1 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

RANGKUMAN MATERI, SOAL DAN PEMBAHASAN

BAB V

HASILKALI TRANSFORMASI

disusun guna melengkapi tugas mata kuliah Geometri Transformasi

Dosen pengampu Bapak Ishaq Nuriadin, M.Pd

Oleh

Niamatus Saadah 1201125122

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA

2015

2 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

VVG

VVF

:

:

HASIL KALI TRANSFORMASI

Definisi: Andaikan F dan G dua transformasi, dengan

Maka produk atau komposisi dari F dan G yang ditulis sebagai G o F

didefinisikan sebagai

(G o F)(P) = G [F(P)], VP .

Teorema 5.1: Jika F : VV dan G : VV masing-masing suatu transformasi,

maka hasilkali H= G o F : VV adalah juga suatu transformasi.

Bukti :

i. Harus dibuktikan bahwa H= G o F : VV ada.

1) Jelas adalah seluruh bidang V

2) Jelas adalah seluruh bidang V

Jadi ada sehingga H = G o F : VV ada.

ii. Harus dibuktikan dua hal yaitu: 1) H surjektif, 2) H injektif.

1) Misal H(y) = (G o F)(y) = x

Akan dibuktikan H(y) = x surjektif.

Ambil sebarang x V.

Karena G suatu transformasi maka G surjektif artinya

x V z V G(z) = x.

Karena F suatu transformasi maka F surjektif artinya

pada z V y V z = F(y).

Jadi ada y V (G o F)(y) = H(y) = x.

Jadi H surjektif.

2) Ambil x, y dengan x y H(x) H(y)

Andaikan H(x) = H(y) maka (G o F)(x) = (G o F)(y)

Karena G injektif maka F(x) = F(y).

3 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

Karena F injektif maka x = y.

Ini suatu kontradiksi.

Jadi pengandaian salah, sehingga haruslah x y.

Jadi H injektif.

Berdasarkan i dan ii maka H= G o F : VV adalah suatu transformasi.

Catatan:

Hasil kali J = F o G : VV adalah juga suatu transformasi.

Bukti :

i. Harus dibuktikan bahwa J = F o G : VV ada.

1) Jelas adalah seluruh bidang V

2) Jelas adalah seluruh bidang V

Jadi ada sehingga J = F o G : VV ada.

ii. Harus dibuktikan dua hal yaitu: 1). J surjektif, 2). J injektif.

1) Misal J(y) = (F o G)(y) = x.

Akan dibuktikan J(y) = x surjektif.

Ambil sebarang x V.

Karena F suatu transformasi maka F surjektif artinya

x V z V F(z) = x.

Karena G suatu transformasi maka G surjektif artinya

pada z V y V z = G(y).

Jadi ada y V (F o G)(y) = J(y) = x.

Jadi J surjektif.

2) Ambil x, y dengan x y J(x) J(y).

Andaikan J(x) = J(y) maka (F o G)(x) = (F o G)(y)

Karena F injektif maka G(x) = G(y).

Karena G injektif maka x = y.

Ini suatu kontradiksi dengan x y.

Jadi pengandaian salah, sehingga haruslah x y.

Jadi J injektif.

Berdasarkan i dan ii maka J = F o G : VV adalah suatu transformasi.

4 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

Contoh:

Andaikan g sebuah garis dan T sebuah transformasi T : VV yang didefinisikan

sebagai berikut.

1. Jika X g maka T(X) = X.

2. Jika X g maka T(X) adalah titik tengah ruas garis dari X ke g yang tegak

lurus.

a. Buktikan T suatu transformasi.

1) Adb T surjektif

Kasus 1: Untuk X g

Menurut definisi maka X’= X karena T(X) = X’ = X.

Jadi X’ V X V T(X) = X’ = X.

Kasus 2 : Untuk X g

Ambil sebarang titik X’ V.

Menurut teorema dasar geometri Euclides: ada satu garis yang tegak lurus

pada garis tertentu melalui titik di luar garis tersebut.

Dengan demikian, dapat dibuat sebuah segmen garis yang tegak lurus g

melalui X’. Namai .

Menurut postulat geometri Euclides: sebuah segmen dapat diperpanjang

sehingga sama dengan segmen tertentu.

X = T(X) g

Gambar 1

X

X

’

g

Gambar 2

5 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

Jadi dapat dibuat perpanjangan segmen sepanjang segmen tersebut

sehingga diperoleh titik X dengan = .

Karena = dan V bidang euclides maka ada X tunggal dengan X’

Dengan X’ adalah titik tengah dan X’ adalah satu-satunya titik

tengah .

Ini berarti X adalah prapeta dari X’.

Jadi X’ V X V T(X) = X’.

Jadi T surjektif.

2) Adb T injektif

Ambil sembarang titik X, Y dengan X

X Y

jelas ruas garis ortogonal X ke g ruas garis

ortogonal Y ke g

Ditunjukkan X Y

Andaikan .

Maka T(X) adalah titik tengah ruas garis ortogonal Y ke g dan X ke g.

T(Y) adalah titik tengah ruas garis ortogonal X ke g dan Y ke g.

Ruas garis ortogonal X ke g berpotongan ruas garis ortogonal Y ke g.

Jadi X = Y

Kontradiksi dengan X Y.

Haruslah X Y .

Jadi T adalah injektif.

Dari 1) dan 2) didapat T adalah transformasi.

a. Apakah T suatu isometri?

Penyelidikan:

Ambil sebarang titik .

6 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

Kasus 1: dan dengan

Jelas T(P) = P’ = P Q = Q’ = T(Q).

Jadi P’Q’ = PQ.

Kasus 2: dan .

Jelas T(P) = P’ = P.

Jelas T(Q) = Q’ dengan Q’ adalah titik tengah ruas garis ortogonal dari Q ke

Q’.

Jadi PQ P’Q’= PQ’.

PR! Kasus 3 : dan , dengan Q tidak segaris

Kasus 4 : dan . dengan

Berdasarkan kasus 1 dan kasus 2, diperoleh bahwa T bukan isometri.

b. Ambil transformasi kedua misalnya sebagai berikut: Ambil sebuah garis

h g dan Mh adalah refleksi pada garis h. Jadi hasilkali Mh[T(X)] = Y

juga suatu transformasi sehingga Y = (Mh o T)(X).

Apakah hasilkali ini isometri?

h

P=T(P) Q=T(Q) g

Gambar 3

Q

g

Q’=T(Q

)

P=T(P)

Gambar 4

X

g

X’=T(X) Y

Gambar 5

X

X’=T(X)

7 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

Adb. (Mh o T)(X) = (T o Mh)(X)

Bukti:

Dari gambar 5, ambil garis g misalkan sebagai sumbu X suatu koordinat

ortogonal dan garis h sebagai sumbu Y. Titik potong h dan g sebagai titik

asal.

Misalkan X = (x,y) maka T(X) = (x, 2

1 y) dan Mh[T(X)] = (-x,

2

1 y).

Jadi (Mh o T)(X) = Mh[T(X)] = (-x, 2

1 y).

Jelas (T o Mh) (X) = T[Mh(X)].

Sehingga apabila X = (x,y) maka Mh(X) = (-x, y) dan T[Mh(X)] = (-x, 2

1 y).

Jadi (T o Mh)(X) = T[Mh(X)] = (-x, 2

1 y).

Karena Mh[T(X)] = T[Mh(X)] maka (Mh o T)(X) = (T o Mh)(X) yang

berlaku untuk setiap XV.

Jadi (Mh o T)(X) = (T o Mh)(X).

Jadi hasilkali ini isometri.

Mh(X) =(-x,y) X(x,y) y

x sb. X

O

sb. Y

X’=T(X) Y

Gambar 6

TETAPI SIFAT KOMUTATIF TIDAK SELALU BERLAKU

8 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

Bukti:

Ambil garis g dan garis h yang tidak tegak lurus pada g.

Jelas bahwa Mh[T(X)] T[Mh(X)].

Jadi (Mh o T)(X) (T o Mh)(X).

Berdasarkan hal di atas dapat dikatakan bahwa apabila S dan T transformasi

maka S o T T o S.

Buktikan bahwa pada gambar 7, Mh[T(X)] T[Mh(X)].

Bukti:

Dari gambar 7, ambillah garis g sebagai sumbu X suatu sistem koordinat

ortogonal dan garis h sebagai grafik persamaan y = x . Titik potong h dan g

kita ambil sebagai titik asal O.

T[Mh(X)]

Mh(X) Mh[T(X)]

>

>

h

Gambar 7

g

X

X’=T(X)

X(x,y)

x

y

O

sb.

Y

Mh(X) Mh[T(X)]

>

>

y=x

Gambar 8

sb. X

X’=T(X)

T[Mh(X)]

9 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

Misalkan X = (x,y) maka T(x) = (x, 2

1 y) dan Mh[T(x)] = (

2

1 y, x).

Jadi (Mh o T)(X) = Mh[T(x)] = (2

1 y, x).

Jelas (T o Mh) (X) = T[Mh(X)].

Apabila X = (x,y) maka Mh(X) = (y, x) dan T[Mh(X)] = (y,2

1 x).

Oleh karena Mh[T(X)] T[Mh(X)] maka (Mh o T)(X) (T o Mh)(X) yang

berlaku untuk setiap XV.

Jadi Mh[T(X)] T[Mh(X)].

Hasil kali transformasi tidak hanya terbatas oleh dua transformasi. Andaikan

T1, T2, T3 adalah transformasi. Untuk menyelesaikan masalah tersebut kita dapat

menyusun terlebih dahulu hasil kali T1 o T2 kemudian kalikan dengan T3.

Hasilkali transformasinya dapat kita sebagai T3(T2T1).

Jadi andaikan P’ = T1(P), P” = T(P’), P”’ = T3(P”), maka

[T3(T2T1)](P) = T3[T2T1(P)]

= T3[T2{T1(P)}]

= T3[T2(P’)]

= T3(P’’)

= P’’’

Selain cara di atas kita juga dapat mengalikan sebagai berikut:

[(T3T2 )T1](P) = (T3T2 ) [T1(P)]

= (T3T2)(P’)

= T3 [T2(P)]

= T3(P’’)

= P”’

Jadi hasilkali transformasi bersifat asosiatif. Kita dapat mengatakan bahwa

T3(T2T1) = (T3T2)T1 = T3T2T1.

10 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

g

g

PEMBAHASAN SOAL

BAB V HASILKALI TRANSFORMASI

1). Diketahui : garis-garis g dan h dan titik-titik P,Q dan K.

Lukislah :

a). A = Mg[Mh(P)]

b). B = Mh[Mg(P)]

c). C = Mh[Mh(P)]

d). D = Mg[Mh(K)]

e). R sehingga Mh[Mg(R)] = Q

f). Apakah Mg Mh = MhMg?

Penyelesaian:

a)

b)

Q

P

h

A = Mg[Mh(P)]

Mh(P)

B = Mh[Mg(P)]

P

Mg(P)

h

11 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

g

Q

P

h

K = D= Mg[Mh(K)]

Mh(Q)

Q = Mh[Mg(R)]

c)

d)

e)

f) Tidak, sebab terlihat pada nomor (a) dan (b), diperoleh

Mg[Mh(P)] Mh[Mg(P)]. Selain itu, sifat komutatif tidak berlaku secara

umum pada hasilkali transformasi. Pembuktian dapat dilihat di materi.

2). Diketahui : T dan S isometri

Selidiki :

a). TS sebuah isometri

P = Mh[Mh(P)]

Mh(P)

h

g

P

h

g

R

12 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

b). TS = ST

c). Jika g sebuah garis maka g’ = (TS)(g) juga sebuah garis.

d). Jika g // h dan g’ = (TS)(g), h’ = (TS)(h) maka g’ // h’

Penyelesaian :

a). T dan S adalah isometri-isometri sehingga T dan S adalah suatu

transformasi

Berdasarkan teorema “Jika F : V V dan G : V V masing-masing

suatu transformasi, maka hasil kali H = G F : V V adalah juga suatu

transformasi”, maka TS juga transformasi.

Adb. TS isometri.

Ambil sebarang titik A, BV.

Jelas S(A) = A’, S(B) = B’.

Karena S isometri maka AB = A’B’.

Jelas T(A’) = A”, T(B’) = B”.

Karena T suatu isometri maka A’B’ = A”B”.

Diperoleh AB = A’B’ = A”B”.

Jelas TS(A) = T[S(A)] = T(A’) = A” dan

TS(B) = T[S(B)] = T(B’) = B”.

Karena AB = A”B” maka TS sebuah isometri.

Jadi TS adalah suatu isometri.

b). Adb TS = ST

Didefinisikan T(P) = P’ dan T(Q) = Q’.

Misalkan |PQ| = |P’Q’| |PQ| = |T(P) S(Q)|.

TS(P) = P’ dan ST(P) = P’.

Karena TS(P) = ST(P) = P’ maka TS = ST = 1.

Jadi TS = ST.

c). Apabila g sebuah garis maka g’ = TS(g) juga sebuah garis.

Telah diketahui bahwa TS sebuah isometri.

Berdasarkan teorema “sebuah isometri memetakan garis menjadi garis”.

Maka g’ = TS(g) adalah sebuah garis.

13 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

Jadi pernyataan “jika g sebuah garis maka g’ = TS(g) juga sebuah garis”

benar.

d). Apabila g // h dan g’ = TS(g), h’ = TS(h) maka g’// h’.

Karena TS sebuah isometri, berdasarkan teorema “sebuah isometri

mengawetkan kesejajaran dua garis” sehingga diperoleh g’// h’ dengan g’

= TS(g), h’ = TS(h), g // h .

Jadi pernyataan “Apabila g // h dan g’ = TS(g), h’ = TS(h) maka g’// h’”

benar.

3). Diketahui : garis-garis g dan h, A g, B h, C h

Lukislah :

a). Mg[Mh(ABC)]

b). Mh[Mg(ABC)]

c). K sehingga Mg[Mh(K)] = K

d). R sehingga Mh[Mg(R)] = D

Penyelesaian:

a).

Mh(A) = A’

Mh(B) = B (karena B h )

g

h

A

C

B

A’

C’

C”

A”

B”

14 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

Mh(C) = C’

Mg(A’) = A”

Mg(B’) = B”

Mg(C’) = C”

Jadi, Mg[Mh(ABC)] = A”B”C”.

b).

Mg(A) = A’ = A (karena A g )

Mg(B) = B’

Mg(C) = C’

Mh(A’) = A”

Mh(B’) = B”

Mh(C’) = C”

Jadi, Mh[Mg(ABC)] = A”B”C”.

c). Akan dilukis K sehingga Mg[Mh(K)] = K.

Mg[Mh(K)] = K (MgMh)(K) = K.

Hasil kali persamaan (MgMh)(K) = K hanya akan terjadi pada titik

potong antara garis g dan garis h. Oleh karena itu K adalah titik potong

garis g dan garis h.

g

h

K

g

h

A = A’

C B

A”

C”

C’

B”

B’

15 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

d). Akan dilukiskan titik R sehingga Mh[Mg(R)] = D.

Karena D h maka D’ = Mh(D) = D.

Diperoleh Mg(R) = D.

Jadi, R adalah prapeta D oleh Mg

4). Diketahui : garis-garis g, h, k dengan g // k

Lukislah :

a). g’ = Mh[Mg(g)]

b). g’ = Mg[Mh(g)]

c). k’ = Mg[Mh(k)]

Penyelesaian:

a) g’= Mh[Mg(g)]

Ambil dua titik sebarang anggota garis g, misal titik P dan Q serta namai

titik perpotongan garis g dan h di R . Setelah mendapatkan pencerminan P

di P’, R di R dan Q di Q’, hubungkan titik P’, R, dan Q’ menjadi suatu

garis yaitu garis g’.

g

h

R

D

g’

Q

R

Q’

P

P’ h g

k

16 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

b) g’= Mg[Mh(g)]

Ambil dua titik sebarang anggota garis g, misal titik P dan Q.

c) k’= Mg[Mh(k)]

Ambil dua titik sebarang anggota garis g, misal titik A dan B. namai titik

perpotongan garis h dan k di C.

g

’ Q’’

P’’

Q

R

Q’

P

P’ h g

k

k’

A’’

B’’

B’

A’

B

C

A

h g

k

17 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

5). Diketahui : dua garis g dan h yang berpotongan

Lukislah :

a). k sehingga Mg[Mh(k)] = g

b). m sehingga Mh[Mg(m)] = g

c). n sehingga Mh[Mg(n)] membagi sama besar sudut lancip antara g dan h

Penyelesaian:

a) k sehingga Mg[Mh(k)] = g

Mg[Mh(k)] berarti k dicerminkan terlebih dulu terhadap garis h kemudian

hasilnya dicerminkan terhadap garis g. Karena hasil pencerminan

terhadap garis g adalah g maka (Mh(k)) = g.

b) m sehingga Mh[Mg(m)] = g

Mh[Mg(m)] berarti m dicerminkan terhadap garis g terlebih dulu kemudian

hasilnya dicerminkan terhadap garis h.

Misalkan Mg(m) = i.

Karena hasil pencerminan terhadap garis h adalah g berarti Mh[Mg(m)] =

Mh(i) = g.

Karena hasil pencerminan Mg(m) = i maka g merupakan sumbu antara i

dan m.

g

h

k

18 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

c) n sehingga Mh[Mg(n)] membagi sama besar sudut lancip antara g dan h.

Misalkan Mh[Mg(n)] = l sehingga l membagi sama besar sudut lancip

antara g dan h, serta Mg(n) = k.

Karena hasil pencerminan terhadap garis h adalah l berarti Mh[Mg(n)] =

Mh(k) = l.

Karena hasil pencerminan Mg(n) =k maka g merupakan sumbu antara k

dan m.

6). Diketahui : padanan S dan T sebagai berikut

Daerah asal S adalah g, S(X) adalah titik tengah AX

m i

g

h

n

k

h

g

l

19 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

Daerah asal T adalah daerah di luar lingkaran l dan T(X) =

lBX

Ditanyakan :

a). TS(P)

b). Daerah asal dan daerah nilai TS

c). R sehingga (TS)(R) = Q dengan Q l

d). Apakah ST ada? Jika ya, tentukan daerah asal dan daerah nilainya

Penyelesaian:

a). Ambil P g sehingga S(P) pertengahan AP .

TS(P) = T[S(P)].

TS(P) perpotongan lingkaran l dengan BS(P) .

b). Karena TS(X) = T[S(X)] berarti daerah asal T adalah S, sementara

daerah asal S adalah g. Jadi, daerah asal TS di g.

Daerah nilai S adalah S(X) yaitu pertengahan AX . Daerah nilai T(X)

adalah lBX , dan untuk TS(X) maka ll BS(X)

Jadi, daerah nilai TS adalah pada lingkaran l.

c). R sehingga (TS)(R) = Q dengan Q l

B

TS(P)

A

P g

S(P)

l

B Q

A

R g

S(R)

l

20 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

d). Ambil sebarang titik P

Maka T(P) di l karena daerah hasil T di l.

S[T(P)] tidak ada karena T(P) ,l sementara daerah asal S di g.

Jadi, ST tidak ada.

7). Diketahui : garis g adalah sumbu X sebuah sumbu ortogonal dan

xyyxh , .

Ditanyakan :

a). Persamaan garis Mh[Mg(g)]

b). P” = Mh[Mg(P)] dengan P = (0,3)

c). Q” = Mg[Mh(Q)] dengan Q = (3,-1)

d). R” = Mg[Mh(R)] dengan R = (x, y)

e). Besarnya ROR” apabila O titik asal

Penyelesaian:

a). Mh[Mg(g)] = Mh(g)

= Mh Rxx ,0,

Ingat! misalkan diketahui titik A (a, b), maka penerminan A terhadap

garis y = x adalah A’ (b, a).

Jadi Mh[Mg(g)] = Rxx ,,0 .

Jadi, diperoleh Mh[Mg(g)] adalah sumbu-Y sebuah sistem sumbu

ortogonal.

Jadi persamaan garis Mh[Mg(g)] adalah x = 0.

b). Akan ditentukan P” = Mh[Mg(P)] dengan P = (0,3)

Mh[Mg(P)] = Mh[Mg(0,3)]

= Mh[(0,-3)]

= (-3,0)

Jadi P” = (-3,0).

21 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

c). Akan ditentukan Q” = Mg[Mh(Q)] dengan Q = (3,-1)

Mh(Q) = Mh(3,-1)

= (-1,3)

Diperoleh Q” = Mg[Mh(Q)]

= Mg(-1,3)

= (-1,-3)

Jadi Q” = (-1,-3).

d). Akan ditentukan R” = Mg[Mh(R)] dengan R = (x, y)

R” = Mg[Mh(R)]

= Mg[Mh(x, y)]

= Mg(y, x)

= (y,-x)

Jadi R” = (y,-x).

e). m(ROR”) = ...?

Cara 1

Misalkan m(ROR”) = α

270 αatau90 α

0 αcos

0 αcos2

αcos222

αcos2

αcosOR"OR2OR"ORRR"

22

2222222222

2222222222

222

yx

yxxyyxxxyyyxyx

xyyxxyyxxyyx

Jadi, m(ROR”) = 90

Cara 2

Menentukan besar ROR” dengan O adalah titik asal R(x, y) dan R’’(y,

-x).

R dicerminkan dulu terhadap garis g = sumbu X, dilanjutkan

dicerminkan terhadap garis h.

O(0,0)

R(x,y)

α)

R”(y,-x)

22 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

Persamaan garis yang melalui O dan R adalah

xx

yy

x

x

y

y

R

R

RR

0

0

0

0

Persamaan garis yang melalui O dan R’’ adalah

xx

yy

x

x

y

y

R

R

RR ''

''

'''' 0

0

0

0

Karena xyR '' dan yxR '' maka diperoleh ''OROR .

Jadi ROR” = 90.

8). Diketahui : dua garis g dan h yang berbeda berpotongan di P

Buktikan : Mg[Mh(A)] = P jika dan hanya jika A = P

Bukti :

Garis g dan h berpotongan di titik P, maka P g dan P h

Diketahui Mg[Mh(A)] = P ..........(i)

Akan dibuktikan jika Mg[Mh(A)] = P maka A = P

Karena P ,g menurut definisi pencerminan,

Mg(P) = P ..........(ii)

Dari (i) dan (ii) diperoleh

Mg[Mh(A)] = P = Mg(P)Mh(A) = P ..........(iii)

Karena P ,h menurut definisi pencerminan,

Mh(P) = P ..........(iv)

Dari (iii) dan (iv) diperoleh

Mh(A) = P = Mh(P)A = P

Jadi, jika Mg[Mh(A)] = P maka A = P (terbukti)

Diketahui A = P

Akan dibuktikan jika A = P maka Mg[Mh(A)] = P

Karena A = P dan P ,h menurut definisi pencerminan,

Mh(A) = Mh(P) = P

Karena P ,g menurut definisi pencerminan,

Mg(P) = P = Mg[Mh(A)] sehingga Mg[Mh(A)] = P

23 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

Jadi, jika A = P maka Mg[Mh(A)] = P (terbukti)

Dari dan diperoleh :

Jika dua garis g dan h yang berbeda berpotongan di P, maka

Mg[Mh(A)] = P jika dan hanya jika A = P (terbukti).

9). Diketahui : andaikan g sumbu X dan h = xyyx ,

S adalah padanan yang didefinisikan sebagai berikut :

Jika P g maka S(P) = P, jika P g maka S(P) adalah titik tengah ruas garis

tegak lurus dari P pada g

Ditanyakan :

a). Buktikan S suatu transformasi!

b). Jika P = (x,y) sebuah titik sembarang, tentukan koordinat-koordinat titik

S[Mg(P)]!

c). Selidiki apakah S Mg = Mg S?

d). Selidiki apakah S Mh = Mh S?

Penyelesaian:

a). Akan dibuktikan S suatu transformasi.

S : V V

Akan dibuktikan S bijektif.

(i). Akan dibuktikan S surjektif.

(1). Untuk P g .

Ambil sebarang PV.

Jelas prapeta P = P sebab S(P) = P.

(2). Untuk P g .

Oleh karena V bidang euclide maka terdapat dengan tunggal P.

dengan P PT dimana T g dan PT g.

Sehingga PX = XT.

Karena PX = XT maka X merupakan titik tengah PT .

24 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

Jadi, X adalah titik tengah ruas garis tegak lurus dari P pada g

atau X = S(P), karena X = S(P) maka P prapeta dari X.

Dari (1) dan (2) diperoleh S surjektif.

(ii). Akan dibuktikan S injektif.

Ambil sebarang P, QV dengan P Q.

(1). Untuk P, Q g .

Jelas S(P) = P dan S(Q) = Q.

Karena P Q maka S(P) S(Q).

(2). Untuk P g dan Q g .

Jelas S(P) = P dan S(Q) = X, dimana X titik tengah ruas garis

tegak lurus dari Q pada g, maka X g .

Karena P g dan X g maka P X atau S(P) S(Q).

(3). Untuk P, Q g .

Jelas S(P) = Y, dimana Y titik tengah ruas garis tegak lurus dari

P pada g dan S(Q) = X titik tengah ruas garis tegak lurus dari Q

pada g.

Andaikan S(P) = S(Q) atau Y = X.

Karena Y titik tengah ruas garis tegak lurus dari P pada g,

misalkan ruas garis tersebut dinamakan PT dimana T g .

Maka Y PT dan PY = YT

Karena X = Y maka X PT dan PX = XT ..........(*)

Karena S(Q) = X maka X titik tengah ruas garis tegak lurus dari

Q pada g, maka X UQ dan QX = XU ..........(**)

Dari (*) dan (**) diperoleh PT dan UQ berimpit.

Karena T g dan U g maka T = U dan P = Q, hal ini

kontradiksi dengan P Q.

b). Diketahui P = (x, y).

(i). Untuk P g .

Mg(P) = P maka S[Mg(P)] = P.

25 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

(ii). Untuk P g .

Mg(P) = (x,-y).

S[Mg(P)] = )2

1,( yx .

c). Akan diselidiki apakah S Mg = Mg S.

Ambil sebarang P = (x, y).

(i). Untuk P g .

[S(P)]M(P)][M S P (P)M [S(P)]M maka PS(P)

P S(P) (P)][M S maka P (P)Mgg

gg

gg

(ii). Untuk P g .

[S(P)]M(P)][M S

)2

1,(M [S(P)]M maka )

2

1,(S(P)

)2

1,( S(P) (P)][M S maka ),( (P)M

gg

gg

gg

yxyx

yxyx

Berdasarkan (i) dan (ii) diperoleh [S(P)]M(P)][M S gg atau S Mg = Mg S.

d). Akan diselidiki apakah S Mh = Mh S.

Ambil sebarang P = (x, y).

(i). Untuk P g .

(P)][M S[S(P)]M

),0( [S(P)]M maka )0,(S(P)

)2

1,0( (P)][M S maka ),0( (P)M

hh

h

hh

xx

xx

(ii). Untuk P g .

(P)][M S[S(P)]M

),2

1( [S(P)]M maka )

2

1,(S(P)

)2

1,( (P)][M S maka ),( (P)M

hh

h

hh

xyyx

xyxy

Berdasarkan (i) dan (ii) diperoleh (P)][M S[S(P)]M hh atau S Mh

Mh S.

10). Diketahui : g = 0, yyx dan h = xyyx ,

S transfomasi (yang didefinisikan seperti nomor 9)

26 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

A = (2,-8) dan P = (x, y)

Tentukan koordinat-koordinat titik-titik berikut :

a). Mh Mg S(A) d). Mh S Mg(P)

b). Mg S Mh(A) e). S2 Mh(P)

c). S Mh S(A) f). S M2g(P)

Penyelesaian:

a). A = (2, -8)

A’ = S(A)

Sesuai definisi S (jika P g maka S(P) adalah titik tengah ruas garis

tegak lurus dari P pada g) maka A’ adalah titik tengah garis yang melalui

A dan g.

A’ = )4,2()2

)8(0,

2

22(

.

Jadi, S(A) = (2,-4).

A” = MgS(A) = Mg(2,-4)

Sesuai definisi pencerminan, maka garis g adalah garis sumbu titik (2, -4)

dan A”. Misal:

A” = (a, b), maka:

4,2)22

,2

1()0,2()2

4,

2

2()0,2(

ba

baba

Jadi, A” = MgS(A) = Mg(2,4) = (4,2)

Selanjutnya A” (4,2) dicerminkan terhadap garis h = xyyx ,

diperoleh A’” (2,4).

Jadi koordinat titik Mh Mg S(A) adalah A’” (2,4).

b). Diketahui A(2,-8) dicerminkan terhadap garis h = xyyx , .

diperoleh A’ (-8,2)

Selanjutnya A’ ditransformasikan terhadap S. Karena A’ g , maka hasil

transformasinya merupakan titik tengah garis yang melalui A’ dan g.

27 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

Titik potong garis yang melalui A’ dan g adalah P(-8,0).

Diperoleh titik A’(-8,2) dan P(-8,0).

Jelas x1 = -8 dan y1 = 2, x2 = -8 dan y2 = 0 sehingga jarak antara A’ dan P

adalah

Diperoleh = y = 2.

Jadi hasil transformasi A’ terhadap S adalah A” (x, y) = A” (-8, .2) =

A” (-8,1).

Kemudian A” (-8,1) dicerminkan terhadap garis g = 0, yyx

diperoleh A’” (-8,-1).

Jadi koordinat titik Mg S Mh(A) adalah A’” (-8,-1).

c). Diketahui A(2,-8) ditransformasikan terhadap S. Karena A g , maka hasil

transformasinya merupakan titik tengah garis yang melalui A dan g.

Titik potong garis yang melalui A dan g adalah P(2,0).

Diperoleh titik A(2,-8) dan P(2,0).

Jelas x1 = 2 dan y1 = -8, x2 = 2 dan y2 = 0 sehingga jarak antara A dan P

adalah

Diperoleh = y = 8.

28 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

Jadi hasil transformasi A terhadap S adalah A’ (x, y) = A’ (2, .8) = A’

(2,4).

Selanjutnya A’(2,4) dicerminkan terhadap garis h = xyyx ,

diperoleh A”(4,2).

Kemudian A”(4,2) ditransformasikan terhadap S. Karena A” g , maka

hasil transformasinya merupakan titik tengah garis yang melalui A” dan

g.

Titik potong garis yang melalui A” dan g adalah P(4,0).

Diperoleh titik A”(4,2) dan P(4,0).

Jelas x1 = 4 dan y1 = 2, x2 = 4 dan y2 = 0 sehingga jarak antara A” dan P

adalah

Diperoleh = y = 2.

Jadi hasil transformasi A” terhadap S adalah A”’ (x, y) = A’” (4, .2) =

A’” (4,1).

Jadi koordinat titik S Mh S(A) adalah A’” (4,1).

d). Diketahui titik P (x, y).

Titik P (x, y) dicerminkan terhadap garis g = 0, yyx diperoleh P’

(x, -y).

Selanjutnya P’(x, -y) ditransformasikan terhadap S.

(i) Untuk P’ g .

Diperoleh P’’(x, -y) = P’(x, -y).

Kemudian P’’(x, -y) dicerminkan terhadap garis h = xyyx ,

diperoleh P”’(-y, x).

29 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

Jadi koordinat titik Mh S Mg(P) adalah P”’(- y, x).

(ii) Untuk P’ g ,.

Jelas hasil transformasinya merupakan titik tengah garis yang

melalui P’ dan g.

Titik potong garis yang melalui P’ dan g adalah Q (x, 0).

Diperoleh titik P’(x, -y) dan Q (x, 0).

Jelas x1 = x dan y1 = -y, x2 = x dan y2 = 0 sehingga jarak antara P’

dan Q adalah

Diperoleh = y.

Jadi hasil transformasi P’ terhadap S adalah P” (x, y).

Kemudian P”(x, y) dicerminkan terhadap garis h = xyyx ,

diperoleh P”’( y, x).

Jadi koordinat titik Mh S Mg(P) adalah P”’( y, x).

e). Diketahui P(x, y).

Titik P(x, y) dicerminkan terhadap garis h = xyyx , diperoleh P’(y,

x).

Selanjutnya P’(y, x) ditransformasikan terhadap S. Jelas hasil

transformasinya merupakan titik tengah garis yang melalui P’ dan g.

Titik potong garis yang melalui P’ dan g adalah Q (y, 0).

Diperoleh titik P’(y, x) dan Q (y, 0).

30 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

Jelas x1 = y dan y1 = x, x2 = y dan y2 = 0 sehingga jarak antara P’ dan Q

adalah

Diperoleh = x.

Jadi hasil transformasi P’ terhadap S adalah P” (y, x).

Kemudian P” (y, x) ditransformasikan terhadap S. Jelas hasil

transformasinya merupakan titik tengah garis yang melalui P” dan g.

Titik potong garis yang melalui P” dan g adalah Q (y, 0).

Diperoleh titik P” (y, x) dan Q (y, 0).

Jelas x1 = y dan y1 = x, x2 = y dan y2 = 0 sehingga jarak antara P’ dan

Q adalah

Diperoleh .

Jadi hasil transformasi P” terhadap S adalah P”’ (y, x).

Jadi koordinat titik S2 Mh(P) adalah P”’ (y, x).

f). Diketahui titik P(x, y).

31 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

Titik P(x, y) dicerminkan terhadap garis g = 0, yyx diperoleh

P’(x, -y).

Selanjutnya P’(x, -y) dicerminkan terhadap garis g = 0, yyx

diperoleh P’’(x, y).

Kemudian P’’(x, y) ditransformasikan terhadap S.

(i) Untuk P’’ g .

Diperoleh P’’’(x, y) = P’’(x, y).

Jadi koordinat titik S M2g(P) adalah P’’’(x, y).

(ii) Untuk P’’ g ,.

Jelas hasil transformasinya merupakan titik tengah garis yang

melalui P’’ dan g.

Titik potong garis yang melalui P’’ dan g adalah Q (x, 0).

Diperoleh titik P’’(x, y) dan Q (x, 0).

Jelas x1 = x dan y1 = y, x2 = x dan y2 = 0 sehingga jarak antara P’

dan Q adalah

Diperoleh = y.

Jadi hasil transformasi P’’ terhadap S adalah P”’ (x, y).

Jadi koordinat titik S M2g(P)adalah P”’ (x, y).

11). Diketahui : andaikan g dan h dua garis yang tegak lurus

A, B, C adalah tiga buah titik, sehingga Mg(A) = B dan Mh(A) = C

Ditanyakan : tentukan titik-titik

a). M3g(A) c). MhMgMhMhMg(A)

b). MhMgMh(A) d). M2gM

3h(A)

Penyelesaian: B(x,y) A(-x,y)

g

h

32 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

Misalkan seperti gambar berikut:

a). M3g(A) = (MgMgMg)(A) c). MhMgMhMhMg(A)

= (MgMg)[Mg(A)] = (MhMgM2

h)[Mg(A)]

= (MgMg)(B) = (MhMgM2

h)(B)

= Mg[Mg(A)] = (MhMg)[M2h(B)]

= Mg(A) = (MhMg)(B)

= B = Mh[Mg(B)]

= Mh(A)

= C

b). (MhMgMh)(A)= (MhMg)[Mh(A)] d). M2gM

3h(A) = (M2

gMh)[M2

h (A)]

= (MhMg)(C) = (M2gMh)(A)

= Mh[Mg(C)] = M2g[Mh(A)]

= Mh(D) = M2g(C)

= B = C

12). Diketahui : dua garis, g // h, titik-titik P dan Q, P g dan P h

Ditanyakan :

a). Lukislah P” = MgMh(P) dan Q” = MgMh(Q)!

b). Berbentuk apakah segiempat PP”QQ”?

c). Buktikan pendapat anda!

Penyelesaian:

a).

g h

Q

P P’ = Mh(P)

Q’ = Mh(Q)

MgMh(P) = P”

MgMh(Q) = Q”

33 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

b). Segiempat PP”Q”Q berbentuk jajargenjang

c). g // h, P” = MgMh(P), dan Q” = MgMh(Q)

Jadi, Q"P" = MgMh( PQ )

Karena pencerminan suatu isometri, maka Q"P" // PQ dan Q"P" = PQ ,

dengan demikian segiempat PP”Q”Q suatu jajargenjang (berdasarkan

teorema “segiempat yang memiliki sepasang sisi yang sejajar dan sama

panjang adalah jajargenjang”).

13). Diketahui : g = ,3, yyx h = ,1, yyx dan k sebuah garis yang

melalui A = (1,4) dan B = (-1,-2)

Tentukanlah :

a). Persamaan k’ = MgMh(k)

b). Luas segiempat AA”BB” apabila A” = MgMh(A) dan B” = MgMh(B)

c). Koordinat P” = MgMh(P), P” = MgMh(P) apabila P = (x, y)

d). Nilai dalam persamaan garis α, yyxh apabila

,2, xyxg A = (5,1), dan A” = MhMg(A) = (-3,1)

Penyelesaian:

a). k’ = MgMh(k)

Karena A(1,4) k dan B(-1,-2) k , sehingga A”=MgMh(A) k dan

B”=MgMh(B) k .

Diperoleh A” = MgMh(A) = Mg[Mh(1,4)] = Mg (1,-6) = (1,12), dan

B” = MgMh(B) = Mg[Mh(-1,-2)] = Mg (-1,0) = (-1,6).

Misal A” = ),( 11 yx dan B” = ),( 22 yx sehingga x1 = 1 dan y1 = 12, x2 = -

1 dan y2 = 6

Persamaan garis k’:

34 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

11

1

126

12

12

1

12

1

xy

xx

xx

yy

yy

93

3312

)1(312

2

1

6

12

xy

xy

xy

xy

Jadi, persamaan garis 93:' xyk

b). Dari gambar dapat dilihat bahwa AA”B”B membentuk bangun

jajargenjang dengan alas(a) = 2 dan tinggi(t) = 8.

Diperoleh luas jajargenjang = a x t = 2 x 8 = 16

Jadi, luas AA”B”B = 16 satuan luas.

c). Diketahui titik P ),( yx .

Pencerminan titik P terhadap garis h = ,1, yyx Mh(P) =

P’ )','( yx

A”(1,12)

A(1,4)

B(-1,-2)

B”(-1,6)

4

6

12

1

-2

-1

35 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

Karena garis h = ,1, yyx merupakan sumbu PP’, sehingga -1

merupakan titik tengah dari y dan y’:

2'2'12

'

yyyy

yy dan xx '

Jadi, koordinat titik P’(x, -y – 2).

Pencerminan titik P’ terhadap garis g = ,3, yyx Mg[Mh(P)] =

P” )","( yx

Karena garis g = ,3, yyx merupakan sumbu P’P”, sehingga 3

merupakan titik tengah dari y’ dan y”:

8")2(6"'6"6"'32

"'

yyyyyyyy

yy

Dan xxx '"

Jadi, koordinat titik P”(x, y + 8).

d). α, yyxh , ,2, xyxg A = (5,1), dan A” = MhMg(A) = (-

3,1), berapa ?

Pencerminan titik A terhadap garis 2, xyxg : Mg(A) = A’ )','( yx

Karena garis 2, xyxg merupakan sumbu AA’ (dari definisi

pencerminan), sehingga x = 2 merupakan titik tengah 5 dan x’ sedangkan

y’ = 1 (tetap).

1'4'522

'5

xx

x

Jadi, A’ = Mg(5,1) = (-1,1)

Pencerminan titik A’ terhadap garis α, yyxh : A” = Mh(A’) =

Mh(-1,1) = (-3,1)

Karena garis α, yyxh merupakan sumbu A’A” (dari definisi

pencerminan), sehingga x = merupakan titik tengah -1 dan -3

sedangkan y” = y = 1.

2αα2

)3(1

36 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

Jadi, 2α .

Jadi, persamaan garis 2, yyxh

14). Diketahui : dua garis, g h, Q ,hg dan sebuah titik P ,g dan P h

Ditanyakan :

a). Lukislah A = MgMh(P)

b). Selidiki apakah Q titik tengah ?AP

c). Lukislah B = MhMg(P)

Penyelesaian:

a). A = MgMh(P)

b). Misalkan Mh(P) = P’

Maka PP' memotong h di titik R dan AP' memotong g di titik S.

Karena P’ adalah pencerminan dari P maka PR = RP’ dan PP' h.

Karena A adalah pencerminan dari P’ maka P’S = SA dan AP' g.

Karena PP' h dan g h maka PP'// g sehingga RP’ = QS.

Karena AP' g dan g h maka AP' // h sehingga P’S = RQ.

Perhatikan PRQ dan QSA

PR = RP’ dan RP’ = QS maka PR = QS

m(PRQ) = m(QSA) = 90

RQ = P’S dan P’S = SA maka RQ = SA

Jadi berlaku aturan S Sd S.

A Mh(P)=P’

P

Q

g

h R

S

37 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

Berdasarkan sistem aksioma kekongruenan maka PRQ QSA.

Akibatnya PQ = QA.

Karena PQ = QA dan PQ PA dan QA PA maka Q tengah-

tengah PA .

Jadi, titik Q pada pertengahan PA .

c). B = MhMg(P)

15). Diketahui : h adalah sumbu-X dan g sumbu-Y sebuah sistem sumbu

ortogonal

A = (4,-3) dan P = (x,y)

Tentukanlah :

a). Koordinat-koordinat MhMg(A) dan MgMh(A)

b). Koordinat-koordinat MhMg(P)

c). Apakah MhMg dan MgMh?

Penyelesaian:

a). MhMg(A) = Mh[Mg(A)]

= Mh[Mg(4,-3)]

= Mh(-4,-3)

= (-4,3)

MgMh(A) = Mg[Mh(A)]

= Mg[Mh(4,-3)]

= Mg(4,3)

= (-4,3)

P Mg(P)

B g

h

38 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i

b). MhMg(P) = Mh[Mg(x, y)]

= Mh(-x, y)

= (-x,-y)

c). MgMh(P) = Mg[Mh(x, y)]

= Mg(x,-y)

= (-x, -y)

Ternyata MhMg(P) = (-x,-y) = MgMh(P).

Jadi, MhMg(P) = MgMh(P).