Matriks Stat

BAB 2

ALJABAR MATRIKS UNTUK

STATISTIKA

Analisis data, khususnya estimasi parameter dalam regresi multi-variat, banyak melibatkan operasi matriks. Dalam bab ini akan diba-has teori matriks yang banyak terkait dengan statistika.

Kompetensi

Setelah membaca bab ini, pembaca diharapkan memahami aljabarmatriks, turunan yang berkaitan dengan matriks serta menggunakan-nya dalam statistika, khususnya dalam analisis regresi.

51

52 BAB 2. ALJABAR MATRIKS UNTUK STATISTIKA

2.1 Materi

1. Definisi dan jenis matriks

2. Operasi matriks

3. Kebergantungan linier

4. Bentuk kuadrat dan turunannya

5. Aplikasi R untuk matriks

2.2 Defenisi dan Jenis Matriks

Definisi 2.1. Matriks adalah kumpulan unsur yang disusun dalambaris dan kolom yang berbentuk persegi panjang.

Matriks biasanya dinotasikan dengan huruf besar tebal, misalnyaA,B, sedangkan unsur-unsurnya bisa berupa bilangan atau hurufkecil. Banyaknya baris dan kolom matriks disebut ordo matriks ma-triks. Matriks yang memiliki n baris dan m kolom,dikatakan berordon × m dan dinotasikan dengan An×m = [aij ]. Dalam hal ini, aij

adalah unsur yang berada pada baris ke i dan kolom ke j dengani = 1, 2, · · · , n dan j = 1, 2, 3, · · · , m.

Contoh 2.1. Matriks A berikut adalah matriks yang berordo 4 ×3;

A =

⎛⎜⎜⎜⎝

3 4 51 3 67 10 205 7 2

⎞⎟⎟⎟⎠

Beberapa matriks khusus yang banyak digunakan dalam statistikadiantaranya adalah matriks bujur sangkar, matriks diagonal, matriks

ANALISIS REGRESI DENGAN R (ANRER)

2.2. DEFENISI DAN JENIS MATRIKS 53

skalar dan matriks simetrik. Definisi formal masing- masing jenismatriks tersebut dapat dilihat pada buku-buku teks standar yangmembahas matriks.

Definisi 2.2. Matriks bujur sangkar (square matrix), adalah matriksdengan banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya, yaitu n = m.

Pada matriks bujur sangkar, unsur unsur yang berada pada barisdan kolom dengan nomor sama disebut diagonal utama (yaitu:aii, i = 1, 2, · · · , n.)

Contoh 2.2.

B =

⎛⎜⎝ 3 14 5

11 3 67 10 20

⎞⎟⎠

Definisi 2.3. Matriks diagonal adalah matriks yang semua unsurnya,selain unsur-unsur pada diagonal utamanya, adalah nol, yaitu aij = 0untuk setiap i �= j.

Contoh 2.3.

D =

⎛⎜⎝ 3 0 0

0 0 00 0 2

⎞⎟⎠

Definisi 2.4. Matriks skalar adalah matriks diagonal yang semuaunsurnya sama, tetapi tidak sama dengan 0.

Contoh 2.4.

C =

⎛⎜⎝ 3 0 0

0 3 00 0 3

⎞⎟⎠

Definisi 2.5. Matriks identitas I adalah matriks skalar yang semuaunsurnya 1



Contoh 2.5.

I =

⎛⎜⎝ 1 0 0

0 1 00 0 1

⎞⎟⎠

Definisi 2.6. Matriks nol (0) adalah matriks yang semua unsurnyaadalah 0.

Definisi 2.7. Matriks simetris adalah matriks yang unsur-unsurnyasimetris terhadap diagonal utama, yaitu aij = aji untuk setiap i danj.

Contoh 2.6.

A =

⎛⎜⎝ 3 1 5

1 2 05 0 4

⎞⎟⎠

Contoh 2.7.

Dalam statistika, matriks simetris yang banyak ditemukan adalahmatriks korelasi (R) dan matriks varians-kovarians atau matriks ragam-koragam(V).

R =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

1 r12 · · · r1n

r21 1 · · · r2n

......

. . ....

rn1 r2n · · · 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ dan V =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

σ21 σ12 · · · σ1n

σ21 σ22 · · · σ2n

......

. . ....

σn1 σ2n · · · σ2n

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

Selain matriks-matriks umum di atas, dalam statistika ada yangdisebut matriks desain X. Matriks ini merupakan matriks yang meng-hubungkan parameter β dengan peubah- peubah penjelas Xj . Pada


2.3. OPERASI MATRIKS DAN SIFAT-SIFATNYA 55

umumnya model yang dipergunakan selalu mengandung konstantasehingga kolom pertama matriks X biasanya beranggotakan 1.

X =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

1 x11 x12 · · · x1p

1 x21 x22 · · · x2p

......

. . ....

1 xn1 xn2 · · · xnp

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

2.3 Operasi Matriks dan Sifat-sifatnya

Operasi matriks yang penting yang banyak dipergunakan dalam sta-tistika diantaranya adalah operasi uner yaitu: invers dan transposdan operasi biner yaitu penjumlahan dan perkalian.

2.3.1 Operasi uner

Untuk melakukan operasi uner diperlukan cukup satu matriks. Ope-rasi yang termasuk uner adalah operasi invers baik untuk penjumla-han maupun perkalian dan operasi transpos.

Definisi 2.8. Invers penjumlahan suatu matriks A ditulis −A, ada-lah matriks yang unsur-unsurnya adalah negatif dari unsur-unsur ma-triks A

Contoh 2.8.

Jika A =

⎛⎜⎝ 3 1 5

1 −2 05 0 −4

⎞⎟⎠ , maka −A =

⎛⎜⎝ −3 −1 −5

−1 2 0−5 0 4

⎞⎟⎠ .



Definisi 2.9. Transpos matriks A (berordo m×n) ditulis AT adalahmatriks berordo n×m yang diperoleh dengan menukar baris matriksA menjadi kolom dan sebaliknya, yaitu jika B = AT , maka bij = aji.

Contoh 2.9.

Jika A =

⎛⎜⎝4 5

1 72 4

⎞⎟⎠ maka AT =

(4 1 25 7 4

)

Hasil 2.1. Jika A adalah matriks simetris, maka A = AT

Definisi 2.10. Invers perkalian suatu matriks A ditulis A−1, adalahmatriks yang jika dikalikan dengan A menghasilkan matriks identitasyaitu A.A−1 = A−1.A = I.

2.3.2 Operasi biner

Dalam operasi matriks secara simbolik kita akan banyak menggu-nakan notasi

∑. dan

∏. Untuk itu dalam subbab ini akan dibahas

secara sepintas kedua notasi tersebut.

Definisi 2.11.

n∑i=1

f(xi) = f(x1) + f(x2) + · · · + f(xi) + · · · + f(xn).

Sifat-sifat operator Sigma diberikan dalam hasil berikut ini.

Hasil 2.2. Sifat- sifat operator Sigma adalah

1. Jika k adalah suatu konstanta, makan∑

i=1

k = nk.



2. Jika k adalah suatu konstanta, dan f adalah fungsi dalam xi

makan∑

i=1

kf(xi) = kn∑

i=1

f(xi).

3. Jika k1, k2 adalah konstanta dan f(xi) = x2i + k1xi + k2, maka

n∑i=1

f(xi) =n∑

i=1

x2i + k1

n∑i=1

+nk2.

Bukti:

1∑n

i=1 k = k + k + · · · + k︸︷︷︸n

= nk.

2∑n

i=1 kf(xi) = kf(x1) + kf(x2) + · · · + kf(xn)

= k(f(x1) + f(x2) + · · · + f(xn))

= kn∑

i=1

f(xi).

3∑n

i=1 f(xi) =n∑

i=1

(x2

i + k1xi + k2

)=(x2

1 + k1x1 + k2

)+ · · · + (x2

n + k1xn + k2

)= x2

1 + · · · + x2n + k1x1 + · · · + k1xn + k2 + · · · + k2︸︷︷︸

n

=n∑

i=1

x2i +

n∑i=1

k1xi + nk2

=n∑

i=1

x2i + k1

n∑i=1

xi + nk2.

Untuk lebih meringkas notasi, kadang-kadang jumlah untuk selu-ruh rentangan indeks hanya dinotasikan dengan tanda titik (.) untuk



indeks tersebut, misalnya

xi. =n∑

j=1

xij

x.j =m∑

i=1

xij .

Jika operator∑

merupakan penjumlahan yang berulang, makaoperator untuk perkalian berulang disebut operator

∏yang didefi-

nisikan seperti berikut ini.

Definisi 2.12.n∏

i=1

f(xi) = f(x1) × f(x2) × · · · × f(xi) × · · · × f(xn).

Sedangkan sifat-sifat operator∏

dinyatakan dalam hasil berikut.

Hasil 2.3. Sifat- sifat operator∏

adalah:

• jika k adalah suatu konstanta, makan∏

i=1

k = kn;

• jika k adalah suatu konstanta, dan f adalah fungsi dalam xi

makan∏

i=1

kf(xi) = knn∏

i=1

f(xi);

• jika k1, k2 adalah konstanta dan f(xi) = (x2i )(k1xi)(k2), maka

n∏i=1

f(xi) =n∏

i=1

x2i × kn

1

n∏i=1

xi × kn2 .

Pembuktian hasil∏

di atas analog dengan pembuktian sifat- sifatoperator

∑.



Penjumlahan Matriks

Matriks yang bisa dijumlahkan (ditambah dan dikurangi) adalah ma-triks yang berdordo sama. Matriks yang berordo sama disebut Kon-formabel (conformable terhadap penjumlahan. Penjumlahan matriksdilakukan dengan menjumlahkan unsur unsur yang seletak, yaitu un-sur unsur yang terletak pada baris dan kolom yang sama atau yangmempunyai indeks yang sama.

Definisi 2.13. Jika A = (aij) dan B = (bij) i = 1, 2, · · · , m; j =1, 2, · · · , n maka A + B adalah matriks C yang berordo m×n denganunsur unsurnya adalah cij = aij + bij .

Contoh 2.10.

Jika

A =

⎛⎜⎝ 3 5

8 46 10

⎞⎟⎠ dan B =

⎛⎜⎝6 8

2 43 10

⎞⎟⎠ ,

maka

A + B =

⎛⎜⎝3 + 6 5 + 8

8 + 2 4 + 46 + 3 10 + 10

⎞⎟⎠ =

⎛⎜⎝ 9 13

10 89 20

⎞⎟⎠ .

Definisi 2.14. Selisih dua matriks didefinisikan sebagai jumlah de-ngan negatif matriks pengurang, yaitu A − B = A + (−B).

Hasil 2.4. Sifat- sifat penting dari penjumlahan matriks adalahA + B = B + A komutatifA + 0 = 0 + A identitasA + (−A) = 0 inversA + (B + C) = (A + B) + C assosatif(A + B)T = AT + BT distribusi transpus



Perkalian matriks

Perkalian matriks bisa dilakukan apabila banyaknya kolom matriksterkali sama dengan banyaknya baris matriks pengali. Matriks-matriksyang dapat dikalikan disebut matriks-matriks yang conformable ter-hadap perkalian. Selain perkalian dengan sesama matriks, matriksjuga dapat dikalikan dengan skalar.

Definisi 2.15. Hasil kali suatu matriks dengan suatu skalar adalahmatriks yang unsur- unsurnya adalah hasil kali setiap unsur matriksdengan skalar tersebut, yaitu kA = (kaij) .

Contoh 2.11.

3

⎛⎜⎝ 3 −2 −6

1 2 0−5 0 4

⎞⎟⎠ =

⎛⎜⎝ 9 −6 −18

3 6 0−15 0 12

⎞⎟⎠ .

Definisi 2.16. Hasil kali dua matriks adalah matriks yang berordosedemikian sehingga barisnya sama dengan baris matriks yang dika-likan dan kolomnya sama dengan kolom matriks pengali. Unsur unsurdari matriks pengali merupakan kombinasi linier dari baris matriksterkali dengan kolom dari matriks pengali. Jadi jika Am×nBn×p,maka Cm×p = AB dengan

cik = ai1b1k + ai2b2k + · · · + ainbnk

=n∑

j=1

aijbjk.

Contoh 2.12.

Jika

A =

⎛⎜⎝ 3 −2 −6

1 2 0−5 0 4

⎞⎟⎠ dan B =

⎛⎜⎝ 3 −1 2

5 2 00 2 4

⎞⎟⎠ ,



maka AB adalah

=

⎛⎜⎝ (3)(3) + (−2)(5) + (−6)(0) (3)(−1) + (−2)(2) + (−6)(2)

(1)(3) + (2)(5) + (0)(0) (1)(−1) + (2)(2) + (0)(2)(−5)(3) + (0)(5) + (4)(0) (−5)(−1) + (0)(2) + (4)(2)

(3)(2) + (−2)(0) + (−6)(4)(1)(2) + (2)(0) + (0)(4)

(−5)(2) + (0)(0) + (4)(4)

⎞⎟⎠

=

⎛⎜⎝ −1 −19 −18

13 3 2−15 13 6

⎞⎟⎠ .

Hasil 2.5. Sifat-sifat operasi perkalian yang penting di antaranyaadalah:

1. nonkomutatif, yaitu secara umum AB �= BA;

2. assosiatif, yaitu (AB)C = A(BC);

3. distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu

A(B + C) = AB + AC.

4. distributif transpos terhadap perkalian, yaitu (AB)T = BTAT.

2.3.3 Determinan dan Invers Matriks

Definisi 2.17. Determinan dari suatu matriks bujur sangkar A,dinotasikan dengan |A| atau det(A), adalah fungsi skalar yang di-definisikan sedemikian rupa sehingga merupakan jumlah hasil kali



unsur- unsur yang sejajar diagonal utama dikurangi jumlah unsur-unsur yang sejajar diagonal lain. Dalam bentuk notasi

|A| =n∏

i=1

aii +n∏

i=1

ai,i+1 + · · · + a1n

n−1∏i=1

ai+1,i −n∏

i=1

an+1−i,i − · · ·

− a11

n−1∏i=2

an+2−i,i.

Definisi 2.18. Matriks yang determinannya tidak nol disebut ma-triks nonsinguler, sedangkan matriks yang determinannya 0 disebutmatriks singuler.

Contoh 2.13.

Jika A =

⎛⎜⎝3 4 1

5 7 63 2 5

⎞⎟⎠ , maka det A adalah

|A| = (3)(7)(5) + (4)(6)(3) + (1)(5)(2)

− (3)(7)(1) − (5)(4)(5) − (3)(2)(6)

= 105 + 72 + 10 − 21 − 100 − 36

= 187 − 157 = 30

Definisi 2.19. Teras(trace) suatu matriks bujur sangkar adalah jum-lah unsur diagonal utama dari matriks tersebut, yaitu tr(A) =

∑ni=1 aii.

Contoh 2.14.

Dari

A =

⎛⎜⎝ −1 −19 −18

13 3 2−15 13 6

⎞⎟⎠ ,


2.4. KEBERGANTUNGAN LINIER DAN RANK MATRIKS 63

maka tr(A) = −1 + 3 + 6 = 8.

Untuk matriks bujur sangkar beordo 2, cara mencari invers adalahsebagai berikut.

Hasil 2.6. Jika A =

(a c

b d

), maka

• | A |= ac − bd

• A−1 = 1|A|

(d −c

−b a

)

Contoh 2.15. Bertikut adalahcontoh matriks bujur sangkar berordo2 × 2 dan inversnya

A =

(1 2−1 2

),

maka

A−1 =14

(2 −21 1

)=

(1/2 −1/21/4 1/4

)

2.4 Kebergantungan Linier dan Rank Matriks

Dalam statistika pada umumnya kolom-kolom matriks mewakili pe-ubah - peubah acak yang bisa saling bebas atau tidak saling bebassatu sama lain. Kondisi ini akan mempengaruhi apakah matriks yangakan dihasilkan mempunyai rank penuh atau tidak, apakah matriksyang dihasilkan akan mempunyai invers atau tidak.

Definisi 2.20. Suatu kolom dari matriks A dikatakan bergantunglinier dengan kolom-kolom lainnya jika dia dapat dinyatakan sebagaikombinasi linier dari kolom-kolom lainnya tersebut.



Definisi 2.21. Rank suatu matriks adalah bilangan yang menun-jukkan banyaknya maksimum kolom yang saling bebas linier.

Definisi 2.22. Suatu matriks dikatakan mempunyai rank penuh jikaranknya sama dengan banyaknya kolom

Hasil 2.7. Suatu matriks bujur sangkar akan nonsingular jika mem-punyai rank penuh, sebaliknya akan singular jika tidak mempuyairank penuh.

Contoh 2.16.

Matriks A =

⎛⎜⎝3 4 1

5 7 63 2 5

⎞⎟⎠ adalah matriks nonsingular dengan rank

penuh 3. Tetapi B =

⎛⎜⎝ 3 4 1

18 7 615 2 5

⎞⎟⎠ tidak mempunyai rank penuh

karena kolom pertama merupakan 3× kolom ketiga dan karenanyaB adalah matriks singular dan tidak memiliki invers. Penyelesaiankonkrit dari kegergantungan ini dapat dihitung dengan membentuksistim persamaan homogen antara kolom-kolom matriks dan mencariapakah sistem persamaan homogen tersebut mempunyai atau tidakpenyelesaian tidak nol.

Hasil 2.8. Jika matriks Anp bukan matriks bujur sangkar (n < p),paling tidak ada (p−n) kolom yang dapat dinyatakan sebagai kombi-nasi linier dari kolom lainnya. Dengan demikian maka A tidak akanmempunyai rank penuh.

Contoh 2.17.

Matriks A =

⎛⎜⎝3 4 1 1

5 7 6 13 2 5 1

⎞⎟⎠ mempunyai banyak kolom yang lebih

besar dari banyaknya baris, karena itu pasti salah satu dari kolom


2.4. KEBERGANTUNGAN LINIER DAN RANK MATRIKS 65

yang ada dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari yang lain-nya. Secara aljabar hal ini mengandung pengertian bahwa sistimpersamaan ak1 + b + k2 + ck3 + dk4 = 0, dengan kj adalah kolom kej, mempunyai penyelesaian dimana sekalar a, b, c, d tidak semuanyasama dengan nol.

3a + 4b + c + d = 0 (1)

5a + 7b + 6c + d = 0 (2)

3a + 2b + 5c + d = 0 (3)

Selanjutnya (1)-(3) dan (2)-(3) akan menghasilkan

2b + −4c = 0 (4)

2a + 5b + c = 0 (5)

Persamaan (4) menghasilkan hubungan b = 2c yang dapat disubsti-tusikan ke (5)

2a + 10c + c7 = 0

2a + 11c = 0

a = −112

c (7)

Selanjutnya jika (7) disubstitusikan ke persamaan (1) akan meng-hasilkan

−332

c + 8c + c + d = 0

d =332

c − 9c =152

c



Jadi sistim persamaan ini mempunyai penyelesaian yang bersifat pa-rametrik, salah satu diantaranya adalah untuk c = 2, maka diperolehb = 4, a = −11, d = 15.

Dalam statistika, jika X adalah matriks desain yang kolomnya me-nunjukkan peubah-peubah penjelas dan barisnya merupakan sampel,untuk menjamin agar X mempunyai rank penuh, maka banyaknyasampel selalu diusahakan jauh lebih banyak dari banyaknya peubahpenjelas yang menjadi perhatian.

2.5 Bentuk Kuadrat dan Diferensial Matriks

Definisi 2.23. Misalkan

x =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

x1

x2

x3

· · ·xn

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ dan A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

a11 a12 · · · an1

a21 a22 · · · an2

......

. . ....

an1 an2 · · · ann

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ ,

maka Q = xTAx =

⎛⎝ n∑

i=1

⎡⎣ n∑

j=1

xjaij

⎤⎦xi

⎞⎠ ; merupakan matriks 1 ×1

(skalar) yang disebut matriks bentuk kuadrat.

Matriks A pada umumnya merupakan matriks simetrik, misal-nya matriks korelasi ataupun matriks ragam - koragamnya. Dalamstatistika

Definisi 2.24. Matriks bentuk kuadrat Q disebut definit positif apa-bila Q > 0 untuk setiap x �= 0 dan Q = 0 jika dan hanya jika x = 0.Selanjutnya matriks A dari Q disebut matriks positif definit.


2.5. BENTUK KUADRAT DAN DIFERENSIAL MATRIKS 67

Definisi 2.25. Matriks bentuk kuadrat Q disebut semi definit positifapabila Q ≥ 0 untuk setiap x �= 0 dan Q = 0 paling tidak untuk satux �= 0. Selanjutnya matriks A dariQ disebut matriks positif semidefinit.

sering diperlukan turunan suatu matriks terhadap sekelompok pe-ubah dalam satu vektor. Pada dasarnya turunan satu peubah ter-hadap suatu vektor adalah adalah suatu vektor atau matriks yangunsur-unsurnya adalah turunan peubah pertama terhadap peubahunsur-unsur vektor penurun sedemikain sehingga posisi unsurnya se-suai dengan posisi unsur yang diturukan dan unsur penurun.

Definisi 2.26. Misalkan

x =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

x1

x2

x3

...xn

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ dan g =

(g(x)

)

maka

∂g∂x

=

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

∂g∂x1∂g∂x2∂g∂x3...

∂g∂xn

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

dan

∂g∂xT

=(

∂g∂x

)T

=

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

∂g∂x1∂g∂x2∂g∂x3

· · ·∂g

∂xn

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠



Contoh 2.18.

Jika g = (2x1 + 5x2), dan x =

(x1

x2

), maka

∂g∂x

=

(25

)

Contoh 2.19.

Jika

g =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

g1

g2

g3

...gn

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ , dan x =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

x1

x2

x3

...xp

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ ,

maka yang dapat dilakukan adalah∂g∂xT

yang menghasilkan matriks

n × p atau∂gT

∂xyang menghasilkan matriks p × n.

∂g∂xT

=

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

dg1/dx1 dg1/dx2 · · · dg1/dxp



......

. . ....

dgn/dx1 dgn/dx2 · · · dgn/dxp

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

Contoh 2.20.

Misalkan x =

(x1

x2

)dan A =

(1 22 1

)maka

1. Ax =

(x1 + 2x2

2x1 + x2

);



2. xTAx =(x1(x1 + 2x2) + x2(2x1 + x2)

)=(x2

1 + 4x1x2 + x22

)yang merupakan bentuk kuadrat;

3.∂Ax∂xT

=

⎛⎜⎝

∂(x1 + 2x2)∂x1

∂(x1 + 2x2)∂x2

∂(2x1 + x2)∂x1

∂(2x1 + x2)∂x2

⎞⎟⎠ =

(1 22 1

)= A;

4. Turunan xTAx terhadap x adalah

∂xTAx∂x

=

⎛⎜⎜⎝

∂(x21 + 4x1x2 + x2

2)∂x1

∂(x21 + 4x1x2 + x2

2)∂x2

⎞⎟⎟⎠

=

(2x1 + 4x2

4x1 + 2x2

)

= 2

(1 22 1

)(x1

x2

)

= 2Ax;

5. Karena xTAx pada dasarnya adalah suatu skalar, maka dapatjuga diturunkan terhadap xT .

∂xTAx∂xT

=(

∂(x21 + 4x1x2 + x2

2)∂x1

∂(x21 + 4x1x2 + x2

2)∂x2

)=(2x1 + 4x2 4x1 + 2x2

)= 2

(x1 x2

)(1 22 1

)

= 2xTA;

6. berdasarkan hasil butir 3 dan 4 di atas maka, maka diperoleh

∂2[xTAx

]∂xT ∂x

=∂2[xTAx

]∂x∂xT

= 2A.



Hasil 2.9. Misalkan A adalah matriks simetrik berordo n×n dan xadalah vektor baris berordo n, maka

1.∂xTA

∂x=

∂Ax∂xT

= A

2.∂xTAx

∂x= 2Ax

3.∂2[xTAx

]∂xT ∂x

= 2A

Contoh 2.21.

Misalkan A =

(2 11 3

), x =

(x1

x2

), sedangkan x1 = 2t1 +3t2 dan

x2 = 3t1 + t2, jika t =

(2 33 1

), maka:

1. x = Bt dan∂x∂tT

= B;

2. Ax =

(2x1 + x2

x1 + 3x2

)=

(2(2t1 + 3t2) + 3t1 + t22t1 + 3t2 + 3(3t1 + t2)

), sehingga

∂Ax∂xT

=

A dan

3.∂Ax∂tT

=

(7 711 6

)=

(2 11 3

)(2 33 1

)= AB =

∂Ax∂xT

∂x∂tT

.

Hasil di atas dapat diperluas pada hasil berikut. Bukti umumdari hasil berikut tidak dibahas dalam buku ini.

Hasil 2.10. Misalkan y adalah vektor peubah yang merupakan fungsidari x, yaitu merupakan hasil perkalian antara x dengan suatu ma-triks simetrik dan F adalah matriks peubah yang merupakan fungsi



dari y, yaitu hasil kali y dengan suatu matriks simetrik, maka berlakusifat turunan rantai sebagai berikut:

∂F∂x

=∂F∂yT

∂y∂x

atau∂F∂x

=∂F∂y

∂yT

∂x

Contoh 2.22. Misalkan X,Y dan β adalah matriks-matriks sede-mikian sehingga

Q = (Y − Xβ)T (Y − Xβ)

adalah suatu bentuk kuadrat (matriks 1 × 1). Tentukan

1. ∂Q/∂β

2. ∂2Q/ (∂βT ∂β)

Jawab:

Q = (Y − Xβ)T (Y − Xβ)

=(YT − βTXT

)(Y − Xβ)

= YTY − βTXTY − (βTXTY)T

+ βTXTXβ

mengingat βTXTY adalah matriks 1×1, maka identik dengan traspos-nya dan persamaan di atas menjadi

Q = YTY − 2βTXTY + βTXTXβ.

Maka∂Q∂β

= 0 − 2XTY + 2XTXβ

= 2(XTXβ − XTY

)= −2

(XTY − XTXβ

)= −2XT (Y − Xβ) , dan

∂2Q∂βT ∂β

= 2XTX.



Contoh 2.23. Misalkan X,Y dan β adalah matriks-matriks sede-mikian sehingga

Q = (Y − Xβ)T V−1 (Y − Xβ)

adalah suatu bentuk kuadrat (matriks 1 × 1), dengan V adalah ma-triks simetrik.

Tunjukkan bahwa

∂Q∂β

= −2XTV−1 (Y − Xβ) , dan

∂2Q∂βT ∂β

= 2XTV−1X.

2.6 Aplikasi R untuk Operasi Matriks

Untuk aplikasi R tentang matriks dan operasinya, selain menggu-nakan beberapa fungsi yang telah didefinisikan secara internal, pem-baca dapat juga mencari paket/library yang berkaitan dengan ma-triks. Beberapafungsi R terkait matriks diberikan pada Tabel 2.1

2.6.1 Mendefinisikan matriks

Matriks dapat didefinisikan dengan beberapa cara yaitu:

1. memberikan data elemen matriks (c(a11, a21, a31, ..., a21,

a22, ...) yang selanjutnya disusun dalam bentuk baris dankolom. Ingat bahwa R akan melengkapi seluruh baris kolom 1baru melengkapi kolom 2 dan seterusnya.

>x<-seq(1,10,1)

>xmat<-matrix(x,2,5)


2.6. APLIKASI R UNTUK OPERASI MATRIKS 73

Tabel 2.1: Fungsi R terkait matriksNo perintah R Keterangan1 matrix(c,b,k) menyusun matriks berordo b × k

2 diag(M) menyusun matriks diagonal, ataumengambildiagonal dari matriks bujursangkar

3 t(M) transpos matriks M4 A*B perkalian unsur-unsur pada baris dan

kolom yang bersesuaian5 A%*%B perkalian dua matriks yang konforma-

bel6 solve(M) menghitung inverse matriks M

>ymat<-matrix(x,5,2)

>xmat

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]

[1,] 1 3 5 7 9

[2,] 2 4 6 8 10

> ymat

[,1] [,2]

[1,] 1 6

[2,] 2 7

[3,] 3 8

[4,] 4 9

[5,] 5 10

2. menjadikan matriks data yang sudah tersusun dalam bentukbaris dan kolom dengan perintah as.matrix(). Untuk matriksberukuran besar, mungkin tidak praktis mencetak seluruh el-



emennya, tetapi kita bisa memeriksa dimensi/ordonya dengandim(). Pada contoh berikut data kecepatan dan jarak tempuhmobil yang berupa tabel dengan 50 baris dan 2 kolom didefi-nisikan menjadi matriks berordo 50 ×2.

>data(cars)

>x<-as.matrix(cars)

>dim(x)

[1] 50 2

>amat<-x%*%t(x)

>bmat<-t(x)%*%x

>dim(amat)

[1] 50 50

>dim(bmat)

[1] 2 2

3. beberapa matriks didefinisikan secara khusus diantaranya ada-lah

(a) matriks dengan elemen yang sama, misalnya k denganordo m × n.

>matrix(0,2,3)

[,1] [,2] [,3]

[1,] 0 0 0

[2,] 0 0 0

>matrix(1,2,3)

[,1] [,2] [,3]

[1,] 1 1 1

[2,] 1 1 1



>matrix(5,2,3)

[,1] [,2] [,3]

[1,] 5 5 5

[2,] 5 5 5

(b) matriks diagonal atau matriks identitas.

> diag(1,3)

[,1] [,2] [,3]

[1,] 1 0 0

[2,] 0 1 0

[3,] 0 0 1

> diag(2,3)

[,1] [,2] [,3]

[1,] 2 0 0

[2,] 0 2 0

[3,] 0 0 2

>diag(c(1,2,3,4,5))

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]

[1,] 1 0 0 0 0

[2,] 0 2 0 0 0

[3,] 0 0 3 0 0

[4,] 0 0 0 4 0

[5,] 0 0 0 0 5

Sebaliknya jika diag() dilakukan pada matrik bujur sangkar,maka fungsi ini akan mengekstrak diagonal matriks tersebut.

> diag(bmat)



speed dist

13228 124903

2.6.2 Operasi Matriks dengan R

Beberapa operasi matriks yang dapat dilakukan yang terkait dengankebutuhan statistika diantaranya adalah perkalian matriks, determi-nan ((det()) invers dan transpose matriks.

xmat%*%ymat

[,1] [,2]

[1,] 95 220

[2,] 110 260

> ymat%*%xmat

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]

[1,] 13 27 41 55 69

[2,] 16 34 52 70 88

[3,] 19 41 63 85 107

[4,] 22 48 74 100 126

[5,] 25 55 85 115 145

>det(xmat%*%ymat)

[1] 500

> solve(xmat%*%ymat)

[,1] [,2]

[1,] 0.52 -0.44

[2,] -0.22 0.19

> det(ymat%*%xmat)



[1] 0

> solve(ymat%*%xmat) #tes walau kita tahu det=0.

Error in ... system is exactly singular

Untukmatriks yang berordo sama, ada kalanya diperlukan hasil per-kalian dari unsur-unsur seletak. Pada R perkalian ini dinotasikandengan A*B. Berikut adalah contoh perkalian tersebut.

> A.mat<-matrix(c(2,3,4,1),2,2)

> B.mat<-matrix(c(1,3,2,5),2,2)

> A.mat

[,1] [,2]

[1,] 2 4

[2,] 3 1

> B.mat

[,1] [,2]

[1,] 1 2

[2,] 3 5

> A.mat*B.mat

[,1] [,2]

[1,] 2 8

[2,] 9 5

> B.mat*A.mat

[,1] [,2]

[1,] 2 8

[2,] 9 5

Jadi perkalian tersebut di atas bersifat komutatif (A* B=B*A).Akan tetapi, tidak demikian halnya dengan perkalian umum matriks,



seperti pada contoh berikut, yang pada umumnya A%*% B �= B%*% A

> B.mat%*%A.mat

[,1] [,2]

[1,] 8 6

[2,] 21 17

> A.mat%*%B.mat

[,1] [,2]

[1,] 14 24

[2,] 6 11

Berikut adalah matriks pada Contoh 2.15 yang dihitung dengan R.

> A<-matrix(c(1,-1,2,2),2,2)

> print(A)

[,1] [,2]

[1,] 1 2

[2,] -1 2

> solve(A)

[,1] [,2]

[1,] 0.50 -0.50

[2,] 0.25 0.25

2.7 Bacaan Lebih Lanjut

Referensi umum mengenai matriks dapat dijumpai pada buku-bukuteks tentang matriks atau aljabar linier. Namun tidak banyak refer-ensi yang membahas turunan matriks/ vektor terutama yang terkait


2.8. RINGKASAN 79

dengan statistika. Pembahasan dalam bab ini, terutama mengenaiaplikasi matriks dalam statistika, dapat dijumpai pada Timm (1975,Bab 1), Searle (1982), Harville (1997), dan Neter et al. (1985).

2.8 Ringkasan

Beberapa halpenting terkait matriks perlu dipahamidenganbaik di-antaraya seperti berikut ini.

1. Matriks adalah kumpulan unsur yang disusun dalam baris dankolum sehingga membentuk persegi panjang.

2. Operasi matriks ada yang bersifat uner (negatif dan transpos)dan bersifat biner(penjumlahan dan perkalian).

3. Matriks yang dapat dilakukan operasi tertentu dikatakan kon-formabel untuk operasi tersebut.

4. Operasi penjumlahan bersifat asosiatif, memiliki identitas 0,memiliki invers, dan komutatif.

5. Operasi perkalian secara umum memehuhi sifat asosiatif, ma-triks bujur sangkar memiliki identitas, beberapa diantaranyamemiliki invers.

6. Suatu kolom dari matriks A dikatakan bergantung linier de-ngan kolom-kolom lainnya jika dia dapat dinyatakan sebagaikombinasi linier dari kolom-kolom lainnya tersebut.

7. suatu matriks bujur sangkar dikatakan memiliki rank penuh jikasemua kolomnya bebas(tidak bergantung) linier dengan kolomlainnya.



8. Matriks bujursangkar yang memiliki invers disebut matriks non-singuler, matriks ini memiliki rank penuh dan determinan tidaknol.

9. Bentuk yTAy dengan ymatriks peubah, dan A matriks kon-stanta, disebut matriks bentuk kuadrat.

2.9 Latihan Soal-soal

Kerjakan soal-soal berikut secara sendir atau berkelompok.

1. Sebutkan definisi matriks berikut dan beri masing- masing satu(1) contoh.

(a) Matriks diagonal

(b) Matriks skalar

(c) Matriks simetrik

(d) Matriks nonsinguler.

2. Buatlah dua buah matriks (A,B), masing- masing berordo 2×2, selanjutnya hitung

(a) AB

(b) BA

(c) A−1

3. Selidiki apakah matriks-matriks berikut mempunyai rank kolomlengkap atau tidak.

(a) A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 2 43 3 62 4 15 5 36 2 −1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠


2.9. LATIHAN SOAL-SOAL 81

(b) B =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 2 4 15 5 3 02 4 1 26 2 −1 −43 3 6 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

(c) C =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

3 3 6 3 3 −11 2 4 1 1 15 5 3 0 0 16 2 −1 4 3 52 4 1 2 5 10

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

4. Diketahui

A =

⎛⎜⎝1 2 4

2 3 64 6 1

⎞⎟⎠

dan

x =

⎛⎜⎝x

y

z

⎞⎟⎠

Tentukan

(a) Q = XTAX

(b)∂Q∂x

(c)∂2Q

∂xT ∂x

baik dengan cara menurunkan unsur-unsurnya maupun dengancara keseluruhan dengan cara matriks.



5. Diketahui

A =

⎛⎜⎝3 2 4

2 3 54 6 1

⎞⎟⎠ .

Definisikan A pada R, selanjutnya tentukan:

(a) AT

(b) ATA

(c) AAT

(d)(AAT

)−1

(e)(ATA

)−1


Matriks Stat

Documents

Transcript of Matriks Stat