Post on 12-Oct-2014
ILMUKOM
PUTER
FAKMIPAUGM
GP DALIYOGP DALIYO
GP DALIYO
GP DALIYO
GP DALIYO
GP DALIYO
GP DALIYO
DaliyoDaliyoDaliyoDaliyoDaliyo
DaliyoDaliyoDaliyo
DaliyoDaliyoDaliyoDaliyo
Logika Proposisional[Aplikasi Peta Karnaugh]
Kasus 3 variabel
Peta Karnaugh yang berkaitan dengan formula F(p,q,r) digambarkan sebagai berikut :
Terdapat 8 konjungan/hasil-kali foundamental yaitu :p.q.r ; p.q.r’ ; p.q’.r ; p.q’.r’ ; p’.q.r ; p’.q.r’ ; p’.q’.r ; p’.q’.r’
rr’
p p p’ p’q q’ q’ q
rr‘
p p p’ p’q q’ q’ q
rr’
p p p’ p’q q’ q’ q
rr‘
p p p’ p’q q’ q’ q
p diarsir q diarsir r diarsir
r
r’
p’qp q
p’q’p q’
Perhatikan : 1 bjr-skr 3 literal 2 bjr-skr bersanding 2 literal4 bjr-skr bersanding 1 literal
DaliyoDaliyoDaliyoDaliyo
Daliyo
Logika Proposisional[Aplikasi Peta Karnaugh]Kasus 3 variabel
Contoh :
E = xyz +xyz’ + x’yz’ +x’y’zF = pqr + pqr’ + pq’r + p’qr + p’q’rG = uvw + uvw’ + u’vw’ +u’v’w’ + u’v’w
√
pq
r
r’√
√ √ √
pq’
p’q’
p’q
√
xy
z
z’√
√
√
xy’
x’y’
x’y
√
uv
w
w’√
√
√ √
uv’
u’v’
u’v
F = p.q + r
E = xy + yz’ + x’y’z
G = uv + u’v’ + u’w’= uv + u’v’ + v w’
DaliyoDaliyoDaliyoDaliyo
Daliyo
Logika Proposisional[Aplikasi Peta Karnaugh]
Kasus 3 variabel
Bagaiman jika fungsinya ditentukan dalam bentuk tabelkebenaran ? Misalnya :
p
11110000
q
11001100
r
10101010
F
11001010
Digambarkan sebagai berikut :11
11
0 1
0
0
1
0
1
0
10
00
01
pq
rJadi fungsinya F = p.q + p’.r
Daliyo
DaliyoDaliyoDaliyo
Daliyo
DaliyoDaliyoDaliyoDaliyoDaliyo
Logika Proposisional[Aplikasi Peta Karnaugh]
Kasus 3 variabel
p
11110000
q
11001100
r
10101010
F
11001110
11
11
0 1
0
0
1
0
1
1
10
00
01
pq
r
Digambarkan sebagai berikut :
Jadi fungsinya F = q + p’.r
DaliyoDaliyoDaliyoDaliyoDaliyoDaliyo
DaliyoDaliyoDaliyoDaliyoDaliyoDaliyo
Logika Proposisional[Aplikasi Peta Karnaugh]
Kasus 4 variabelPeta Karnaugh untuk 4 variabel lihat gb. Terdapat 16 bjr-skr yang masing-masing berkaitan dengan bndp (hasil-kali foundamental) : p.q.r.s , p.q.r.t’ , p.q.r’.s , p.q.r’.s’ ,p.q’.r.s , p.q’.r.s’ , p.q’.r’.s , p.q’.r’.s’ , p’.q.r.s , p’.q.r.t’ , p’.q.r’.s , p’.q.r’.s’ , p’.q’.r.s , p’.q’.r.s’ , p’.q’.r’.s , p’.q’.r’.s’
p p p’ p’q q’ q’ q
r s
r s’
r’s’
r’s
1 1 0 0 p1 0 0 1 qr s
1 1
1 0
0 0
0 1
DaliyoDaliyoDaliyoDaliyo
Daliyo
Logika Proposisional[Aplikasi Peta Karnaugh]
Kasus 4 variabel
p p p’ p’q q’ q’ q
r s
r s’
r’s’
r’s
pqrs
pqrs’
pq’rs p’q’rs
p’q’r’s’
p’qr’s
1 1 0 0 p1 0 0 1 qr s
1 1
1 0
0 0
0 1
pr’q’rs’
p’q
Bagaimana dengan cara diatas ?Kerjakan sendiri !!!!!
DaliyoDaliyoDaliyoDaliyoDaliyo
Daliyo
Logika Proposisional[Aplikasi Peta Karnaugh]
Kasus 4 variabelContoh (Fungsi)Diberikan :
E = pqr’s’ + pqr’s + pq’rs + pq’rs’ + p’q’rs + p’q’rs’ + p’qr’s’
p p p’ p’q q’ q’ q
r s
r s’
r’s’
r’s
√
√
√
√
√
√
√
E = q’r + pqr’ + qr’s’
p p p’ p’q q’ q’ q
r s
r s’
r’s’
r’s
Diberikan peta Karnaugh,bagaimana fungsinya ???
DaliyoDaliyoDaliyoDaliyoDaliyoDaliyo
Logika Proposisional[Aplikasi Peta Karnaugh]Kasus 4 variabel
Contoh (Tabel-Kebenaran)
F(p,q,r,s) = p q’r s + p’q’r s’ + p’q r’ +q r’s’ + p’q r’ + p’r’s
q
1111000011110000
r
1100110011001100
s
1010101010101010
F(p,q,r,s)
0001100010110110
p
1111111100000000
1 1 0 0 p1 0 0 1 q
1 1
1 0
0 0
0 1
r s
√
√
√
√
√
√
√
DaliyoDaliyoDaliyoDaliyoDaliyo
Logika Proposisional[Aplikasi Peta Karnaugh]
Daliyo
DaliyoDaliyoDaliyoDari contoh diatas
q
1111000011110000
r
1100110011001100
s
1010101010101010
F - G
0001100010110110
p
1111111100000000
Bentuk Disjungtif Normal Penuh (BDNP)
F(p,q,r,s) = pqr’s’ + pq’rs + p’qrs + p’qr’s+ p’qr’s’+ p’q’rs’+ p’q’r’s
Kita sebut kombinasi daripada nilai masukan untmana keluaran yg diinginkan adl 1 sbg mintermdaripada fungsi tsb (F(p,q,r,s)).
Bentuk Konjungtif Normal Penuh (BKNP)
G(p,q,r,s) = (p’+q’+r’+s’).(p’+q’+r’+s).(p’+q’+r+s’).(p’+q+r’+s).(p’+q+r+s’).(p’+q+r+s).(p+q’+r’+s).(p+q+r’+s’).(p+q+r+s)
Kita sebut kombinasi daripada nilai masukan untmana keluaran yg diinginkan adl 0 sbg maxtermdaripada fungsi tsb (G(p,q,r,s)).
Logika Proposisional[Aplikasi Peta Karnaugh]
Penandaan Minterm dan Maxterm dp Fungsi
Dalam fungsi cetetan/switching fungsi didefinisikan dgn tabel kebenarannya atau suatu daftar drpd nilai fungsi untuksemua kombinasi yg mungkin daripada masukkannya.Pada tabel kebenaran disamping ini se tiap baris diberi nomor sesuai dengankombinasi daripada masukkannya; mis. p=0, q=1, dan r=1 maka diinterpretasikan dng 011]2 = 3]10 , maka didapatpenandaan fungsi sebagi berikut :
F(p,q,r) = Σ m(0,4,5,7)m – berarti minterm0,4,5,7 – baris fungsi bernilai 1m(0)=p’q’r’ ; m(4) pq’r’ ; m(5) = pq’r ; m(7) = pqrf(p,q,r) = p’q’r’ + pq’r’ + pq’r + pqr (BNDP)
p
00001111
q
00110011
r
01010101
F
10001101
No Br
01234567
DaliyoDaliyoDaliyoDaliyoDaliyo
Logika Proposisional[Aplikasi Peta Karnaugh]
Penandaan Minterm dan Maxterm dp Fungsi
Dalam fungsi cetetan/switching fungsi didefinisikan dgn tabel kebenarannya atau suatu daftar drpd nilai fungsi untuksemua kombinasi yg mungkin daripada masukkannya.Pada tabel kebenaran disamping ini se tiap baris diberi nomor sesuai dengankombinasi daripada masukkannya; mis. p=0, q=1, dan r=1 maka diinterpretasikan dng 011]2 = 3]10 , maka didapatpenandaan fungsi sebagi berikut :
G(p,q,r) = Σ M(1,2,3,6)M – berarti Maxterm1,2,3,6 – baris fungsi bernilai 0M(1)=p+q+r’ ; m(2) p+q’+r ; m(3) = p+q’+r’ ; m(6) = p’+q’+rG(p,q,r) = (p+q+r’).(p+q’+r).(p+q’+r’).(p’+q’+r) (BNKP)
p
00001111
q
00110011
r
01010101
G
10001101
No Br
01234567
DaliyoDaliyoDaliyoDaliyoDaliyo
Logika Proposisional[Aplikasi Peta Karnaugh]
Sumari, kita kaitkan setiap minterm dengan kombinasi masukan dimana ia menghasilkan 1 dan setiap maxterm dngkombinasi masukan yang menghasilkan 0.
p
00001111
q
00110011
r
01010101
Minterm
p’q’r’ = m0
p’q’r = m1
p’q r’ = m2
p’q r = m3
p q’r’ = m4
p q’r = m5
p q r’ = m6
p q r = m7
No Br
01234567
Maxterm
p + q + r = M0
p + q + r’= M1
p + q’+ r = M2
p + q’+ r’= M3
p’+ q + r = M4
p’+ q + r’= M5
p’+ q’+ r = M6
p’+ q’+ r’= M7
DaliyoDaliyoDaliyoDaliyoDaliyo
Logika Proposisional[Aplikasi Peta Karnaugh]
Minterm
p’q’r’s’= m0
p’q’r’s = m1
p’q’r s’= m2
p’q’r s = m3p’q r’s’= m4
p’q r’s = m5
p’q r s’= m6
p’q r s = m7
p q’r’s’= m8
p q’r’s = m9
p q’r s’= m10
p q’r s = m11
p q r’s’= m12
p q r’s = m13
p q r s’= m14
p q r s = m15
q
0000111100001111
r
0011001100110011
s
0101010101010101
p
0000000011111111
No Brs
0123456789101112131415
Maxterm
p + q + r + s = M0
p + q + r + s’ = M1
p + q + r ‘+ s = M2
p + q + r ‘+ s’ = M3
p + q’ + r + s = M4
p + q’ + r + s’ = M5
p + q’ + r ‘+ s = M6
p + q’ + r ‘+ s’ = M7
p’ + q + r + s = M8
p’ + q + r + s’ = M9
p’ + q + r ‘+ s = M10
p’ + q + r ‘+ s’ = M11
p’ + q’ + r + s = M12
p’ + q’ + r + s‘ = M13
p’ + q’ + r’ + s = M14
p’ + q’ + r’ + s’ = M15
DaliyoDaliyoDaliyoDaliyoDaliyo
Logika Proposisional[Aplikasi Peta Karnaugh]
Contoh
1). DiberikanF(p,q,r,s) = p q r s + p q’r s + p’q r s + p q r s’ +
p q’r s’ + p q r’s’ + p’q r s’ + p’q r’s’sajikan ke dalam bentuk daftar minterm .Jawab : F(p,q,r,s) =
pqrs+pq’rs+p’qrs+pqrs’+pq’rs’+pqr’s’+p’qrs’+p’qr’s’1111 10 11 0 111 1110 10 10 110 0 0 110 0 100(15) (11) (7) (14) (10) (12) (6) (4)
F(p,q,r,s) = Σ m(4,6,7,10,11,12,14,15)
DaliyoDaliyoDaliyoDaliyo
Logika Proposisional[Aplikasi Peta Karnaugh]
Contoh
1). DiberikanG(p,q,r,s) = (p + q’+ r + s’).(p’+q + r + s).(p + q + r’+ s’).
(p’+ q + r + s’)sajikan ke dalam bentuk daftar maxterm .Jawab : G(p,q,r,s) =
(p+q’+r+s’).(p’+q+r+s).(p+q+r’+s’).(p’+q+r+s’)0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1
(5) (8) (3) 9)Didapat :G(p,q,r,s) = Π M(3,5,8,9)
DaliyoDaliyo
Daliyo
Logika Proposisional[Aplikasi Peta Karnaugh]
Tabel Kebenaran dalam sajian lain 2 variabel
p
0011
q
0110
p.q
0010
Tabel KebenaranAND ( . )
p
0011
q
0110
p+q
0111
Tabel KebenaranOR (+)
00 01
1
11 10pq
p . q
00
1
01
1
11
1
01pq
p + q
(AND)
(OR)
p + q0 1
1 1
0 1
01
pq
(OR)
p . q 0 0
0 1
0 1
01
pq
(AND)
Daliyo
Daliyo
Daliyo
Daliyo
Logika Proposisional[Aplikasi Peta Karnaugh]
Pendekatan dengan diagram Venn
Universal set
p’ p p’ p
q’
q
Membangun peta Karnaugh (peta-K) dengan pendekatan diagram Venn
Peta-Kdaripada
AND(p.q)
Bentuk Venn
p’ p
q’
q
p’ p
q’
q
Peta-Kdaripada
OR(p+q)
Bentuk Venn
Logika Proposisional[Aplikasi Peta Karnaugh]
Tabel Kebenaran dalam sajian lain 3 variabelp
00001111
q
00110011
r
01010101
p.q.r
00000001
00 01 11 10
0
1
0
0 00
00
1
0
pqr
p.q.rAND
0 0 1 10 0 1 1r
p
q
0 1 1 00 1 1 0r
q
p
0 0 0 01 1 1 1r
q
p
0 1 1 11 1 1 1r
q
p
p + q + r = p + q + r
OR
Daliyo
Daliyo
DaliyoDaliyo
+ + =
Logika Proposisional[Aplikasi Peta Karnaugh]
Peta-K baku
1
20
3
0 1
0
1
pq
1
20
3
00 01 11 10
0
1
pqr
6 4
7 5
Dua Variabel Tiga Variabel
Logika Proposisional[Aplikasi Peta Karnaugh]
Peta-K baku
1
40
5
00 01 11 10
00
01
pqrs
12 8
13 9
empat Variabel
2
73
6
11
10
15 11
14 10
Logika Proposisional[Aplikasi Peta Karnaugh]
Peta-K baku
Daliyo
00
01
11
10
qrst
17
2016
21
00 01 11 10
28 24
29 25
18
2319
22
31 27
30 26
1
40
5
00 01 11 10
00
01
qrst
12 8
13 9
Lima Variabel
2
73
6
11
10
15 11
14 10
p=0 p=1
Logika Proposisional[Aplikasi Peta Karnaugh]Peta-K baku
Daliyoenam Variabel
Daliyo
00
01
11
10
rstu
17
2016
21
00 01 11 10
28 24
29 25
18
2319
22
31 27
30 26
1
40
5
00 01 11 10
00
01
11
10
rstu12 8
13 9
2
73
6
15 11
14 10
q=0 q=1
p=0
00 01 11 10
00
01
11
10
49
5248
53
60 56
61 57
50
5551
54
63 59
62 58
00 01 11 10
33
3632
37
00
01
11
10
44 40
45 41
34
3935
38
47 43
46 42
p=1
Logika Proposisional[Aplikasi Peta Karnaugh]
Peta-K baku Alternatif
1
20
3
p’ p
q’
q 1
20
3
p’q’ p’q pq pq’
r’
r
6 4
7 5
Dua Variabel Tiga Variabelq
pp’
Logika Proposisional[Aplikasi Peta Karnaugh]
Peta-K baku Alternatif
1
40
5
p’q’ p’q pq pq’
r’s’
r’s
12 8
13 9
empat Variabel
2
73
6
rs
rs’
15 11
14 10
r
s
q
p
Logika Proposisional[Aplikasi Peta Karnaugh]
Peta-K baku Alternatif
Daliyo
00
01
11
10
qrst
17
2016
21
00 01 11 10
28 24
29 25
18
2319
22
31 27
30 26
1
40
5
00 01 11 10
00
01
qrst
12 8
13 9
Lima Variabel
2
73
6
11
10
15 11
14 10
p=0 p=1
Logika Proposisional[Aplikasi Peta Karnaugh]Peta-K baku Alternatif
s (1)
Daliyo
17
2016
21
28 24
29 25
18
2319
22
31 27
30 26
1
40
5
12 8
13 9
2
73
6
15 11
14 10
p’(0)
49
5248
53
60 56
61 57
50
5551
54
63 59
62 58
33
3632
37
44 40
45 41
34
3935
38
47 43
46 42
p(1)
u (1)
u (1)
t(1)
t(1)
r (1)r (1)q (1)q’ (0)
s(1)
Logika Proposisional[Aplikasi Peta Karnaugh]Contoh
Cari peta-K untuk fungsi sbb : f(v,w,x,y,z) = Σ m(9,20,21,29,30,31)
Daliyo
00
01
11
10
wxyz
17
2016
21
00 01 11 10
28 24
29 25
18
2319
22
31 27
30 26
v=1
1
40
5
00 01 11 10
00
01
wxyz
12 8
13 9
2
73
6
11
10
15 11
14 10
v=0
Logika Proposisional[Aplikasi Peta Karnaugh]
Cari peta-K untuk fungsi sbb : f(a,b,c,d,e) = ab +c’d +de
1
40
5
00 01 11 10
00
01
bcde
12 8
13 9
2+
7&3+&
6
11
10
15& 11+&
14 10+
a (0)
00
01
11
10
wxyz
17
2016
21
00 01 11 10
28* 24*
29* 25*
18+
23&19+&
22
31*& 27*&
30* 26*
a (1)
• * = a.b ; + = c’d• & = de
d
d’
e
Didapat : f(a,b,c,d,e) = Σ m(2, 3, 7,10,11,15,18,19, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 32
Logika Proposisional[Aplikasi Peta Karnaugh]
Diberikan : f(a,b,c,d) = (a+b)(cd’+c’d) = acd’+ac’d+bcd’+bc’d = Σ m(5,6,9,10,13,14) (tunjukan !!!)
+.
.
+ab
cd
c
d
f
.
.
.
.
+
acd’ac’dbcd’bc’d
f
.
.
.
.
.
.
ab’
cd’
ab
cd’
ab’
c’d
ab
c’d
a’b
cd’
a’b
c’d
+ f
Logika Proposisional[Aplikasi Peta Karnaugh]
151
111
141
101
c
a
ac
41
121
51
`31
c
b
bc’
11
01
8191
c
b
b’c’
Set of four on K-map
Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh]
41
121
61
141
d
b
bd’
81
01
`
21
101
d
b
b’d’
d
b
31
11
91111
b’d
Set of four on K-map
Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh]
121
81
131
91
151
111
141
101
d
a
a
11
81
01
91
41
121
51
`131
c
a
c’01
41
121
81
d
a
61
21
141
101
d’
Set of eight on K-mapa’
a’
Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh]
Sets on a 5-variable map
1
1
1
1 1d
b
1 1
1 1
1
1 1e
b b’
Kelompok 1 = a’c’d’e’
Kelompok 2 = b’c’de’
Kelompok 3 = bde
Kelompok 4 = acd’
c c
a
b’
d’
a’
Logika Proposisional [Aplikasi Peta Karnaugh]
Sets on a 5-variable map , example
11
41
01
5171
31
121
81
131
91
101
d
b
241251
281
211
291
261
e
b b’
c c
a
b’
d’
a’
Diberikan : f(a,b,c,d,e) = Σ m(0,1,3,4,5,7,8,9,10,12,13,21,24,25,26,28,29)
f = cd’e Σ m(0,1,4,5,8,9,12,13) + a’b’e Σ m(1,3,5,7)+ a’d’ Σ m(5,13,21,29)+ bc’e’ Σ m(8,10,24,26)+ bd’ Σ m(8,9,12,13,24,25,28,29)
Kita sebut kombinasi daripada nilai masukkan untuk mana keluaranyang diinginkan adalah 1 sebagai minterm daripada fungsi tsb(F(p,q,r,s)) ;
Bentuk minterm-2 tsb merupakan komponen dasar dp ekspresiBDNP. Kita akan memperhatikan secara efektif untuk setiap dua dpterm-term ini yang berbeda pd hanya satu variabel; varibel tsb harusmuncul ternegasi dalam satu term dan tak-ternegasi dalam term yg lain; dua term ini dapat disatukan dng menghilangkan variabel tersebut, misg.p +g.p’ = g
Tak dipakai