Assalamualaikum Wr. Wb.

Nama : Rahmad AdityaNIM : 90116005Mata Kuliah : Kombinatorika

Definisi Rekursif Induksi Struktural

Rekursif

Apa itu Rekursif ?Ada kalanya kita mengalami kesulitan dalam

mendefinisikan objek secara eksplisitProses mendefinisikan suatu objek dengan

menggunakan diri nya sendiri disebut RekursifObjek yang akan kita definisikan secara rekursif

disini adalah barisan,fungsi, dan himpunan

Proses mendefinisikan suatu objek dengan menggunakan diri nya sendiri disebut Rekursif

Langkah-langkah mendefinisikan barisan secara rekursif :1. Langkah basis : Spesifikasi anggota

awal2. Langkah rekusif : Berikan aturan untuk

membangun anggota baru dari anggota yang telah ada

Mendefinisikan barisan secara rekursif

Berikan definisi rekursif dari barisan an = 2n.7 untuk n Є ℕ Solusi:a1= 21.7= 14a2= 22.7=2(2.7)=2(a1)a3= 23.7=2(22.7)=2(a2)...an=2an-1

Jadi definisi rekursif untuk an = 2n.7 adalah a1= 14 ,untuk n = 1 an=2an-1 ,untuk n > 1

Contoh 1

Berikan definisi rekursif dari barisan an = 1+(-1)n untuk n Є ℕ Solusi :a1 = 1-1= 0a2 = 1+1= 2a3 = 1-1= 0a4 = 1+1=2...an = an-2

Jadi definisi rekursif untuk an = 1+(-1)n adalah a1= 0 ,untuk n = 1 a2= 2 ,untuk n > 1 an= an-2 ,untuk n ≥ 3

Contoh 2

Berikan definisi rekursif dari barisan an = 5, untuk n Є ℕSolusi :a1 = 5a2 = 5a3 = 5...an = an-1 = an-2 = an-3 =. . .= a1 ,untuk n Є ℕ

Contoh 3

Langkah-langkah mendefinisikan fungsi secara rekursif dengan domain bilangan cacah :1. Langkah basis : Definisikan nilai fungsi

tersebut pada saat nol2. Langkah rekusif : Berikan aturan untuk

mencari nilai fungsi untuk setiap bilangan bulat berdasarkan nilai fungsi pada bilangan bulat yang lebih kecil

Mendefinisikan fungsi secara rekursif

Misalkan f didefinisikan secara rekursif olehf(0) = 3f(n+1)=2f(n)+3Carilah nilai dari f(1),f(2),f(3),f(4) ?Solusi :f(1)=2f(0)+3=2(3)+3=9f(2)=2f(1)+3=2(9)+3=21f(3)=2f(2)+3=2(21)+3=45f(4)=2f(3)+3=2(45)+3=93

3 ,n=0 (basis)jadi f(n)=

2f(n-1)+3 ,n>0(rekursif)

Contoh 1

Barisan fibonaci 0,1,1,2,3,5,8,… dapat di definisikan secara rekursif sebagai berikut

0 ,n=0

fn= 1 ,n=1

fn-1 + fn-2 ,n>1

Barisan Fibonaci

Contoh soal berikut berdasarkan definisi rekursif dari barisan fibonaci pada slide sebelumnya.Diberikan matriks

tunjukkan bahwa

Berlaku ∀n ∈ ℤ+

Langkah-langkah mendefinisikan himpunan secara rekursif :1. Langkah basis : Spesifikasi koleksi awal

dari anggota2. Langkah rekursif : Definisikan aturan

konstruksi anggota baru dari anggota yang telah diketahui

Mendefinisikan Himpunan secara rekursif

Misalkan S didefinisikan secara rekursif oleh 1. Langkah basis : 3 Є S2. Langkah rekursif : Jika x Є S dan y Є S

maka (x+y) Є S Solusi :Unsur baru ditemukan di S adalah 3 dengan langkah basis , 3 + 3 = 6 pada aplikasi pertama dari langkah rekursif,3+6 = 6+3 = 9 aplikasi kedua dari langkah rekursif, 6 + 6 = 12 dan seterusnya ..

Contoh

String String adalah rangkaian sejumlah karakter

String kosong (null string)String kosong adalah string dengan panjang nol.Notasi nya adalah λ

AlfabetAlfabet adalah himpunan karakter yang anggotanya merupakan penyusun string.Notasinya adalah Σ

Himpunan rekursif

Definisi 1 :Himpunan string Σ* atas alfabet Σ dapat di definisikan secara rekursif oleh :1. Langkah basis :

λ Є Σ* ( λ adalah string kosong yang tidak memuat simbol )

2. Jika w Є Σ* dan x Є Σ maka wx λ Є Σ*

Himpunan string atas alfabet

If Σ={0, 1}, the strings found to be in Σ* the set of all bit strings, are λ, specified to be in Σ* in the basis step, 0 and 1 formed during the first application of the recursive step, 00, 01, 10,and 11 formed during the second application of the recursive step, and so on.

Contoh

Dua string dapat di kombinasi menggunakan operasi concatenation (konkatenasi). Ambil Σ menjadi sebuah simbol himpunan dan Σ* himpunan string dibentuk dari simbol Σ. Kita dapat menetapkan rangkaian dua string yang dilambangkan oleh . secara rekursif sebagai:1. Langkah basis: Jika w Є Σ* ,maka w.λ = w dengan

λ string kosong2. Langkah rekursif: jika w1 Є Σ* dan w2 Є Σ* dan x Є

Σ,maka w1. (w2 x) = (w1. w2)x

Definisi 2 :

Konkatenasi dari w1=abra dan w2=kadabra adalah…solusi :w1. w2 = abrakadabra

Contoh

Definisi 3 :Himpunan akar pohon, di mana pohon berakar terdiri dari sebuah himpunan yang mengandung simpul yang disebut akar, dan ujung-ujungnya yang menghubungkan simpul tersebut, dapat didefinisikan secara rekursif dengan langkah :1. Langkah basis : Simpul r tunggal adalah sebuah

akar pohon2. Misalkan T1,T2,..., Tn menguraikan pohon akar

dengan akar r1, r2,...,rn .Grafik di dimulai dari akar r yang tidak berada di pohon akar T1,T2,..., Tn dan menambahkan r ke masing masing simpul

Himpunan rooted trees (akar pohon)

Building up rooted trees

Dalam membuktikan hasil-hasil yang berkaitan dengan himpunan yang di definisikan secara rekursif, akan lebih mudah apabila menggunakan suatu bentuk induksi matematika yang di sebut induksi struktural.Langkah-langkah dalam induksi struktural :1. Langkah basis : Tunjukkan bahwa hasil yang akan

di buktikan berlaku untuk semua anggota awal2. Langkah rekursif : Tunjukkan bahwa jika hasil yang

dibuktikan berlaku untuk anggota-anggota yang digunakan untuk membangun anggota baru, maka hasil tersebut juga berlaku untuk anggota baru yang di bangun.

Induksi Struktural

Jika S didefinisikan secara rekursif oleh 1. Langkah basis : 3 Є S2. Langkah rekursif : Jika x Є S dan y Є S maka

(x+y) Є S maka S adalah himpunan bilangan bulat positif yang habis dibagi 3Bukti :Misalkan A himpunan yang beranggotakan semua bilangan bulat positif yang habis dibagi 3. untuk membuktikan A = S tunjukkan bahwa A ⊆ S dan S ⊆ A

Contoh

Akan dibuktikan A ⊆ S yaitu menunjukkan setiap bilangan bulat positif yang habis di bagi 3 ada di S. Dengan menggunakan induksi matematika, misalkan

P(n) : proposisi “3n ∈ S”Langkah basis : buktikan P(n) benar untuk n=1P(1) : 3(1)∈ S (benar)Langkah induktif : asumsikan P(k) benar untuk n=k maka buktikan P(k+1) benarP(k) : 3k ∈ SP(k+1) : 3(k+1) ∈ Sdari hipotesis 3k ∈ S dan 3 ∈ S,berdasarkan definisi rekursif dari S,3k+3 = 3(k+1) ∈ Sjadi setiap bilangan bulat positif yang habis dibagi 3 ada di S. Kesimpulan dari kasus 1 adalah A ⊆ S

Kasus 1 :

Akan dibuktikan S ⊆ A dengan menggunakan definisi rekursif dari S.Langkah basis : akan ditunjukkan anggota awal di S ada di A. Karena 3 habis dibagi 3 maka 3 ∈ A Langkah rekursif : akan ditunjukkan ∀x ∈ S dengan menggunakan definisi rekursif di S juga merupakan elemen di A. Pilih sembarang x ∈ SJika x =3 jelas x ∈ A

x ≠ 3 berarti ∃y1 ∈ S ∋ x=y1+3Jika y1 =3 berarti x=3+3=6, karena 6

membagi 3, maka x ∈ Ay1 ≠ 3 berarti ∃y2 ∈ S ∋ y1=y2+3, y2<y1

Kasus 2

Jika y2 = 3 berarti x = 3+6=9 karena 9 membagi 3, maka x ∈ A

y2 ≠ 3 berarti ∃y3 ∈ S ∋ y2=y3+3, y3<y2

Berdasarkan sifat well ordering property yaitu setiap subhimpunan dari himpunan bilangan bulat positif selalu memiliki anggota terkecil.Artinya y= 3+3+3+3+3... artinya membagi 3x=y1 + 3 ∈ AKesimpulan dari kasus 1 adalah S ⊆ AJadi secara keseluruhan berlaku A=S

Terimakasih Guys