MODUL XTRIGONOMETRI

Dwina K

2

Teorema Phytagoras (1)

Contoh 1

Tentukan panjang EF

b = hipotesa

Contoh 2

2 pesawat terbang tinggal landas dalam waktubersamaan. Pesawat pertama terbang menuju utara(North)dengan kecepatan rata-rata 300 km/jam dan pesawat kedua terbang menuju barat (West)dengan kecepatan rata-rata 220 km/jam. Tentukan jarak yang ditempuh pesawat setelah 4 jam?

Penyelesaian

Teorema Phytagoras :

Penyelesaian

Setelah 4 jam pesawat terbang pertama telah menempuh = 4 x 300 =1200 km dan pesawat terang kedua menempuh = 4x220=880 km/jamJarak ditempuh setelah 4 jam =BC seperti pada gambar berikut

Dwina K

3

Teorema Phytagoras (2)

Teorema Phytagoras :

Jarak setelah 4 jam: 1488 km

Latihan

1.Diketahui segitiga ABC, B merupakan segitiga siku-siku, AB = 6.92 cm dan BC = 8,78 cm. Hitung panjang hipotesa

2.

2.Diketahui segitiga CDE, D=90°,CD=14.83 mm CE = 28,31 mm. Hitung panjang DE

2.

3.Dua kapal berangkat dari dermaga dalam waktu bersamaan. Kapal pertama menuju barat (West) dengan kecepatan 18,4 km/jam dan kapal kedua menuju selatan(South) dengan kecepatan 27,6 km/jam.

Hitung seberapa jauh jarak yang ditempuh oleh kedua kapal tersebut setelah 4 jam

Dwina K

4

Rumus Dasar Trigonometri (1)

x : samping

y :

depa

n

r : m

iring

ry

miringdepan ==θsin

rx

miringsamping ==θcos

yr==

θθ

sin1

csc

xr==

θθ

cos1

sec

xy

sampingdepan ===

θθθ

cossin

tan

yx===

θθ

θθ

sincos

tan1

cot

Contoh 1

Hitung sin D, cos D dan tan F

Penyelesaian

Menurut Teorema Phytagoras :

Dwina K

5

Rumus Dasar Trigonometri (2)

Contoh 2

Jika . Tentukan nilai sin X dan tan X

Penyelesaian

Gambar samping menunjukkan∆ siku-siku XYZ

Karena maka XY= 9 units

dan XZ = 41 units

Menurut Teorema Phytagoras :

Sehingga didapat

Latihan

1.Skets segitiga XYZ sedemikian sehingga Y = 90°, XY= 9 cm dan YZ = 40 cm. Tentukan nilai sin Z, cos Z, tan X dan cos X

2.

2.Segitiga ABC pada gambar berikut Tentukan nilai sin A, cos A, tan A, sin B, cos B

dan tan B1.

3.Jika cos A = (15/17) maka sin A dan tan A dalam bentuk pecahan

2.4.Dari pada gambar segitiga siku-siku

berikut,tentukan (a) sin (b) cos (c) tan (d) cos

Dwina K

6

Penyelesaian dengan Segitiga siku-siku (1)

Penyelesaian dengan segitiga siku-siku artinya menentukan sisi dan sudut yang tidak diketahui dari suatu segitiga siku-siku

Metode yang digunakan adalah :ØTeorema PhitagorasØRumus Dasar Trigonometri

Contoh 1Skets segitiga ABCsedemikian sehinggaB = 90°, AB= 5 cm dan BC = 12 cm. Tentukan panjang AC dan hitung Sin A, cos C, tan A

•Penyelesaian

Berdasarkan Teorema Phytagoras :

Berdasarkan rumus dasar trigonometri

Contoh 2

Pada segitiga PQR Disamping.Tentukan panjang PQ dan PR

Dwina K

7

Penyelesaian dengan Segitiga siku-siku (2)

Penyelesaian

,sehingga

,maka

Periksa dengan menggunakan Teorema Phytagoras didapat :

Latihan

1.Tentukan nilai yang tidak diketahui pada gambar berikut

2.Tentukan nilai x pada gambar berikut

Dwina K

8

Sudut Elevasi (1)

Pada gambar diatas, Jika BC = dasar horisontal, AB = tiang bendera vertikal maka sudut elevasi pada ujung atas tiang bendera A dari titik C adalah sudut imajiner yang merupakan garis lurus AC dengan elevasi dari horisontal CB, sebut sudut

Contoh 1

Pylon electricity terletak horisontal di tanah. Dititik 80 m dari dasar pylon, sudut elevasidari ujung atas pylon adalah 23°. Hitung tinggi pylon ke jarak terdekat dalam satuan meter

Penyelesaian

Pada gambar disamping menunjukkan phylon AB dan sudut elevasi A dari C adalah 23°

Sehingga panjang phylon AB adalah

Dwina K

9

Sudut Elevasi (2)

Latihan

1.Jika sudut elevasi dari ujung atas dengan tinggi vertikal aerial 30 m adalah 32°

Berapa jaraknya dari aerial

2.Tiang tower dipasang vertikal di dasar tanah. Di titik 105 m dari kaki tower membentuk sudut elevasi sebesar 19°.

Tentukan tinggi dari tower.

Contoh 2

Peneliti mengukur sudut elevasi dari ujung atas gedung segi empat sebesar 19°. Dia bergerak 120 m terdekat dari gedung dan mendapatkansudut elevasi sebesar 47°. Tentukan tinggi gedung

Penyelesaian

Gedung adalah PQ dan sudut elevasi terlihat pada gambar

Segitiga PQS, tan 19° =

h = tan 19°(x+120)= 0,343(x=120) ……. (1)

∆PQR, tan 47°= (h/x) sehingga h = tan 47°(x) atau h = 1,0724x ……………… (2)

Pers. (1) dan (2) : 0,3443 (x+120)= 1,0724x 0,3443x + 0,3443(120)= 1,0724x 0,3443(120)= (1,0724 - 0,3443)x 41,316 = 0,7281x x = 56,74 m

Dwina K

10

Sudut Depressi (1)

Pada gambar diatas, Jika PQ = vertikal cliff, R = kapal di laut maka sudut dsepressi pada kapal dari titik P adalah sudut imajiner yang merupakan garis lurus PR dengan didepress dari horisontal ke kapal CB, sebut sudut Catatan : PRQ merupakan sebagai sudut alternatif antara garis paralel

Contoh

Sudut depressi kapal dilihat pada partkular instant dari 75 m ujung atas vertikal cliff adalah 30°. a)Tentukan jarak kapal dari dasar cliff di instantb)Kapal berlayar dari cliff dengan kecepatan konstan dan 1 menit kemudian sudut depressi

dari ujung atas menjadi 20°. Tentukan kecepatan kapal dalam km/jam

Penyelesaian

Pada gambar diatas menunjukkan AB adalah cliff dan posisi awal di C dan posisi akhir di titik D. Karena sudut depressi awal adalah 30° maka

ACB = 30°(sudut alternatif anatara garis paralel)

Dwina K

11

Sudut Depressi (2)

karena

b)Kapal berlayar sejauh 76,1 m dalam 1 menit atau 60 detik, sehingga kecepatan kapal

∆ ABD,

Sehingga

a) Jadi posisi awal kapal dari dasar cliff adalah 129,9 m

Km/jam

Km/jam Km/jam

Latihan

1.Dari ujung atas vertikal cliff mempunyai tinggi 90 m dengan sudut depressi kapal 19° 50’ Tentukan jarak kapal dari cliff

2.Dari ujung atas vertikal cliff yang mempunyai tinggi 80 m, terbang 2 buoys ke arah barat cliff adalah 23° dan 15° Berapa jauh buoys mendarat

Dwina K

12

Rumus Sinus (1)

C

c

B

b

A

a

sinsinsin==

Pada segitiga XYZ, X = 51°, Y = 67°, dan YZ = 15,2 cm. Tentukan panjang sisi segitigalainnya

Contoh 1 (1 sisi dan 2 sudut diketahui)

Penyelesaian

Segitiga XYZ dapat dilihat pada gambar berikut, Karena jumlah sudut segitiga 180° maka z= 180° - 51° - 67°= 62°

Menurut rumus sinus didapat

Gunakan

Sehingga didapat

Gunakan

Sehingga didapat

°=

°=

° 62sin67sin15 sin

2,15 zy

°=

° 67sin15 sin

2,15 y

XZcmy ==°

°= 00,1815 sin

67 sin 2,15

°=

° 62sin15 sin

2,15 Z

XYcmz ==°

°= 27,1715 sin

62 sin 2,15

Dwina K

13

Rumus Sinus (2)

mma

a

20,175178

949sin 31,22'5178sin

31,22

'949sin

=°

°=

°=

°

Contoh 2 (2 sisi dan 1 sudut diketahui)

Pada segitiga ABC, B = 78°51’, AC= 22,31 mm, dan AB = 17,92 mm. Tentukan panjang sisi segitigalainnya

PenyelesaianMenurut rumus sinus didapat

Sehingga didapat

Jadi

Menurut rumus sinus didapat

Jadi dan BC = 17,20 mm

Latihan1. Tentukan panjang sisi segitiga PQR lainnya, jika diketahui Q = 36°, QR= 36,5 mm, dan PR= 26,6 mm.

2.Tentukan panjang sisi segitiga ABC lainnya, jika diketahui A = 29°, B = 68°, b= 27 mm

3.Tentukan panjang sisi segitiga ABC lainnya, jika diketahui B = 71°26’, C = 56°31’,

b= 8,60 cm

Csin

92,17

' 1578 sin

31,22 =°

' 0527881,0sin

7881,022,31

' 5187sin 92,17 sin

1 °==

=°=

−C

C

'949'052'5178180 °=°−°−°=A

'052 ,'949 °=°= CA

Dwina K

14

Rumus Cosinus (1)

a2 = b2+ c2 – 2bc cos A atau

b2 = a2+ c2 – 2ac cos B

c2 = a2+ b2 – 2ab cos Catau

Contoh 1 (2 sisi dan 1 sudut diketahui)

Pada segitiga DEF, E = 64°, DE = 25.0,dan EF = 35 cm. Tentukan panjang sisi segitigalainnya

Penyelesaian

Menurut rumus cosinus e2= d2 + f2 – 2df cos E = (35.0)2 + (25.0)2 - (2(35.0)(25.0) cos 64°) = 1225 + 625-76.1 =1083e =√1083 = 32.91 cm

F =136°56’ tidak dapat karena 136°56’+ 64° lebih Besar dari 180°. Jadi hanya F = 43°4’Jadi 180° - 64°- 43°4’ = 72°56’

Menurut rumus sinus

Contoh 2 (3 sisi diketahui)

Pada segitiga ABC, sisi a = 9,0 cm,b = 7,5 cm dan c = 6,5 cm. Tentukan ketiga sudut segitiga ABC

Penyelesaian

'443

6828,0sin

6828,032,91

9,6674sin 5,02 sin

sin

0,25

64 sin

91,32

1

°==∠

=°=

=°

−F

F

F

Dwina K

15

Rumus Cosinus (2)

Menurut rumus cosinus : a2= b2 + c2 – 2 bc cos AJadi 2 bc cos A = b2 + c2 - a2

bc

acbA

2cos

222 −+=

1795,0)5,6)(5,7(2

0.95,65,7 222

=−+=

A = cos -1 0,1795 = 79,66°

Menurut rumus sinus

Latihan

1. Tentukan panjang y pada gambar berikut

2.Tentukan panjang segitiga XYZ dengan menggunakan rumus cosinus dan rumus sinus

a) x = 10,0 cm, y = 8,0 cm, z = 7,0 cm b) x = 21 mm, y = 34 mm, z = 42 mm

8198,09,0

9,667sin 5,7 sin

sin

5,7

9,667 sin

0,9

=°=

=°

B

B

°=°−°−°=°== −

28,45 06,5566,79180C

06,55 8198,0sinB 1

Dwina K

16

Aplikasi Rumus Sinus & Cosinus (1)

1.Terlihat pada gambar berikut 2 tegangan phasor. Jika V1 = 40 volt dan V2 = 100 volt maka tentukan nilai resultan(misal panjang OA) dan sudut resultan dibentuk dengan V1

Sudut OBA = 180° - 45° = 135°Gunakan rumus cosinus : OA2= V1

2 + V22 – 2V1V2 cos OBA

= 402 + 1002 – {2(40) (100) cos 135°} = 1600 + 10000 – (-5657°) = 17257Resultan OA = √17257 = 131,4 volt

Penyelesaian

Gunakan rumus sinus

AOB = sin-1 0,5381 = 32°33’

5381,0131,4

135sin 100sin

sin

100

135 sin

4,131

=°=

=°

AOB

AOB

Jadi resultan tegangan adalah 131,4 volt di 32°33’ ke V1

Dwina K

17

Aplikasi Rumus Sinus & Cosinus (2)

Penyelesaian

Gunakan rumus sinus

3464,010,0

120sin (4,0)

PR

120sin Q sin

sin201 sin

=°=°=

=°P

R

R

PQPR

16'20 0,3464 sin R -1 °==∠

'4439'1620120180 P °=°−°−°=∠

Jadi sudut inklinasi jib terhadap vertikal

7,38 120sin

'4439sin 10,0Q

'4439sin201 sin

0,10

=°°=

°=

°

R

QR

Gunakan rumus sinus

Jadi panjang QR = 7,38 m

2.Terlihat pada gambar berikut, PR menyatakan inclined jib crane dan panjang 10,0 m. Panjang PQ 4.0 m. Tentukan inklinasi jib terhadap vertikal dan panjang QR

Dwina K

18

Aplikasi Rumus Sinus & Cosinus (3)

2.PQ dan QR adalah phasor yang menyatakan arus alternating dalam rangkaian 2 cabang.

Phasor PQ = 20,0 A arah horisontal. Phasor QR (pertemuan di akhir PQ ke segitiga PQR) adalah 14,0 A dan membentuk sudut 35° terhadap horisontal. Tentukan phasor resultan PR dan sudut yang dibentuk terhadap phasor PQ

Latihan

1.Terlihat pada gambar berikut. Jika panjang tie rod PR = 8,0 dan panjang PQ = 4,5 m

Tentukan (a) Panjang jib RQ (b) Sudut antara jib dan tie rod

Dwina K

19

Luas Segitiga (1)

°=°−°−°=°== −

28,45 06,5566,79180C

06,55 8198,0sinB 1

( )

( )

( )2

c ba s dimana c)-(s b)-(s a)-(s [s

atauA sin 2

1atau Bsin

2

1atau Csin

2

1

atau segitiga x tinggialas x 2

1

++=iii

bcababii

i

Contoh 1

Didapat XZ = 18,0 cm dan XY = 17,27 cm

Penyelesaian

Dari contoh 1 rumus sinus, X = 51°, Y = 67°, dan YZ = 15,2 cm. Tentukan panjang sisi segitigalainnya dan luas segitiga

Luas segitiga XYZ :

2 8,12062 sin )0,18)(2,15(2

1 sin Z

2

1cmxy =°==

atau

2 8,12067 sin )27,17)(2,15(2

1 Ysin

2

1cmxz =°==

Pada segitiga ABC, sisi a = 9,0 cm,b = 7,5 cm dan c = 6,5 cm. Tentukan ketiga sudut segitiga ABC dan Luas segitga tersebut

Contoh 2

Penyelesaian

A = cos -1 0,1795 = 79,66°Didapat

Dwina K

20

Luas Segitiga (2)

cm

cm

csbsass

5,112

5,65,70,9

2

cba s

dimana

98,23)0,5)(0,4)(5,2(5,11[

6,5)]-7,5)(11,5-9,0)(11,5-[11,5(11,5

))()(([

2

=++=++=

==

=

−−−=

Luas segitiga ABC : Latihan

Gunakan rumus sinus dan rumus cosinus untuk menentukan sudut lainnya dari segitiga PQR dan tentukan luas segitiga PQR

a)q = 12 cm, r = 16 cm, P = 54°b)q = 3,25 m, r = 4,42 m, p = 105°