EKSPEKTASI

Achmad BasukiPoliteknik Elektronika Negeri Surabaya

2004

Gambaran Permasalahan (1)

Hasil pengukuran jumlah bemo yang lewat di depan PENS-ITS setiapsetengah jam yang dilakukan mulai jam 6.00 sampai jam 18.00.

Berapa jumlah bemo yang lewat di depan PENS-ITS

setiap setengah jam ?

Jam Jumlah bemo06.00 - 06.30 506.30 - 07.00 907.00 - 07.30 707.30 - 08.00 708.00 - 08.30 508.30 - 09.00 409.00 - 09.30 209.30 - 10.00 410.00 - 10.30 310.30 - 11.00 211.00 - 11.30 411.30 - 12.00 112.00 - 12.30 312.30 - 13.00 613.00 - 13.30 513.30 - 14.00 414.00 - 14.30 714.30 - 15.00 315.00 - 15.30 315.30 - 16.00 6

Gambaran Permasalahan (2)

Nilai Yudistira dan Abimanyu mahasiswa PENS-ITS semester 3 jurusan TI dalam satu semester adalah sebagai berikut:

YUDISTIRA

Nama Mata Kuliah SKS NilaiBahasa Inggris 3 2 BMatematika 3 2 BPemrograman Berbasis Obyek 2 AMetode Numerik 2 BStatistik dan Probabilitas 2 BCBasis Data 1 2 BModel dan Sistem Informasi 2 ARekayasa Perangkat Lunak 2 APrak. Pemrg. Berbasis Obyek 1 APrak. Metode Numerik 1 BPrak. Basis Data 1 1 B

ABIMANYU

Nama Mata Kuliah SKS NilaiBahasa Inggris 3 2 AMatematika 3 2 BPemrograman Berbasis Obyek 2 BCMetode Numerik 2 BStatistik dan Probabilitas 2 ABasis Data 1 2 BModel dan Sistem Informasi 2 BRekayasa Perangkat Lunak 2 BCPrak. Pemrograman Berbasis O 1 BPrak. Metode Numerik 1 APrak. Basis Data 1 1 A

Bagaimana cara menentukansiapa yang nilainya lebih baik ?

Ekspektasi

• Ekspektasi menyatakan suatu nilaiharapan terhadap distribusi data tertentu.

• Dengan nilai ekspektasi akan diperolahgambaran distribusi data, yang berupabesaran suatu data.

• Nilai ekspektasi dipilih berdasarkanmodel data, apakah data berupa data-data numerik atau katagorikal yang berhubungan dengan model statistikparametrik atau statistik non-parametrik.

Nilai Ekspektasi

• Ekspektasi 1: Pusat data (center of data) yang dinyatakan dengan nilai rata-rata, median dan modus.

• Ekspektasi 2: Sebaran data (dispersion of data) yang dinyatakan dengan nilaistandard deviasi dan varians.

• Ekspektasi 3: Kecenderungan yang dinyatakan dengan nilai skewness.

Ekspektasi 1 dan 2 merupakan titik berat bahasan

Ekspektasi 1

• Rata-Rata (Mean)• Nilai Tengah (Median)• Modus

Center of DataMenyatakan nilai yang merupakan pusat ataunilai pokok dari suatu distribusi data tertentu.

Rata-Rata (Mean)

Model Kontinu: ∫=C

dxxfxx )(.

Dimana X adalah kejadian yang jumlahnya tak berhingga, ataumempunyai nilai numerik.f(x) menyatakan pdf dari x.

Model Diskrit: ∑=

=n

iii xpxx

1)(

p(xi) menyatakan pdf dari X=xi.Model diskrit ini yang banyak dibahas dalam analisa data.

Rata-Rata (Cont…)Diketahui data jumlah bemo yang lewat di depan PENS-ITS setiap30 menit

Jam Jumlah bemo06.00 - 06.30 506.30 - 07.00 907.00 - 07.30 707.30 - 08.00 708.00 - 08.30 508.30 - 09.00 409.00 - 09.30 209.30 - 10.00 410.00 - 10.30 310.30 - 11.00 211.00 - 11.30 411.30 - 12.00 112.00 - 12.30 312.30 - 13.00 613.00 - 13.30 513.30 - 14.00 414.00 - 14.30 714.30 - 15.00 315.00 - 15.30 315.30 - 16.00 6

Rata-rata jumlah bemo yang lewat di depanPENS-ITS dalam setiap 30 menit adalah:

( ) 5.490201

11

==

= ∑=

N

iix

Nx

Teknik perhitungan merupakan teknikperhitungan yang biasa digunakan dalammenghitung rata-rata langsung dari data,

tetapi teknik ini tidak melibatkan pdfsehingga tidak ada informasi lain selain

rata-rata

Rata-Rata (Cont…)Jumlah bemo Histogram PDF

1 1 0.052 2 0.13 4 0.24 4 0.25 3 0.156 2 0.17 3 0.158 0 09 1 0.05

00.05

0.10.15

0.20.25

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Jumlah Bemo

PDF

Jumlah bemo Histogram PDF J X P1 1 0.05 0.052 2 0.1 0.23 4 0.2 0.64 4 0.2 0.85 3 0.15 0.756 2 0.1 0.67 3 0.15 1.058 0 0 09 1 0.05 0.45

Total 20 4.5

Rata-rata = 4.5

Perhitungan rata-rata menggunakan:

∑=

=n

iii xfxx

1)(

Rata-Rata (Cont…)

Banyak kasus dalam kehidupan yang setiap kejadian mempunyaipeluang yang berbeda, apakah ini bisa diabaikan dan dianggapbahwa semua kejadian mempunyai peluang yang sama seperti

halnya pelemparan coin dan dadu ?

∑

∑

=

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

N

ii

N

ii

Nx

xN

x

1

1

1

1

∑=

=n

iii xfxx

1

)(

Ini berarti pada rumus (1) menyatakan bahwa f(x) = 1/N, ataudengan kata lain peluang setiap kejadian X adalah sama

(1)

(2)

Median (Nilai Tengah)

Model kontinu:

Median adalah x dimana: CDF(x) =1/2Median banyak digunakan untuk keperluan mencari pusat data dalam data-data hasil kuantisasi.

21)( =⇒= ∫

∞−

x

duufmedianx

Model diskrit:21)(

0=⇒= ∑

=

x

ixpmedianx

1 1 1 2 3 4 4 4 5 5 6 7 8 9 91 1 1 2 3 4 4 4 5 5 6 7 8 9 9

Median = 4

Median (cont…)Data penjualan PC dalam 7 hari terakhir adalah:

Penjualan5231412

Urut1122345

DIURUTKAN

Median = 2

(1)

Algoritma:(1) Data diurutkan(2) Median diambil pada data di

posisi tengah

(2)

Median (cont…)

• Pengurutan data membuat proses perhitungan menjadi lambatuntuk data-data yang berukuran besar. Untuk data berukuran n, metode Bubble Sort diperlukan waktu n(n-1) kali proses, danquick sort membutuhkan waktu n.ln(n)

• Pengambilan data pada posisi tengah membutuhkanpengecekan apakah jumlah data (n) genap atau ganjil.

Algoritma Menghitung Median:(1) Data diurutkan(2) Median diambil pada data di posisi tengah

Algoritma Menghitung Median:(1) Data diurutkan(2) Median diambil pada data di posisi tengah

Kesimpulan:Algoritma ini lambat, diperlukan algoritmayang lebih cepat, yang tidak melibatkan prosespengurutan data.

Median (cont…)Data penjualan PC dalam 7 hari terakhir adalah:

Penjualan5231412

CDF

Median = 2Algoritma:(1) Hitung CDF(2) Median diambil pada data yang

nilainya mengandung nilai ½.

(1)

(2)

Penjualan Histogram PDF CDF1 2 0.29 0.292 2 0.29 0.573 1 0.14 0.714 1 0.14 0.865 1 0.14 1.00

Median (cont…)

• Perhitungan CDF membutuhkan waktu n untuk n buah data.• Pengambilan data pada posisi tengah tidak membutuhkan

pengecekan apakah jumlah data (n) genap atau ganjil.

Algoritma Menghitung Median Yang Disarankan :(1) Hitung CDF(2) Median diambil pada data yang nilainya mengandung nilai ½.

Algoritma Menghitung Median Yang Disarankan :(1) Hitung CDF(2) Median diambil pada data yang nilainya mengandung nilai ½.

Kesimpulan:Algoritma ini cepat karena tidak melalui prosesperngurutan data

Modus

Modus menyatakan kejadian X yang sering muncul, atau dengan kata lain modus adalah nilai x dimanaf(x) maksimum.

maksimum )( modus xfx ⇒

Modus juga merupakan nilai center of data untuk model data hasil kuantisasi

Modus (cont…)

Diketahui data nilai test pemrograman yang diperoleh 10 orang mahasiswa adalah sebagai berikut:

A B A A B B B C B CNilai Histogram PDF

A 3 0.3B 5 0.5C 2 0.2

F(B) MaksimumNilai=B adalah modus

VariansVarians adalah nilai sebaran data sekitar rata-rata

Model Kontinu: ( )∫ −=X

dxxfxxx )()var( 2

f(x) menyatakan pdf dari x.

Model Diskrit: ( ) ( )∑=

−=N

iii xpxxx

1

2)var(

Varians (cont…)

Rumus varians yang juga banyak digunakan dalamperhitungan analisa data adalah:

( )∑=

−=N

ii xx

Nx

1

21)var( Untuk data yang tidak bias

( )∑=

−−

=N

ii xx

Nx

1

2

11)var( Untuk data yang

bias

Rumus ini digunakan untuk data-data sample.

Varians (cont…)

Nilai sebaran data standard dinyatakan dengannilai standard deviasi, dimana standard deviasiadalah akar dua dari varians.

Nilai standard deviasi ini yang digunakansebagai ukuran standard sebaran data sekitarrata-rata.

)var()( xxstd =

Varians (cont…)

Diketahui data-data penjualan PC dalam 1 minggu terakhir sebagaiberikut:

Hari Penjualan1 42 43 24 55 46 37 3

Berapa penjualanPC dalam mingguini?

Untuk menyatakan nilai secara umum dapatdigunakan nilai rata-rata dan standard deviasisebagai berikutPenjualan Histogram PDF x.p(x) (x-m)2.p(x)

2 1 0.14 0.29 0.353 2 0.29 0.86 0.094 3 0.43 1.71 0.085 1 0.14 0.71 0.29

Total 3.57 0.82

Rata-rata = 3.57 rata-rata = 4Varians = 0.82 std = 0.9

Penjualan berada dalam kisaran:3.57-0.9 sampai dengan 3.57+0.9Atau berada dalam kisaran 2.67 – 4.47Dengan rata-rata penjualan 4

Varians (cont…)Diketahui data jumlah bemo yang lewat di depan PENS-ITS setiap 30 menit

Jam Jumlah bemo06.00 - 06.30 506.30 - 07.00 907.00 - 07.30 707.30 - 08.00 708.00 - 08.30 508.30 - 09.00 409.00 - 09.30 209.30 - 10.00 410.00 - 10.30 310.30 - 11.00 211.00 - 11.30 411.30 - 12.00 112.00 - 12.30 312.30 - 13.00 613.00 - 13.30 513.30 - 14.00 414.00 - 14.30 714.30 - 15.00 315.00 - 15.30 315.30 - 16.00 6

Dengan menggunakan nilai ekspektasidiperoleh:

Rata-rata = 4.5Varians = 4.16

Maka standard deviasi = 2.04

Jumlah bemo yang lewat didepan PENS berada dalam

kisaran (4.5-2.04)=2.46 sampaidengan (4.5+2.04)=6.54 dan

rata-rata = 5