MATEMATIKA IIIDr. Parulian Silalahi,

M.Pd

POLITEKNIKMANUFAKTUR NEGERIBANGKA BELITUNG

METODA VARIASI PARAMETER

Jika u1 (x) dan U2 (x) adalah penyelesaian bebas terhadap persamaan homogen, maka dapat diperlihatkan bahwa terdapat penyelesaian khusus terhadap persamaan tak homogen yang berbentuk

Yp = V1 (x) U1 (x) + V2 (x) U2 (x)

Dengan syarat

V1’ U1 + V2’ U2 = 0V1’ U1’ + V2’ U2’ = k(x)

Contoh:Selesaikanlah PDL di bawah ini dengan menggunakan metoda variasi parameter

1.Y”+ Y = cosec x2.Y” – 9 y = e2x

Jawab:1. Y”+ Y = cosec x PDL Homogen Y” + Y = 0Persamaan bantu : r2 + 1 = 0

r1,2 = ± iPenyelesaian umum homogenYh = C1 cos x + C2 sin x

Penyelesaian khusus terhadap persamaan tak homogen Yp = V1 (x) cos x + V2 (x) sin x

Syarat : V1’ cos x + V2’ sin x = 0 - V1 sin x + V2’ cos x = cosec x

1sincos

sin.0

cossin

sincos

coscos

sin0

'22

sin1

1

xx

x

xx

xx

xecx

x

V x

ctgxxx

xx

xx

xx

ecxx

x

V

222 sincossin

cos

cossin

sincos

cossin

0cos

'

Penyelesaian umumY = Yh + YpY= C1 cos x + C2 sin x- x.cosx + ln |sin x|.sin x

xxxxYp

xdxctgxV

xdxV

sin.sinlncos.

sinln

1

2

1

Y” – 9Y = e2x

PDL Homogen : Y” – 9 Y = 0Persamaan bantu : r2 – 9 = 0

r1,2 = ± 3Penyelesaian umum homogenYh = C1 e3x + C2 e-3x

Penyelesaian khusus terhadap persamaan tak homogen:

Yp = V1(x) e3x + V2 (x) e-3x

Syarat:

V1’ e3x + V2’ e-3x = 03V1’e3x - 3V2’e-3x = e2x

xxxx

xx

xx

xx

x

xxxx

xx

xx

xx

x

edxeVee

ee

ee

ee

e

V

edxeVee

ee

ee

ee

e

V

552

55

33

33

23

3

2

1

33

33

32

3

1

30

1

6

1

6

1

33

33

3

0

'

6

1

6

1

6

1

33

33

3

0

'

Yp = V1 (x). U1 (x) + V2 (x) .U2 (x) = -1/6 e-x. e3x + (-1/30 e5x). e-3x

= - 1/5 e2x

Jadi penyelesaian umumY = Yh + YpY = C1 e3x + C2 e-3x – 1/5 e2x

TERIMA KASIH

Selamat Belajar