STATISTIKA DESKRIPTIF :Ukuran Numerik

ARIF RAHMAN

1

Statistika DeskriptifBidang statistika yang merangkum dan

menyajikan data dalam ukuran numerik atau format tabulasi dan grafis, sehingga memudahkan untuk menginterpretasikan dan menganalisa data tersebut.

Menunjukkan fitur dasar data ilmiah (scientific data) dalam format yang teratur (manageable form) dan ringkasan yang lebih sederhana (simpler summary).

2

Statistika DeskriptiveRekapitulasi, menyajikan data mentah atau

yang telah diolah dalam bentuk daftar (list) atau tabulasi (table)

Grafis, menyajikan ilustrasi data dalam bentuk peta (chart), grafik (graph) atau diagram

Ukuran Numerik, menyajikan statistik data dalam ukuran pemusatan (center tendency) atau sebaran (dispersion)

3

Ukuran NumerikUkuran Numerik menunjukkan nilai statistik dari data sampel atau ukuran parameter dari data populasi dalam bentuk :Pemusatan Sebaran

Mean Variance Median Standard Deviation Mode Range

Skewness & Kurtosis Quartile, Decile, Percentile

4

Pemusatan dan Sebaran: Populasi dan Sampel

5

6

MeanRata-rata (mean) adalah ukuran numerik

yang menunjukkan rerata (average) dari sejumlah data.

Berdasarkan teorema limit sentral (central limit theorem), sebagai parameter dari distribusi normal populasi dinotasikan dengan , sedangkan sebagai statistik sampel dinotasikan dengan x.

Peringatan : Mean untuk menghitung rerata dari data (variabel acak) bukan frekuensi.

7

MeanTerdapat beberapa ukuran mean :

Rata-rata Hitung (Arithmetic Mean) Rata-rata Berbobot (Weighted Arithmetic Mean) Rata-rata Terpenggal (Trimmed Mean) Rata-rata Ukur (Geometric Mean) Rata-rata Harmoni (Harmonic Mean) Rata-rata Akar Kuadrat (Root Mean Square)

8

Arithmetic Mean9

n

x

nxxxx

n

ii

n

1

21

N

x

Nxxx

N

ii

n

1

21

Di mana :ẍ = arithmetic meanxi = data ke-ii = indeks urutan datan = banyaknya data

Di mana : = arithmetic meanxi = data ke-ii = indeks urutan dataN = banyaknya data

POPULASI SAMPEL

Weighted Arithmetic Mean10

n

ii

n

iii

n

nn

w

xw

wwwxwxwxwx

1

1

21

2211

.

...

Di mana :ẍ = weighted arithmetic meanxi = data ke-ii = indeks urutan datan = banyaknya data

Trimmed Mean11

ban

xx

bn

aii

1

Di mana :ẍ = trimmed meanxi = data ke-ii = indeks urutan datan = banyaknya dataa = banyaknya data sebelah kiri (left tail) yang dihilangkanb = banyaknya data sebelah kanan (right tail) yang dihilangkan

Geometric Mean12

nn

ii

nn

x

xxxG

1

21.

Di mana :G = geometric meanxi = data ke-ii = indeks urutan datan = banyaknya data

n

x

nxxx

xxxG

n

ii

n

nn

1

21

21

log

.log.loglog

Harmonic Mean13

n

i i

n

x

nxxx

nH

1

21

1

111

Di mana :H = harmonic meanxi = data ke-ii = indeks urutan datan = banyaknya data

Root Mean Square14

n

x

nxxxRMS

n

ii

n

1

2

222

21

Di mana :RMS= root mean squarexi = data ke-ii = indeks urutan datan = banyaknya data

MedianMedian adalah ukuran numerik yang

menunjukkan nilai tengah yang membagi sejumlah data menjadi dua bagian yang sama banyak.

Untuk memperoleh median, maka data diurutkan terlebih dahulu dari yang terkecil hingga terbesar.

Peringatan : Tidak ada median untuk data nominal yang tidak mempunyai tingkatan atau urutan.

15

Median16

genap jika,2

ganjil jika,12/2/

2/1

nxx

Me

nxMenn

n

Di mana :Me = medianxi = data ke-ii = indeks urutan datan = banyaknya dataN(x)= banyaknya data xP(x)= probabilitas data x

%50)()(2

)()(

MexPMexP

nMexNMexN

ModeModus (mode) adalah ukuran numerik yang

menunjukkan data yang sering muncul atau mempunyai frekuensi paling banyak.

Untuk memperoleh modus, maka data dikelompokkan berdasarkan nilai yang sama, selanjutnya dihitung frekuensinya. Data yang frekuensi atau anggotanya paling banyak adalah modus.

Peringatan : Terkadang modus bisa lebih dari satu. Penentuan rentang kelas dapat mempengaruhi frekuensi.

17

Mode18

terbanyak)( jika , xfxMo

Di mana :Mo = modex = dataf(x)= frekuensi datan = banyaknya data

Hubungan Empiris Mean, Median & Mode

19

).(3 MexMox

Mo Mox xMe Me

VarianceVarians (variance) adalah ukuran numerik

dari rata-rata kuadrat penyimpangan data terhadap ukuran pemusatan data.

Berdasarkan teorema limit sentral (central limit theorem), sebagai parameter dari distribusi normal populasi dinotasikan dengan 2, sedangkan sebagai statistik sampel dinotasikan dengan s2 dengan derajat kebebasan (df) = n-1

20

Variance21

N

x

Nxx

n

ii

n

1

2

2212

)(

)()(

Di mana :s2 = varianceẍ = arithmetic meanxi = data ke-ii = indeks urutan datan = banyaknya data

1

)(

1)()(

1

2

2212

n

xx

nxxxxs

n

ii

n

Di mana :2 = variance = arithmetic meanxi = data ke-ii = indeks urutan dataN = banyaknya data

POPULASI SAMPEL

Variance22

Di mana :s2 = variancexi = data ke-ii = indeks urutan datan = banyaknya data

)1(

2

11

2

2

nn

xxns

n

ii

n

ii

Variance gabungan beberapa himpunan

k

ii

k

iii

n

sns

1

1

2

2.

Standard DeviationSimpangan baku (standard deviation)

adalah ukuran numerik yang menunjukkan penyimpangan data terhadap ukuran pemusatan data tanpa memperhatikan arah penyimpangannya.

Dalam formulasi matematis, standard deviation adalah akar pangkat dua dari variance

23

Standard Deviation24

2 1

2

2 2

1

)(

n

xx

ssn

ii

Di mana :s = standard deviationẍ = arithmetic meanxi = data ke-ii = indeks urutan datan = banyaknya data

Di mana : = standard deviation = arithmetic meanxi = data ke-ii = indeks urutan dataN = banyaknya data

2 1

2

2 2

)(

N

xn

ii

POPULASI SAMPEL

Standard Deviation25

Di mana :s = standard deviationxi = data ke-ii = indeks urutan datan = banyaknya data

2

2

11

2

)1(

nn

xxns

n

ii

n

ii

Standard Deviation26

Absolute DeviationSimpangan absolut (absolute deviation)

adalah ukuran numerik yang menunjukkan rata-rata absolut penyimpangan data terhadap ukuran pemusatan data

27

Absolute Deviation28

n

xx

nxxxxxx

MADn

ii

n

1

21

Di mana :MAD= absolute deviationẍ = arithmetic meanxi = data ke-ii = indeks urutan datan = banyaknya data

RangeRentang (range) adalah ukuran numerik

yang menunjukkan rentang sebaran data mulai data terkecil hingga data terbesar.

Untuk memperoleh range, harus dicari data terkecil dan data terbesar terlebih dahulu. Selisih antara data terkecil dengan data terbesar adalah besaran range.

29

Range30

minmax xxR

Di mana :R = rangexmax = data terbesarxmin = data terkecil

Interquartile RangeRentang antar kuartil (interquartile range)

adalah ukuran numerik yang menunjukkan rentang sebaran data antara kuartil 1 hingga kuartil 3.

Rentang semi antar kuartil (semi-interquartile range) adalah setengah dari rentang antar kuartil

31

Interquartile Range32

IQRSIQRQQIQR

.21

13

Di mana :IQR= intequartile rangeSIQR= semi-intequartile rangeQ1 = kuartil ke-1Q3 = kuartil ke-3

Percentile RangeRentang persentil (percentile range) adalah

ukuran numerik yang menunjukkan rentang sebaran data antara persentil 10 hingga persentil 90.

33

Percentile Range34

1090 PPPR

Di mana :PR= percentile rangeP10 = persentil ke-10P90 = persentil ke-90

Hubungan Empiris Beberapa Ukuran Sebaran

35

32

54

.6745,0

.7979,0

SIQRMAD

Di mana : = standard deviationMAD = absolute deviationSIQR = semi-interquartile range

SkewnessKemiringan atau kemenjuluran (skewness)

adalah ukuran numerik yang menunjukkan derajat ketidaksimetrian distribusi atau kecondongan miring kurva distribusi, karena ketiga ukuran pemusatan (mean, median, mode) tidak berimpit.

36

Skewness37

32

3

.3

s

ms

MexsMoxskewness

MoMeẍ Mo Me ẍ

ẍ

Skewness = 0 Skewness > 0Skewness < 0

Positive or right skew

MoMe

SymmetricNegative or left skew

Di mana :ẍ = arithmetic meanMo= modeMe= median

KurtosisKeruncingan (kurtosis) adalah ukuran

numerik yang menunjukkan derajat kecuraman puncak distribusi dan biasanya relatif terhadap distribusi normal.

38

Kurtosis39

224

1090

1321 .

s

mPPQQ

kurtosis

Di mana :Q = quartileP = percentile

Leptokurtik Mesokurtik Platikurtik

Kurtosis > 0,263 Kurtosis = 0,263 Kurtosis < 0,263

Runcing Normal Landai

Normal = 0,263

Normal = 3

Quartile, Decile & PercentileKuartile (quartile), adalah nilai yang

membagi sejumlah data observasi menjadi empat bagian yang sama.

Desil (decile), adalah nilai yang membagi sejumlah data observasi menjadi sepuluh bagian yang sama.

Persentil (percentile), adalah nilai yang membagi sejumlah data observasi menjadi seratus bagian yang sama.

40

Quartile, Decile & Percentile41

%80)(%;70)(%;75)(,%30)(%;20)(%;25)(,

%50)()()()(,

873837

321312

50525052

DxPDxPQxPDQDDxPDxPQxPDQD

MexPPxPDxPQxPMePDQ

x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , . . . , xn

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9

Q2Q1 Q3

P1 P99P50P5 P10 P25 P75 P90 P95

Quartile, Decile & Percentile42

APROKSIMASIn = banyaknya data observasiu = urutan data untuk aproksimasiuB = pembulatan ke bawah urutan datauA = pembulatan ke atas urutan data

Penentuan aproksimasi besaran uMedian u = (n+1)/2Qi u = i.(n+1)/4Di u = i.(n+1)/10Pi u = i.(n+1)/100

Interpolasi aproksimasi

Approximation = xUB +(u – uB)

. (xUA – xUB)1

Contoh Data Tunggal atau Individu

43

Daftar data observasi setelah diurutkan :

1, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 9

Rata-rata :

441,510

931

533,310388,4931

510

931

2222

91

31

11

10

RMS

H

G

x

Contoh Data Tunggal atau Individu

44

Daftar data observasi setelah diurutkan :

1, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 9

Modus = 5

Contoh Data Tunggal atau Individu

45

Daftar data observasi setelah diurutkan :

1, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 9

Median =

5 + 5

=5Q2 =

D5 = 2P50 =

Contoh Data Tunggal atau Individu

46

Daftar data observasi setelah diurutkan :

1, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 9

APROKSIMASI MEDIANn = 10Median (n+1)/2 = (10+1)/2 = 5,5

Median = x5 +(5,5 – 5)

x (x6 – x5)1= 5 + 0,5 x (5 – 5)= 5

Contoh Data Tunggal atau Individu

47

Daftar data observasi setelah diurutkan :

1, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 9

Q2 = 5Q1 = 4 Q3 = 7

Contoh Data Tunggal atau Individu

48

Daftar data observasi setelah diurutkan :

1, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 9

APROKSIMASI QUARTILEn = 10Qi i.(n+1)/4Q1 1.(10+1)/4 = 2,75Q2 2.(10+1)/4 = 5,5 MedianQ3 3.(10+1)/4 = 8,25

Q1 = 3,75Q2 = 5Q3 = 7

Q1 = x2 +(2,75 – 2)

x (x3 – x2)1= 3 + 0,75 x (4 – 3)= 3,75

Q3 = x8 +(8,25 – 8)

x (x9 – x8)1= 7 + 0,25 x (7 – 7)= 7

Contoh Data Tunggal atau Individu

49

Daftar data observasi setelah diurutkan :

1, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 9

D5 = 5D4 = 4,5

D3 = 4D1 = 2 D7 = 6 D9 = 8D2 = 3,5 D6 = 5 D8 = 7

Contoh Data Tunggal atau Individu

50

Daftar data observasi setelah diurutkan :

1, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 9

APROKSIMASI DECILEn = 10Di i.(n+1)/10D1 1.(10+1)/10 = 1,1D5 5.(10+1)/10 = 5,5 MedianD9 9.(10+1)/10 = 9,9

D1 = 1,2D5 = 5D9 = 8,8

D1 = x1 +(1,1 – 1)

x (x2 – x1)1= 1 + 0,1 x (3 – 1)= 1,2

D9 = x9 +(9,9 – 9)

x (x10 – x9)1= 7 + 0,9 x (9 – 7)= 8,8

Contoh Data Tunggal atau Individu

51

Daftar data observasi setelah diurutkan :

1, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 9

Sebaran :

819

261,2110

5951

111,5110

5951

222

222

R

s

s

Contoh Data Tunggal atau Individu

52

Daftar data observasi setelah diurutkan :

1, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 9

0261,2

55.3

.3

sMexskewness

25,0)28()47.(

.

21

1090

1321

PPQQ

kurtosis

Data BerkelompokTerkadang data observasi telah diolah

menjadi data berkelompok terutama dalam tabel distribusi frekuensi.

Subgrup adalah pengelompokkan data observasi yang diambil dari kelompok (waktu, area, batch, lot, lini) yang sama

Kelas adalah pengelompokkan data observasi sesuai kategori, level (faktor) atau interval yang sama.

53

Membuat Distribusi FrekuensiData tunggal dapat diolah menjadi data berkelompok dengan cara :Menghitung rentang data observasi (R).Menentukan banyaknya kelas (k) berdasarkan banyaknya data observasi (n). Misalnya menggunakan aturan Sturges

...

54

)100/log(3,31atau)log(3,31

2nknk

Membuat Distribusi Frekuensi

55

Perbedaan penentuanbanyaknya kelas

Membuat Distribusi FrekuensiMenentukan lebar kelas (w) berdasarkan

rentang data (R) dan banyaknya kelas (k).

Untuk data diskrit sebaiknya menggunakan poin. Jika menggunakan interval, perlu dipastikan bahwa anggota dalam masing-masing kelas berimbang.

...

56

kRw

Membuat Distribusi Frekuensi

57

Kelas f fr Fr0<x<1,4

1,4<x<2,8

2,8<x<4,2

4,2<x<5,6

5,6<x<7,0

Perbedaan anggota kelas pada penentuan interval kelas yang salah pada data diskrit

Kelas f fr Fr0 – 1

2 – 3

4 – 5

6 – 7

Anggotanya 0 dan 1 Anggotanya 2 Anggotanya 3 dan 4 Anggotanya 5 Anggotanya 6 dan 7

Membuat Distribusi FrekuensiMemilih data observasi terkecil (xmin) atau

yang sedikit lebih kecil sebagai batas bawah kelas pertama (L1), selanjutnya ditambahkan dengan lebar kelas (w) untuk mendapatkan batas atas kelas pertama (U1).

...

58

diskrit datauntuk kontinyu datauntuk

11

11

ULUxL

Membuat Distribusi FrekuensiPada kelas berikutnya, menentukan batas

bawah kelas (Li) berdasarkan batas atas kelas sebelumnya (Ui-1), selanjutnya ditambahkan dengan lebar kelas (w) untuk mendapatkan batas atas kelas (Ui).

...

59

diskrit datauntuk 1kontinyu datauntuk

1

1

ii

ii

ULUL

Membuat Distribusi FrekuensiUlangi penentuan batas bawah kelas (Li) dan

batas atas kelas (Ui) untuk semua kelas hingga data observasi terbesar (xmax) tercakup.

Kelompokkan data observasi sesuai kelasnya dan menandainya dengan turus (tally). Hitung banyaknya data di masing-masing kelas sebagai frekuensi (fi)

...

60

Membuat Distribusi FrekuensiBerdasarkan frekuensi (fi) dan banyaknya

data observasi (n), hitung frekuensi kumulatif (fki),frekuensi relatif (fri) dan frekuensi relatif kumulatif (Fri) di masing-masing kelas.

61

i

i ffk1 n

ffr ii

nfkfrFr i

i

i 1

Membuat Distribusi Frekuensi

62

Kelas Turus f fk fr Fr0<x<1,4

1,4<x<2,8

2,8<x<4,2

4,2<x<5,6

5,6<x<7,0

Distribusi Frekuensi Data Kontinyu

Kelas Turus f fk fr Fr0 – 1

2 – 3

4 – 5

6 – 7

Distribusi Frekuensi Data Diskrit

Arithmetic Mean63

n

xf

nxfxfxfx

k

iii

kk

1

2211

.

...

Di mana :ẍ = arithmetic meanxi = data tengah (midpoint atau classmark) kelas ke-ii = indeks urutan kelasn = banyaknya data = fi

k = banyaknya kelas

Median64

)()( 12

iii

in

i LUffk

LMe

Di mana :Me = mediann = banyaknya dataLi = batas bawah kelas lokasi medianUi = batas bawah kelas lokasi medianfi = frekuensi kelas lokasi medianfki-1= frekuensi kumulatif kelas sebelum lokasi median

2)(ˆ 1 ii

iLUL

2)(ˆ 1

iii

LUU

Distribusi FrekuensiData Diskrit :

Mode65

)()()(

)(

11

1ii

iiii

iii LU

ffffffLMo

Di mana :Mo = modeLi = batas bawah kelas lokasi modeUi = batas bawah kelas lokasi modefi = frekuensi kelas lokasi modefi-1 = frekuensi kelas sebelum lokasi modefi+1 = frekuensi kelas sesudah lokasi mode

2)(ˆ 1 ii

iLUL

2)(ˆ 1

iii

LUU

Distribusi FrekuensiData Diskrit :

Variance66

Di mana :s2 = varianceẍ = arithmetic meanxi = data tengah kelas ke-ii = indeks urutan kelasn = banyaknya data = fi

k = banyaknya kelas

1

).(

1).().(

1

2

22112

n

xxf

nxxfxxfs

k

iii

kk

)1(

..2

11

2

2

nn

xfxfns

k

iii

k

iii

atau

Standard Deviation67

Di mana :s = standard deviationẍ = arithmetic meanxi = data tengah kelas ke-ii = indeks urutan kelasn = banyaknya data = fi

k = banyaknya kelas

2 1

2

2 2

1

).(

n

xxf

ssk

iii

2

2

11

2

)1(

..

nn

xfxfns

k

iii

k

iii

atau

Quartile, Decile & Percentile68

)()( 14

.

iii

inj

ij LUffk

LQ

Di mana :n = banyaknya dataLi = batas bawah kelas lokasiUi = batas bawah kelas lokasifi = frekuensi kelas lokasifki-1= frekuensi kumulatif kelas sebelum lokasi

2)(ˆ 1 ii

iLUL

2)(ˆ 1

iii

LUU

Distribusi FrekuensiData Diskrit :

)()( 110

.

iii

inj

ij LUffk

LD

)()( 1100

.

iii

inj

ij LUffk

LP

Contoh Data Berkelompok69

Contoh Data Berkelompok70

5,16380

240.2100.380.2

... 2211

n

xfxfxfx kk

Perhitungan arithmetic mean

Contoh Data Berkelompok71

Perhitungan Median

636,163)150170(22

)25(150

)()(

280

12

ii

i

in

i LUffk

LMe

Contoh Data Berkelompok72

Perhitungan Mode

308,162)150170()1722()1422(

)1422(150

)()()(

)(

11

1

ii

iiii

iii LU

ffffffLMo

Contoh Data Berkelompok73

193,305180

)5,163240.(2)5,163100.(3)5,16380.(21

).().().(

222

2222

2112

n

xxfxxfxxfs kk

Perhitungan variance

Contoh Data Berkelompok74

470,17193,3052

2 2

ss

Perhitungan standard deviation

Contoh Data Berkelompok75

Perhitungan Quartile

294,185)170190(17

)47(170

857,142)130150(14

)11(130

)()(

480.3

3

480.1

1

14.

Q

Q

LUffk

LQ iii

inj

ij

Contoh Data Berkelompok76

Perhitungan Decile

206)190210(10

)64(190

120)100130(6

)5(110

)()(

1080.9

9

1080.1

1

110.

D

D

LUffk

LD iii

inj

ij

Contoh Data Berkelompok77

02342,0470,17

636,1635,163.3

.3

sMexskewness

24673,0)120206(

)857,142294,185.(

.

21

1090

1321

PPQQ

kurtosis

Perhitungan skewness dan kurtosis

78

Terima kasih ...Terima kasih ...

... Ada pertanyaan ???... Ada pertanyaan ???