METODE NUMERIK

STMIK WIDYADHARMAJURUSAN TEKNIK PERANGKAT LUNAK

NURI SIMARONA, ST

TIKK 412

MATERI PERKULIAHAN:

PENDAHULUAN METODE NUMERIK

Pengertian Metode Numerik

Pendekatan dan Kesalahan

AKAR-AKAR PERSAMAAN

Metode Biseksi Metode Regula Falsi Metode Secant Metode Iterasi Titik Tetap Metode Newton – Raphson

SISTEM PERSAMAAN LINIER SIMULTAN Eliminasi Gauss Gauss-Jordan. Iterasi Gauss-Seidel

PENCOCOKAN KURVA Regresi Kuadrat Terkecil Interpolasi

INTEGRASI NUMERIK Integrasi Newton-Cotes Integrasi Kuadratur Gauss

Persamaan Diferensial Metode Satu Langkah Metode Langkah Ganda

Referensi: Chapra Steven C., Canale Raymond P.,

Metode Numerik Untuk Teknik: Dengan Penerapan pada Komputer Pribadi, penerjemah: S. Sardy dan pendamping: Lamyarni I.S., Cetakan 1, Universitas Indonesia (UI-Press), Jakarta, 1991

Steven E. Pav., Numerical Methods Course Notes Version 0.11 (UCSD Math 174, Fall 2004), Department of Mathematics, MC0112, University of California at San Diego, La Jolla, CA 92093-0112.

Pendahuluan

Manfaat Metode Numerik Sanggup menangani sistem persamaan yang besar, tidak

linier serta geometri rumit yang tidak biasa terjadi dalam praktek keteknikan dan sering kali tidak memungkinkan untuk diselesaikan secara analitis.

Dasar pengetahuan untuk menggunakan program aplikasi komputer yang mencakup metode numerik.

Mengoptimalkan penggunaan kalkulator (prakomputer) dan komputer (pemrograman) dalam mencari solusi permasalahan matematika yang rumit.

Pemahaman tentang pengendalian kesalahan pendekatan dalam kalkulasi numerik.

Metode Numerik adalah suatu metode atau teknik untuk menyelesaikan masalah matematika melalui pengoperasian aritmatika secara iteratif.

Angka SignifikanAngka-angka atau digit berarti yang dapat digunakan dengan meyakinkan dan dapat diandalkan.

Misal:

0,00144 ( 3 angka signifikan) 0,0010408 (5 angka signifikan)12,500 (3 atau 5 angka signifikan ?)1,26 x 105 (3 angka signifikan)1,260 x 104 (4 angka signifikan)1,2600 x 104 (5 angka signifikan)

Angka s ign ifi kan akan member ikan k r i te r ia untuk mer inc i seberapa keyak inan k i ta mengena i has i l -has i l pendekatan da lam metode numer ik

Angka s ignifi kan member ikan pengabaian dar i angka s ignifi kan s isa untuk besaran spes ifi k yang t idak b isa d inyatakan secara eksak karena keterbatasan jumlah d ig i t yang mampu dis impan komputer

Dua implikasi penting angka signifikan dalam metode numerik

Akurasi dan PresisiPresisi Jumlah angka

signifikan yang menyatakan suatu besaran.

Penyebaran dalam bacaan berulang dari sebuah alat yang mengukur suatu perilaku fisik tertentu.

Akurasi : dekatnya sebuah angka pendekatan atau pengukuran terhadap harga sebenarnya yang hendak dinyatakan.

Inakurasi (bias) : Simpangan sistematis dari kebenaran.

Kesalahan komputasi numerik terjadi jika tidak akurat dan tidak presisi dalam melakukan taksiran.

KESALAHAN (GALAT atau ERROR)

Ada 3 macam kesalahan dasar1.Kesalahan bawaan (inheren)2.Kesalahan pemotongan (Truncation Error)3.Kesalahan pembulatan (Round-off Error)

Kesalahan numerik timbul dari penggunaan pendekatan (aproksimasi) untuk menyatakan operasi dan besaran matematika yang pasti.

Kesalahan bawaan (Inheren)Terjadi akibat kekel iruan dalam menyal in data, salah membaca skala atau kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai hukum-hukum fi sik dari data yang diukur.

Kesalahan Pemotongan (Truncation Error)Berhubungan dengan cara pelaksanaan prosedur numerik

Kesalahan Pembulatan (Round-off Error) Akibat pembulatan angka Komputer hanya menyimpan sejumlah

tertentu angka signifikan selama kalkulasi.

Penyelesaian secara numerik suatu persamaan matematis hanya memberikan aproksimasi yang mendekati harga eksak (sebenarnya/pasti) dari penyelesaian analitis.

Hubungan harga eksak dan aproksimasi:

Harga eksak = aproksimasi + Kesalahan

Kesalahan numerik adalah setara terhadap ketidakcocokan antara yang sebenarnya dan aproksimasi, sehingga

Et = Harga eksak – aproksimasi

Dimana, Et = kesalahan mutlak

Definisi kesalahan mutlak memiliki kelemahan karena tidak memperhitungkan tingkat/orde besar dari nilai yang diperiksa, misalnya kesalahan 1 cm akan sangat berarti pada pengukuran panjang sekrup dari pada pengukuran panjang jembatan. Normalisasi kesalahan terhadap harga eksak, He digunakan kesalahan relatif, yaitu

Kesalahan mutlakKesalahan relatif = =

Harga eksak

Kesalahan relatif dapat dikalikan dengan 100% sehingga didefinisikan sebagai Persentase kesalahan relatif, εt,

t

e

E

H

t 00t

e

E100

H

Alternatif yang selalu dipakai dalam menormalisasi kesalahan dengan menggunakan taksiran terbaik dari harga yang sebenarnya terhadap kesalahan aproksimasi itu sendiri, yaitu

Dimana: εa = Persentase kesalahan harga aproksimasi.

Kesalahan aproksimasiεa = x 100%

aproksimasi

Dengan persamaan εa kita menentukan taksiran kesalahan tanpa pengetahuan mengenai harga eksak. Dalam metode numerik tertentu digunakan pendekatan iterasi untuk meminimalkan kesalahan, jadi suatu aproksimasi yang baru dibuat berdasarkan aproksimasi sebelumnya, yaitu:

aproksimasi baru – aproksimasi lamaεa = x 100% aproksimasi baru

Dalam komputasi persentase kesalahan dilakukan secara berulang hingga memenuhi:

a s

Dengan memperhatikan jumlah angka signifikan pada aproksimasi, maka ada jaminan bahwa hasilnya adalah benar hingga sekurang-kurangnya n angka signifikan.

εs = ( 0,5 x 10 2 - n )%

Soal:1. Berapa jumlah angka signifikan disetiap bilangan berikut?

a. 84,0 c. 70,0 e. 0,00460b. 70 d. 0,04600 f. 8,0 x 103

2. Bulatkan bilangan-bilangan berikut sampai tiga angka signifikan.

a. 8,755 c. 0,368124 x 102 e. 0,999500

b. 4.225,0002 d. 5,445 x 103

3. Lakukan operasi hitung berikut dan tuliskan hasilnya dalam jumlah angka signifikan yang benar.a. 0,00423 + (25,1 x 10-3) + (10,322 x 10-2)b. (7,7 x 10-5) – (5,409 x 10-6) + (7,0 x 10-4)c. (8,38 x 105) x ( (6,9 x 10-5)d. 87.619 / (0,00871 x 99.999)e. (58,6 (12 x 10-6) – (208 x 10-6) (1,801)) / (468,94 x 10-6)

4. Perluasan Deret Maclaurin untuk cos x adalah:

untuk menaksir cos (π/3). Setelah setiap suku baru ditambahkan, hitung persentase kesalahan aproksimasi dan eksak. Gunakan kalkulator untuk menentukan harga eksaknya. Tambahkan suku-suku sampai harga mutlak dari taksiran kesalahan aproksimasi di bawah kriteria kesalahan untuk memastikan sampai dua angka signifikan.

2 4 6 8x x x xf (x) 1

2! 4! 6! 8!

NURI SIMARONA, ST

Metode BiseksiMetode Regula FalsiMetode SecantMetode Iterasi Titik TetapMetode Newton – Raphson

AKAR-AKAR PERSAMAAN

NURI SIMARONA, ST

Penentuan Akar : f(x) = 0 mempunyai paling sedikit satu

akar dalam interval [a,b] jika:f(x) kontinyu pada [a,b].f(a).f(b) < 0, yaitu f(x) berubah tanda

pada [a,b].

Definisi Akar :

f(x) = 0

NURI SIMARONA, ST

METODE BISECTIONThe bisection method is a root-finding algorithm which works by repeatedly dividing an interval in half and then selecting the subinterval in which a root exists. Kelebihan: Konvergen,

mudah untuk dibuat program, dan tingkat kesalahan kecil.

Kekurangan: Konvergensi bersifat linier, menghasilkan satu akar saja dalam perhitungan, dan ambat dalam proses perhitungan.

NURI SIMARONA, ST

Algoritma metode Bisection:

1. Tentukan a, b, dan persentase kesalahan angka signifikan, εs.

2. Periksa apakah f(a).f(b) > 0; jika ya, berhenti karena pada selang yang diberikan tidak terdapat akar persamaan.

3. Hitung nilai m = (a+b)/2.4. Jika l εa l < εs, tuliskan m sebagai hasil perhitungan,

dan akhiri program; jika tidak, lanjutkan ke langkah berikutnya.

5. Jika f(a) x f(m) < 0, maka b = m; jika tidak, a = m.6. Kembali ke langkah 3.  

NURI SIMARONA, ST

Algoritma metode bagi dua (modifikasi):1. Tentukan dua titik, misalnya a1

dan b1 dengan a1 < b1 dan kedua nilai fungsi berlainan tanda

2. Tentukan titik tengah c1 dan hitung εs . c1 adalah titik pendekatan awal.

3. Hitung εa 4. hitung f(cn), jika f(cn) = 0 atau εs < lεa l

maka stop5. hitung sn+1 = sn / 26. jika f(cn ) < 0, maka cn+1 =cn + sn+1 7. jika f(cn ) > 0, maka cn+1 =cn - sn+1

8. Kembali ke langkah 4

2

2

n nn

n nn

a bc

b as

NURI SIMARONA, ST

Algoritmanya sama seperti metode Bisection, kecuali mengganti penentuan m dengan rumusan :

METODE REGULA FALSI (INTERPOLASI LINIER)

(b a).f (b)m b

f (b) f (a)

NURI SIMARONA, ST

Algoritma Metode Regula Falsi1. Tentukan a, b, dan persentase kesalahan angka

signifikan, εs.2. Periksa apakah f(a).f(b) > 0; jika ya, berhenti

karena pada selang yang diberikan tidak terdapat akar persamaan.

3. Hitung nilai

4. Jika lεa l < εs, tuliskan m sebagai hasil perhitungan, dan akhiri program; jika tidak, lanjutkan ke langkah berikutnya.

5. Jika f(a).f(m) < 0, maka b = m; jika tidak, a = m.6. Kembali ke langkah 3.  

(a b).f (b)m b

f (a) f (b)

NURI SIMARONA, ST

Contoh:Tentukan akar-akar real dari

2( ) 0,874 1,75 2,627f x x x (a)Secara grafik(b)Menggunakan tiga iterasi dari metode

bagi dua untuk menentukan akar tertinggi. Lakukan tebakan awal dengan xl

= 2,9 dan xu = 3,1. Hitung

kesalahan taksiran εa dan kesalahan sebenarnya εt setelah setiap iterasi.

(c)Menggunakan metode posisi salah dengan εs

sesuai dengan tiga angka signifikan untuk menentukan akar terendah.

NURI SIMARONA, ST

Solusi dengan metode grafik

NURI SIMARONA, ST

ixi xl

f(xi) f(xl) m f(m) f(xi)*f(m)

1 2,9 3,1 0,35166-0,34714 3 0,011 0,003868

2 3 3,1 0,011 -0,34714 3,05 -0,16588 -0,001825

3 3 3,05 0,011 -0,16588 3,025 -0,0769 -0,000846

Solusi metode bagi dua dengan tiga iterasi

NURI SIMARONA, ST

i a b f(a) f(b) m f(m) f(a)*f(m) Ea Et

1 -1,50 -0,50 -

1,9645 1,5335 -0,94 0,2152 -0,4227 0,00% 6,16%

2 -1,50 -0,94 -

1,9645 0,2152 -0,99 0,0245 -0,0482 5,58% 0,62%

3 -1,50 -0,99 -

1,9645 0,0245 -1,00 0,0027 -0,0054 0,62% -0,01%

4 -1,50 -1,00 -

1,9645 0,0027 -1,00 0,0003 -0,0006 0,07% -0,08%

5 -1,50 -1,00 -

1,9645 0,0003 -1,00 0,0000 -0,0001 0,01% -0,08%

Solusi dengan metode regula falsi

NURI SIMARONA, ST

Soal:Tentukan akar real dari ln x = 0,5

(a)Secara grafik(b)Menggunakan tiga iterasi dari metode

bagi dua dengan tebakan awal dengan xl

= 1 dan xu = 2. Hitung kesalahan

taksiran εa dan kesalahan sebenarnya εt

setelah setiap iterasi.(c)Menggunakan tiga iterasi metode posisi

salah dengan tebakan awal yang serupa pada (b).

NURI SIMARONA, ST

NURI SIMARONA, ST

METODE NEWTON-RAPHSON

Newtons method is an iterative method for root finding. That is, starting from some guess at the root, x0 , one iteration of the algorithm produces a number x1 which is supposed to be closer to a root; guesses x2 , x3 , …, xn follow identically.

1 '

( )

( )n

n nn

f xx x

f x

NURI SIMARONA, ST

Algoritma Metode Newton-Raphson1. Tentukan f(x)’, x0, dan εs 2. Hitung xn+1 dengan persamaan

3. Hitung εa, jika l εa l < εs, maka xn+1 sebagai hasil dan stop.

4. Kembali ke langkah 2.

1 '

( )

( )n

n nn

f xx x

f x

Contoh:Cari akar real dari persamaan f(x) = x4 + 4x3 + 1 ; [-1, 0] dengan metode Bisection, Regula falsi dan Newton-Raphson dengan ketelitian 3 angka signifikan.

NURI SIMARONA, ST

Solusi :f(x) = x4 + 4x3 + 1

Solusi metode bagi dua:Solusi metode posisi salah:Solusi metode Newton_Raphson:

NURI SIMARONA, ST

i a b f(a) f(b) m f(m)f(a)*f(m

) Ea

1 -1,00 0,00 -2,0000 1,0000 -0,50 0,5625 -1,1250100,00

%

2 -1,00 -0,50 -2,0000 0,5625 -0,75-0,3711 0,7422 33,33%

3 -0,75 -0,50 -0,3711 0,5625 -0,63 0,1760 -0,0653-

20,00%

4 -0,75 -0,63 -0,3711 0,1760 -0,69-0,0764 0,0284 9,09%

5 -0,69 -0,63 -0,0764 0,1760 -0,66 0,0550 -0,0042 -4,76%

6 -0,69 -0,66 -0,0764 0,0550 -0,67-0,0094 0,0007 2,33%

7 -0,67 -0,66 -0,0094 0,0550 -0,66 0,0231 -0,0002 -1,18%

8 -0,67 -0,66 -0,0094 0,0231 -0,67 0,0069 -0,0001 0,58%

9 -0,67 -0,67 -0,0094 0,0069 -0,67-0,0012 0,0000 0,29%

10 -0,67 -0,67 -0,0012 0,0069 -0,67 0,0029 0,0000 -0,15%

11 -0,67 -0,67 -0,0012 0,0029 -0,67 0,0008 0,0000 0,07%

12 -0,67 -0,67 -0,0012 0,0008 -0,67-0,0002 0,0000 0,04%

NURI SIMARONA, ST

i a b f(a) f(b) m f(m) f(a)*f(m)

Ea

1-

1,00 0,00-

2,0000 1,0000 -0,33 0,8642 -1,7284 100,00%

2-

1,00 -0,33-

2,0000 0,8642 -0,53 0,4709 -0,9417 37,63%

3-

1,00 -0,53-

2,0000 0,4709 -0,62 0,1827 -0,3654 14,23%

4-

1,00 -0,62-

2,0000 0,1827 -0,65 0,0611 -0,1222 4,82%

5-

1,00 -0,65-

2,0000 0,0611 -0,66 0,0194 -0,0388 1,54%

6-

1,00 -0,66-

2,0000 0,0194 -0,67 0,0060 -0,0121 0,48%

7-

1,00 -0,67-

2,0000 0,0060 -0,67 0,0019 -0,0038 0,15%

8-

1,00 -0,67-

2,0000 0,0019 -0,67 0,0006 -0,0012 0,05%

9-

1,00 -0,67-

2,0000 0,0006 -0,67 0,0002 -0,0004 0,01%

NURI SIMARONA, ST

i x f(x) f '(x) Ea

1 -1 -2,0000 8,0000 100%

2 -0,75 -0,3711 5,0625 -33,33%

3 -0,6767 -0,0298 4,2555 -10,83%

4 -0,6697 -0,0003 4,1805 -1,05%

5 -0,6696 0,0000 4,1798 -0,01%

Review

NURI SIMARONA, ST

Metode Secant(modifikasi Metode Newton-Raphson)

'' 1

1

( ) ( ) ( )( ) n n nn

n n n

f x f x f xf x

x x x

11

1

( )( ) ( )

n nn n n

n n

x xx x f x

f x f x

Untuk aproksimasi ke-n diperoleh

NURI SIMARONA, ST

Algoritma Metode Secant

1. Tentukan f(x)’, x0, dan εs 2. Hitung xn+1 dengan persamaan

3. Hitung εa, jika l εa l < εs, maka xn+1 sebagai hasil dan stop.

4. Kembali ke langkah 2.

Contoh:Cari akar real dari persamaan f(x) = x4 + 4x3 + 1 ; [-1, 0] dengan metode Newton-Raphson dan metode secant dengan ketelitian 3 angka signifikan.

11

1

( )( ) ( )

n nn n n

n n

x xx x f x

f x f x

Excel

NURI SIMARONA, ST

Metode Titik Tetap (Fixed Point )

jikaf(x) = x – g(x) = 0makax = g(x)

Untuk aproksimasi xn

1( )n nx g x TIBTI

A

NURI SIMARONA, ST

Soal Latihan:

Tentukan akar real dari ln x = 0,5dengan metode Newton-Raphson dan metode secant dengan ketelitian 2 angka signifikan.

NURI SIMARONA, ST

Solusi Soal Latihan TI B

i x f(x) f '(x) Ea1 1,0 -0,5000 1,0000 100%2 1,5 -0,0945 0,6667 33,33%3 1,6 -0,0042 0,6091 8,64%4 1,6 0,0000 0,6065 0,42%

i x f(x) Ea0 1,0 -0,500 -1 2,0 0,193 -2 1,7 0,043 16%3 1,6 -0,005 5%4 1,6 0,000 0%