PENGANTAR HIMPUNANPENGANTAR HIMPUNANPENGANTAR HIMPUNANPENGANTAR HIMPUNAN

S u t a m a S u t a m a

Pend.Matematika FKIP UMSPend.Matematika FKIP UMS

A. Pengantar Himpunan adalah kumpulan benda atau objek baik yang nyata maupun abstrak yang semuanya didefinisikan dengan jelas.Contoh :Pada umumnya himpunan ditunjukkan dengan huruf besar A, B, C,…., dan anggotanya ditunjukkan dengan huruf kecil a, b, c,…x anggota A ditulis xAx bukan anggota A ditulis xAx, y anggota A ditulis x, yAx, y bukan anggota A ditulis x, yA

B. Penyajian Himpunan

Himpunan dapat disajikan dalam 2 cara1. Dengan bahasa matematika

a. Dengan menulis sifat anggotanyaA={bilangan asli kurang dari 10}B={bilangan bulat}

b. Metode rosterA={1,2,3,4,5,6,7,8,9}B={…,-2,-1,0,1,2,..}

c. Metode ruleA={x/x bilangan asli <10}B={x/x bilangan bulat}

2. Dengan bahasa sehari-haria. Himpunan bilangan 1,2,3,4,5,6,7,8,9b. Himpunan bilangan bulat

• Bilangan kardinal dari suatu himpunan adalah bilangan yang menunjukkan banyaknya elemen yang berbeda dari himpunan itu.

C. Macam-macam himpunan1. Himpunan kosong/null set/void set,

yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggota. Simbol : atau { }

2. SingletonYaitu himpunan yang hanya mempunyai satu anggota

3. Himpunan semestaYaitu himpunan seluruh benda atau anggota yang dibicarakan.

D. Himpunan Bagian (sub set)

Himpunan A dikatakan menjadi himp. bagian dari B dengan simbol AB bila dan hanya bila setiap anggota dari A menjadi anggota dari B.AB bhb (x).xAxB

Setiap himpunan pasti merupakan himpunan bagian dari himpunan itu sendiri, dan himpunan kosong pasti menjadi himpunan bagian dari setiap himpunan.Jika A memuat n elemen yang berbeda, maka banyaknya himpunan bagian yang dapat dibuat dari n elemen ini sebanyak 2n. Himpunan yang anggotanya adalah himpunan-himpunan bagian dari himpunan disebut kuasa himpunan (power set).

E. Diagram Venn

●a

●b

●c

●d ●e

BA

S

●f

RELASI HIMPUNANA. Dua himpunan A dan B disebut sama atau

berimpit bhb setiap anggota dari A menjadi anggota dari B dan sebaliknya.

A=B bhb (Ax).xAxB

A●b

●a

●c BAB

BAA=B

B. Dua himpunan A dan B disebut saling asing atau saling lepas atau disjoint bhb kedua himpunan itu tidak memuat sesuatu anggota persekuan.A//B bhb (x). xAxB.. ( x). xBxA

●1

●3●5

●2

●4●6A B

C. Dua himpunan A dan B disebut berpotongan ditulis AB bhb

1. Ada elemen A dan elemen ini B

2. Ada elemen B dan elemen ini A

3. Ada elemen A dan elemen ini B ●3

●4

●5

●1

●2

A B

D. Dua himpunan A dan B ekuivalen

Tiap anggota dari A dapat diadakan korespondensi satu-satu dengan tiap anggota dari B dan sebaliknya, ditulis A~B A~B bhb n(A)=n(B)2

1

3

ab

c

A B

Sifat relasi ekuivalen :1. Refleksi : A~A2. Simetris : A~BB~A3. Transitif : A~Bb~CA~C

OPERASI HIMPUNANA. Irisan

irisan dari dua himpunan A dan B ditulis AB adalah himpunan yang anggotanya terdiri atas elemen yang berada dalam A dan B AB ={x/xAxB}

B. Gabungangabungan dari dua himpunan A dan B ditulis AB adalah himpunan yang anggotanya terdiri atas elemen dari A atau B AB ={x/xAxB}

C. Selisihselisih dari dua himpunan A dan B ditulis A-B adalah himpunan yang angotanya terdiri atas elemen dari A yang bukan elemen dari BA-B={x/xAxB}B-A={x/xBxA}

A-B B-A

D. Komplemenkomplemen relatif A terhadap B ditulis A’ atau Ac adalah himpunan yang anggotanya terdiri atas elemen dari B yang bukan elemen dari AA’={x/xBxA}

E. Selisih simetriselisih simetri dari dua himpunan A dan B ditulis A∆B adalah himpunan yang anggotanya terdiri atas elemen dari (A-B)(B-A) A∆B ={x/xABxAB)

F. Partisipartisi suatu himpunan A adalah pembagian A atas subset-subset yang saling asing dan gabungan dari semua subset itu merupakan himpunan A itu sendiri.himpunan A1, A2,…,An merupakan partisi dari himpunan A bhb

a. AiAj= untuk iji. j = 1,2,…,n

b. A1A2…An=A atauA=[A1, A2,…,An]

Latihan 1. Dengan S= {1,2,3,4,5,6}, jika

A={2,4}, B={2,3,5,6}Tentukan :a. AB c. A-B e. A’b. AB d. B-A f. B’

2. Buktikan bahwa AB bila A={1,2,3,4} dan B={bilangan genap}

3. Tentukan power set dari A={3,{2,3}}

RELASI ANTAR ANGGOTA HIMPUNAN

Relasi yang menyangkut satu anggota semestanya disebut relasi monair (monodisc), menyangkut dua anggota disebut relasi binair (diadic), menyangkut tiga anggota disebut relasi ternair (triadic), menyangkut empat anggota disebut relasi quarternair (tetradic), dan menyangkut lebih dari empat anggota disebut relasi polynair (polydic).Contoh :aBerada dalam relasi R dengan b ditulisaRb atau R(a,b)

A. Relasi Determinatif

Suatu relasi R dikatakan determinatif antar anggota-anggota S bhb aRb merupakan kalimat deklaratif untuk setiap a, b dalam S.

B. Relasi Ekuivalen

1.Relasi refleksiRelasi R disebut refleksi bhb untuk setiap anggota dari semestanya berlaku aRaR refleksi bhb (aS)

Relasi refleksi ada 2 macama. Relasi non refleksi

Relasi R disebut non refleksi bhb terdapatlah sekurang-kurangnya satu elemen a yang tidak berada dalam relasi R dengan dirinya sendiri R non refleksi bhb (aS). aRa

b. Relasi irrefleksifRelasi R disebut irrefleksif bhb setiap elemen a tidak berada dalam relasi R dengan dirinya sendiriR irrefleksif bhb (aS). aRa

2. Relasi SimetrisRelasi R disebut simetris bhb untuk setiap a,b dari semestanya berlaku bila aRb maka bRaR simetris bhb (a,bS).aRbbRaRelasi simetris ada 3 macam :a. Relasi non simetris

relasi R disebut non simetris bhb terdapatlah sekurang-kurangnya satu pasang a,b demikian sehingga aRb dan bRaR non simetris bhb (a,bS).aRbbRa

b. Relasi AsimetrisRelasi R disebut asimetris bhb setiap pasang a, b dalam semestanya berlaku bila aRb maka bRa

c. Relasi Anti SimetrisRelasi R disebut anti simetris bhb untuk setiap pasang a,b dalam semestanya berlaku(a,bS).a<bb<aa=b

3. Relasi Transitif

Relasi R disbut transitif bhb untuk setiap tripel a,b,c dalam semestanya berlaku bila aRb dan bRc maka aRc. R transitif bhb (a,b,cS).aRbbRcaRc.

Relasi transitif ada 2 macama. Relasi non transitif

Relasi R disebut non transitif bhb sekurang-kurangnya ada satu tripel a,b,c dalam semestanya sehingga berlaku aRb dan bRc dan aRc R non trans. Bhb (a,b,cS).aRbbRcaRc)

b. Relasi intransitifRelasi R disebut intransitif bhb untuk setiap triple a,b,c dalam semestanya berlaku bila aRb dan bRc maka aRc R intrans. Bhb (a,b,cS).aRbbRcaRc

Relasi R disebut ekuivalen bhb R sekaligus memiliki sifat refleksi, simetris, dan transitif.

c. RelasiDiberikan 2 himpunan B dan D dengan B={mahasiswa}, D={mahasiswi} Relasi R antara mahasiswa, mahasiswi adalah relasi “kawan dari”Relasi R dari B ke D, dan himpunan elemen dari B yang mempunyai kawan dari elemen dari D disebut daerah sumber (domain), sedang himpunan elemen dari D yang mempunyai kawan elemen dari B disebut daerah hasil (range)

PEMETAANDefinisiSuatu fungsi f dari himpunan A ke B adalah aturan pengawanan yang memetakan setiap x anggota dari A dengan tungal y anggota dari BContohA={d1,d2,d3,d4}

B={1,2,3,4,5,6}●●

●

A B

Suatu lemparan menentukan suatu fungsi f dari A ke B1.A dihabiskan dan setiap anggota dari A mempunyai kawan tunggal dari B

2.B tidak/boleh dihabiskan dan anggota B ada yang mempunyai kawan tunggal atau lebih dari satu, dan ada yang tidak mempunyai kawan.

Definisi tentang fungsi di atas menunjukkan bahwa suatu fungsi merupakan kejadian khusus dari suatu relasi, yaitu relasi dari A ke B dengan setiap anggota dari A mempunyai kawan tunggal dalam B.