BAB 1 Permutasi dan Kombinasi

Elka 15 Joss

Pengantar Probabilitas

Eksperimen/Percobaan statistik– Proses stokastik yang menghasilkan data statistik, bilamana diulang

berkali-kali akan menghasilkan nilai yang berbeda-beda. Ruang Sample (S)

– Himpunan seluruh outcome (keluaran) yang mungkin dari eksperimen statistik

– Tiap outcome disebut : elemen/anggota/titik sampel dari ruang sampel (S)

– Contoh: Percobaan : lempar 1 koin S = {G,A} titik sampel: G:gambar, A: angka Percobaan : lempar dadu S = {1,2,3,4,5,6}. Titik sampel: 1,2,3,4,5,6 Percobaan: lempar 1 dadu, hanya memperhatikan outcome-nya genap atau

ganjil, S = {genap, ganjil}, Titik sampel : mata dadu genap, mata dadu ganjil

Anggota Ruang Sampel: Diagram Pohon

Bilamana anggota ruang sampel berhingga, diagram pohon (tree-diagram) bisa membantu membuat list titik-titik sampel-nya.

Contoh– Percobaan melempar 1 koin dan 1 dadu dengan aturan, lempar

koin terlebih dahulu, bilamana yg keluar gambar (G) maka koin dilempar lagi, bilamana yg keluar angka (A) maka dilempar sebuah dadu. Buatlah ruang sampelnya

Jawab– Susun diagram pohon

A

G

123456

A

G

S= {A1,A2,A3,A4,A5,A6,GA,GG}

Ruang sampelnya:

Soal: Ruang Sampel

Dari produksi sebuah pabrik lampu, diambil secara random/acak 3 buah lampu untuk diperiksa. Hasil pemeriksaan dikategorikan menjadi 2 kemungkinan saja yaitu: R: rusak, B: baik (tidak rusak).

Susunlah ruang sampel dari proses ini. Berapakah jumlah titik sampelnya?

Events/Peristiwa/Kejadian

Adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Jadi berisi kumpulan dari titik-titik sampel. Biasanya sebuah kejadian adalah kumpulan titik-titik sampel yg memenuhi kriteria tambahan tertentu.

Contoh– S : {t| t≥0} menyatakan ruang sampel umur komponen elektronik

yg dihasilkan sebuah pabrik– A : {t| 0≤ t ≤5} adalah kejadian yg menyatakan himpunan semua

komponen elektronik yg rusak sebelum 5 tahun.

Berbagai sifat dan operasi pada Himpunan berlaku

Operasi Pada Himpunan

Komplemen A– Jika A adalah kejadian, maka A’ (komplemen A) adalah kejadian

yg menjadi himpunan bagian S (ruang sampel) yang anggotanya bukan menjadi anggota A.

Diagram Venn

Contoh:

S : {1,2,3,4,5,6}

A : {1,2,3}

A’ : {4,5,6}

S

AA’

Operasi Pada Himpunan

Irisan / Interseksi– Jika A dan B adalah kejadian, maka irisan A dan B = A∩B adalah

kejadian yg anggota-anggotanya menjadi anggota A sekaligus B.

Diagram Venn

Contoh:A: Mahasiswa PENS B: Pria

A∩B: Mahasiswa PENS dan seorang Pria

Jika A∩B=Φ maka dikatakan kejadian A dan B mutually exclusive atau disjoint

S

A

A∩B

B

Operasi Pada Himpunan

Gabungan/ Union– Jika A dan B adalah kejadian, maka gabungan A dan B = AυB

adalah kejadian yg anggota-anggotanya menjadi anggota A atau B. Jadi seluruh anggota A dan seluruh anggota B menjadi anggota gabungan AυB

Diagram Venn

Contoh:A: {a,b,c}

B: {c,d,e}

AυB: {a,b,c,d,e}

S

A

AυB

B

Menghitung Titik Sampel

Banyak kasus dimana kita harus menghitung banyaknya titik sampel sebuah ruang sampel tanpa harus membuat daftar isi ruang sampelnya terlebih dahulu (karena terlalu banyak!)

Aturan Perkalian– Jika sebuah operasi bisa dilakukan dengan n1 cara dan untuk

setiap operasi tersebut ada operasi kedua yg bisa dilakukan sebanyak n2 cara, maka jika kedua operasi tsb dilakukan secara bersama-sama banyaknya cara/kombinasi yg mungkin adalah: n1 X n2

Contoh– Berapa banyak titik sampel di ruang sampel bilamana dua buah

dadu dilempar bersamaan.Jawab:– Dadu pertama ada 6 kemungkinan outcome, dadu kedua juga 6

kemungkinan, sehingga kombinasi dua buah dadu ada: 6x6 =36 outcome yg berbeda.

Menghitung Titik Sampel

Soal– Sebuah developer menawarkan 3 pilihan tipe rumah:

Mediteranian, Klasik dan Joglo. Untuk masing-masing tipe tersebut susunan lantainya bisa : 1 lantai, 2 lantai dan 3 lantai. Ada berapa susunan berbeda yg bisa ditawarkan oleh developer tsb?

Soal: Generalisasi aturan Perkalian– Seorang anak memiliki 3 macam sepatu {S-a, S-b dan S-c} serta

4 macam topi {merah,biru,putih,hitam}, 2 macam celana {jeans, biasa} dan 5 macam baju {sekolah, pesta, main, kaus, batik}.

Jika tiap kali anak tsb menggunakan sepatu,topi,celana dan baju sekaligus, berapa kombinasi berbeda yg bisa dimilikinya?

Latihan soal

Berapa macam hidangan dapat disajikan bila masing-masing dapat terdiri dari sop 3 rasa, nasi goreng 5 rasa dan soto 4 rasa ?

Berapa banyak bilangan genap yang terdiri dari tiga angka dapat dibuat dari angka 1, 2, 5, 6 dan 9 bila tiap angka hanya dapat digunakan sekali ?

Permutasi

Susunan sebagian atau seluruh anggota sebuah himpunan dengan memperhatikan urutannya.

Contoh– Diberikan himpunan 3 huruf {a,b,c}. Carilah seluruh permutasi yg

mungkin yg melibatkan ketiga huruf tsb!

– Jawab: abc,acb,bac,bca,cab,cba = 6 susunan yg berbeda Alternatif :

Untuk huruf pertama kita punya 3 pilihan {a atau b atau c}: 3 cara

Untuk huruf kedua kita tinggal punya 2 pilihan : 2 cara

Untuk huruf ketiga hanya tersisa 1 pilihan (sebab tersedia cuma 3 huruf) : 1 cara.

Jadi total permutasi 3 huruf tsb adalah : 3X2X1 = 3! = 6 cara.

* Permutasi n benda yang berlainan

3 3! = 1 x 2 x 3 = 6

Permutasi

Permutasi : n! dan n!/(n-r)!

Secara umum, jika kita memiliki n obyek, dan akan disusun permutasi (kombinasi) dari seluruh n obyek tsb dengan memperhatikan urutannya, maka banyaknya permutasi yg mungkin adalah:

nx(n-1)x(n-2)x…x3x2x1=n! Jika dari n obyek hanya diambil r (≤n), maka banyak permutasi yg

mungkin adalah: Permutasi seluruh obyek dibagi dg permutasi obyek yg tidak terpilih/sisanya

)!(!rnn

rnP

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● | ● ● ● ● ● ●

n! = permutasi seluruh obyek

(n-r)! = permutasi (n-r) obyekr obyek

* Permutasi n benda yang berlainan bila diambil r sekaligus

4 4P2 = 12

Permutasi : n! dan n!/(n-r)!

Permutasi : n! dan n!/(n-r)!

Contoh: – Setiap tahun disediakan tiga buah tropi untuk siswa sebuah kelas, yaitu

tropi Emas, Perak dan Perunggu. Jika tiap siswa hanya punya kesempatan mendapat salah satu dari hadiah tsb, untuk kelas yg terdiri dari 25 siswa ada berapa pasang susunan siswa pemenang yg mungkin?

Jawab– Ini adalah problem permutasi dari 25 elemen diambil 3 saja, jadi banyak

susunan yg berbeda siswa pemenang adalah:

– Tentu sangat tidak praktis jika kita harus membuat daftar 13800 seluruh kemungkinan tsb

13800!22!22232425

!22!25

)!325(!25

325 xxxP

Latihan soal

Sebuah kelas berisi 50 orang hendak memilih pengurus kelas yg terdiri dari seorang ketua kelas dan seorang bendahara. Berapa banyak pilihan pengurus kelas berbeda yang mungkin jika:

Tanpa ada kendala apapun juga Si A hanya mau terpilih jadi ketua saja Si B dan si C hanya mau jika terpilih bersama-sama

Berapa hasil permutasi dari susunan kata “ UPLA”

Permutasi Melingkar

Jika obyek yg dipermutasi tersusun secara melingkar maka banyak permutasinya akan berbeda, sebab sekarang “kepala” dan “ekor” tidak jelas lagi.

Contoh : susunan linear ABC berbeda dg CAB, akan tetapi jika disusun melingkar maka keduanya adalah susunan yang sama, sebab dengan merotasi saja kita peroleh susunan yg satu dari yg lainnya.

Jika ada n obyek yg dipermutasi melingkar, maka obyek pertama bisa menduduki n kemungkinan, tetapi semua posisi ini akan sama saja sebab susunannya melingkar. Maka banyak permutasi n obyek yg disusun melingkar adalah : n!/n = (n-1)!

A

BC

C

AB

Permutasi Melingkar

Contoh – Tiga orang A, B dan C akan duduk melingkar. Ada berapa banyak

permutasi susunan duduk yg berbeda? Jawab:

– Karena susunannya melingkar dan diasumsikan yg terpenting adalah posisi relatif satu orang terhadap yg lain, bukan tempat duduknya maka banyak cara duduk yg berbeda adalah (3-1)! = 2! = 2

Soal:– 4 orang bersepakat bermain bridge dg duduk berhadap-hadapan. Ada

berapa susunan duduk yg berbeda yg mungkin?

A

BC

A

CB

Permutasi Melingkar Jawab

– Karena susunannya melingkar dan diasumsikan yg terpenting adalah posisi relatif satu orang thd yg lain, bukan tempat duduknya maka banyak cara duduk yg berbeda adalah (4-1)! = 3! = 6

A

B

D

C

A

B

C

D

A

C

B

D

A

C

D

B

A

D

B

C

A

D

C

B

Permutasi dg Obyek Kembar

Permutasi oleh n obyek yg diambil n buah, akan tetapi n1 dari obyek tsb adalah identik, sebanyak n2 juga identik, n3 juga identik dst, adalah:

Sebab permutasi dikalangan obyek identik tidak menghasilkan konfigurasi baru pada permutasi n buah obyek tersebut!

Contoh– Dalam sebuah acara di kampus PENS tersedia 10 buah kursi yg telah

diberi nomor dari 1 sd 10. Ada 10 mahasiswa yg diundang masing-masing 1 mahasiswa tingkat I, 2 tingkat II, 4 tingkat III dan 3 mahasiswa tingkat IV. Ada berapa cara duduk berbeda berdasarkan tingkat-nya bukan identitas si mahasiswa?.

Jawab– Jikalau yg disusun menurut identitas mahasiswanya maka 10 orang

mahasiswa bisa duduk dg 10! = 3 268 800 cara berbeda. Tetapi karena mahasiswa tingkat yg sama dianggap sama, maka ini permutasi dengan

!....!!!321 nnn

n

Permutasi dg Obyek Kembar

Jawab (lanjutan)– Yang mengandung obyek yg identik. Maka banyaknya cara duduk

berdasarkan tingkat yg berbeda adalah:

12600!3!4!2!1!10

Mempartisi Himpunan Dalam Sel-Sel

Misal kita punya himpunan yg terdiri dari n anggota, kemudian ingin dipartisi /dibelah menjadi beberapa sel atau kelompok. Pertanyaan ada berapa cara untuk membaginya menjadi kombinasi yg berbeda?

Syaratnya: tidak boleh ada elemen yg menjadi anggota kelompok di lebih dari 1 sel

Jumlah total anggota seluruh sel = total anggota himpunan semula

Urutan anggota dalam 1 kelompok tidak penting

Mempartisi Himpunan Dalam Sel-Sel

Contoh– Misal S = {a,i,u,e,o}– Ingin dipartisi menjadi 2 kelompok dengan ketentuan 1 kelompok berisi

4 dan sisanya 1 anggota. Maka seluruh kombinasi yg mungkin adalah: {a e i o | u} {a e i u | o} {a e o u | i} {a i o u | e} {i e o u | a}

– Ada 5 kombinasi berbeda yg mungkin (urutan dalam 1 sel diabaikan!) Secara umum jika anggota himpunannya n buah dan jumlah

anggota tiap sel n1 lalu n2 lalu n3 dst, dengan n1+n2+n3+…. = n, maka banyak cara mempartisi yg berbeda adalah:

– Jadi dalam contoh ini banyak caranya :

!...3

!2

!1

!,...,,

!

321nnnn

nnn

n

5!1!4!5

1,4

!5

Mempartisi Himpunan Dalam Sel-Sel

Soal– 7 Orang turis hendak menginap di sebuah hotel. Kamar yg tersedia

adalah 1 kamar triple (dihuni 3 orang) dan 2 kamar double (masing2 dihuni 2 orang). Ada berapa banyak cara berbeda menempatkan mereka tsb dalam kamar-kamar yg disediakan tsb?

Kombinasi

Banyaknya cara untuk memilih r obyek dari 1 obyek tanpa memperhatikan urutan dari obyek-obyek yg terpilih disebut kombinasi. Contoh: dalam kombinasi (a,b,c) dan (c,b,a) adalah sama.

Berarti ini sebenarnya adalah mempartisi himpunan dengan n anggota menjadi 2 sel, salah satu sel berisi r buah obyek (sisanya berarti (n-r) obyek.

Maka banyaknya kombinasi yg berbeda jika dari n obyek dipilih r buah saja adalah:

Di ruas kanan dituliskan notasi singkat untuk kombinasi

r

nrnr

nrnr

n)!(!

!,

!

4 4C2 = 6

X X XX

XX

Kombinasi

Kombinasi

Contoh– Berapa kombinasi huruf yang mungkin jikalau dari 5 huruf a,b,c,d,e tiap

kali hanya diambil 3 huruf. Tiap kali hanya diperhatikan jenis huruf yg terpilih, tidak urutan hurufnya.

Jawab– Ini adalah problem kombinasi dengan n=5 dan r=3, jadi banyak

kombinasinya adalah

Karena jumlahnya sedikit kita dapat me-list-nya:

abc abd abe acd ace ade

bcd bce bde

cde

10!2!3!5

)!35(!3!5

3

5

BAB 2Konsep Probabilitas

ELKA, 2013

Probabilitas Sebuah Kejadian

Asumsi : jumlah titik sampel berhingga Probabilitas atau kemungkinan terjadinya sebuah

peristiwa/kejadian/event dinyatakan oleh sebuah bilangan real x dengan 0≤x ≤1.

Untuk setiap titik sampel diberikan nilai probabilitasnya Jumlah total probabilitas untuk seluruh titik sampel=1 Definisi:

– Probabilitas terjadinya sebuah peristiwa A = jumlah probabilitas seluruh titik sampel yg menjadi anggota himpunan A

Notasi : 0 ≤ P(A) ≤ 1 Jika ada banyak kejadian A1, A2 dst mutually exclusive

maka P(A1 U A2 UAn.) = P(A1)+ P(A2)+ …+ P(An)

Notasi yang digunakan untuk menyatakan probabilitas peristiwa A

N

n

SampelRuangAnggotaBanyak

APeristiwaAnggotaBanyak(A)P

Menghitung probabilitas suatu peristiwa

Untuk semua peristiwa : 0 ≤ P (A) ≤ 1

Adalamesemua

i

i

)(eP(A)P

Contoh :

)5P(A)4P(A)3(AP)2P(A)1P(A(A)P

S

B

A

A1 A2

A3A4

A5

B1

B2

)2P(B)1P(B(B)P

Sifat sifat probabilitas

Sdalamesemua

i

i

1)(eP(S)P

1(C)P(B)P(A)P(S)P

Contoh :

Probabilitas Ruang Sampel = 1

SB

A

C

Sifat sifat probabilitas

Peluang Suatu Himpunan Kosong adalah nol

0(O)P

SB

A

C

0(D)P

Sifat sifat probabilitas

Probabilitas Sebuah Kejadian

Contoh– Sebuah koin dilempar 2 kali. Berapa probabilitas paling tidak

muncul 1 gambar (1G)? Jawab

– Ruang sample untuk pelemparan koin dua kali adalah:– S = {GG,GA,AG,AA} mengandung 4 titik sampel. – Asumsikan bahwa koin ideal, sehingga probabilitas munculnya

angka (A) dan gambar (G) sama, sehingga probabilitas munculnya setiap titik sampel di S juga sama, misal = w.

– Maka P(GG)+P(GA)+P(AG)+P(AA)=1 4w = 1 w=1/4– Event A adalah munculnya paling tidak 1 gambar, dari ruang

sampel S terlihat bahwa A = {GG,GA,AG}, n(A)=3– Maka P(A) = P(GG)+P(GA)+P(AG) = 3/4

Probabilitas Sebuah Kejadian

Contoh– Sebuah dadu direkayasa sehingga mata dadu genap 2 kali lebih

mungkin muncul dibandingkan mata dadu ganjil. Jika A didefinisikan sebagai kejadian munculnya mata dadu lebih kecil dari 4, carilah probabilitas P(A).

Jawab– Ruang sample untuk pelemparan dadu 1 kali adalah:– S = {1,2,3,4,5,6} – Probabilitas munculnya mata dadu genap 2x mata dadu ganjil,

jika probabilitas mata dadu ganjil= w, maka probabilitas munculnya mata dadu genap = 2w.

– P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6) = 3(w)+3(2w) = 9w = 1– Sehingga w=1/9– A = {1,2,3} P(A) = P(1)+P(2)+P(3)= w + 2w + w = 4w = 4/9

Probabilitas Sebuah Kejadian

Teorema– Jika outcome sebuah eksperimen ada N macam yg berbeda

dengan kemungkinan muncul masing-masing outcome adalah sama, dan jika n dari eksperimen tsb adalah kejadian A, maka P(A) = n/N

Contoh– Dalam sebuah kelas statistik muridnya berasal dari berbagai

bidang, 25 dari manufaktur, 10 dari mekanik, 10 dari elektro dan 8 dari teknik sipil. Jika seseorang dipilih secara acak untuk menjawab pertanyaan, berapakah probabilitasnya yg terpilih adalah (a) siswa dari mekanik, (b) siswa dari teknik sipil atau teknik elektro

Jawab– a) total siswa T = 25+10+10+8 = 53, jumlah siswa mekanik = 10,

maka probabilitas terpilih dari mekanik P(M)= 10/53– b) probabilitas siswanya dr teknik elektro (E) atau sipil (S) adalah

P(E υ S) = P(E) + P(S) = 10/53 + 8/53 = 18/53

Probabilitas Sebuah Kejadian

Bagaimana menentukan probabilitas sebuah outcome?– Kondisi ideal, asumsi semua outcome sama probabilitasnya– Data empiris, dari hasil eksperimen atau data terdahulu

berdasarkan relatif frekuensi kemunculan tiap outcome. Contoh: bagaimana menentukan probabilitas seorang pembalap F1

akan menang dalam sebuah balapan? Bagaimana menentukan bahwa bulan Agustus akan terjadi hujan?

– Intuisi definisi probabilitas secara subyektif

Sifat-Sifat Probabilitas Kejadian

Sifat-sifat operasi pada himpunan berlaku Aturan Penjumlahan

Jika A dan B adalah 2 kejadian, makaP(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Jika A dan B adalah 2 kejadian yg mutually exclusive, makaP(A U B) = P(A) + P(B)

Jika A1, A2 A3 … adalah kejadian2 yg mutually exclusive, maka

P(A1 U A2 U A3 U … ) = P(A1) + P(A2) + P(A3)+ …..

Jika A1, A2 A3 … adalah partisi dari ruang sampel S, maka

P(A1 U A2 U A3 U … ) = P(A1) + P(A2) + P(A3)+ …..= 1

Jika A, B dan C adalah 3 kejadian, makaP(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(A∩C) – P(C∩B)+

P(A∩B ∩C)

Jika A dan A’ adalah kejadian yg komplementer, maka P(A)+P(A’)=1

Sifat-Sifat Probabilitas Kejadian

Contoh– Berapakah probabilitas untuk mendapatkan jumlah 7 atau 11

ketika melempar sepasang dadu? Jawab

– Misal A adalah kejadian munculnya jumlah mata dadu 7– Dan B adalah kejadian munculnya jumlah mata dadu 11– Banyak outcome dg mata dadu 7 adalah 6 { 16,25,34,43,52,61}– Banyak outcome dg mata dadu 11 adalah 2 {56,65}– Probabilitas munculnya jumlah mata dadu 7, P(A) = 6/36– Probabilitas munculnya jumlah mata dadu 11, P(B) = 2/36– Kejadian munculnya jumlah dadu 7 adalah mutually exxclusive

dengan munculnya jumlah dadu 11 (tak mungkin terjadi keduanya sekaligus!!!), maka

– Probabilitas munculnya jumlah mata dadu 7 atau 11,– P (A U B) = P(A) + P(B) = 6/36 + 2/36 = 8/36 = 2/9

Sifat-Sifat Probabilitas Kejadian

Contoh– Berikut ini adalah tabel probabilitas seorang mekanik akan

melakukan servis sejumlah mobil pada satu hari:– Jum. Mobil 3 4 5 6 7 ≥8 – Probabilitas 0.12 0.19 0.28 0.24 0.10 0.07– Berapakah probabilitasnya hari berikutnya dia akan menservis

paling tidak 5 buah mobil? Jawab

– Misal A adalah kejadian paling tidak 5 mobil diservis– Maka A’ adalah kejadian jumlah mobil yg diservis kurang dari 5,

maka P(A)+P(A’)=1– Dari tabel P(A’) = P(3)+P(4) = 0.12+0.19 = 0.31– Sehingga P(A) = 1- P(A’)= 1-0.31 = 0.69

Aturan-Aturan dalam Probabilitas

B)(AP(B)P(A)P)B(AP

Untuk dua peristiwa sembarang A dan B :

Contoh :

Suatu tungku pemanas membutuhkan listrik dari 2 power supply (A dan B). Probabilitas power suply A rusak adalah 2/3, probabilitas power suply B rusak adalah 4/9 dan probabilitas keduanya rusak adalah 1/4. Berapa probabilitas paling sedikit satu power supply rusak ?

Jawab :

P (A) = 2/3

P (B) = 4/9

P (A∩B) = 1/4

P (AUB) = 2/3 + 4/9 – 1/4

= 31/36

(B)P(A)P)B(AP

dua peristiwa A dan B yang saling lepas:

Contoh :

Suatu kemasan berisi 6 flasdisk A, 4 disket B dan 3 flasdisk C. Bila seseorang mengambil satu flasdisk secara acak, berapa probabilitas terambil 1 flasdisk B atau 1 flasdisk C ?

Jawab :

P (B) = 4/13

P (C) = 3/13

P (B∩C) = 0

P (BUC) = 4/13 + 3/13

= 7/13

AB

S

Aturan-Aturan dalam Probabilitas

1P(S))(AP(A)P)B(AP C

)(AP1(A)P C

Untuk dua peristiwa yang saling berkomplementer :

Contoh :

Bila peluang seorang teknisi mesin akan memperbaiki 3, 4, 5, 6, 7, atau lebih dari 8 mobil pada setiap hari kerja masing-masing 0.12, 0.19, 0.28, 0.24, 0.10, dan 0.07. Berapa peluang bahwa dia akan memperbaiki paling sedikit 5 mobil pada hari kerja berikutnya ?

Jawab :

E = peristiwa paling sedikit 5 mobil

yang diperbaiki

Ec = peristiwa kurang dari 5 mobil

yang diperbaiki

P(E) = 1 – P(Ec)

= 1 – (0.12 + 0.19) = 0.69

A

SAc

Aturan-Aturan dalam Probabilitas

)P(A...)(AP)(AP)A...A(AP k21k21

Untuk A1, A2,…, Ak yang saling lepas:

Contoh :

Bila probabilitas seseorang membeli mobil akan memilih warna Hijau,Kuning, Merah atau Biru masing-masing adalah 0.09, 0.15, 0.21 dan 0.23, maka berapa peluang salah satu dari keempat warna tersebut akan terpilih ?

Jawab :

P(H U K U M U B) = P(H) + P(K) + P(M) + P(B)

= 0.09 + 0.15 + 0.21 + 0.23

= 0.68

A1

AA2

Ak

A..

Aturan-Aturan dalam Probabilitas

1)P(A ... )(AP)(AP)A...A(AP n21n21

Jika A1, A2,…, An merupakan sekatan ruang sampel S, maka :

S

A1 A2 An…..

Aturan-Aturan dalam Probabilitas

C)BP(A

C)P(BC)P(AB)P(AP(C) (B)P(A)P)CB(AP

Untuk tiga peristiwa sembarang A, B dan C, maka :

94

22 7

4

5

S

A

B

C

P (A) = 17/40

P (B) = 18/40

P (C) = 15/40

P (A ∩ B) = 6/40

P (A ∩ C) = 4/40

P (B ∩ C) = 9/40

P (A ∩ B ∩ C) = 2/40

P (A U B U C) = 17/40 + 18/40 + 15/40 – 6/40 – 4/40 – 9/40 + 2/40 = 33/40

7

Aturan-Aturan dalam Probabilitas

Dari 100 mahasiswa diketahui, 42 ikut kuliah matematika, 68 ikut kuliah psikologi, 54 ikut kuliah sejarah, 22 ikut matematika dan sejarah, 25 ikut matematika dan psikologi, 7 belajar sejarah tapi tidak matematika maupun psikologi, 10 ikut ketiga kuliah dan 8 tidak ikut satupun.

Bila seorang mhs dipilih secara acak, carilah

peluang bahwa : (a) seseorang yg tidak ikut psikologi mengambil kuliah sejarah dan matematika.

Probabilitas Bersyarat

P(B|A) adalah probabilitas bahwa kejadian B akan terjadi asalkan kejadian A terjadi terlebih dahulu.

Ilustrasi :Dari setumpuk kartu remi (jumlah = 52), diambil secara acak 1 kartu.

Berarti ada 26 kartu berwarna

merah & 26 kartu berwarna

hitam

Probabilitas terambil kartu as wajik adalah : 1/52

Jika diketahui bahwa kartu yang terambil berwarna merah, berapa probabilitas bahwa kartu tersebut

adalah as wajik ?

YES NO

X

Ruang Sampel yang baru adalah 26 kartu berwarna merah

Maka :

P (terambil As wajik jika diketahui bahwa kartu yang terambil berwarna merah ) = 1/26

Telah diketahui : Kartu Berwarna Merah

Perubahan nilai probabilitas peristiwa A (terambil As wajik) bila diketahui peristiwa B (terambil kartu berwarna merah)

telah terjadi disebut sebagai

)|( BAPB)|(AP

peristiwa A terambil As wajik peristiwa B terambil kartu berwarna merah

)|( BAPB)|(AP

(B)P

)B(AP)B|(AP

(B)P.)B|(AP)B(AP

GOOD BAD TOTAL

460 40 500

140 260 400

TOTAL 600 300 900

Contoh :

Jika ternyata media yang terpilih mempunyai kondisi baik,

Berapa peluang yang terpilih itu adalah media CD ?

Peristiwa B = Terpilih media yang kondisinya baik

Peristiwa A = Terpilih media yang berupa CD

)(AP900

500(A)P

900

600(B)P

900

460B)(AP

600

460

900600

900460

(B)P

B)(APB)|(AP

http://www.clipart.com/en/close-up?o=3868579&memlevel=A&a=c&q=teacher&s=1&e=30&show=&c=&cid=&findincat=&g=&cc=&page=

Ilustrasi :

Sebuah perkantoran menggunakan 2 sumber listrik yaitu PLN dan generator.Bila listrik dari PLN padam, maka secara otomatis generator akan menyala. Selama beberapa tahun terakhir diketahui probabilitas perkantoran tsb menggunakan listrik PLN sebesar 0,9 dan menggunakan generator sebesar 0,1.

Masalah yang sering terjadi adalah ketidakstabilan arus listrik. Selama menggunakan listrik PLN, probabilitas terjadinya ketidakstabilan arus adalah 0.2 dan selama menggunakan generator probabilitas ketidakstabilan adalah 0.3.

Peristiwa Arus Listrik Tidak Stabil

P ( PLN ) = 0.9 P ( Generator ) = 0.1

PLN ∩ Tdk. Stabil

Generator ∩ Tdk. Stabil

P (Tdk. Stabil) = P ( PLN ∩ Tdk. Stabil ) + P (Generator ∩ Tdk. Stabil )

(PLN)P

)PLNStabilTdk(P)PLN|Stabil(TdkP

PLNP (PLN) = 0.9

P (Tdk. Stabil | PLN ) = 0.2

P (Tdk. Stabil ∩ PLN ) = P (Tdk Stabil | PLN) . P (PLN) = 0.9 . 0.2 = 0.18

GENERATOR

)(GeneratorP

)GeneratorStabilTdk(P)Generator|Stabil(TdkP

P (Generator) = 0.1

P (Tdk. Stabil | Generator ) = 0.3

P (Tdk. Stabil ∩ Generator ) = P (Tdk Stabil | Generator) . P (Generator)

= 0.1 . 0.3 = 0.03

l)(Tdk.StabiP

)Tdk.StabilPLN(P)Tdk.Stabil|(PLNP

QUESTION

Jika diketahui bahwa saat ini terjadi ketidakstabilan arus listrik, berapa probabilitas bahwa yang sedang digunakan adalah listrik dari PLN ?

?P (Tdk. Stabil) = P ( PLN ∩ Tdk. Stabil ) + P (Generator ∩ Tdk. Stabil )

= 0.18 + 0.03 = 0.21

0.860.21

0.18)Tdk.Stabil|PLN(P

ANSWER :

Secara Umum: Peristiwa B1,B2,….,Bk merupakan suatu sekatan(partisi)

dari ruang sampel S dengan P(Bi)≠0 untuk i=1,2,…,k maka setiap peristiwa A anggota S berlaku:

Berikut k=3

k

i

k

iiii BAPBPABPAP

1 1

)|()()()(

Struktur teorema Bayes

Jadi Teorema Bayes Digunakan bila ingin diketahui probabilitas P(B1|A),P(B2|

A)….,P(Bk|A) dengan rumus sebagai berikut :

krBAPBP

BAPBP

ABP

BAPABP

k

iii

rrk

ii

r ,..2,1;)|()(

)|()(

)(

)()|(

11