Post on 04-Jul-2015
description
TRIGONOMETRI
A. PENGUKURAN SUDUT
1. Satuan Derajat
1 putaran = ……o (derajat)
4
1 putaran = ……
o (derajat)
2
1putaran = ……
o (derajat)
360
1putaran = ……
o (derajat)
1
o = 60’ ( menit)
1’ = 60” (detik)
2. Satuan Radian
AOB = 1 radian
1 putaran penuh = busurAB
ngkarankelilingli radian =
.......
....... radian = …… radian
2
1putaran = …….radian
3
1putaran = ……..radian
4
1putaran = …….radian
3. Hubungan Satuan Derajat dan Radian
1 putaran penuh = …… o = ….. rad
1o =
360
1putaran = ……. rad
1 rad =.....
.....o (derajat)
A
B
O r
r r Definisi:
1 rad adalah besar sudut yang dihasilkan oleh
perputaran sebesar jari-jari lingkaran.
B. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU
1. Sinus, Kosinus dan Tangen pada Segitiga Siku-Siku
sinus = sin = c
a
AB
BC ( sindemi )
kosinus = cos = c
b
AB
AC ( kossami)
tangen = tan = b
a
AC
BC ( tandesa )
LATIHAN 1
1. Tentukanlah nilai ketiga perbandingan trigonometri (sinus, kosinus, dan
tangen) dari sudut pada tiap gambar berikut:
a) b)
c) d)
A
B
C
a
b
c
a) tan =
cos
sin c) sekan = sec =
cos
1
b) kosekan = cosec = sin
1 d) kotangen = cot =
tan
1
1
2
5 1
2
3
12
5
17 15
2. Tentukanlah nilai perbadingan trigonometri yang lain jika diketahui:
a. sin A = 5
3 d. cosec D =
15
17
b. cos B = 24
7 e. sec E =
8
12
c. tan C = 55
1 f. cot F = 2
3. Jika adalah sudut lancip dan tan = p, tentukan perbandingan
trigonometri yang lain (sinus, kosinus, kosekan, sekan dan kotangen)! 4. Seorang anak bermain layang-layang dengan panjang benang 76 m. Sudut
elevasi layang-layang yang terbentuk adalah 60o. Jika tinggi anak tersebut
adalah 1,5 m. Tentukan tinggi layang-layang terhadap tanah!
2. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Istimewa
Coba lengkapilah tabel berikut!
0
o 30
o 37
o 45
o 53
o 60
o 90
o
sin 0 2
1 0,6 2
2
1 0,8 3
2
1 1
cos … … … … … … …
tan … … … … … … …
LATIHAN 2
Hitunglah:
a. tan 30o + cot 60
o
b. sin 3
. cos
3
c. sin2
3
+ cos
2
3
d. sin 30o cos 60
o + cos 30
o sin 60
o
e. oo
oo
cot30tan60
sin60cos30
C. PEMBAGIAN SUDUT DAN SUDUT BERELASI DALAM TRIGONOMETRI
1. Pembagian Sudut dalam Trigonometri
2. Sudut-Sudut Berelasi
Jika diberikan nilai adalah sudut lancip, maka
Kuadran I
0o < < 90
o
0o < <
2
Kuadran II
90o < < 180
o
2
< <
Kuadran III
180o < < 270
o
2
< <
2
3
Kuadran IV
270o < < 360
o
2
3 < < 2
x
y
X
Y (x,y)
x
y sin =
...
...
cos = ...
...
tan = ...
...
Jika kita memiliki sudut ( ), maka perbandingan trigonometri adalah:
Kuadran I Kuadran II
sin ( 90o - ) = cos sin ( 90
o + ) = cos
cos ( 90o - ) = sin cos ( 90
o + ) = - sin
tan ( 90o - ) = cot tan ( 90
o + ) = - cot
Kuadran II Kuadran III
sin (180o - ) = sin sin (180
o + ) = - sin
cos (180o - ) = - cos cos (180
o + ) = - cos
tan (180o - ) = - tan tan (180
o + ) = tan
Kuadran III Kuadran IV
sin ( 270o - ) = - cos sin ( 270
o + ) = - cos
cos ( 270o - ) = - sin cos ( 270
o + ) = sin
tan ( 270o - ) = cot tan ( 270
o + ) = - cot
Kuadran IV
sin ( 360o - ) = - sin
cos ( 360o - ) = cos
tan ( 360o - ) = - tan
Lengkapilah perbandingan
berikut berdasarkan gambar
di samping!
sin (- ) = ...
... = …
cos (- )= ...
... = …
tan (- )= ...
... = …
X
Y (x,y)
x
y
-y (x,-y)
sin ( + k . 360o ) = sin
cos ( + k . 360o ) = cos
tan ( + k . 360o ) = tan
LATIHAN C
1. Tentukanlah nilai dari:
a. sin 120o
b. tan 150o
c. cos (-1350)
d. sec 300o
e. sin 240o – cos 330
o
2. Tentukanlah perbandingan trigonometri yang lain jika diketahui:
a. tan x = 2, dengan x adalah sudut tumpul
b. cos A = 2
1, dengan A adalah sudut di kuadran I
c. cot A = 5
12 , dengan 90
o < A < 270
o
d. cosec C = 2 , dengan 22
3C
3. Jika sin y = 5
3 dan tan y > 0, tentukan perbandingan trigonometri yang lain!
4. Jika cos x = 5
5 dan 0
o < x <
2
, tentukan nilai sin (180
o–x) + 3.cos (90
o+x)!
5. Sederhanakanlah bentuk berikut:
xcos
xsin
0
0
90
360+
xeccos
xsec
0
0
90
180
6. Dalam segitiga ABC buktikan bahwa:
a. sin (B+C) = sin A
b. sin 2
1(B+C) = cos
2
1A
D. KOORDINAT KUTUB
1. Koordinat kutub
Jika sebuah titik diketahui P (x,y) maka:
r = 22 yx
tan = x
y, 0
o o360
maka koordinat kutubnya adalah P (r, )
Y
X x
P(x,y)=P(r, ) y
r
2. Koordinat kartesius
Jika diketahui panjang r dan , maka:
sin = r
y x = r. sin
cos = r
x y = r. cos
Jadi Koordinat kartesiusnya P (x,y)
LATIHAN D
1. Nyatakan setiap koordinat cartesius berikut ini dalam koordinat kutub.
a. (4, 45o) c. (2,
3
)
b. (3, 270o) d. (3,
4
3
2. Nyatakan setiap koordinat kutub berikut ini dalam koordinat kartesius.
a. (1, 3 ) c. (-5, -6)
b. (4 3 , 4) d. (15, -12)
E. IDENTITAS TRIGONOMETRI
LATIHAN E
Buktikan identitas berikut:
a. tan x. cos x = sin x
b. tan y + cot y = sec y . cosec y
c. xtan21
1
= xcos2
d. ycos
ysin2
2
1
1
= ycot2
e. sin p ( 1+ cot2 x) = cosec x
Teorema E:
Untuk setiap sudut tertentu berlaku:
1. tan =
cos
sin
2. 122 cossin
3. 22 1 sectan
4. 1 + 2cot = 2eccos
F. GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI
Tugas Kelompok! Buatlah grafik trigonometri dengan y = sin , y = cos , dan y = tan dalam satu
grafik dimana 0o o720 ! Dalam kertas karton berukuran 30 x 50 cm!
G. PERSAMAAN TRIGONOMETRI SEDERHANA
1. Penyelesaian Persamaan Trigonometri sin x = sin , cos x = cos , tan x = tan
2. Penyelesaian Persamaan Trigonometri sin x = a , cos x = a , tan x = a
Cara: Ubahlah a ke dalam bentuk sin, cos, tan. Kemudian diselesaikan
dengan Teorema G.1 LATIHAN G
1. Tentukan akar persamaan dan penyelesaian umum dari setiap persamaan berikut:
a. sin xo = sin 50
o, 0 x 360
b. cos xo = cos 75
o, 0 x 360
c. sin 2xo = - sin 100
o, 0 x 360
d. cos 2xo = cos
3
2, 0 x 180
e. tan 2
1x = - tan
6
, 0 x 2
2. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut ini:
a. sin ( x – 30)o = sin 15
o, 0 x 360
b. cos (3x – 60)o = cos (-300)
o, 0 x
c. cos 2xo = sin 2x
o, 0 x 180
3. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut:
a. sin xo = 2
2
1
b. tan ( x – 40)o = 3 , 0 x 2
c. sec 2
2
1x = 2 , 0 x 2
Teorema G.1
Sudut dalam derajat:
1. sin x = sin maka x = + k.360o atau x = (180
o - ) + k. 360
o
2. cos x = cos maka x = + k . 360o
3. tan x = tan maka x = + k . 180o
H. ATURAN SINUS UNTUK SEGITIGA
LATIHAN H
1. Tentukanlah panjang sisi-sisi segitiga ABC jika diketahui
a. A = 110o, C = 20
o, b = 6 !
b. a = 12, b = 5, B = 24o
c. a + b + c = 100, A = 42o, B = 106
o
2. Diketahui sudut-sudut ABC adalah dan,, . Jika 222 sinsinsin ,
buktikan bahwa = 90o !
I. ATURAN KOSINUS UNTUK SEGITIGA
LATIHAN I
1. Diketahui ABC, dengan A = 120o, a = 14 cm, dan c = 10 cm. Hitunglah
unsur-unsur yang lain!
2. Carilah sudut terbesar dan sudut terkecil dari ABC , jika diketahui a = 20 cm, b
= 25 cm, dan c = 30 cm !
3. Sisi –sisi segitiga ABC berbanding sebagai 6 : 5 : 4. Tentukan kosinus sudut yang
terbesar dari segitiga tersebut!
Teorema H
Pada setiap ABC berlaku Csin
c
Bsin
b
Asin
a = 2 R
Dengan a = BC; b = AC; c = AB, dan
R := jari-jari lingkaran A B
C
a b
c
R R
R O
Teorema I
Pada setiap ABC berlaku
1. Acosbccba 2222
2. Bcosaccab 2222
3. Ccosabbac 2222 A B
C
a b
c
J. LUAS SEGITIGA
1. Luas segitiga dengan besar sudut dan dua sisi yang mengapit sudut itu diketahui
Teorema J.1:
1. L = 2
1bc sin A
2. L = 2
1ac sin B
3. L = 2
1ab sin C
2. Luas Segitiga dengan Besar Dua Sudut dan Satu Sisi yang Terletak di antara
Kedua Sudut Diketahui
Teorema J.2
Pada setiap ABC berlaku:
1. L = Asin
Csin.Bsina
2
2
3. L = Csin
Bsin.Asinc
2
2
2. L = Bsin
Csin.Asinb
2
2
3. Luas Segitiga dengan Ketiga Sisinya Diketahui
Rumus Heron
Pada setiap ABC berlaku:
L = )cS)(bS)(aS(S
Dengan L = Luas ABC , BC = a, AC = b, dan AB = c
S = cba 2
1 adalah setengah keliling ABC.
A B
C
a b
c
A B
C
a b
c
DAFTAR PUSTAKA
Sartono Wirodikromo. 2000. MATEMATIKA 2000 SMU Kelas 1 Caturwulan 1.
Jakarta:Erlangga. Kartini,Suprapto, Endang S, Untung S, Subandi, Nur Akhsin. 2004. Matematika SMA
Kelas X. Klaten : Intan Pariwara. Husein Tamponas. 2007. Seribu Pena Matematika jilid 1 untuk SMA/MA Kelas X. Jakarta:
Erlangga. Johanes, Kastolan, Sulasim. 2005. Kompetensi Matematika Kelas 1 SMA Semester Kedua.
Jakarta : Yudhistira. Krismanto. 2008. Pembelajaran Trigonometri SMA. Yogyakarta: Pusat Pengembangan dan
Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan Matematika.