Universidad De Guayaquil

Facultad de Ingeniería Industrial

Proyecto de Aula de

Matemática

TEMA:

Teoria de lós Conjuntos

INTEGRANTES

Saúl Coloma

Eddy Melgar

Gustavo Ortega

Adrian Mosquera

DOCENTE:

Ing. Johanna Galarza Alay

CARRERA:

Licenciatura en Sistemas de la Información

Índice

1.- Introducción

1.1 objetivos generales

1.2 objetivos específicos

2.- Lógica proposicional de los conjuntos

3.- Números naturales principio de inducción

4.- Noción Intuitiva de conjuntos

5.- Operaciones entre Conjuntos

6.- DIAGRAMAS DE VENN

7.- Relación entre la Teoría de Conjuntos y la

Lógica Proposicional

8.- Proposiciones con Cuantificadores

9.- Conjuntos finitos: Combinatoria

10.- Conclusión

Anexos

1.- Introducción

Este proyecto se enfoca en la teoría de los conjuntos

de manera sencilla y explicita, como también sus

funciones y representación, proporcionándonos una

visión clara de los conjuntos.

Es de singular importancia en la ciencia matemática y

objeto de estudio de una de sus disciplinas más

recientes, está presente aunque en forma informal,

desde los primeros años de formación del hombre.

Desde el momento que el ser humano tomó entre sus

manos un puñado de piedras u observó un grupo de

animales, tomó conocimiento del "conjunto". Sin

embargo, por tratarse de conceptos matemáticos

debemos fijar con exactitud el significado de cada

término para no dar lugar a contradicciones o

interpretaciones erróneas.

1.1 Objetivos generales

Conseguir que el futuro los estudiantes apliquen

los conocimientos adquiridos mediante una

breve pero clara exposición de ejercicios varios,

estudiados en ele presente periodo del curso de

nivelación

1.2 Objetivos específicos

Suprimir algunos mitos, como que las

matemáticas son complicadas.

Lograr que el estudiante sienta “amor” por las

matemáticas

2.- Lógica proposicional

Una proposición es cualquier enunciado lógico al que se le pueda

asignar un valor de verdad (1) o falsedad (0).

Dada una proposición p, se define la negación de p como la

proposición p' que es verdadera cuando p es falsa

y que es falsa cuando p es verdadera. Se lee "n o p".

A partir de una o varias proposiciones elementales se pueden efectuar

diversas operaciones lógicas para construir

nuevas proposiciones; en este caso, se necesita conocer su valor de

verdad o falsedad en función de los valores de

las proposiciones de que se componen, lo cual se realiza a través de

las tablas de verdad de dichas operaciones.

Por ejemplo, la tabla de verdad de la negación es la siguiente:

A continuación se describen las principales operaciones lógicas entre

dos proposiciones p, q y sus tablas de verdad:

Conjunción: Es aquella proposición que es verdadera cuando p y q son

verdaderas, y falsa en cualquier otro caso.

Se escribe p q, y se lee "p y q".

p q p q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

p p'

1 0

0 1

Ejemplo:

p =” El numero 4 es par”

q =”Siempre el residuo de los números pares es 2 ″

Entonces…

p^q: “El numero 4 es par y Siempre el residuo de

los números pares es 2″

p =” El numero mas grande es el 34”

q =”El triangulo tiene 3 lados″

Entonces…

p^q: “El numero mas grande es el 34 y El triangulo tiene 3

lados”

Disyunción: es aquella proposición que es verdadera cuando al menos

una de las dos p o q es verdadera, y falsa en caso contrario. Se escribe

p q, y se lee "p o q".

p q p q

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Ejemplos:

p =” El numero 2 es par”

q =” la suma de 2 + 2 es 4″

Entonces…

Pvq: “El numero 2 es par o la suma de 2 + 2 es 4″

p =” La raíz cuadrada del 4 es 2”

q =” El numero 3 es par″

Entonces…

Pvq: “La raíz cuadrada del 4 es 2 o el numero 3 es par”

Disyunción exclusiva: es aquella proposición que es verdadera cuando

una y sólo una de las dos p o q es verdadera, y falsa en cualquier otro

caso. Se escribe p q, y se lee "p o q pero no ambas". Se usa muy

poco.

p q p q

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Condicional: es aquella proposición que es falsa únicamente cuando

la condición suficiente p es verdadera y la condición necesaria q es

falsa. Se escribe p q, y se lee "si p entonces q".

p q p q

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

Ejemplos:

p: “llueve”

q: “hay nubes”

p→q: “si llueve entonces hay nubes”

p: “Hoy es miércoles”

q: “Mañana será jueves”

p→q: “Si Hoy es miércoles entonces Mañana será jueves”

Bicondicional: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q

tienen el mismo valor de verdad, y falsa en caso contrario. Se escribe

p q, y se lee "si y sólo si p entonces q".

p q p q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Ejemplo:

p: “10 es un número impar”

q: “6 es un número primo”

p↔q: “10 es un número impar si y solo si 6 es un número primo”

p: “3 + 2 = 7”

q: “4 + 4 = 8”

p↔q: “3 + 2 = 7 si y solo si 4 + 4 = 8″

Una proposición se dice que es una tautología si su valor de verdad es

siempre 1 independientemente de los valores

de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p p'.

Una proposición se dice que es una contradicción si su valor de verdad

es siempre 0 independientemente de los valores

de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p p'.

Una paradoja es una proposición a la que no se le puede asignar ningún

valor de verdad; suelen estar relacionadas con

incorrecciones en el lenguaje lógico. Por ejemplo: p="la proposición p

es falsa".

3.- Números naturales: principio de

inducción

Admitimos como intuitivo el concepto de número natural; así,

podemos enumerar los números naturales en orden creciente:

N = {1, 2, 3, 4,5,...}

Cuando se quiere demostrar que una proposición relativa a números

naturales es cierta, se necesita el Principio de Inducción:

"Sea S el conjunto de números naturales para los que la proposición p(n) es cierta; supongamos que

m S

Y que

n S n+1 S

Entonces S = {m, m+1, m+2,...}"

(Es decir, la propiedad se verifica para todo número natural a partir

de m; normalmente se usa con m = 1).

Algunas veces, cuando se quiere demostrar que la proposición es

cierta para n+1, es necesario usar que la proposición

se verifica para todo k < n+1; en ese caso se utiliza el Principio de

Inducción completa:

"Sea S el conjunto de números naturales para los que la proposición p(n) es cierta; supongamos que”

m S

y que

m,m+1, ... ,n S n+1 S

Entonces S = {m, m+1, m+2,...}"

4.- NOCION INTUITIVA DE CONJUNTO

Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y

diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.

Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de

pertenencia a A.

En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a A.

Ejemplos de conjuntos:

o : el conjunto vacío, que carece de elementos.

o N: el conjunto de los números naturales.

o Z: el conjunto de los números enteros.

o Q: el conjunto de los números racionales.

o R: el conjunto de los números reales.

o C: el conjunto de los números complejos.

Se puede definir un conjunto:

o por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.

o por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los

caracteriza.

Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si

se define por extensión,

o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por

ejemplo:

o A := {1,2,3, ... ,n}

o B := {p Z | p es par}

Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de

B o que A es una parte de B),

y se denota A B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir,

a A a B.

Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si

simultáneamente A B y B A;

esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la

misma propiedad característica).

Para cualquier conjunto A se verifica que A y A A;

B A es un subconjunto propio de A si A y B A.

El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se

llama partes de A, y se denota (A).

Entonces, la relación B A es equivalente a decir

B (A). Ejemplos:

Si A = {a, b} entonces (A) = {, {a}, {b}, A}.

Si a A entonces {a} (A).

Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que

son partes de uno dado U,

se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia.

5.- OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto A B:=

{a A | a B}.

Asimismo, se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto

A B:= (A B) A

Si A (U), a la diferencia U A se le llama complementario de

A respecto de U,

y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano).

Es fácil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se

verifica:

o ' = U .

o U ' = .

o (A')' = A .

o A B B' A’.

o Si A = { x U | p(x) es una proposición verdadera} entonces

A' = { x U | p(x) es una proposición falsa}.

Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por

objetos que son elementos de A o de B,

es decir: A B := { x | x A x B}.

Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado

por objetos que son elementos de A y de B,

es decir: A B := {x | x A x B}.

6.- DIAGRAMAS DE VENN

Los conjuntos de suelen representar gráficamente mediante

"diagramas de Venn", con una línea que encierra a sus elementos.

Así, todas las operaciones entre conjuntos se pueden representar

gráficamente con el fin de obtener una idea más intuitiva.

COMPLEMENTO: A B

Ejemplo:

UNION: A B

Ejemplo:

INTERSECCION: A B

DIFERENCIA: A B

DIFERENCIA SIMETRICA: A B

Ejemplo:

7.- RELACION ENTRE LA TEORIA DE

CONJUNTOS Y LA LOGICA

PROPOSICIONAL

Existe una relación muy estrecha entre la Teoría de Conjuntos y la

Lógica Proposicional.

Para mostrar dicha relación, denotemos por letras mayúsculas A, B

... los conjuntos y por las correspondientes minúsculas a,b ... sus

propiedades características (es decir, la proposición lógica que

caracteriza a los elementos de cada conjunto); entonces se tiene la

siguiente correspondencia:

conjuntos A = B A B A B A' A B A B

proposiciones a a b a b a' a b' a b

Además, el conjunto vacío se corresponde con una contradicción y el

conjunto universal con una tautología.

Mediante esta correspondencia, todos los resultados sobre conjuntos

se pueden reescribir en términos de lógica

proposicional y viceversa; a modo de ejemplo:

A ( A B ) = A a ( b c ) a

A ( B C ) = ( A B ) (

A C )

a ( b c ) ( a b ) (

a c )

( A B )' = A' B' ( a b )' a' b'

8.- PROPOSICIONES CON

CUANTIFICADORES

Los símbolos (cuantificador universal) y (cuantificador

existencial) se utilizan en Matemáticas para

enunciar proposiciones lógicas relativas a objetos matemáticos.

Sea A un conjunto y p(x) una proposición o propiedad que hace

referencia a un elemento x.

(1) Cuantificador universal: La expresión

x A p(x)

se lee "para todo x que pertenece a A se verifica p(x)", representa la

proposición

{ x A : p(x) } = A

(2) Cuantificador existencial: La expresión

x A | p(x)

se lee "existe x que pertenece a A tal que p(x)", representa la

proposición

{ x A : p(x) }

La negación de cualquiera de las dos proposiciones anteriores se

realiza negando la proposición p(x)

y cambiando el cuantificador universal por el cuantificador

existencial, o viceversa.

Así, la negación de la x A x A |

p(x)' ", mientras que

x x A p(x)' "

9.- Conjuntos finitos: Combinatoria

La Combinatoria es la parte de las Matemáticas que se dedica al

estudio de los conjuntos finitos.

Puesto que la propiedad principal de estos conjuntos es que se puede

representar su número de elementos

mediante un número natural (llamado cardinal de dicho conjunto),

la tarea básica de la Combinatoria es

precisamente el cálculo del cardinal de dichos conjuntos.

Para dicho cálculo se necesita definir los llamados números

combinatorios:

(1) Números factoriales: se define n! mediante la ley de recurrencia

n! = n · (n-1)!

Y la condición inicial 0! := 1. De forma iterativa, se tiene

n! = n · (n-1) · (n-2) ·... · 3 · 2 · 1

n! es el número de permutaciones de n elementos, es decir, es el

número total de formas de ordenar n elementos de todas las formas

distintas posibles.

(2) Coeficientes binomiales: se definen por la fórmula

El número "n sobre k" es el número de combinaciones de n

elementos tomados de k en k, es decir, el número de subconjuntos

distintos de k elementos que tiene un conjunto con n elementos.

Los coeficientes binomiales tienen dos propiedades básicas:

(a)

(b)

Como aplicación de los números combinatorios y del Binomio de

Newton, podemos contar el número total de subconjuntos que tiene

un conjunto A con n elementos, es decir, el cardinal de partes de A;

para ello, notemos que el número de tales subconjuntos se obtiene

sumando el número de subconjuntos de 0 elementos más los de 1

elemento, más los de 2 elementos, y así hasta los de n elementos, es

decir:

Pero esta cantidad corresponde a desarrollar mediante el binomio de

Newton la expresión

(1+1)n = 2n

Así pues se obtiene que # (A) = 2n si # A = n.

10.- Conclusión:

La conclusión es que un conjunto es la agrupación de elementos

considerados como objetos, ya que los objetos pueden ser cualquier

cosa como personas, números, frutas, letras, figuras, etc. y que cada

uno de esos objetos son miembros que forman un conjunto.

Bibliografía.-

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONT

ENIDOS/Conjuntos/marco_conjuntos.htm

https://matedisunidad3.wordpress.com/ca

tegory/3-1-2-proposiciones-compuestas-

disyuncion-conjuncion-negacion-

condicional-bicondicional/

http://es.slideshare.net/search/slideshow?

searchfrom=header&q=teoria+de+los+conj

untos