Agus Setiawan, M.Env.Sc.

P11. BENTUK

BILINIER DAN BENTUK

KUADRAT

Agus Setiawan, M.Env.Sc.

1. Bentuk bilinier2. Bentuk kuadrat3. Reduksi Lagrange

Materi Pembelajaran

Agus Setiawan, M.Env.Sc.

BILANGAN REAL dan KOMPLEKS

Bilangan real (R) menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal.

Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan .

Bilangan rasional direpresentasikan dalam bentuk desimal berakhir.Bilangan irasional memiliki representasi desimal tidak berakhir namun berulang.

2

Agus Setiawan, M.Env.Sc.

Bilangan kompleks (C) adalah bilangan yang berbentuk a + bidimana a dan b adalah bilangan riil, dan i adalah bilangan imajiner tertentu yang mempunyai sifat i 2 = −1.

Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.

Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil;

Bilangan real, R, dapat dinyatakan sebagai bagian dari himpunan C

BILANGAN REAL dan KOMPLEKS

Agus Setiawan, M.Env.Sc.

BENTUK BILINEAR

Misalkan V adalah ruang vektor. Bentuk bilinier

pada V adalah fungsi pemetaan f : V x V K,

sedemikian rupa sehingga untuk semua a, b K

dan semua ui, vi V.

(i)f(au1 + bu2, v) = a f (u1, v) + b f (u2, v)

(ii)f(u, av1 + av2) = a f (u, v1) + b f (u, v2)

Agus Setiawan, M.Env.Sc.

BENTUK BILINEAR

f (x, y) = x + y adalah fungsi LINEAR

f (x, y) = xy adalah fungsi BILINEAR

Secara umum:

f (x, y) = xy adalah fungsi bilinear untuk

semua ∈R

Agus Setiawan, M.Env.Sc.

BENTUK BILINEAR

Diberikan sebuah matriks bujur sangkar A,

maka bentuk bilinear adalah

n

1j,ijiji

t wavwAv)w,v(f

n

2

1

v

v

v

v

n

2

1

w

w

w

w

nn2n1n

n22221

n11211

a...aa

......................

a...aa

a...aa

A

Agus Setiawan, M.Env.Sc.

BENTUK BILINEAR

Contoh:

, maka bentuk bilinear-nya adalah

2

211

2

2

1

1

y

x

43

21yx

y

x,

y

xf

43

21A

= x1x2+2x1y2+3y1x2+4y1y2

Agus Setiawan, M.Env.Sc.

BENTUK BILINEAR

1. Misalkan f adalah hasil kali titik pada Rn;

yaitu untuk u = (ai) dan v = (bi), maka

bentuk biliniernya adalah:

f(u, v) = u . v = a1b1 + a2b2 + …. + anbn

2. Misalkan dan adalah sebarang

fungsional linier pada V. Misalkan f : V x V

R, maka bentuk bilinier-nya adalah: f(u,

v) = (u) (v)

Agus Setiawan, M.Env.Sc.

BENTUK BILINEAR

Matriks Bujur Sangkar A dapat diidentifikasi

sebagai BENTUK BILINEAR dimana X=[xi]

dan Y=[yi] adalah vektor-vektor kolom dalam

bentuk Polinomial Bilinear:

f (x,y) = a11x1y1 + a12x1y2 + ... + a1nx1yn +

a21x2y1 + a22x2y2 + ... + a2nx2yn +

.................................................. +

an1xny1 + an2xny2 + ... + annxnyn

Agus Setiawan, M.Env.Sc.

BENTUK BILINEAR

n

1j,ijiij yxa)y,x(f

n

2

1

nn2n1n

n22221

n11211

n21

y

y

y

a...aa

......................

a...aa

a...aa

x....xx

AYX T

Agus Setiawan, M.Env.Sc.

BENTUK BILINEAR

3

2

1

321

100

011

101

y

y

y

xxx

AYX T

Contoh1: Bentuk bilinear

x1y1 + x1y3 + x2y1 + x2y2 + x3y3

Agus Setiawan, M.Env.Sc.

BENTUK BILINEAR

Contoh 2:

Misalkan

Nyatakan dalam bentuk matriks, dimana

Jawab:

321321 yyyvdanxxxu

33233222123111 6487523),( yxyxyxyxyxyxyxvuf

3

2

1

321T

y

y

y

640

875

203

xxxAYXv,uf

Agus Setiawan, M.Env.Sc.

BENTUK BILINEAR SIMETRIS

Misalkan f adalah bentuk linier pada V,

maka f dikatakan simetris jika untuk setiap

u, v V,

f (u, v) = f (v, u)Misalkan A adalah matriks simetris atas K,

maka A kongruen terhadap suatu matriks

diagonal, yaitu terdapat matriks

nonsingular P sedemikian rupa sehingga D

= Pt AP (matriks diagonal)

Agus Setiawan, M.Env.Sc.

Perubahan BASIS

Misalkan P adalah matriks perubahan basis

dari basis S ke S’ yang berbeda. Jika A

adalah matriks yang merepresentasikan

bentuk bilinear f dalam basis asal S, maka B

= PtAP adalah matriks yang merepresenta-

sikan bilinear f dalam basis asal S’

Agus Setiawan, M.Env.Sc.

BENTUK BILINEAR Contoh 3:

Misalkan f adalah bentuk bilinear pada R2

yang definisikan oleh:

1.Tentukan matriks A dari f dalam basis

[u1 = (1, 0), u2 = (1, 1)]

2.Tentukan matriks B dari f dalam basis

[v1 = (2, 1), v2 = (1, -1)]

2221112121 yx4yx3yx2y,y,x,x f

Agus Setiawan, M.Env.Sc.

BENTUK BILINEAR Jawab:

1. A = [aij], dimana aij = f (ui, uj)

Ini menghasilkan: a11 = f (u1, u1) = f ((1, 0), (1, 0)) = (2 x 1 x 1) - (3 x 0 x 0) + (4 x 0 x

0) = 2a12 = f (u1, u2) = f ((1, 0), (1, 1)) = (2 x 1 x 1) - (3 x 1 x 1) + (4 x 0 x

1) = -1a21 = f (u2, u1) = f ((1, 1), (1, 0)) = (2 x 1 x 1) - (3 x 1 x 0) + (4 x 1 x

0) = 2a22 = f (u2, u2) = f ((1, 1), (1, 1)) = (2 x 1 x 1) - (3 x 1 x 1) + (4 x 1 x

1) = 3

Agus Setiawan, M.Env.Sc.

BENTUK BILINEAR

Jadi:

adalah matriks f dalam

basis [u1, u2]

32

12A

Agus Setiawan, M.Env.Sc.

BENTUK BILINEAR

2. B = [bij], dimana bij = f (vi, vj)

Ini menghasilkan: b11 = f (v1, v1) = f ((2, 1), (2, 1)) = (2 x 2 x 2) - (3 x 2 x 1) + (4 x 1 x

1) = 6b12 = f (v1, v2) = f ((2, 1), (1, -1)) = (2 x 2 x 1) - (3 x 2 x -1) + (4 x 1

x -1) = 6b21 = f (v2, v1) = f ((1, -1), (2, 1)) = (2 x 1 x 2) - (3 x 1 x 1) + (4 x -1

x 1) = -3b22 = f (v2, v2) = f ((1, -1), (1, -1)) = (2 x 1 x 1) - (3 x 1 x -1) + (4 x -1

x -1) = 9

Agus Setiawan, M.Env.Sc.

BENTUK BILINEAR

Jadi:

adalah matriks f dalam

basis [v1, v2]

93

66B

Agus Setiawan, M.Env.Sc.

Perubahan basis

Contoh :

Dari contoh di atas, tentukan matriks

perubahan basis P dari basis [ui] ke basis

[vi], dan buktikan bahwa B = PtAP.

Jawab:

Dengan menulis v1 dan v2 dalam suku ui,

akan diperoleh: v1 = u1 + u2 dan v2 = 2u1

– u2

Agus Setiawan, M.Env.Sc.

Perubahan basis

Maka:

Terbukti.

11

21P

12

11PT

B93

66

11

21

32

12

12

11APP t

Agus Setiawan, M.Env.Sc.

DIAGONALISASI KONGRUEN DARI MATRIKS SIMETRIS

Dua matriks A dan B berordo nxn disebut kongruen (A B) jika terdapat suatu matriks non singular P sedemikian sehingga:

B = PTAPBila P diekspresikan sebagai hasilkali matriks kolom elementer, maka PT adalah hasilkali matriks elementer baris yg sama dalam urutan terbalik

Agus Setiawan, M.Env.Sc.

A dan B kongruen dengan syarat A dapat

direduksi menjadi B dengan memakai

sebarisan pasangan transformasi

elementer.

Tiap pasang terdiri atas suatu

transformasi elementer baris yang diikuti

transformasi elementer kolom yang sama

DIAGONALISASI KONGRUEN DARI MATRIKS SIMETRIS

Agus Setiawan, M.Env.Sc.

Setiap matriks simetris A dengan rank r kongruen terhadap suatu matriks diagonal yang r elemen pertama adalah tak nol dan elemen lain nol.

Contoh: Tentukan matriks non singular P sehingga D =

PTAP adalah diagonal

843

452

321

A

DIAGONALISASI KONGRUEN DARI MATRIKS SIMETRIS

Agus Setiawan, M.Env.Sc.

100

010

001

843

452

321

IA

103

012

001

120

210

321

-2b1 + b23b1 + b3

-2c1 + c2 3c1 + c3

OBE untuk A dan I

OKE untuk A saja

103

012

001

120

210

001

kmd

DIAGONALISASI KONGRUEN DARI MATRIKS SIMETRIS

Agus Setiawan, M.Env.Sc.

KONGRUENSI

-2c2 + c3

103

012

001

120

210

001

kmd

-2b2 + b3

127

012

001

500

210

001

127

012

001

500

010

001

D PT

Agus Setiawan, M.Env.Sc.

KONGRUENSI

127

012

001

PT

100

210

721

P

500

010

001

APPD T

Agus Setiawan, M.Env.Sc.

BENTUK KUADRAT Pemetaan q: V K berada dalam bentuk kuadratik

jika:q(v) = f (v, v)

Misalkan f merepresentasikan matriks simetris A = [aij] dan X =[xi] adalah vektor kolom, maka q :

ji

jiiji

2iii

j,ijiij

T xxa2xaxxaAXXX,XXq f

Yang koefisien-koefisien aij adalah elemen bentuk kuadrat dalam peubah-peubah x1, x2, …, xn.

Agus Setiawan, M.Env.Sc.

BENTUK KUADRAT Contoh:

q = x12 + 2x2

2 – 7x32 – 4x1x2 + 8x1x3

Matriks simetris A = [aij] disebut matriks dari bentuk kuadrat dan rank A disebut rank bentuk kuadrat. Jika rank r < n maka bentuk kuadrat singular dan jika tidak, non singular

XX T

704

022

421

Agus Setiawan, M.Env.Sc.

BENTUK KUADRAT

Latihan:Tentukan matriks invers yang yang bersesuaian dg setiap bentuk kuadratik berikut ini:

1. q(x, y, z) = 3x2 + 4xy – y2 + 8xz + 6yz + z2

2.q(x, y, z) = 3x2 + xz – 2yz3.q(x, y, z) = 2x2 - 5y2 - 7z2

Tentukan bentuk kuadrat q(X) yang bersesuaian dengan setiap matriks berikut ini:

83

35A

987

865

754

A

1985

0361

8674

5142

A

Agus Setiawan, M.Env.Sc.

BENTUK KUADRAT TRANSFORMASI

Transformasi X = BY akan membawa bentuk kuadrat dengan matriks A ke dalam bentuk kuadrat;

Dengan matriks simetris BTABContoh: reduksi

YABBYBYABYAXXq TTTT )()()(

XXq T

704

022

421

Agus Setiawan, M.Env.Sc.

BENTUK KUADRAT Contoh:

Bentuk kuadratik q(x, y) = 3x2 + 2xy - y2 dan subsitusi linier x = s - 3t dan y = 2s + ta.Nyatakan q (x, y) dalam notasi matriks, dan tentukan matriks A yang mempresentasikan q(x, y)b.Nyatakan subsitusi linier dengan notasi matriks, dan tentukan matriks P yang bersesuaian.c.Tentukan q(s,t) dengan menggunakan subsitusi langsungd.Tentukan q(s,t) dengan menggunakan notasi matriks

Agus Setiawan, M.Env.Sc.

BENTUK KUADRAT jawab:

a. Jadi dan q(X)=XtAX , dimana X = (x, y)

b.

jadi

y

xyxyxq

11

13,,

11

13A

t

s

y

x

12

31

PYX t

sY

y

xXP

dan ,dan

12

31

Agus Setiawan, M.Env.Sc.

BENTUK KUADRATc. q(s,t) = 3(s-3t)2+2(s-3t)(2s+t)-(2s+t)2

= 3(s2-6ts+9t2) + 2(2s2-5ts-3t2) - (4s2+4ts+t2) = 3s2-32ts+20t2

d. Disini q(X)=XTAX dan X=PY, Jadi Xt =YtPt

22 20323s

2016

163,

12

31

11

13

13

21,

)(,

tst

t

sts

t

sts

APYPYYqtsq tt

Latihan

1. Misalkan f adalah bentuk bilinear pada R2

yang definisikan oleh:

Tentukan matriks A dari f dalam basis

[u1 = (1, 1), u2 = (1, 0)]

1221112211 yxyx3yx2y,x,y,x f

Agus Setiawan, M.Env.Sc.

Terima kasih

Sampai jumpa di pertemuan berikutnya