TRIGONOMETRI

A. PENGUKURAN SUDUT

1. Satuan Derajat

1 putaran = ……o (derajat)

4

1 putaran = ……

o (derajat)

2

1putaran = ……

o (derajat)

360

1putaran = ……

o (derajat)

1

o = 60’ ( menit)

1’ = 60” (detik)

2. Satuan Radian

AOB = 1 radian

1 putaran penuh = busurAB

ngkarankelilingli radian =

.......

....... radian = …… radian

2

1putaran = …….radian

3

1putaran = ……..radian

4

1putaran = …….radian

3. Hubungan Satuan Derajat dan Radian

1 putaran penuh = …… o = ….. rad

1o =

360

1putaran = ……. rad

1 rad =.....

.....o (derajat)

A

B

O r

r r Definisi:

1 rad adalah besar sudut yang dihasilkan oleh

perputaran sebesar jari-jari lingkaran.

B. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU

1. Sinus, Kosinus dan Tangen pada Segitiga Siku-Siku

sinus = sin = c

a

AB

BC ( sindemi )

kosinus = cos = c

b

AB

AC ( kossami)

tangen = tan = b

a

AC

BC ( tandesa )

LATIHAN 1

1. Tentukanlah nilai ketiga perbandingan trigonometri (sinus, kosinus, dan

tangen) dari sudut pada tiap gambar berikut:

a) b)

c) d)

A

B

C

a

b

c

a) tan =

cos

sin c) sekan = sec =

cos

1

b) kosekan = cosec = sin

1 d) kotangen = cot =

tan

1

1

2

5 1

2

3

12

5

17 15

2. Tentukanlah nilai perbadingan trigonometri yang lain jika diketahui:

a. sin A = 5

3 d. cosec D =

15

17

b. cos B = 24

7 e. sec E =

8

12

c. tan C = 55

1 f. cot F = 2

3. Jika adalah sudut lancip dan tan = p, tentukan perbandingan

trigonometri yang lain (sinus, kosinus, kosekan, sekan dan kotangen)! 4. Seorang anak bermain layang-layang dengan panjang benang 76 m. Sudut

elevasi layang-layang yang terbentuk adalah 60o. Jika tinggi anak tersebut

adalah 1,5 m. Tentukan tinggi layang-layang terhadap tanah!

2. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Istimewa

Coba lengkapilah tabel berikut!

0

o 30

o 37

o 45

o 53

o 60

o 90

o

sin 0 2

1 0,6 2

2

1 0,8 3

2

1 1

cos … … … … … … …

tan … … … … … … …

LATIHAN 2

Hitunglah:

a. tan 30o + cot 60

o

b. sin 3

. cos

3

c. sin2

3

+ cos

2

3

d. sin 30o cos 60

o + cos 30

o sin 60

o

e. oo

oo

cot30tan60

sin60cos30

C. PEMBAGIAN SUDUT DAN SUDUT BERELASI DALAM TRIGONOMETRI

1. Pembagian Sudut dalam Trigonometri

2. Sudut-Sudut Berelasi

Jika diberikan nilai adalah sudut lancip, maka

Kuadran I

0o < < 90

o

0o < <

2

Kuadran II

90o < < 180

o

2

< <

Kuadran III

180o < < 270

o

2

< <

2

3

Kuadran IV

270o < < 360

o

2

3 < < 2

x

y

X

Y (x,y)

x

y sin =

...

...

cos = ...

...

tan = ...

...

Jika kita memiliki sudut ( ), maka perbandingan trigonometri adalah:

Kuadran I Kuadran II

sin ( 90o - ) = cos sin ( 90

o + ) = cos

cos ( 90o - ) = sin cos ( 90

o + ) = - sin

tan ( 90o - ) = cot tan ( 90

o + ) = - cot

Kuadran II Kuadran III

sin (180o - ) = sin sin (180

o + ) = - sin

cos (180o - ) = - cos cos (180

o + ) = - cos

tan (180o - ) = - tan tan (180

o + ) = tan

Kuadran III Kuadran IV

sin ( 270o - ) = - cos sin ( 270

o + ) = - cos

cos ( 270o - ) = - sin cos ( 270

o + ) = sin

tan ( 270o - ) = cot tan ( 270

o + ) = - cot

Kuadran IV

sin ( 360o - ) = - sin

cos ( 360o - ) = cos

tan ( 360o - ) = - tan

Lengkapilah perbandingan

berikut berdasarkan gambar

di samping!

sin (- ) = ...

... = …

cos (- )= ...

... = …

tan (- )= ...

... = …

X

Y (x,y)

x

y

-y (x,-y)

sin ( + k . 360o ) = sin

cos ( + k . 360o ) = cos

tan ( + k . 360o ) = tan

LATIHAN C

1. Tentukanlah nilai dari:

a. sin 120o

b. tan 150o

c. cos (-1350)

d. sec 300o

e. sin 240o – cos 330

o

2. Tentukanlah perbandingan trigonometri yang lain jika diketahui:

a. tan x = 2, dengan x adalah sudut tumpul

b. cos A = 2

1, dengan A adalah sudut di kuadran I

c. cot A = 5

12 , dengan 90

o < A < 270

o

d. cosec C = 2 , dengan 22

3C

3. Jika sin y = 5

3 dan tan y > 0, tentukan perbandingan trigonometri yang lain!

4. Jika cos x = 5

5 dan 0

o < x <

2

, tentukan nilai sin (180

o–x) + 3.cos (90

o+x)!

5. Sederhanakanlah bentuk berikut:

xcos

xsin

0

0

90

360+

xeccos

xsec

0

0

90

180

6. Dalam segitiga ABC buktikan bahwa:

a. sin (B+C) = sin A

b. sin 2

1(B+C) = cos

2

1A

D. KOORDINAT KUTUB

1. Koordinat kutub

Jika sebuah titik diketahui P (x,y) maka:

r = 22 yx

tan = x

y, 0

o o360

maka koordinat kutubnya adalah P (r, )

Y

X x

P(x,y)=P(r, ) y

r

2. Koordinat kartesius

Jika diketahui panjang r dan , maka:

sin = r

y x = r. sin

cos = r

x y = r. cos

Jadi Koordinat kartesiusnya P (x,y)

LATIHAN D

1. Nyatakan setiap koordinat cartesius berikut ini dalam koordinat kutub.

a. (4, 45o) c. (2,

3

)

b. (3, 270o) d. (3,

4

3

2. Nyatakan setiap koordinat kutub berikut ini dalam koordinat kartesius.

a. (1, 3 ) c. (-5, -6)

b. (4 3 , 4) d. (15, -12)

E. IDENTITAS TRIGONOMETRI

LATIHAN E

Buktikan identitas berikut:

a. tan x. cos x = sin x

b. tan y + cot y = sec y . cosec y

c. xtan21

1

= xcos2

d. ycos

ysin2

2

1

1

= ycot2

e. sin p ( 1+ cot2 x) = cosec x

Teorema E:

Untuk setiap sudut tertentu berlaku:

1. tan =

cos

sin

2. 122 cossin

3. 22 1 sectan

4. 1 + 2cot = 2eccos

F. GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI

Tugas Kelompok! Buatlah grafik trigonometri dengan y = sin , y = cos , dan y = tan dalam satu

grafik dimana 0o o720 ! Dalam kertas karton berukuran 30 x 50 cm!

G. PERSAMAAN TRIGONOMETRI SEDERHANA

1. Penyelesaian Persamaan Trigonometri sin x = sin , cos x = cos , tan x = tan

2. Penyelesaian Persamaan Trigonometri sin x = a , cos x = a , tan x = a

Cara: Ubahlah a ke dalam bentuk sin, cos, tan. Kemudian diselesaikan

dengan Teorema G.1 LATIHAN G

1. Tentukan akar persamaan dan penyelesaian umum dari setiap persamaan berikut:

a. sin xo = sin 50

o, 0 x 360

b. cos xo = cos 75

o, 0 x 360

c. sin 2xo = - sin 100

o, 0 x 360

d. cos 2xo = cos

3

2, 0 x 180

e. tan 2

1x = - tan

6

, 0 x 2

2. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut ini:

a. sin ( x – 30)o = sin 15

o, 0 x 360

b. cos (3x – 60)o = cos (-300)

o, 0 x

c. cos 2xo = sin 2x

o, 0 x 180

3. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut:

a. sin xo = 2

2

1

b. tan ( x – 40)o = 3 , 0 x 2

c. sec 2

2

1x = 2 , 0 x 2

Teorema G.1

Sudut dalam derajat:

1. sin x = sin maka x = + k.360o atau x = (180

o - ) + k. 360

o

2. cos x = cos maka x = + k . 360o

3. tan x = tan maka x = + k . 180o

H. ATURAN SINUS UNTUK SEGITIGA

LATIHAN H

1. Tentukanlah panjang sisi-sisi segitiga ABC jika diketahui

a. A = 110o, C = 20

o, b = 6 !

b. a = 12, b = 5, B = 24o

c. a + b + c = 100, A = 42o, B = 106

o

2. Diketahui sudut-sudut ABC adalah dan,, . Jika 222 sinsinsin ,

buktikan bahwa = 90o !

I. ATURAN KOSINUS UNTUK SEGITIGA

LATIHAN I

1. Diketahui ABC, dengan A = 120o, a = 14 cm, dan c = 10 cm. Hitunglah

unsur-unsur yang lain!

2. Carilah sudut terbesar dan sudut terkecil dari ABC , jika diketahui a = 20 cm, b

= 25 cm, dan c = 30 cm !

3. Sisi –sisi segitiga ABC berbanding sebagai 6 : 5 : 4. Tentukan kosinus sudut yang

terbesar dari segitiga tersebut!

Teorema H

Pada setiap ABC berlaku Csin

c

Bsin

b

Asin

a = 2 R

Dengan a = BC; b = AC; c = AB, dan

R := jari-jari lingkaran A B

C

a b

c

R R

R O

Teorema I

Pada setiap ABC berlaku

1. Acosbccba 2222

2. Bcosaccab 2222

3. Ccosabbac 2222 A B

C

a b

c

J. LUAS SEGITIGA

1. Luas segitiga dengan besar sudut dan dua sisi yang mengapit sudut itu diketahui

Teorema J.1:

1. L = 2

1bc sin A

2. L = 2

1ac sin B

3. L = 2

1ab sin C

2. Luas Segitiga dengan Besar Dua Sudut dan Satu Sisi yang Terletak di antara

Kedua Sudut Diketahui

Teorema J.2

Pada setiap ABC berlaku:

1. L = Asin

Csin.Bsina

2

2

3. L = Csin

Bsin.Asinc

2

2

2. L = Bsin

Csin.Asinb

2

2

3. Luas Segitiga dengan Ketiga Sisinya Diketahui

Rumus Heron

Pada setiap ABC berlaku:

L = )cS)(bS)(aS(S

Dengan L = Luas ABC , BC = a, AC = b, dan AB = c

S = cba 2

1 adalah setengah keliling ABC.

A B

C

a b

c

A B

C

a b

c

DAFTAR PUSTAKA

Sartono Wirodikromo. 2000. MATEMATIKA 2000 SMU Kelas 1 Caturwulan 1.

Jakarta:Erlangga. Kartini,Suprapto, Endang S, Untung S, Subandi, Nur Akhsin. 2004. Matematika SMA

Kelas X. Klaten : Intan Pariwara. Husein Tamponas. 2007. Seribu Pena Matematika jilid 1 untuk SMA/MA Kelas X. Jakarta:

Erlangga. Johanes, Kastolan, Sulasim. 2005. Kompetensi Matematika Kelas 1 SMA Semester Kedua.

Jakarta : Yudhistira. Krismanto. 2008. Pembelajaran Trigonometri SMA. Yogyakarta: Pusat Pengembangan dan

Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan Matematika.