Se pretende encontrar el nmero de personas correspondientes a los siguientes conjuntos:

El nmero de personas que son hombres, casados y nacidos en el Distrito Federal;El nmero de personas que son mujeres, casadas y nacidas en el interior;El nmero de personas que son mujeres, solteras y nacidas en los Estados;El nmero de personas que cumplen al menos con una de estas condiciones: que sean hombres casados, hombres y nacidos en el Distrito Federal, o casados y nacidos en el Distrito Federal.

Solucin:

Sean H el conjunto de hombres, C el conjunto de casados y D el conjunto de nacidos en el Distrito Federal.

Para responder a las preguntas anteriores, se cuenta on los siguientes datos:

n (H)= 300 n (H C)= 150 n (H C D)= 10

n (C)= 230 n (H D)= 180n ()= 692.

n (D)= 370 n (C D)= 90

Determinar el numero de elementos del conjunto H C D.

n (H) = n (H C D) + n (H C) + n (H D) - n (H C D)

Despejando la incgnita n (H C D); se tiene:

n (H C D) = n (H C D) + n (H C) + n (H D) - n (H)

= 10 + 150 + 180 300 = 40.

Se pide determinar el numero de elementos de H C D.

Razonando en forma anloga se tiene:

n (H C D) = n (C) - n (H C) - n (C D) + n (H C D)

= 230 150 90 + 40 = 30.

Se pide determinar el nmero de elementos de n (H C D)

n (H C D) = n () - n (H U C U D) = - n () - [n (H) + n (C) +

+ n (D) - n (H C) - n (H D) - n (C D) +

+ n (H C D) ]

= 692 [300 + 230 + 370 150 180 90 + 40 ] = 172.

Se pide determinar el numero de elementos de

[ (H C) U (H D) U (C D) ]

n [ (H C) U (H D) U (C D) ] =

= n (H C) + n (H D) + n (C D) - 2n (H C D) =

= 150 + 180 + 90 2(40) = 340.

Aplicacin 5

El Departamento de Prestamos del Instituto de Seguridad Social para Trabajadores del Estado ha efectuado una encuesta entre sus afiliados, como parte de un estudio para la determinacin de prioridades e la asignacin de prstamos personales. Se obtuvieron 2,600 respuestas con los siguientes resultados:

800 afiliados son casados,

1,000 afiliados habitan en vivienda arrendada,

950 afiliados perciben ingresos inferiores a $1,500.00 mensuales,

200 afiliados son casados, no habitan en vivienda arrendada y perciben ingresos superiores a $1,500.00 mensuales,

350 afiliados son casados y habitan en vivienda arrendada,

230 son solteros, habitan en vivienda arrendada y tiene ingresos inferiores a $1,500.00 mensuales,

350 afiliados son casados y perciben ingresos inferiores a $1,500.00 mensuales.

Se pretende determinar:

Cuntos afiliados son casados, habitan en vivienda arrendada y perciben ingresos inferiores a $1,500.00 mensuales?Cuntos afiliados son solteros habitan en vivienda propia y perciben ingresos superiores a $1,500.00 mensuales?Cuntos afiliados son solteros, habitan en vivienda arrendada y perciben ingresos superiores a $1,500.00 mensuales?

Solucin:

Simbolizaremos los conjuntos de la siguiente manera:

C = conjunto de afiliados que son casados,

A = conjunto de afiliados que habitan vivienda arrendada,

Y = conjunto de afiliados que perciben ingresos inferiores a los $1,500.00 mensuales.

Los datos disponibles son:

n (C)= 800 n (C A Y) = 200 n (C Y)= 350

n (A)= 1,000 n (C A) = 350n ()= 2,600

n (Y)= 950 n (C A Y) = 230

Se nos pide determinar n (C A Y).

Una ecuacin til es la siguiente:

n (C A Y) = n (C) - n (C A) - n (C Y) + n (C A Y) (1)

de donde despejamos la incgnita

n (C A Y) = n (C A Y) - n (C) + n (C A) + n (C Y)

= 200 800 + 350 + 350 =100.

Por lo tanto, hay 100 afiliados que son casados, habitan en vivienda arrendada y perciben ingresos inferiores a $1,500.00 mensuales.

Se nos pide determinar n (C A Y).

Sabemos que

n (C A Y) = n (C U A U Y) = n () - n (C U A U Y).(2)

Por lo tanto, recurrimos a la formula

n (C U A U Y) = n (C) + n (A) + n (Y) - n (C A) - n (C Y) (3)

n (A Y) + n (C A Y).

Advertirnos que nos falta el dato n (A Y), por lo que recurrimos a la formula auxiliar:

n (A Y) = n (C A Y) + n (C A Y) = 230 + 100 = 330.

Reemplazando los datos en la formula (3), se tiene

n (C U A U Y) = 800 + 1,000 + 950 350 350 330 + 100 = 1,820

y regresamos a la formula (2)

n () - n (C U A U Y) = 2,600 1,820 =780

lo que significa que hay 780 afiliados que son solteros, habitan en vivienda propia y perciben ingresos mayores de $1,500.00 mensuales.

Se nos pide determinar n (C A Y).

Utilizamos la formula:

n (C A Y) = n (A) - n (C A) - n (A Y) + n (C A Y)

= 1,000 350 330 + 100 = 420.

En consecuencia, hay 420 afiliados que son solteros, habitan vivienda arrendada y perciben ingresos superiores a $ 1,500.00 mensuales.

Siguiendo los procedimientos ya conocidos, se pueden obtener otros datos, interpretarlos y utilizarlos con fines de decisin administrativa.

Aplicacin 6

El Instituto de la Juventud del Estado Huasteco est organizando los equipos de futbol, beisbol y natacin para las prximas mini-olimpiadas.

Hay 900 miembros del Instituto que han manifestado sus deseos de participar en esos eventos deportivos y han cumplido con los exmenes mdicos deportivos. Se haban obtenido los siguientes datos preliminares del primer listado de computadora, cuando repentinamente se interrumpi el servicio elctrico:

400 pueden participar en futbol

390 pueden participar en beisbol

480 pueden participar en natacin

680 pueden participar en futbol o beisbol

210 no pueden participar en ninguno de esos tres deportes

90 participan en los dos primeros pero no en el tercero

190 pueden participar solamente en natacin.

Debido a que el reporte deba llegar a manos de las autoridades del Instituto en menos de media hora, el equipo de anlisis de informacin resolvi aplicar conjuntos para obtener la informacin siguiente:

Cuntos miembros pueden participar en los tres deportes mencionados?Cuntos miembros pueden participar por lo menos en dos de los deportes?

Solucin:

Simbolizaremos a los conjuntos de la siguiente manera:

n (F)= 400 n (F B N) = 210

n (B)= 390 n (F B N) = 90

n (N)= 480 n (F B N) =190

n (F U B) = 680

Se nos pide determinar n (F B N) :

Recurrimos a la frmula del nmero de elementos de la unin

n (F U B) = n (F) + n (B) - n (F B), de donde despejamos n (F B):

n (F B) = n (F) + n (B) - n (F U B) = 400 + 390 680 =110.

Finalmente, en base a la formula

n (F B) = n (F B N) + n (F B N),

se tiene que

n (F B N) = n (F B) - n (F B N) = 110 90 = 20.

Por lo tanto, hay 20 miembros del Instituto que pueden participar en los tres deportes.

Se nos pide determinar

n (F B N) + n (F B N) + n (F B N) + n (F B N),

o lo que es equivalente

n (F B) + n (B N) + n (F N) - 2n (F B N).

sabemos que

n (N) = n (F B N) + n (F N) + n (B N) - n (F B N),

de donde:

n (N) - n (F B N) = n (F N) + n (B N) - n (F B N).

Por lo tanto

n (F B) + n (B N) + n (F N) - 2n (F B N)

= n (F B) + n (N) - n (F B N) - n (F B N)

= 110 + 480 190 20 = 380.

O sea que 380 miembros del Instituto pueden participar por lo menos en dos los equipos.

Aplicacin 7

Los cronistas deportivos de las revistas Deportes, El Grafico, y la Aficin han hecho sus predicciones sobre los cuatro encuentros de futbol que se jugaran el prximo domingo Los ganadores son:

Atlante, Cruz Azul, Amrica y Universidad, segn el cronista de Deportes;

Cruz Azul, Universidad, Atletico Espaol y Guadalajara, segn el cronista de El Grafico;

Jalisco, America, Universidad y Guadalajara, segn el cronista de la Aficion.

Notese que ninguno escogi como ganador al equipo Pachuca.

Usando teora de conjuntos, determine que equipos sern rivales en los cuatro encuentros.

Solucin:

Utilizamos la siguiente simbologa:

T: Atlante

C: Cruz Azul

M: Amrica

V: Universidad

E: Atltico Espaol

G: Guadalajara

J: Jalisco

P: Pachuca

Especificando por comprensin, se define los conjuntos:

D = {d/d es un equipo ganador segn el cronista de Deportes},

R = {r/r es un ganador segn el cronista de El Grafico},

L = {f/f es un equipo ganador segn el cronista de La Aficin},

De donde, especificando por extensin:

D = {T, C, M, V}.

R = {C, V, E, G},

L = {J, M, V, G}.

Usando esta simbologa, podemos determinar los elementos de las ocho regiones de un diagrama de Venn para tres conjuntos, D, R y L.

D R L = {V}D R L = {P}D R L = {C}

D R L = {M}D R L = {G}D R L = {T}

D R L = {E}D R L = {J}

Grficamente:

D R

T CE

M V G

J L

P

Figura 3.3Figura 3.5

Para determinar los equipos rivales, introducimos el concepto de conjuntos opuestos, como aquellos que no comparten ninguna propiedad. Dos conjuntos son opuestos, si la expresin de uno se obtiene de la del otro substituyendo cada conjunto por su complemento.

Son opuestos los conjuntos:

D R L y D R L; D R L y D R L;

D R L y D R L; D R L y D R L.

Por lo tanto, los encuentros sern los siguientes:

Universidad vs. Pachuca, Cruz Azul vs. Jalisco, Guadalajara vs. Atlante,

Amrica vs. Atltico Espaol.

Aplicacin 8

La oficina Ministerial de Transporte, responsable de la planificacin integral del Transporte en el Distrito federal, Ha efectuado una serie de investigaciones a fin de conocer los hbitos de viaje de la poblacin metropolitana.

Los objetivos de la oficina son la aplicacin y mejoramiento de las vas de transporte y el diseo racional de las rutas de autobuses para ello se obtuvieron datos de 2,000 personas sometidas a encuestas al llegar a su destino, con preguntas sobre el medio de transporte ms frecuente utilizado, se consideran cuatro categoras de transporte: automviles particulares, taxis, autobuses y automviles por puestos (taxis colectivos o peseros).

Estos fueron los resultados:

244

personas viajan nicamente

en auto por puesto ( A1)

144

personas viajan nicamente

en auto particular (A2)

84

personas viajan nicamente

en taxi (A3)

336

personas viajan nicamente

en autobs (A4)

24

personas viajan nicamente

en A1, A2 y A3

96

personas viajan nicamente

en A1, A2 y A4

56

personas viajan nicamente

en A1, A3 y A4

36

personas viajan nicamente

en A2, A3 y A4

96

personas viajan nicamente

en A1 y A2

56

personas viajan nicamente

en A1 y A3

224

personas viajan nicamente

en A1 y A4

36

personas viajan nicamente

en A2 y A3

144

personas viajan nicamente

en A2 y A4

84

personas viajan nicamente

en A3 y A4

336

personas no utilizan ninguno de los medios mencionados

24

personas viajan en los cuatro medios mencionados

Para efectos de un anlisis preliminar de la informacin bsica ,se pregunta:

Cuantas personas viajan en automviles por puesto y automviles particulares ?Cuantas personas viaja en automviles por puesto ? Cuantos en automviles particulares ?Cuantas personas viaja en automviles particulares o por puesto ?Cuantas personas viaja en automviles particulares , por puesto en taxis ?Cuantas informaciones (bsicas y derivadas) forman un conjunto completo de informacin que genera este problema?

Solucin:

n(A1 A2 A3 A4 )= 224

n(A1 A2 A3 A4 )=96

n(A1 A2 A3 A4 )=144

n(A1 A2 A3 A4 )=56

n(A1 A2 A3 A4 )=84

n(A1 A2 A3 A4 )=224

n(A1 A2 A3 A4 )=336

n(A1 A2 A3 A4 )=36

n(A1 A2 A3 A4 )=24

n(A1 A2 A3 A4 )=144

n(A1 A2 A3 A4 )=96

n(A1 A2 A3 A4 )=84

n(A1 A2 A3 A4 )=56

n(A1 A2 A3 A4 )=24

n(A1 A2 A3 A4 )=36

n(A1 A2 A3 A4 )= 336

Aplicaciones

Estos datos son suficientes detallados (16 categoras disjuntas) como para admitir una representacin tabular .por ejemplo, la siguiente tabla resumen condensa toda la informacin:

A1

A1

A2

A1

A2

A2

A3

A4

96

224

144

336

A4

96

224

144

336

A3

A4

24

56

36

84

A4

24

56

36

84

Tabla 3-1

El nmero de personas que viajan en automvil por puestos y automviles particulares es el siguiente :

n (A1 A2)= n(A1 A2 A3 A4 )+n(A1 A2 A3 A4 )+

+ (A 1 A 2 A3 A4) + n (A1 A2 A3 n A4) =

=24+96+96+24=240

Para determinar el nmero de personas que viajan en automvil por puesto, sumamos el nmero de elementos de los conjuntos que intervienen A1:

n(A1)

=

n (A1 A2 A3 A4 )

+

n (A1 A2 A3 A4 )

+

+

n (A1 A2 A3 A4 )

+

n (A1 A2 A3 A4 )

+

+

n (A1 A2 A3 A4 )

+

n (A1 A2 A3 A4 )

+

+

n (A1 A2 A3 A4 )

+

n (A1 A2 A3 A4 )

=

=

224+ 24+ 96 + 56+ 224 + 24 = 800

Este valor puede verificarse operando sobre la tabla 3.1.

2. El nmero de personas que viajan en automvil particular se determina en forma similar, as

n (A2)

=

n (A1 A2 A3 A4 )

+

n (A1 A2 A3 A4 )

+

+

n (A1 A2 A3 A4 )

+

n (A1 A2 A3 A4 )

+

+

n (A1 A2 A3 A4 )

+

n (A1 A2 A3 A4 )

+

+

n (A1 A2 A3 A4 )

+

n (A1 A2 A3 A4 )

+

=

144+24+96+36+96+36+144+24= 600

Este valor se puede obtener operando directamente en la tabla ,

As:

n(A2) = n(A A2) + (A A2 )= 240 + 360 =600.

El nmero de personas que viajan en automviles particulares o por puestos:

n(A1 U A2) = n(A1) + n(A2) n(A1 A2)

=800 + 600 240 = 1,160.

Este valor se comprueba tambin as, utilizando informacin derivada.

n(A1 U A2) = n(A1 A2) + n (A1 A2) + n (A A2)

=240+560+360 = 1,160

El nmero de personas que viajan en automviles particulares ,automviles por puesto y taxis son :

n(A1 A2 A3) = n(A1 A2 A3 A4 ) + n(A1 A2 A3 A4)

=24 + 24 = 48.

Las informaciones bsicas y derivadas que genera este problema son los siguientes:

n()

n(A1)

n(A1)

n(A3)

n(A3)

n(A2)

n(A2)

n(A4)

n(A4)

n(A1 A2)

n(A1 A3)

n(A1 A4)

n(A1 A2)

n(A1 A3)

n(A1 A4)

n(A1 A2)

n(A1 A3)

n(A1 A4)

n(A1 A2)

n(A1 A3)

n(A1 A4)

APLICACIONES

n(A2 A3)

n(A2 A4)

n(A3 A4)

n(A3 A3)

n(A2 A4)

n(A3 A4)

n(A2 A3)

n(A2 A4)

n(A3 A4)

n(A2 A3)

n(A2 A4)

n(A3 A4)

n(A1 A2 A3)

n(A1 A2 A3)

n(A1 A2 A3)

n(A1 A2 A3)

n(A1 A2 A3)

n(A1 A2 A3)

n(A1 A2 A3)

n(A1 A2 A3)

n(A1 A2 A4)

n(A1 A2 A4)

n(A1 A2 A4)

n(A1 A2 A4)

n(A1 A2 A4)

n(A1 A2 A4)

n(A1 A2 A4)

n(A1 A2 A4)

n(A1 A3 A4)

n(A1 A3 A4)

n(A1 A3 A4)

n(A1 A3 A4)

n(A1 A3 A4)

n(A1 A3 A4)

n(A1 A3 A4)

n(A1 A3 A4)

n(A2 A3 A4)

n(A2 A3 A4)

n(A2 A3 A4)

n(A2 A3 A4)

n(A2 A3 A4)

n(A2 A3 A4)

n(A2 A3 A4)

n(A2 A3 A4)

Y adems 16 datos originales en que intervienen los 4 conjuntos y sus complementos. En total se tienes en 81 informaciones diferentes

Aplicacin 9

En la asamblea general de una sociedad annima, en la que participaron 950 accionistas, se discuti la iniciativa de incrementar el capital social

470 Accionistas posean preferentes

104 Accionistas con acciones preferentes votaron por la proposicin.

350 Accioncitas del grupo mayoritario con acciones comunes, votaron a favor de la proposicin

113 Accionistas del grupo mayoritario votaron contra la proposicin

Entre los accionistas que tomaron parte de la votacin, los del grupo mayoritario superaban en 50 a los grupos minoritarios.

278 Accionistas del grupo minoritario, con acciones preferentes votaron en contra de la misma

La iniciativa fue aprobada por 54 votos de margen

Elaborar un anlisis detallado de los resultados de la votacin obteniendo la mxima informacin posible de los datos posibles, a fin de lograr un mejor conocimiento de las caractersticas de ese cuerpo decisor

Solucin:

Para este anlisis disponemos de tres clases de informacin:

Referente al grupo que pertenece Referente al tipo de acciones que poseen,Referente a la forma en que emitieron su voto.

Simbolizaremos por:

M = Al conjunto que representa al grupo mayoritario

(y por M = al al grupo que representa al grupo minoritario);

F = Al conjunto que representa a los accionistas que votaron a favor

( y por F = al conjunto de los accionistas que votaron en contra );

C = Al conjunto que representa a los accionistas que poseen acciones comunes

( y por C = al conjunto que accionistas que poseen acciones preferentes ).

Los datos disponibles, se resume as:

n( )

= 950

n ( M F )

= 113

n(C)

= 470

n (M)-n (M)

= 50

n(F C )

= 104

n (M F C)

= 278

n( M F C )

= 350

n ( F ) -n ( F )

= 54.

n() = 950

Figura 3.6

El numero de accionistas del grupo minotario n(M)

n(M) + n(M) = 950 (1)

n(M) - n(M) =50

2n(M) =950 50 = 900

Luego n(M) = 900/2 = 450.

El numero de accionistas que votaron en contra, n(F), se obtiene despejando en (1) :

n(M) = () n (M) = 950 450 = 500

El numero de accionistas que votaron en contra ,n(F), se obtiene as:

n(F) + n(F) = 950 (2)

n(F) - n(F)=54

2n(F) = 950 54 = 896

Luego n(F) = 896 = 448

2

El numero de accionistas que votaron a favor , n(F), se obtiene despejando en ( 2 )

n(F) = n() n(F) = 950 -448 = 502.

El numero de accionistas que poseen acciones comunes , n(C):

Dato : n(C) = 470

n(C) = 950

n(M) = 500 n(M) = 450

n(F) = 502 n(F) = 448

n(C) = 480 n(C)= 470*

*Dato del problema

CONJUNTOS

Para los desarrollos siguientes consideraron las siguientes figuras :

Figura 3.7

Figura 3.8

Los accionistas del grupo mayoristas que votaron a favor , n( M F ), se obtiene de la formula n ( M ) = n ( M F )+ n( M F ),

Despejando n( M F ) y utilizando el dato n( M F) = 113. Esto es

n( M F ) = n( M ) (M F)= 500 113 = 387.

Los accionistas del grupo minoritario que votaron a favor ,n( M F), se obtiene de la formula : n( F ) = n( M F ) + n( M F ),

despejando n ( M F ) y utilizando el dato n( M F ) = 387.

Esto es: n( M F ) =n( F ) n( M F ) = 502 -387 = 115.

Los accionistas del grupo minoritario que votaron en contra n ( M F ), se obtiene asi:

n( M F) = n() n ( M F )

= n() [n(M F) + n( M F ) + n( M F) ]

= 950 [ 113 + 387 + 115 ]

= 950 615 = 335.

Los accionistas que poseen accione comunes y votaron a favor ,n ( F C ), se obtiene de la formula : n( F ) = n( F C ) + n ( F C) despejando n( F C ) y utilizando el dato n( F C) = 104 esto es:

n( F C ) = n(F) - n( F C) = 502 -104 = 398.

APLICACIONES

10. Los accionistas que votaron en contra y poseen acciones comunes, n (F C), se obtienen de la formula n(C)=n (F C)+n (F C), utilizando el dato n (F C)=398. Esto es:

n (F C)= n(C) - n (F C)=480 398 = 82

11. Los accionistas que votaron en contra y poseen acciones preferentes

n(F C), se obtienen as:

n(F C)= n() - n(F C)

= n() [n(F C)+ n(F C)+n(F C)]

= 950 [104 + 398 + 82]

= 950 584 = 366

Para los desarrollos siguientes consideremos las siguientes figuras

Figura 3.9figura 3.10

12. El numero de accionistas que votaron a favor, del grupo minoritario que poseen acciones preferentes, n(M F C), se obtiene de la formula:

n(F)= n(M F C) + n(M F) + n(F C) - n(M F C), despejando n(M F C) y utilizando el dato n(M F C) = 350 y las cifras calculadas:

n(M F C) = n(F) - n(M F) - n(F C) + n(M F C)

= 502 387 -398 + 350 = 67

13. Los accionistas del grupo minoritario que poseen acciones preferentes n(M ), se obtienen de la formula siguiente: n(M ) = n(M F C) + n(M F C) = 67 +278 =345

14. Los accionistas del grupo mayoritario que poseen acciones preferentes, n(M C), pueden calcularse utilizando la frmula:

n(C) = n(M ) + n(M )

Despejando n(M ), se tiene:

n(M ) = n(C) - n(M ) = 470 345 = 125

15. Los accionistas del grupo minoritario que poseen acciones comunes, n(M ), se deducen utilizando la formula:

n(M) = n(M ) + n(M ) y despejando n(M ), como sigue:

n(M ) = n(C) - n(M ) = 500 125 = 375

16. Los accionistas del grupo minoritario que poseen acciones comunes, n(M ), se obtienen de la formula:

n(C) = n(M ) + n(M ), despejando n(M ), como sigue:

n(M ) = n(C) - n(M ) = 480 375 = 105

Los datos que hemos obtenido en los puntos 6 y 16, se resumen as:

n(M F) = 387 n(F C) = 398 n(M ) = 375

n(M F) = 115 n(F C) = 82 n(M ) = 105

n(M F) = 113 n(F C) = 104* n(M ) = 125

n(M F) = 335 n(F C) = 366 n(M ) = 345

17. Los accionistas del grupo mayoritario que votaron a favor y poseen acciones preferentes, n(M F ), son:

n(M F ) = n(M F) - n(M F ) = 387 350 = 37

18. Los accionistas del grupo mayoritario que votaron en contra y poseen acciones comunes, n(M F ), son:

n(M F ) = n(M ) - n(M F ) = 375 -350 = 25

19. Los accionistas del grupo minoritario que votaron a favor y poseen acciones comunes:

n(M F ) = n(F ) - n(M F ) = 398 350 = 48

20. El numero de accionistas del grupo minoritario, que votaron en contra y poseen acciones comunes, n(M F ), se obtiene as:

n(M F ) = n(C) - n(M ) - n(F ) + n(M F ) = 480 375 398 + 350 = 57

21. El numero de accionistas del grupo mayoritario, que votaron en contra y poseen acciones preferentes, n(M F ), se obtiene as:

n(M F ) = n(M) - n(M ) - n(M ) + n(M F ) = 500 387 375 + 350 = 88

Los datos que hemos obtenido en los puntos 12 y 17 a 21, se resumen as:

n(M F )= 350*n(M F )= 278*

n(M F )= 37n(M F )= 57

n(M F )= 25n(M F )= 67

n(M F )= 48n(M F )= 88

En consecuencia, se tienen todas estas informaciones:

n(M)= 500n(M)= 450

n(F)= 502n(F)= 448

n(C)= 480n(C)= 470*

n(M ) = 387 n(F ) = 398 n(M ) = 375

n(M ) = 115 n(F ) = 82 n(M ) = 105

n(M ) = 113* n(F ) = 104* n(M ) = 125

n(M ) = 335 n(F )= 366 n(M ) = 345

n(M F )= 350*n(M F )= 278*

n(M F )= 37n(M F )= 57

n(M F )= 25n(M F )= 67

n(M F )= 48n(M F )= 88

n()= 950*

Se han obtenido 27 informaciones bsicas y derivadas. Hemos agotado todas las posibilidades de obtencin de informacin para este problema.

*Dato del problema.

Figura 3.11

3.4 PROBLEMAS DE EJERCITACION

El departamento de publicidad del Palacio de Bronce efecta una encuesta a un grupo seleccionado de 1,000 clientes, de entre todos los que abrieron su cuenta de crdito en el pasado mes de Diciembre. Se les pregunta si su crdito fue utilizado para comprar artculos para el hogar, artculos de vestir o juguetes. Los resultados de la encuesta se han tabulado as:

MercancaNm. De Personas

Artculos para el Hogar275

Artculos de vestir400

Juguetes550

Artculos para el Hogar y de Vestir150

Artculos para el Hogar y Juguetes110

Artculos de vestir y Juguetes250

Artculos de vestir, del Hogar y Juguetes100

Se pregunta:

Cuntas personas no usaron su crdito en ninguna de esas tres mercancas?Cuntas personas utilizaron su crdito solo para comprar artculos de vestir?, solo para artculos del hogar?, solo para Juguetes?

Un investigador de Mercados efecta una encuesta sobre los hbitos de Lectura de Peridicos de la Ciudad de Crdoba, con los siguientes resultados:

9.8% leen El Clarn

22.9%leen El Mercurio

12.1%leen La Sensacin

5.1%leen El Clarn y El Mercurio

APLICACIONES

3.7 % leen El clarn y La sensacin

6.0% leen El Mercurio y La sensacin

32.4% leen almenos uno de los tres peridicos mencionados.

Calcular el porcentaje de personas que:

A ) no leen ninguno de los tres peridicos mencionados

B) leen exactamente dos de los peridicos.

La compaa central de suministros Metlicos, distribuidora de artculos de ferretera , ha adquirido un lote de tornillos a granel en una subasta en la Direccin de Aduanas. Una muestra de 500 tornillos revelo que estos pueden utilizarse a tres diferentes operaciones bsicas , como se indica a continuacin

255 para la operacin A

215 para la operacin C

25 para la operacin A y C exclusivamente

125 para la operacin A y B

105 para la operacin B exclusivamente

395 para la operacin A o C

60 para la operacin B y C

Determine:

A ) el numero de tornillos que pueden utilizarse en las tres operaciones ;

B ) el numero de tornillos que son desechados.

En una encuesta por la Panificadora Real se entrevistaron a 10 amas de casa sobre su preferencia a los tres productos que fabrican. Se obtienen los siguientes datos

130 personas compran nicamente pan de caja

88 personas compran nicamente pan negro

32 personas compran nicamente mantecado

144 personas compran nicamente pan de caja y pan negro exclusivamente

86 personas compran pan negro y mantecado exclusivamente

90 personas compran exclusivamente pan de caja y mantecado

205 personas compran los tres productos

Se pregunta:

Cuantas personas consumen consumen almenos pan de caja o pan negro Cuantas personas no consumen los productos que fabrica esta panificando?Analice la informacin obtenida. En casos de ser necesario obtenga la informacin adicional que requiere ese anlisis mediante operaciones entre conjuntos.

CONJUNTOS

En una investigacin a los hbitos de fumar del consumidor se efectu una encuesta y se obtuvo la siguiente informacin:

55% fuman cigarros P

50% fuman cigarros Q

40% fuman cigarros R

10% fuman de las tres marcas de cigarro

20% fuman las dos primeras pero no la tercera

18% no fuman las dos primeras pero si la tercera

7% no fuma ninguna de las marcas mencionadas o no fuma

Se pregunta:

Qu porcentaje fuma por lo menos dos marcas de cigarros?Qu porcentaje fuma exactamente dos de las marcas?

En caso de los conjuntos se tiene 2 regiones de una diagrama de Venn,y las 3 informaciones bsicas y derivadas A, A y .

En caso de dos conjuntos se obtiene 4 regiones y 9 informaciones distintas

Indique cuales son las 9 informaciones ;Cuantas regiones tiene un diagrama de de Venn de 3 conjuntos y cuantas informaciones bsicas y derivadas proporciona?Cuantas regiones tiene diagrama de Venn para 4 conjuntos y cuanta informacin proporciona?Induzca 2 formulas generales ; una para el numero de regiones de un diagrama de Venn con n conjuntos y otra para el numero de informacin bsica y derivadas que se obtiene que se obtiene para el caso de n conjuntosLa compaa ALUM, fabricantes de aluminio en lingotes, que tiene su oficina matriz en Bruselas y varias sucursales en Europa , piensa iniciar un plan de expansin estableciendo sucursales en varios pases latinoamericanos , de los cuales Mxico ser el primero. Con este objeto necesita seleccionar entre sus empleados actuales un grupo de 20 tcnicos , cuya misin ser ( durante los prximos dos aos ) la de asesorar al construccin de la planta y ponerla en operacin , una vez la fabrica trabaje normalmente y con personal Mexicano , el equipo de tcnicos se dirigir a otro pas y repetir el mismo proceso.

Cualquier candidato ser elegible si rene los siguientes requisitos:

Hablar correctamente espaolSer solteroEstar en la disponibilidad de proporcionar a la casa matriz otro tcnico que pueda remplazar en su puesto actual ( durante los prximos dos aos ), mientras el este en Mxico

Durante la semana pasada se entrevistaron los posibles candidatos con los resultados siguientes

Total de personas entrevistadas 40

Personas que hablan espaol 25

Personas solteras 24