Teori Probabilitas Sukardi Malik, M.Si

sukardi@consultant.com

Konsep Dasar Probabilitas

Percobaan random :

Adalah percobaan yang hasilnya tidak dapat diketahui/diramalkan

sebelum eksperimen tersebut dilakukan namun dapat diketahui

semua hasil yang mungkin dari percobaan random dapat.

Ruang Sampel (S):

Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan random

Kejadian (Event) : Merupkan himpunan bagian dari ruang sampel

Contoh-contoh percobaan random, ruang sampelnya

dan kejadian (Event ):

1. Eksperimen dilakukan dengan melemparkan mata uang kemungkinan hasil

S={G,A} G= Gambar, A= Angka

E = {G} atau E = {A}

2. Melemparkan sebuah dadu, kemungkinan hasilnya:

S={1,2,3,4,5,6}

E himpunan hasil yang ganjil sehingga E={1,3,5,}

3. Melemparkan 2 buah mata uang, dimana 2 mata uang tesebut dibedakan

S= {(G,A), (A,G) , (G,G), (A,A)}

E= {(G,G), (A,A)}

Contoh-contoh percobaan random, ruang sampelnya dan

kejadian (Event ):

4. Percobaan mengukur „life time’ dari sebuah komponen listrik . Misalkan X

menyatakan „life time’ (dalam bulan)

S= {x; x 0}

E = adalah kejadian dimana „life time’ dari komponen listrik maksimum 10 bulan

E = {x; 0 x 10 }

5. Percobaan mengukur jumlah kendaraan yang lewat di pintu gerbang tol tiap lima

menit.

S = { x; x: 0,1,2,3,4…….}

E = adalah kejadian dimana jumlah kendaraan yang lewat paling tidak 5 E = {x; x 5 }

Gabungan (UNION) dan Irisan (INTERSECTION) dari 2 Kejadian

F

𝑬 ∪ 𝑭

Misalkan E dan F adalah kejadian-kejadian

dari sebuah percobaan random, maka

gabungan E dan F ditulis 𝑬 ∪ 𝑭

Irisan E dan F ditulis 𝐸 ∩ 𝐹 adalah

himpunan yang anggotanya merupakan

anggota E dan anggota F

Contoh :

E= {0, 1,2,3} F= {2,3,4,5}

Maka ∶ 𝑬 ∩ 𝐹 = {2,3}

𝑬 ∪ 𝑭 = {0,1,2,3,4,5}

Contoh :

Dua buah dadu berbeda warna dilemparkan, E1 adalah

kejadian dimana jumlah kedua mata dadu genap sedangkan E2

adalah kejadian dimana selisih kedua mata dadu maksimum

sama dengan 2.

a. Tuliskan E1 dan E2 berapa jumlah anggota masing-masing?

b. Tuliskan E1 E2 dan E1 E2 Berapakah jumlah anggota

masing-masing

c. Apakah E1 dan E2 saling asing?

Operasi Dari Union, Intersection, Complement Dari Sebuah

Kejadian (Event)

Operasi Dari Union, Intersection, Complement Dari Sebuah Kejadian (Event)

[Lanjutan….]

1. Idempoten

a. E ∩ E = E

b. E ∪ E = E

2. Identitas E U E = E, E ∩ Ø = Ø, E U Ø = E ,

E ∩ S =E , E U S =S, (EC)C = E

3. De Morgan a. (E U F)C = EC ∩ FC

b. (E ∩ F)C = EC U FC

4. Absorpsi

a. E ∩(E U F)= E b. E U(E ∩ F)= E

Menghitung Titik Sampel

1. Aturan Perkalian

Contoh persoalan: Akan dibentuk sebuah regu yang terdiri dari dua anggota, yaitu satu orang

laki-laki dan satu orang perempuan. Anggota laki-laki akan dipilih dari 4 laki-

laki dan anggota perempuan dipilih dari 8 perempuan yang terdaftar.

Berapa banyak kemungkinan regu yang terjadi?

Dengan menganggap pemilihan laki-laki sebagai hasil percobaaan 1, dan pemilihan perempuan sebagai hasil percobaan 2, maka banyaknya kemungkinan regu yang

terjadi adalah 4x8 = 32 kemungkinan regu

Jika operasi pertama dapat dilakukan dengan n1 cara dan setiap

cara ini dilanjutkan dengan operasi kedua yang dapat dilakukan

dengan n2 cara, dan setiap cara sebelumnya dilanjutkan lagi

dengan operasi ketiga yang dapat dilakukan dengan n3 cara

dan seterusnya sampai deretan k buah operasi, maka semua

operasi tersebut dapat dikerjakan secara bersama-sama dengan

n1 x n2 x n3 x …. x nk cara

Contoh

Sebuah plat nomor kendaraan untuk kota Surabaya teridi dari

3 huruf dan 4 angka. Huruf pertama adalah L diikuti dengan 4

angka (angka pertama tidak boleh dimulai dengan 0) dan 2

huruf. Berapa banyaknya jenis plat nomor dapat dibuat ?

Definisi : Permutasi adalah susunan yang dapat dibentuk dari

sekumpulan objek yang dipilih sebagian atau seluruhnya.

Teorema :

Jika ada n buah benda yang berbeda maka banyaknya

permutasi dari n benda tersebut adalah P(n,n)=n!

Catatan : P(n,n) dibaca permutasi tingkat n dari n

n! = n x(n-1) x(n-2) x … (3) x (2) x (1)

0! =1

2. Permutasi (susunan berbeda)

1. Misalkan dalam suatu kelas terdiri dari 6 mahasiswa dan 4

mahasiswi, semua akan disusun berdasarkan hasil ujiannya.

Jika tidak ada dua atau lebih yang mendapat nilai yang

sama, maka banyaknya urutan yang mungkin adalah ?

2. Misalkan kita memiliki 3 buah buku matematika, 4 buku fisika

dan 5 buku kimia. Jika semua buku-buku tersebut akan

disusun memanjang dalam suatu rak buku dan tiap buku

dibedakan, maka berapa banyaknya susunan berbeda yang

mungkin?

Jika ditambahkan satu aturan lagi bahwa buku yang sejenis

harus dikelompokkan,maka berapa susunan berbeda yang

mungkin?

Contoh

Teorema :

Jika benda sejenis tidak dibedakan, banyaknya permutasi dari n

buah benda denga n1 benda memiliki jenis pertama, n2 benda

memiliki jenis kedua dan seterusnya hingga nk benda memiliki jenis

ke-k adalah :

n !

n1! x n2! x … x nk !

Dengan n1 + n2 + … + nk = n

Contoh : Tentukan banyaknya permutasi (susunan huruf yang

berbeda) yang dapat dibuat dengan menggunakan huruf-huruf

yang terdapat pada kata “MATEMATIKA”

Teorema :

Banyaknya permutasi dari n benda yang berbeda jika diambil r

benda sekaligus (disebut permutasi tingkat r dari n) adalah :

P(n,r) =

Contoh

Suatu panitia yang terdiri atas 3 orang dengan perincian seorang

sebagai ketua, seorang sebagai sekertaris dan seorang sebagai

bendahara akan dipilih dari 8 orang yang tersedia. Maka banyaknya

susunan panitia yang berbeda yang mungkin adalah ?

n ! (n - r) !

Jawab : P(8,3) = 8 !

(8 - 3) ! = 336 buah

3. Kombinasi

Definisi : Kombinasi adalah kelompok yang dapat dibentuk dari

sekumpulan obyek yang dipilih sebagian atau seluruhnya.

Ilustrasi. “Misalkan kita memiliki empat huruf yaitu A, B, C, D dan

dari huruf tersebut dipilih tiga buah huruf tanpa memperhatikan

susunan huruf terpilih. Maka banyaknya kombinasi dari huruf yang

terpilih adalah : ABC, ABD, ACD, BCD, yaitu 4 buah kombinasi.

Sebenarnya dapat juga dihitung sebagai :

4 !

3! x (4-3) ! = 4 kombinasi

Teorema :

Banyaknya kombinasi dari n benda yang berbeda jika dipilih

sebanyak r buah benda adalah :

C(n,r) = n !

r ! x (n-r)!

Contoh. “Misalkan sebuah panitia yang terdiri atas 3 orang akan

dipilih dari 4 pasang suami istri yang tersedia. Maka banyaknya

panitia berbeda yang dapat dibentuk adalah :

C(8,3) = 8 !

3 ! x (8-3)! = 56 buah

Jika contoh soal diatas ada syarat tambahan bahwa panitia yang

terbentuk harus terdiri atas 2 pria dan 1 wanita, maka banyaknya

panitia berbeda yang mungkin adalah??

Latihan

1. Tentukan banyaknya cara berbeda untuk melakukan kegiatan

berikut :

a. Menanam 8 pohon yang berbeda dalam posisi memanjang?

b. Menanam 4 pohon akasia, 3 pohon cemara dan 5 pohon

mangga dalam posisi memanjang jika pohon sejenis tidak

dibedakan?

2. Dari 4 laki-laki dan 5 perempuan, berapa banyak kemungkinan

kelompok belajar yang terdiri atas 3 orang yang dapat dibentuk

a. Jika tidak ada syarat apa-apa?

b. dengan 1 laki-laki dan 2 perempuan?

Aksioma Probabilitas

Jika sebuah dadu dilempar, maka

himpunan semua kejadian yang mungkin

adalah:

S= {1,2,3,4,5,6}

Perhatikan suatu kejadian E yaitu

munculnya permukaan dadu bermata

ganjil, maka

E= {1,3,5}

Lakukan percobaan berulang dengan merubah jumlah pelemparan (n), maka

akan diperoleh jumlah munculnya E (n(E))

yang berbeda-beda. Misalnya hasilnya

dapat dilihat pada Tabel berikut:

n n(E) n(E)/n = frekuensi relatif

munculnya E

10 3 3/10 =0,3

100 45 45/100 =0,45

1000 505 505/1000=0,505

10000 4957 4957/10000=0,4957=0,5

Dari contoh di atas terlihat bahwa frekuensi relatif munculnya E atau

n(E)/n akan cenderung semakin stabil keangka tertentu (dalam contoh

ini stabil ke angka 0,5) seiring dengan bertambahnya jumlah

pelemparan (n).

S= ruang sampel

E= event (E ⊂ S)

n(E) = jumlah kejadian E muncul dalam sebuah experiment Secara umum nilai peluang meunculnya E dapat di nyatakan sebagai :

Aksioma Probabilitas 1. Probabilitas adalah nilai antara 0 dan 1 yang merupakan hasil

suatu proses atau eksperimen/pengamatan

2. Peristiwa bahwa A tidak terjadi disebut komplemen A dengan lambang A‟. Jika P(A) merupakan probabilitas kejadian A maka P(A‟)= 1- P(A)

3. Jika peristiwa A dan B ME, maka probabilitas A dan B terjadi bersama adalah 0

4. Jika persitiwa A dan B ME, maka probabilitas baik A atau B terjadi adalah jumlah probabilitas masing-masing

P(A atau B) = P(A U B) = P(A) + P (B)

Aksioma probabilitas (lanj.) 5. Jika peristiwa A dan B not ME, maka probabilitas baik A atau B terjadi

adalah P(A atau B)= P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

6. Jika dua peristiwa saling dependen, maka probablilitas kondisional B terjadi setelah A terjadi adalah P(B/A)= P(A dan B)/P(A)

7. Jika peristiwa A dan B independen, probabilitas bahwa baik peristiwa A

dan B akan terjadi adalah:

P(A dan B) = P(A ∩ B) = P(A) x P(B)

5. Jika peristiwa A dan B dependen, probabilitas bahwa A dan B akan terjadi adalah:

P(A dan B)= P(A ∩ B) = P (A) x P(B/A)

Menghitung Probabilitas

Peluang = jumlah kemungkinan hasil suatu kejadian

jumlah total kemungkinan hasil

2. Sebuah regu bola basket 3 orang terdiri atas seorang guard,

seorang forward, dan seorang center. Jika seorang pemain

diambil secara acak dari masing-masing tiga regu yang ada,

berapa peluang memperoleh sebuah regu yang lengkap ?

Berapa peluang bahwa ketiga orang yang terpilih bermain

pada posisi yang sama ?

3. Akan diselenggarakan malam kesenian di fakultas MIPA dan

untuk tujuan itu dibentuk kepanitiaan yang terdiri yang terdiri

atas 4 orang yang dipilih dari 3 mahasiswa Biologi, 4 mahasiswa

Kimia, 4 mahasiswa Matematika, dan 3 mahasiswa Fisika.

Hitunglah peluang bahwa panitia itu terdiri atas

a. 1 orang dari setiap program studi,

b. 2 mahasiswa Kimia dan 2 mahasiswa matematika saja,

c. Mahasiswa biologi dan mahasiswa Fisika saja

soal

Peluang Bersyarat

Contoh persoalan

Misalkan 2 buah dadu merah dan biru dilemparkan, kejadian-kejadian yang

mungkin dapat dilihat pada tabel berikut

Contoh soal 3.1

Dari 35 pasangan suami isteri, tinggi suami dapat di katagorikan kedalam 2

katagori, yaitu kurang atau sama dengan 165 cm dan diatas 165 cm

sedangkan tinggi isteri dibagi atas : diatas 150 cm dan maksimum 150 cm .

Jumlah masing-masing pasangan untuk setiap katagori dapat dilihat pada

tabel berikut.

Diantara pasangan-pasangan yang tinggi suaminya lebih dari 165 cm,

berapakah peluang isteri dari pasangan tersebut memiliki tinggi diatas 150 cm?