Sebaran Bentuk Kuadrat

1

Pengertian Sebaran

Sebaran Multivariate NormalSebaran Central & Non-Central

X2

Sebaran Central & Non-Central F

Indepedensi Bentuk Kuadrat

Pertemuan-317 April 2013

Pertemuan-418 April 2013

Pengertian Sebaran (Distribution)

2

Sebaran

Group/ Family

Random Variables

FtNormal X2 Lain

Mean Varian dof dof dof

Parameter

Estimasi

Definisi:

Jika y merupakan k x 1 random vektor ~ (µ,1), y’ y ~ distribusi non-central dannon-central parameter: maka suatu variabel random dinyatakan sebagai:

3

Pengertian Sebaran

2kX

'21

2,kX

Implikasi dari definisi:1. Jika y berdistribusi normal dengan rata-rata µ, maka

random variabel juga berdistribusi normal dengan rata-rata

2. Var y = 1, maka dari matriks varian-kovarian dari y adalah matriks identitas

3. Random variabel dari y’y adalah sum squares:

4

Pengertian Sebaran

321 ,, yyy321 ,,

k

iiyyy 2' ~ 2

,kX

Contoh:Jika random variabel ~ (µ,1), dimana:

dan , maka:

Sehingga adalah random variabel ~

5

Pengertian Sebaran

321 ,, yyy

224

1 0 00 1 00 0 1

1var y

122

24

2- 2 4 21'

21

k

iiyyy 2' 2

12,3X

Pengertian Sebaran

SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK@2010 6

Contoh Sebaran X2k:

Sifat Aditif:

1. Penjumlahan independent non-central chi-squared random variable adalah dirinya sendiri

2. Baik degree of freedom (k) maupun non-central parameter (λ) dapat ditambahkan

Sifat Sebaran X2k:

2,

2, k

n

ik XX

ii

nkkkk ...21

n ...21

Perlu Sebaran Multivariate Normal…..

7

Sebaran Multivariate NormalAsumsi Sebelumnya:• Matriks varian-kovarian dari y adalah diagonal• Kovarian bernilai nol• Random variabel yang berdistribusi normal bersifat independen

Bagaimana bila asumsi tidak terpenuhi?

Definisi:Jika merupakan p variabel random dan jika y vektor berukuran p × 1 dari variabel-variabel tersebut, maka:

merupakan fungsi multivariate normal (p-variate) jika kondisi-kondisi berikut terpenuhi:

8

Sebaran Multivariate Normal

1 2 py , y , , y

12

1 2

; 1 2p

i

f y , y , , y Ke

y i , , , p

y μ R y μ

1. R adalah matriks definit positif dengan elemen-elemen rij merupakan konstanta.

2. K adalah konstanta positif.3. µi merupakan elemen-elemen ke – i vektor µ adalah

konstanta.

9

12

22pK

R

: bentuk kuadratik dari

multivariate normal

Q y μ R y μ

1 dan E y μ Σ R

Bentuk multivariate normal menjadi:

atau

dengan adalah matriks varian-kovarian dari vektor y.y ~ Np(μ,Σ)

10

112

1 2 12 2

1

2

; 1 2

p p

i

f y , y , , y e

y i , , , p

y μ y μ

112

12 2

1

2pf e

y μ y μy

Σ

Teorema: MGF Multivariate NormalJika berdistribusi , maka MGF-nya:

Dua sifat penting dari MGF:1. Jika dua vektor random memiliki MGF yang sama,

maka keduanya memiliki pdf yang sama.2. Dua vektor random saling bebas jika dan hanya jika

joint MGF-nya dapat diuraikan menjadi perkalian MGF tiap-tiap vektor random.

11

y pN ,μ Σ

2M e

t Σtt μ

y t

Teorema: Ekspektasi Multivariate NormalJika gabungan dari berdistribusi normal dengan bentuk kuadratik Q, maka vektor rataan adalah vektor yang merupakan penyelesaian dari sistem persamaan

misal:

12

1 2 py , y , , y E y μ

Q

0

y

2 22 3 2 4

2 3 02 21 14 2 0

Q x y xy x yQ x y

xxQ yy xy

μ

Sifat-sifat distribusi multivariate normal:1.Diketahui vektor random y ~ Np(μ,Σ),

a vektor konstanta berukuran p×1, dan A matriks konstanta k×p dengan rank k≤p, maka:

z = a’y ~ N (a’μ, a’Σa)z = A’y ~ N (A’μ, A’ΣA)

2. Diketahui y ~ Np(μ,Σ), maka sembarang subvektor berukuran r ×1 (r ≤ p) dari y akan berdistribusi normal r-variate dengan rataan, varians, dan covarians seperti distribusi normal p-variate yang asli.

13

→ jika y ~ Np(μ,Σ), maka setiap individual variabel yi dalam y berdistribusi .

3. Jika , maka y dan x independen jika

→ jika y ~ Np(μ,Σ), maka setiap dua variabel individu yi dan yj independen jika .

→ jika y ~ Np(μ,Σ) dan jika maka Ay dan By independen.

14

i iiN ,

0yxΣ

0ij 0cov , Ay By AΣB

,~

xy

v qpN

Definisi:Diketahui y vektor random berukuran p×1 berdistribusi normal dengan rataan dan varians I. Maka berdistribusi non-central chi-kuadrat dengan derajat bebas p dan parameter non-central yang dinotasikan dengan

15

Distribusi Non Central Chi-Kuadrat

μ y y12

μ μ2p ,

Fungsi probabilitas :

MGF:

Mean dan Varians:

16

2p ,

1 112 2

1 10 2

0!

22

p i vi

p ii

v ef v e , vi p i

11 1 221 2p t

vM t t e

2 var 2 8E v p v p

........ 1

........ 2

Sifat additive:

Jika masing-masing independen dengan

fungsi distribusi , maka:

Jika maka berdistribusi .

Jika masing-masing independen dengan

fungsi distribusi , maka:

17

1 2 nv ,v , ,v2

i ip ,

0 2p , 2

p

1 2 nu ,u , ,u2

ip

n

i

n

iiip

n

iivW

1 1

,1

2 ~

2

11

~

n

iip

n

iiuU

Jika , , dengan dan saling bebas,

maka

berdistribusi non-central F dengan parameter non-central

18

Distribusi Non Central F

u v2,~ pu 2~ qv

,, ~ //

qpFqvpuw

pdf, mean, dan varians distribusi non-central F

19

1 112 2 12

1 10 2 2

1 12 2

1 12 2

0

p k qp kk

p q kk

p q p q ke wf w

k ! q pwp k q

w

212

qE wq p

22

2

22 42 2 4 4

pq pvar wp q q q q

........ 3

........ 4

Double non central F:

Jika dan dengan dan saling

bebas, maka

20

1 1 2 2

1 11 21 2 1 2

1 21 2

1 112 2 11 2 1 2 2

1 21 1

0 0 1 2 2 21 21 1 2 2

1 12 2

1 12 2

0

n k n kn kk k

p q k kk k

n n n n k ke vf v

k ! k ! n p nn k n k

v

1u 2u

2121 ,,,22

11 ~ //

nnFnunuv

2,1 11

~ pu 2,2 22

~ pu

Teorema

Jika , maka jika & hanya jika A adl

matriks idempoten dengan rank k .

Jika , maka dengan

jhj A matriks idempoten dengan rank k.

◦ Jika , maka dengan

jhj A matriks idempoten dengan rank k.

DISTRIBUSI BENTUK KUADRAT

12

μ Aμ

22 μ Aμ

y ~ Nk(0,I) 2~A' kyy

y ~ Nk(µ,I) 2,~A' kyy

y ~ Nk(µ,σ2I) 2,2 ~A'

kyy

Jika , maka jhj

idempoten dengan rank k.

Jika , maka dengan

dan k adalah rank dari A, jhj matriks idempoten.

22

AΣ

AΣ

12

μ Aμ

y ~ Nk(0,Σ) 2~A' kyy

y ~ Nk(µ,Σ)2,~A' kyy

Teorema: Independensi dua bentuk kuadrat

Jika , A dan B matriks konstanta maka

dan independen jhj

( ).

23

INDEPENDENSI BENTUK KUADRAT

y Ayy By

AΣB 0 ,covAΣB Ay By

y ~ Nk(µ,Σ)

Teorema: Independensi bentuk kuadrat dan linier

Jika B dan A matriks konstanta dengan ukuran berturut-

turut k×p dan p×p serta maka dan

independen jhj

( ).

24

INDEPENDENSI BENTUK KUADRAT

y AyBy

BΣA 0 ,covBΣA By Ay

y ~ Np(µ,Σ)