Post on 04-Jun-2018
8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat
1/21
PROBABILITAS BERSYARAT
DAN
EKSPEKTASI BERSYARAT
8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat
2/21
Sebelumnya telah dijelaskan mengenai konsep probabilitasbersyarat untuk subset-subset C dari ruang sampel C.
Akan dijelaskan probabilitas bersyarat untuk subset-subset Adari ruang sampelA , dimanaA adalah ruang nilai dari 1
variabel random atau lebih.
Misalkan P adalah fungsi himpunan probabilitas yangdidefinisikan pada subset-subset dari A . Jika A1dan A2adalah
subset-subset dariA , maka probabilitas bersyarat dari
kejadian A2diberikan kejadian A1adalah :
.0),)(
)()|(
1
2112
1P(Adimana
AP
AAPAAP
8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat
3/21
Probabilitas Bersyarat
Misalkan X1dan X2adalah variabel random diskrit dengan pdff(x1,x2)dimanaf(x1,x2)> 0 untuk (x1,x2) A dan sama dengan
nol untuk yang lainnya. Misalkanf1(x1) adalah pdf marginal
dari X1danf2(x2)adalah pdf marginal dari X2.
Misalkan dimana x1 adalah
suatu nilai sedemikian hingga
Misalkan himpunan
Berdasarkan definisi probabilitas bersyarat A2
diberikan A1
diperoleh :
211211 ,':, xxxxxA.0)'()'Pr()( 11111 xfxXAP
',:, 221212 xxxxxA
)'(
)','(
)'Pr(
)','Pr(
)(
)()|(
11
21
11
2211
1
2112
xf
xxf
xX
xXxX
AP
AAPAAP
8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat
4/21
8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat
5/21
Notasi :
yang disebut sebagai pdf bersyarat dari variabel random X2tipe diskrit diberikan X1= x1.
Dengan cara yang sama,
disebut sebagai pdf bersyarat dari variabel random X1tipe
diskrit diberikan X2 = x2.
.)(xfxf
xxfxxf 0,
)(
),()|( 11
11
2112 dimana
0)(,)(
),(
)|( 2222
21
21 xfxf
xxf
xxf dimana
8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat
6/21
Misalkan X1dan X2adalah variabel random kontinu yangmempunyai pdf bersamaf(x1,x2) dan pdf marginal masing-masingf1(x1) danf2(x2). Pembahasan pdf bersyarat untukvariabel random kontinu analaog dengan variabel random
diskrit. Jikaf1(x1) > 0, didefinisikan sebagai :
Dalam hal ini x1dianggap mempunyai nilai tertentu dimana
f1(x1) > 0.
mempunyai sifat-sifat pdf jenis kontinu dengan 1variabel random dan disebut pdf bersyarat jenis kontinu dari
variabel random X2 diberikan X1= x1 karena
)|( 12 xxf )(),()|(
11
2112
xfxxfxxf
)|( 12 xxf
8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat
7/21
1.
2. karena dan
Jadi, .
Jikaf2(x2) >0, pdf bersyarat dari variabel random kontinu X1
diberikan X2= x2didefinisikan sebagai
)(
)(),(
)(
1
)(
),()|(
11
11221
11
2
11
21212
xf
xfdxxxf
xfdx
xf
xxfdxxxf
0)(
),()|(
11
2112
xf
xxfxxf
0)( 11 xf 0),( 21 xxf
0)|( 12 xxf
.0)(,)(
),()|( 22
22
2121 xf
xf
xxfxxf
8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat
8/21
Karena dan masing-masing merupakan
suatu pdf dari satu variabel random (diskrit /kontinu), maka
masing-masing mempunyai semua sifat-sifat dari suatu pdf.
Sehingga probabilitas dan ekspektasi matematikanya juga
dapat dihitung.
Untuk variabel random kontinu
yang disebut sebagai probabilitas bersyarat
diberikan X1= x1.
)|( 21 xxf )|( 12 xxf
b
a
dxxxfxXbXa 212112 )|()|Pr(
bXa 2
8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat
9/21
Probabilitas bersyarat bahwa diberikan X2=x2
adalah:
Jika u(X2 ) adalah suatu fungsi dari X2, maka :
disebut ekspektasi bersyarat dari u(X2 ) diberikan X1= x1.
dXc 1
d
c
dxxxfxXdXc 121221 )|()|Pr(
212212 )|()()|)(( dxxxfxuxXuE
8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat
10/21
Ekspektasi Khusus:
1. Adalah mean dari pdf bersyarat dari X2 diberikanX1= x1.
2. Adalah variansi dari pdf bersyaratdari X2 diberikan X1= x1dan dinotasikan dengan
Jadi disebut mean bersyarat dari X2 diberikan X1= x1dan disebut variansi bersyarat dari X2 diberikan
X1= x1.
)|( 12 xXE
}|)]|({[ 12
122 xxXEXE
).|( 12 xXVar
)|( 12 xXE)|( 12 xXVar
8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat
11/21
Dapat ditunjukkan :
Dengan cara yang sama,
Untuk variabel random diskrit, caranya analog hanya
mengganti integral dengan sigma.
2
121
2
212 )]|([)|()|( xXExXExXVar
1211221 )|()()|)(( dxxxfxuxXXuE
8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat
12/21
Contoh :
Misalkan X1 dan X2 mempunyai pdf bersama
Tentukan pdf marginal dari X1 dan X2, pdf bersyarat dari X1
diberikan X2=x2, mean bersyarat dan variansi bersyarat dari
X1 diberikan X2 = x2, Pr(0
8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat
13/21
Karena E(X2|x1) adalah fungsi dari x1 maka E(X2|X1) adalah
variabel random yang mempunyai distribusi dan dapat
dihitung mean dan variansinya.
Contoh :
Misalkan X1 dan X2 mempunyai pdf
Dapat ditunjukkan bahwaTentukan distribusi dari , kemudian hitung
mean dan variansinya atau dan
kemudian bandingkan hasilnya dengan E(X2) dan Var(X2).
lainnyayangxx
xxxxxf
),(,0
10,6),(
21
122
21
10,3
2
)|( 1112 xxxXE)|( 12 XXEY
))|(( 12 XXEE ))|(( 12 XXEVar
8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat
14/21
Misalkan X1 dan X2 adalah variabel random jenis kontinu.
Misalkan Y = u(X1,X2), maka Y juga variabel random dan
mempunyai pdf g(y).
Ekspektasi dari Y adalah
atau dapat ditulis
Note : Berlaku juga untuk variabel random diskrit
dyyygYE )()(
21212121 ),(),()),(( dxdxxxfxxuXXuE
8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat
15/21
Contoh:
Misalkan X1 dan X2 mempunyai pdf
Tentukan
-
-
-
lainyangxx
xxxxxxf
),(,0
10,8),(
21
2121
21
)57( 22
21 XXXE
21
88),()(
1
0 0
21
3
2
2
12121
2
21
2
21
2
x
dxdxxxdxdxxxfxxXXE
1
0 0
212122
2
5
48)(
x
dxdxxxxXE
5
4.5
21
8.7)(5)(7)57( 2
2
212
2
21 XEXXEXXXE
8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat
16/21
Adib :
1.
2.
)())|(( 212 XEXXEE
)())|(( 212 XVarXXEVar
8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat
17/21
Adib :
Jadi
)())|(( 212 XEXXEE
1112
11
212122122 )(
)(
),(),()( dxxfdx
xf
xxfxdxdxxxfxXE
111121112122 )()|()()|( dxxfxXEdxxfdxxxfx
))|(()( 122 XXEEXE
8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat
18/21
Adib:
Misalkan
)())|(( 212 XVarXXEVar
)( 22 XE
2
212122
2
222 )|()|()( XXEXXEXEXEXVar
2121222
212
2
122 )|()|(2)|()|( XXEXXEXXXEXXEXE
21212222122122 )|()|(2)|()|( XXEXXEXEXXEEXXEXE
8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat
19/21
Perhatikan
212122 )|()|( XXEXXEXE
1221212122 ),()|()|( dxdxxxfxXExXEx
111211
21122212 )(
)(
),()|()|( dxxfdx
xf
xxfxXExxXE
111211
2112
11
212212 )(
)(
),()|(
)(
),()|( dxxfdx
xf
xxfxXE
xf
xxfxxXE
8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat
20/21
Jadi
111212122122212 )()|()|()|()|( dxxfdxxxfxXEdxxxfxxXE
1112121212212 )()|()|()|()|( dxxfdxxxfxXExXExXE
0)(.0.)|( 111212 dxxfxXE
22122
1222 )|()|()( XXEEXXEXEXVar
8/13/2019 Probabilitas Bersyarat dan Ekspektasi Bersyarat
21/21
a. Karena
maka
b. Karena maka
Jadi,
)|()( 1222 XXEEXE
))|(()|( 122
212 XXEVarXXEE
0)|( 2
122 XXEX 0)|(
2
122 XXEXE
))|(()( 122 XXEVarXVar