3 Variabel Random - dhimaskasep.files.wordpress.com · Nilai ekspektasi dari persoalan tersebut...

10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 1

PengantarVariabel RandomVariabel Random DiskritNilai Ekspektasi dan Variansi Variabel Random DiskritVariabel Random KontinyuKovariansi dan KorelasiDistribusi BivariatMoment Generating FunctionFungsi TransformasiThe Law of Large Number

Variabel Random 3


Output sebuah proses dapat dikategorikan defect (B) dan baik(G). Dari 4 produk berurutan akan ada 2*2*2*2=24 = 16kemungkinan kemunculan, sehingga membentuk ruang sample:

BBBB BGBB GBBB GGBB BBBG BGBG GBBG GGBGBBGB BGGB GBGB GGGBBBGG BGGG GBGG GGGG

Jika kemunculan defect dan baik sama (equally likely) [P(G)=P(B) = 1/2], dan sebuah kemunculan independen dengan kemunculanberikutnya, maka probabilitas dari setiap kemunculan:(1/2)(1/2)(1/2)(1/2) = 1/16.

3-1 Pengantar


Jumlah produk baik (G) dari 4 kemunculan adalah:

BBBB (0) BGBB (1) GBBB (1) GGBB (2)BBBG (1) BGBG (2) GBBG (2) GGBG (3)BBGB (1) BGGB (2) GBGB (2) GGGB (3)BBGG (2) BGGG (3) GBGG (3) GGGG (4)

Setiap kemunculan dinyatakan dengan sebuah nilai numerikSemua kemunculan diberikan nilai numerikNilai yang diberikan berbeda untuk setiap kejadian urutanJumlah produk baik (G) adalah sebuah variabel random:

Variabel Random adalah sebuah fungsi yang memberikannilai numerik tunggal (tetapi variabel) pada setiap elemendalam ruang sample.

3-2 Variabel Random (1)


Karena variabel random X = 3 terjadi dengan 4 urutan BGGG, GBGG, GGBG, atau GGGB,

P(X = 3) = P(BGGG) + P(GBGG) + P(GGBG) + P(GGGB) = 4/16

Distribusi probabilitas dari sebuah variabel random membentuk tabel semua nilai variabel random dan probabilitasnya.

x P(x)0 1/161 4/162 6/163 4/164 1/16

16/16=1 43210

0 .4

0 .3

0 .2

0 .1

Num b er o f g irls , x

P(x)

0 .0 62 5

0 .2 5 0 0

0 .37 5 0

0 .25 0 0

0 .06 2 5

P ro b ab ility D is trib utio n o f the Num b e r o f G irls in F o ur B irths

Variabel Random (2)

Jumlah produk baik

Distribusi probabilitas dari variabel random jumlah produk baik


Percobaan melempar dua buah dadu, ada 36 hasil. Variabel random X menyatakan jumlah angka sisi dadu:

2 3 4 5 6 71,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 82,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 93,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 104,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 115,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 126,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

x P(x)*

2 1/363 2/364 3/365 4/366 5/367 6/368 5/369 4/3610 3/3611 2/3612 1/36

1

12111098765432

0.17

0.12

0.07

0.02

x

p(x )

ProbabilityDistribution of Sum of Two Dice

36/))7(6()( :Fungsi * 2xxP −−=

Variabel Random (3)


Sebuah variabel random diskrit:Memiliki jumlah nilai yang terhitungMemiliki ruang di antara nilai yang berurutanMemiliki ukuran probabilitas untuk setiap nilai individual

Sebuah variabel random diskrit:Memiliki jumlah nilai yang terhitungMemiliki ruang di antara nilai yang berurutanMemiliki ukuran probabilitas untuk setiap nilai individual

Sebuah variabel random kontinyu:Memiliki jumlah nilai yang tidak terhitung dan tidak terbatasBergerak secara kontinyu di antara nilai-nilaiTidak memiliki ukuran probabilitas untuk setiap nilai ukuran

Sebuah variabel random kontinyu:Memiliki jumlah nilai yang tidak terhitung dan tidak terbatasBergerak secara kontinyu di antara nilai-nilaiTidak memiliki ukuran probabilitas untuk setiap nilai ukuran

Variabel Random Diskrit-Kontinyu


[ ]

1 0

1

0 1

. for all values of x.

2.

Corollary:

all x

P x

P x

P X

( )

( )

( )

≥

=

≤ ≤

∑

Distribusi probabilitas untuk variabel random diskrit X memenuhi dua kondisi berikut

3-3 Variabel Random Diskrit


F x P X x P iall i x

( ) ( ) ( )= ≤ =≤

∑

Fungsi distribusi kumulatif, F(x), dari variabel random diskrit X adalah:

x P(x) F(x)0 0.1 0.11 0.2 0.32 0.3 0.63 0.2 0.84 0.1 0.95 0.1 1.0

1543210

1 .00 .90 .80 .70 .60 .50 .40 .30 .20 .10 .0

x

F(x)

Cumulative Probability Distribution of the Number of Switches

Fungsi Distribusi Kumulatif (1)


x P(x) F(x)0 0.1 0.11 0.2 0.32 0.3 0.63 0.2 0.84 0.1 0.95 0.1 1.0

1

Probabilitas bahwa paling banyak ada 3 switch

543210

0 .4

0 .3

0 .2

0 .1

0 .0

x

P(x

)

P X F( ) ( )≤ =3 3


Probabilitas bahwa paling banyak ada 3 switch


x P(x) F(x)0 0.1 0.11 0.2 0.32 0.3 0.63 0.2 0.84 0.1 0.95 0.1 1.0

1

Probabilitas bahwa ada lebih dari satu switch:

543210

0 .4

0 .3

0 .2

0 .1

0 .0

x

P(x

)

P X F( ) ( )> = −1 1 1F( )1


Probabilitas bahwa ada lebih dari satu switch:


x P(x) F(x)0 0.1 0.11 0.2 0.32 0.3 0.63 0.2 0.84 0.1 0.95 0.1 1.0

1

Probabilitas bahwa ada dari satu sampai tiga switch:

543210

0 .4

0 .3

0 .2

0 .1

0 .0

x

P(x

)

Probabilitas ada satu sampai tiga switch

F( )0

F( )3

F X F F( ) ( ) ( )1 3 3 0≤ ≤ = −



543210

Mean dari distribusi probabilitas adalah ukuranpemusatan sebagai rata-rata dari distribusifrekuensi, yang juga adalah rata-rata terbobotdari setiap nilai variabel random, dimana nilaiprobabilitas merupakan bobotnya.

Mean juga merupakan nilai harapan (atau ekspektasi) darisebuah variabel random.

Nilai ekspektasi dari sebuah variabelrandom diskrit X adalah jumlah setiap nilaiyang dikalikan dengan nilai probabilitas-nya: µ = = ∑E X xP x

all x( ) ( )

x P(x) xP(x)0 0.1 0.01 0.2 0.22 0.3 0.63 0.2 0.64 0.1 0.45 0.1 0.5

1.0 2.3 = E(X)=µ

2.3

3-4 Nilai Ekspektasi dan VariansiVariabel Random Diskrit


Dilakukan percobaan melemparkan sebuah koin yang seimbang. Jika muncul sisi muka akan mendapat manfaatsebesar Rp. 1 juta, sedangkan jika muncul sisi belakangakan rugi sebesar Rp. 1 juta. Nilai ekspektasi dari persoalantersebut adalah E(X) = 0. Sebuah percobaan denganekspektasi 0 dikenal sebagai sebuah “fair game”.

Dilakukan percobaan melemparkan sebuah koin yang seimbang. Jika muncul sisi muka akan mendapat manfaatsebesar Rp. 1 juta, sedangkan jika muncul sisi belakangakan rugi sebesar Rp. 1 juta. Nilai ekspektasi dari persoalantersebut adalah E(X) = 0. Sebuah percobaan denganekspektasi 0 dikenal sebagai sebuah “fair game”.

x P(x) xP(x)-1 0.5 -0.501 0.5 0.50

1.0 0.00 = E(X)=µ-1 1

0

Sebuah “Fair Game”


Number of items, x P(x) xP(x) h(x) h(x)P(x)5000 0.2 1000 2000 4006000 0.3 1800 4000 12007000 0.2 1400 6000 12008000 0.2 1600 8000 16009000 0.1 900 10000 1000

1.0 6700 5400

Contoh: Penjualan bulanandiketahui mengikuti distribusiprobabilitas seperti disamping. Misalkan perusahaanmengeluarkan ongkos tetapbulanan sebesar $8000 dansetiap item menghasilkankeuntungan $2. Tentukanekspektasi keuntungan h(x)bulanan.

Nilai ekspektasi dari sebuah fungsi variabel random diskrit X adalah:

E h X h x P xall x

[ ( )] ( ) ( )= ∑

Nilai Ekspektasi (1)


Nilai Ekspektasi (2)

E h X h x P xall x

[ ( )] ( ) ( )= =∑ 5400

Nilai ekspektasi dari sebuah fungsi linier sebuah variabelrandom:

E(aX+b)=aE(X)+b

Dalam contoh ini: E(2X-8000)=2E(X)-8000=(2)(6700)-8000=5400

Number of items, x P(x) xP(x) h(x) h(x)P(x)5000 0.2 1000 2000 4006000 0.3 1800 4000 12007000 0.2 1400 6000 12008000 0.2 1600 8000 16009000 0.1 900 10000 1000

1.0 6700 5400


Variansi dari sebuah variabel random adalah ekspektasikuadrat penyimpangan dari rata-rata (mean):

σ µ µ2 2 2

2 2 22

= = − = −

= − = ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

− ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

∑

∑ ∑

V X E X x P x

E X E X x P x xP x

all x

all x all x

( ) [( ) ] ( ) ( )

( ) [ ( )] ( ) ( )

Deviasi standar dari sebuah variabel random adalahakar kuadrat dari variansi: σ = =SD X V X( ) ( )

Variansi dan Deviasi Standar (1)


Number ofSwitches, x P(x) xP(x) (x-µ) (x-µ)2 P(x-µ)2 x2P(x)

0 0.1 0.0 -2.3 5.29 0.529 0.01 0.2 0.2 -1.3 1.69 0.338 0.22 0.3 0.6 -0.3 0.09 0.027 1.23 0.2 0.6 0.7 0.49 0.098 1.84 0.1 0.4 1.7 2.89 0.289 1.65 0.1 0.5 2.7 7.29 0.729 2.5

2.3 2.010 7.3

Number ofSwitches, x P(x) xP(x) (x-µ) (x-µ)2 P(x-µ)2 x2P(x)

0 0.1 0.0 -2.3 5.29 0.529 0.01 0.2 0.2 -1.3 1.69 0.338 0.22 0.3 0.6 -0.3 0.09 0.027 1.23 0.2 0.6 0.7 0.49 0.098 1.84 0.1 0.4 1.7 2.89 0.289 1.65 0.1 0.5 2.7 7.29 0.729 2.5

2.3 2.010 7.3

σ µ

µ

2 2

2 2 01

2 2

22

7 3 2 32 2 01

= = −

= −∑ =

= −

= ∑⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ − ∑

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

= − =

V X E X

xall x

P x

E X E X

xall x

P x xP xall x

( ) [( ) ]

( ) ( ) .

( ) [ ( )]

( ) ( )

. . .



Variansi dari fungsi linier dari sebuah variabel random:

V aX b a V X a( ) ( )+ = =2 2 2σ

Number of items, x P(x) xP(x) x2 P(x) 5000 0.2 1000 50000006000 0.3 1800 108000007000 0.2 1400 98000008000 0.2 1600 128000009000 0.1 900 8100000

1.0 6700 46500000

σ

σ

σσ

2

2 2

22

2

2

2 8000

46500000 6700 1610000

1610000 1268 862 8000 2

4 1610000 6440000

2 80002 2 1268 86 2537 72

=

= −

= ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

− ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= − =

= = =− =

= =

= −= = =

∑ ∑

−

V X

E X E X

x P x xP x

SD XV X V X

SD x

all x all x

x

x

( )

( ) [ ( )]

( ) ( )

( )

( ) .( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )( . ) .

( )



Mean atau nilai ekspektasi dari penjumlahan variabelrandom adalah penjumlahan nilai ekepektasinya:

µ µ µ( ) ( ) ( ) ( )X Y X YE X Y E X E Y+ = + = + = +Contoh: E(X) = $350 dan E(Y) = $200

E(X+Y) = $550

Variansi dari penjumlahan variabel random yang independen adalah jumlah variansinya:

.independen Ydan X jika hanyadan jika)()()( 22

)(2

YXYX YVXVYXV σσσ +=+=+=+

Contoh: V(X) = 84 dan V(Y) = 60 V(X+Y) = 144

Sifat-sifat Mean dan Variansi


Teorema Chebyshev untuk distribusi probabilitas adalah sama halnya untuk distribusi frekuensi.

Untuk sebuah variabel random X dengan mean m, deviasistandar s, dan untuk setiap k > 1 berlaku:

P X kk

( )− < ≥ −µ σ 1 12

1 12

1 14

34 75%

1 13

1 19

89 89%

1 14

1 116

1516 94%

2

2

2

− = − = =

− = − = =

− = − = =

Sekurangnya berada deviasi standardari mean

2

3

4

Teorema Chebyshev


Sebuah variabel random kontinyu adalah variabel random yang dapat bernilai apapun dalam suatu interval.

Probabilitas variabel random kontinyu X ditentukan oleh fungsi densitas(probability density function), dinyatakan oleh f(x), dengan sifat sbb:

1. f(x) > 0 untuk setiap x. 2. Probabilitas bahwa X berada diantara a dan b adalah luas area di bawah kurva

f(x) di antara titik a dan b.3. Luas total area di bawah kurva f(x) adalah 1.00.

Fungsi distribusi kumulatif odari variabel random kontinyu adalah:

F(x) = P(X < x) = area di bawah f(x) diantara nilai terkecil yang mungkin dari X(seringkali ∝) dan titik x.

Sebuah variabel random kontinyu adalah variabel random yang dapat bernilai apapun dalam suatu interval.

Probabilitas variabel random kontinyu X ditentukan oleh fungsi densitas(probability density function), dinyatakan oleh f(x), dengan sifat sbb:

1. f(x) > 0 untuk setiap x. 2. Probabilitas bahwa X berada diantara a dan b adalah luas area di bawah kurva

f(x) di antara titik a dan b.3. Luas total area di bawah kurva f(x) adalah 1.00.

Fungsi distribusi kumulatif odari variabel random kontinyu adalah:

F(x) = P(X < x) = area di bawah f(x) diantara nilai terkecil yang mungkin dari X(seringkali ∝) dan titik x.

3-5 Variabel Random Kontinyu


F(x)

f(x)x

x0

0

ba

F(b)

F(a)

1

ba

}P(a ≤ X ≤ b) = luas area dibawah f(x) di antara titika dan b = F(b) - F(a)

P(a ≤ X ≤ b)=F(b) - F(a)

Fungsi Densitas dan DistribusiKumulatif


Sifat-sifat Fungsi Densitas• ∫ −==<< b

a xxx aFbFdttfbXaP )()()(][

• )(xFX adalah fungsi tidak menurun (non decreasingfunction)

• Dengan teori limit diperoleh ∫∞

∞−==∞ 1)()( dttfF xx dan

0)( =−∞xF , sehingga 1)(0 ≤≤ xFX

• Jika fx(x) adalah kontinyu maka∫

∆+ ∆==∆+≤≤ xx

x xx ExfdttfxxXxP )()(][ dimana x∆ >0 danxxEx ∆+≤≤

• )(1][1][ xFxXPxXP x−=≤−=>

• Jika variabel random X adalah diskrit, maka P(Xi)>0 dan

∑∞

==

11)(

iiXP


Ekspektasi dan Variansi (1)• Variabel random X dalam rentang R. Ekspektasi variabel

random X adalah integral perkalian semua nilai variabel random dengan fungsi densitasnya dan dinotasikan oleh

∫∈

⋅=Rx

dxxfxXE )()( .

• Variabel random X dalam rentang R. Variansi variabel random X adalah integral perkalian kuadrat nilai fungsi dengan fungsi densitasnya dan dinotasikan oleh

( )

[ ]22

2

)( )(

)()()(

XEdxxfx

dxxfXExXV

Rxi

Rxi

−⋅=

⋅−=

∫

∫

∈

∈


Ekspektasi dan Variansi (2)

Nilai ekspektasi dikenal sebagai metoda estimasi tidakbias (unbiased) terhadap harga rata-rata variabel random (the first moment), sedangkan nilai variansi dikenalsebagai metoda estimasi tidak bias (unbiased) terhadappenyimpangan (variansi) variabel random.

Fraksi pertama pada persamaan variansi dikenal sebagaimomen kedua (the second moment), dengan demikianvariansi dapat disusun dari pengurangan momen keduadengan kuadrat momen pertama atauvariansi = (second moment) - (first moment)2 .


3-6 Kovariansi dan Korelasi (1)Kovariansi (biasa dinyatakan dengan 12σ ) menjelaskan penyebaran relatif nilai variabel random terhadap lokasi ekspektasinya secara simultan untuk dua variabel random. Kovariansi diformulasikan oleh persamaan berikut

[ ]))(( ))((),(Cov 221121 XEXXEXEXX −−= [ ])()()( 2121 XEXEXXE ⋅−⋅= .

Koefisien korelasi menjelaskan kekuatan hubungan antara dua variabel rom dan diformulasikan sebagai berikut

21

12

21

21

)()(),(Cov

σσσρ

⋅=

⋅=

XVXVXX


Kovariansi dan Korelasi (2)Jika variabel random 1X dan 2X saling independen, maka

)()( )( )(

)()(

),()(

21222111

212211

21212121

XEXEdxxfxdxxfx

dxdxxfxxfx

dxdxxxfxxXXE

⋅=⋅=

⋅⋅=

⋅=⋅

∫∫

∫∫

∫∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

• Dua variabel random yang saling independen secara teoritis memiliki koefisien korelasi nol 0=ρ , tidak perlu dihitung secara empiris.

• Perlu dibedakan antara dua variabel yang independen dan yang tidak berkorelasi (koefisien korelasi kecil atau nol).


3-7 Distribusi Bivariat (1)Untuk setiap hasil ],[ 21 ji

xx dari dua variabel random [ ]21, XX , fungsi distribusinya disebut sebagai fungsi distribusi kumulatif bivariat, dan didefinisikan oleh

][)( 22112,121 xXdanxXPxxF xx ≤≤= . Fungsi padat kemungkinan bivariat )( 2,121 xxf xx adalah

21

21212

2,121)()(

xxxxFxxf xx

xx ∂∂∂

= , jika 212 / xxF ∂∂∂ ada. Dari fungsi

padat kemungkinan bivariat )( 2,121 xxf xx , dapat ditentukan besarnya nilai kemungkinan untuk rentang tertentu

∫ ∫∞− ∞−= 1 2

2121212,121 ),()( α α dxdxxxfxxF xxxx


Distribusi Bivariat (2)Contoh : Ada dua variabel random dari hasil pengelasan, yaitu diameter ( 1X ) dan kekuatan (strength) ( 2X ). Diketahui bahwa rentang variable random adalah 25.00 1 <≤ x cm dan

20000 2 ≤≤ x kg dan diasumsikan berdistribusi uniform

otherwise 0 20000,25.00 ),( 21500

121

=

≤≤<≤= xxxxf

Besar probabilitas bahwa )200100 ,2.01.0( 21 ≤≤≤≤ XXP

adalah 501

2.0

1.021500

1200

100 =∫∫ dxdx .


Distribusi Bersyarat dan Marginal (1)• Fungsi distribusi kumulatif dan densitas kemungkinan untuk

univariat Fx1(x1) dan fx1(x1) dari distribusi bivariat (ataumultivariat) pada sebagian rentang variabel randompasangannya (x2), disebut distribusi kemungkinanbersyarat (conditional).

• Fungsi distribusi kumulatif dan densitas kemungkinan untukunivariat Fx1(x1) dan fx1(x1) dari distribusi bivariat (ataumultivariat) pada seluruh rentang variabel randompasangannya (x2) dikenal sebagai distribusi marginal.


Distribusi Bersyarat dan Marginal (2)

Jika ),( 21 ji xxp atau ),( 21 xxf diketahui:• Untuk variabel random 1X distribusi marginalnya adalah :

L,3,2,1 ),()( all

2111 == ∑ ixxpxpj

jii (diskrit), atau

∫∞

∞−

= 22111 ),()( dxxxfxf (kontinyu).

• Untuk variabel random 2X distribusi marginalnya adalah : L,3,2,1 ),()(

all2122 == ∑ jxxpxp

ijij (diskrit), atau

∫∞

∞−

= 12122 ),()( dxxxfxf (kontinyu).


Distribusi Bersyarat dan Marginal (3)Contoh :Pertimbangkan dua variabel random dari hasil pengelasan,yaitu diameter ( 1X ) dan kekuatan (strength) ( 2X ) daricontoh sebelumnya.

Distribusi marginal 1X dan 2X dari bivariatnya adalah:

otherwise. 0

25.00 4 )( 1

2000

02500

111

=

<≤== ∫ xdxxf dan

otherwise. 0

20000 )( 220001

25.0

01500

122

=

<≤== ∫ xdxxf


Distribusi Bersyarat dan Marginal (4)Jika A dan B merupakan dua kejadian sedemikian sehinggadiperoleh rentang ][][ 2211 ββα ≤≤=≤= XBdanXA , maka daripersamaan kemungkinan bersyarat dapat diperoleh

∫

∫ ∫∞−=∩

= 2

1 222

2

1 212121

)(

),(

)()()|( β

β

α β

β

dxxfx

xdxxxxfx

BPBAPBAP

dimana P(B) diasumsikan 0≠ .

Selanjutnya dengan cara yang sama dan variabel random 2Xtidak dalam seluruh rentang (tapi pada batas tertentu, β ),maka dapat diformulasikan fungsi densitas probabilitasbersyarat )|( 21 βα =Xfx .


Distribusi Bersyarat dan Marginal (5)Formulasi fungsi densitas probabilitas bersyarat diberikanoleh persamaan

)(),()|(

2

2121 β

βαβα

x

xx

ffXfx == ⇔ α

βαβα∂

=∂==

)|()|( 2121

XFxXfx ,

dan dengan cara yang sama )(),()|(

1

212 α

βααβfxxfxfx = .

Persamaan terakhir ini disebut teorema Bayes untuk fungsidensitas probabilitas seperti halnya teorema Bayes untuknilai kemungkinan.


3-8 Moment Generating Function (1)Definisi:

Untuk variabel random X, moment generating function)(tM X dari fungsi distribusinya adalah nilai ekspektasi dari

tXe , dan secara matematis diformulasikan sebagai berikut

kontinyu X )(

diskrit X )()()( all

dxxfe

xPeeEtM

tx

ii

tx

tXX

i

∫

∑∞

∞−

⋅

⋅==

Jika moment generating function untuk sebuah fungsidistribusi probabilitas ada, maka moment generating functiontersebut adalah unique (menentukan pola proses stokastikyang diikuti oleh sebuah variabel random).


Moment Generating Function (2)Dengan menggunakan power series, dapat diperolehmomen-momen sebagai berikut

LL

LL

LL

+⋅++⋅+⋅+=

+⋅++⋅+⋅+=

+++++=

!'

!2'2

'1

!!22

!!2

2

2

22

1)(

)()()(1)(

1

rt

rt

X

rtrttX

rXtXttX

r

r

rr

ttM

XEXEtXEeE

tXe

µµµ

Selanjutnya, untuk beberapa momen awal (momen ke-r),dapat dievaluasi dengan turunannya (ke-r) pada kondisidimana t=0 : [ ] '

00|)( rttXr

tXdtd eXEtMr

rµ== == .

Dua momen awal yang penting, yaitu ][)0(' XEM X = ,][)0( 2'' XEM X = , menjelaskan rata-rata dan variansi melalui

22 ])[(][][ XEXEXV −= .


Moment Generating Function (3)Contoh: Sebuah variabel random X mengikuti distribusi

binomial otherwise 0

,,2,1,0 ,)1()(

=

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= − nxpp

xn

xp xnx K

Fungsi pembangkit momennya adalah ntX ppetM ))1(()( −+= .

Turunan pertama dan kedua fungsi pembangkit momentersebut adalah 1))1(1()(' −−+= ntt

X epnpetM dan 2))1(1)(1()('' −−++−= nttt

X epnpepnpetM .

Dengan demikian dapat ditentukan rata-rata adalahnptM tX === =0

'1 |)('µµ dan momen kedua )1(|)('' 0

'2 nppnptM tX +−== =µ ,

sehingga variansi adalah )1()()1( 22'2 pnpnpnppnp −=−+−=− µµ .


3-9 Fungsi Transformasi (1)Seringkali dua variabel random mengalami transformasi ataumerupakan fungsi dari variabel random yang lain. Misalkanvariabel random t merupakan transformasi dari sebuahvariabel random normal dan sebuah variabel random chi-kuadrat.

Pembentukan fungsi distribusi melalui transformasi dilakukandengan langkah-langkah berikut :

1. Diperoleh fungsi dari dua variabel random x1 dan x2 sebagaiberikut ),( 211 XXHY =


Fungsi Transformasi (2)2. Jika diamati variabel random lain yang juga merupakan fungsi

dari dua variabel random x1 dan x2 sebagai berikut),( 212 XXHZ = .

3. Dari kedua fungsi transformasi, dapat dibentuk fungsi-fungsiberikut ),(11 zyGx = dan ),(22 zyGx = .

4. Hitung turunan dari yx

∂∂ 1 , z

x∂∂ 1 , y

x∂∂ 2 dan z

x∂∂ 2 .

5. Tentukan fungsi gabungan untuk y dan z dengan fungsi berikut

),()],(),,([),( 21 zyJzyGzyGhzyl ⋅= , dimana z

xyx

zx

yx

zyJ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

22

11

),( = .

6. Tentukan fungsi marginal y dengan ∫= dzzylyf ),()( .


3-10 The Law of Large Number (1)Sebuah eksperimen dilakukan berulang kali sebanyak nkali. Misalkan hanya ada 2 outcomes, yaitu sukses dangagal, maka P S p( ) = dan P G p q( ) = − =1 yang berhargakonstan untuk j n= 1 2 3, , , ,L .

Definisikan X j =⎧⎨⎩

0, Outcome adalah Gagal1, Outcome adalah Sukses , dan

Y X X X n= + + +1 2 L ,adalah jumlah sukses dari eksperimen tersebut, maka Y n/adalah estimator untuk p , atau $ /p Y n= .


The Law of Large Number (2)Ekspektasi dan variansi Y adalah [ ]E Y n E X n q p npj( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ =0 1 , dan

[ ]V Y n V X n q p p np pj( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ − = −0 1 12 2 2 .Karena $ ( / )p n Y= ⋅1 , maka E p n E Y p( $ ) ( / ) ( )= ⋅ =1 danV p n V Y p p

n( $ ) ( / ) ( ) ( )= ⋅ = −1 2 1 .

The law of large number menyatakan bahwa

[ ]P p p p pn

$( )

− < ≥ −−εε

1 12 , atau [ ]P p p p p

n$

( )− ≥ ≤

−εε

12 yang diturunkan

dari P p p k p pn k

$( )

− <−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ ≥ −

1 1 12 (chebyshev’s inequality). Jika

digunakan ε = −k p p n( ) /1 , maka dihasilkan[ ]P p p p p

n$

( )− < ≥ −

−εε

1 12 .


The Law of Large Number (3)Untuk ε > 0 dan n → ∞ , maka [ ]P p p$ − < →ε 1 (kepastian, memilikikonvergensi secara probabilistik). Jika dituliskan [ ]P p p$ − < ≥ −ε α1 ,

maka dengan menentukan ε dan α , dapat dicari n p p≥

−( )12ε α

.

Contoh : Sebuah proses memiliki kemungkinan memberikan produkcacat sebesar p (unknown). Diinginkan dengan kemungkinan 0.95

bahwa error $p p− tidak lebih dari 0.01, maka n p p≥

−( )( . ) .

10 01 0 052 .

Asumsikan bahwa proporsi cacat maksimum adalah 0.5. Makan ≥ 50000 , artinya keinginan untuk mencapai perbedaan estimasikecil (akurat) dengan probability tinggi (presisi) mensyaratkanukuran sampel yang sangat besar.

3 Variabel Random - dhimaskasep.files.wordpress.com · Nilai ekspektasi dari persoalan tersebut...

Documents

Transcript of 3 Variabel Random - dhimaskasep.files.wordpress.com · Nilai ekspektasi dari persoalan tersebut...