SISTEM

SISTEMinput outputx(t)

x[n]

y(t)

y[n]

Suatu sistem yang merupakan proses fisik dapat direpresentasikan dengan menggunakan model matematika yang menghubungkan antara sinyal masukan (input / excitation) dan sinyal keluaran (output/ respon).

Jika x adalah input sistem dan y adalah output sistem, maka sistem dapat dipandang sebagai suatu transformasi (pemetaan) dari sinyal x menjadi sinyal y.

Secara matematika, transformasi ini dapat ditulis dalam notasi berikut :

y = L(p).x; px(t) = dx(t)/dty = L(q).x; qx[n] = x[n+1]

Contoh sistem Menurut hukum Ohm, arus yang melewati resistor

sebanding dengan tegangan pada resistor :i(t) = [vS(t) – vc(t)]/R

Kita juga dapat menetapkan hubungan antara i(t) dengan laju perubahan tegangan pada kapasitor :

i(t) = C dvC(t)/dt dari kedua persamaan di atas, kita memperoleh persamaan

diferensial yang menggambarkan hubungan antara input vS(t) dengan output vC(t) :

MODEL PERSAMAAN DIFERENSIAL Digunakan untuk memodelkan sistem waktu-kontinyu

i kN M

i ki ki=0 k=0

d y(t) d x(t)a = bdt dt

N N-1 M

N N-1 0 M 0N N-1 M

d y(t) d y(t) d x(t)a + a + ... + a y(t) = b + ... + b x(t)dt dt dt

M M-1M M-1 0

N N-1N N-1 0

b p + b p + ... + bL(p) = a p + a p + ... + a

MODEL PERSAMAAN BEDA Digunakan untuk memodelkan sistem waktu-diskrit

N M

i ii=1 i=0

y[n] + a y[n-i] = b x[n-i]

N N-1 M 0a y[n-N] + a y[n-N-1] + ... + y[n] = b x[n-M] + ...+b x[n]

M M-10 1 M

N N-11 N

b q + b q + ... + bL(q) = q + a q + ... + a

CONTOH : Tentukan operator sistem untuk sistem-sistem berikut :

a.

b. 3y[n] + 4y[n-1] + 7y[n-2] = 2x[n] + 5x[n-1]

3 2

3 2

d y(t) d y(t) dy(t) dx(t) + 4 + 11 + 15y(t) = 2 + 5x(t) dt dt dt dt

CONTOH :

x(t) = i(t) R iR(t) C

iC(t)

+ vC(t) = y(t)-

SIFAT-SIFAT SISTEM1. Sistem kausal dan sistem non kausal

Suatu sistem dikatakan sebagai sistem kausal jika output pada setiap saat t1 hanya tergantung pada nilai input saat sekarang dan input saat sebelumnya (tidak dipengaruhi oleh input yang akan datang; t > t1).

Dalam sistem kausal tidak mungkin didapatkan suatu output sebelum suatu input diberikan (dengan asumsi tidak ada energi awal/ zero initial condition).

CONTOH : suatu sistem waktu-kontinyu dinyatakan dengan

hubungan input/output berikut :y(t) = x(t + 1)

sistem di atas adalah non kausal, karena nilai output y(t) pada saat t tergantung pada nilai input di saat (t + 1).

Suatu sistem waktu-kontinyu dinyatakan dengan persamaan berikut :

y(t) = x(t – 1)Sistem di atas adalah kausal, karena nilai output pada saat t hanya tergantung pada nilai input saat (t – 1)

SIFAT-SIFAT SISTEM2. Sistem dengan memori dan sistem tanpa memori

Suatu sistem dikatakan tanpa memori (memoryless) jika outputnya hanya tergantung dengan nilai input pada waktu yang sama.

Contoh : resistor adalah suatu sistem tanpa memori; dengan input x(t) adalah menyatakan arus, maka tegangan y(t) pada resistor dapat dinyatakan dengan persamaan :

y(t) = R x(t)dengan R adalah resistansi.

SIFAT-SIFAT SISTEM

kapasitor adalah salah satu contoh sistem dengan memori. Jika input x(t) adalah arus yang lewat kapasitor, maka tegangan y(t) pada kapasitor dapat dinyatakan dengan persamaan :

dengan C adalah kapasitansi.

t

-

1y(t) = x( ) dC

SIFAT-SIFAT SISTEM3. Sistem time-varying dan sistem time-

invariant

Suatu sistem disebut sebagai time-invariant jika pergeseran waktu pada sinyal input akan menyebabkan pergeseran yang serupa pada sinyal output. Jika suatu sistem diberi sinyal input x(t) akan menghasilkan sinyal output y(t), maka jika sinyal input yang diberikan adalah x(t – t0) maka sistem akan menghasilkan output y(t – t0).

SIFAT-SIFAT SISTEM

y(t) = sin [ x(t) ]

y[n] = n x[n]

Sistem

Sistem

Geser

Geser

x(t)

y(t)

x(t-t0) yt0(t)

y(t-t0)

SIFAT-SIFAT SISTEM4. Sistem linear dan sistem non linear

Additivitas x1(t) y1(t)x2(t) y2(t)

x1(t) + x2(t) y1(t) + y2(t)

Homogenitas (scaling) x(t) y(t)

ax(t) ay(t)bx(t) by(t)

SIFAT-SIFAT SISTEMKedua sifat tersebut dapat digabungkan menjadi satu, dan disebut dengan sifat superposisi; yaitu :

x1(t) y1(t)x2(t) y2(t)

ax1(t) + bx2(t) ay1(t) + by2(t)

LATIHAN Sebutkan sifat-sifat yang dimiliki oleh sistem-sistem berikut :

a. y[n] = x[n] + x[n-1]b. y(t) = x(t) + 1c. y(t) = exp(-t).x(t)d. y[n+1] = y[n] x[n]

INTERKONEKSI SISTEM

Sistem real dibangun berdasarkan interkoneksi dari beberapa subsistem

Contoh :sistem audio : interkoneksi dari radio receiver, CD player, amplifier, speaker

Representasi diagram blok

INTERKONEKSI SISTEM

Sistem 2Sistem 1input output

Representasi seri / cascade

INTERKONEKSI SISTEMSistem 1

Sistem 2

+input output

Representasi paralel

INTERKONEKSI SISTEM

Sistem 2Sistem 1

Sistem 3

Sistem 4+input output

INTERKONEKSI SISTEM

Interkoneksi feedback

LATIHAN

Dua sistem waktu-diskrit dihubungkan secara seri seperti gambar. Sistem 1 dinyatakan dengan persamaan beda :

w[n+1] = x[n]Sistem 2 dinyatakan dengan persamaan beda :

y[n+1] + 2y[n] = w[n]

Tentukan persamaan beda dari sistem keseluruhan

Sistem 2Sistem 1x[n] y[n]w[n]

RESPON SISTEMTujuan utama dalam analisis sistem adalah mendapatkan respon sistem (output sistem). Respon sistem ini dapat diperoleh dari dua keadaan :

yang pertama adalah jika sistem mendapatkan sinyal masukan (input) yang berasal dari luar (external input/ forcing function);

yang kedua adalah respon yang diperoleh karena adanya suatu gaya internal yang merupakan kondisi awal dari sistem tersebut.

RESPON SISTEM Jika sistem dinyatakan dalam persamaan diferensial

(differential equation) atau dalam persamaan beda (difference equation) maka respon sistem dapat dicari dengan menghitung penyelesaian dari persamaan-persamaan tersebut.

- penyelesaian homogen ( yh(t) atau yh[n] ) dan - penyelesaian partikular ( yp(t) atau yp[n] )

Penyelesaian homogen adalah respon sistem karena adanya kondisi awal pada sistem (tanpa memberikan sinyal masukan luar). natural response/ free response

Penyelesaian partikular adalah respon sistem karena adanya sinyal masukan dari luar. forced response

RESPON SISTEM Definisi 1. Respon sistem linear (kontinyu / diskrit) yang

dihasilkan karena adanya kondisi awal sistem (tanpa external input) disebut dengan respon zero-input (fungsi masukan dibuat sama dengan nol). Ditulis dengan yzi.

Definisi 2. Respon sistem linear (kontinyu / diskrit) yang dihasilkan karena adanya sinyal masukan dari luar (kondisi awal sama dengan nol) disebut dengan respon zero-state. Ditulis dengan yzs.

y(t) = yzi(t) + yzs(t) y[n] = yzi[n] + yzs[n]

RESPON SISTEM

Dalam menganalisis respon sistem dinamik, kita juga bisa memandang respon sistem menjadi dua komponen yaitu respon transien (transient response) dan respon keadaan tunak (steady-state response)

RESPON SISTEM free-response (zero-input response) adalah respon

sistem tanpa adanya sinyal input (masukan) dari luar. forced-response (zero-state response) adalah respon

sistem jika kondisi awal sistem (state) adalah nol (zero initial condition)

respon total adalah penjumlahan dari free-response dan forced-response

steady-state response adalah bagian dari respon total yang nilainya tidak mendekati nol ketika waktunya mendekati tak berhingga

transient response adalah bagian dari respon total yang nilainya mendekati nol ketika waktunya mendekati tak berhingga

sehingga respon total dapat juga dipandang sebagai penjumlahan dari steady-state response dan transient response

CONTOH

jika x(t) = 0 untuk semua t > t0

Jika

dy(t) 1C + y(t) = i(t) = x(t)dt R

0-(1/RC)(t-t )0 0y(t) = e y(t ), t t

0x(t) 0 untuk t t

0

0

t-(1/RC)(t-t ) -(1/RC)(t- )10 0Ct

y(t) = e y(t ) + e x( ) d , t t

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL

Penyelesaian persamaan homogen (fungsi komplementer)1. hitunglah akar-akar persamaan polinomial D(n)2. untuk akar-akar real yang berbeda (ri), maka

yh(t) = exp(-rit)3. untuk akar-akar komplek konjugat a + jb, maka fungsi homogen dinyatakan dalam bentuk

exp(at)cos bt dan exp(at)cos bt 4. untuk m akar-akar real yang sama, maka fungsi homogen

dinyatakan dalam bentuk exp(rt), t.exp(rt),…

5. untuk m akar-akar komplek konjugat a + jb, maka fungsi homogen dinyatakan dalam bentuk

exp(at)cos bt dan exp(at)cos bt

CONTOH

2

2

d y(t) dy(t) + 6 + 25y(t) = 0 dt dt

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL

Penyelesaian integral partikular 1. tulis persamaan diferensial dengan menggunakan operator p.

D(p)yp(t) = N(p)x(t)

2. input adalah sinyal komplek dalam bentuk polar x(t) = A.exp(st)

3. sehingga yp(t) = N(p)/D(p). A.exp(st)

CONTOH :

2

2

d y(t) dy(t) + 6 + 25y(t) = 50 dt dt