Post on 05-Jul-2015
description
Assalamua’alaikum Wr. Wb
MIPA MATEMATIKA IV A
Oleh:Dea Nindria Imansari
Media pembelajara
n matematika
Media pembelajara
n matematika
Materi pembelajaran--- Matriks--- Pengertian matriks--- Operasi dan sifat matriks --- Matriks persegi--- Determinan dan invers matriks--- Penerapan matriks pada sistem persamaan linear
Kegiatan Pembelajaran
•Mencari data-data yang disajikan dalam bentuk baris dan kolom •Menyimak sajian data dalam bentuk matriks•Mengenal unsur-unsur matriks•Mengenal pengertian ordo dan jenis matriks•Melakukan operasi aljabar matriks•Mengenal matriks invers melalui perkalian dua matriks persegi yang menghasilkan matriks satuan•Mendeskripsikan determinan suatu matriks•Mengunakan algoritma untuk menentukan nilai determinan matriks pada soal•Menemukan rumus untuk mencari invers dari matriks 2 x 2•Menyajikan masalah sistem persamaan linear dalam bentuk matriks•Menentukan invers matriks koefisien pada persamaan matriks•Menyelesaikan persamaan matriks dari sistem persamaaan matriks dari sistem persamaan linear dua variabel
matriks bujur sangkar yang semua entri nondiagonal utamanya nol disebut matriks diagonal
2 0 1 0 0 6 0 0 00 -5 0 1 0 0 -4 0 0
0 0 1 0 0 0 00 0 0 8
Suatu matriks diagonal umum D, n x n dapat ditulis sebagai
d1 0 … 0
0 d2 … 0
⁞ ⁞ ⁞ 0 0 … dn
Suatu matriks diagonal dapat dibalik jika dan hanya jika semua entri
diagonalnya tidak nol , hal ini invers dari matriks diagonal sebelumnya
1/d1 0 … 0 0 1/d2 … 0
⁞ ⁞ ⁞ 0 0 … 1/dn
Pangkat matriks diagonal mudah dihitung; jika D adalah matriks diagonal (1) dan k adalah suatu bilangan
bulat positif, maka
d1k 0 … 0
0 d2k … 0
⁞ ⁞ ⁞ 0 0 … dn
k
Hasil kali matriks yang melibatkan faktor-faktor matriks diagonal
sangatlah mudah
d1 0 0 a11 a12 a13 a14
0 d2 0 a21 a22 a23 a23
0 0 d3 a31 a32 a33 a34
d1a11 d1a12 d1a13 d1a14
d2a21 d2a22 d2a23 d2a24
d3a31 d3a32 d3a33 d3a34
d1 0 0
0 d2 0 0 0 d3
d1a11 d2a12 d3a13
d1a21 d2a22 d3a23
d1a31 d2a32 d3a33
d1a41 d2a42 d3a43
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33 a41 a42 a43
Matriks-matriks segitiga
a11 a12 a13 a14
0 a22 a23 a24
0 0 a33 a34
0 0 0 a44
a11 0 0 0 a21 a22 0 0 a31 a32 a32 0
a41 a42 a43 a44
Sebuah matriks segitiga atas
umum 4 x 4
Sebuah matriks segitiga bawah umum
4 x 4
Matriks bujur sangkar yang semua entri dibawah diagonal utamanya nol disebut matriks segitiga atas.
Matriks bujur sangkar yang semua entri di atas diagonal utamanya nol disebut matriks segitiga
bawah.
CONTOH
2 1 4 3 0 1 5 5
0 0 7 8 0 0 0 9
2 1 4 3 0 1 5 5
0 0 7 8 0 0 0 9
Matriks segitiga atas
Matriks segitiga atas2 0 0 0 1 3 0 0
7 0 0 0
1 5 5 9
2 0 0 0 1 3 0 0
7 0 0 0
1 5 5 9
sifat – sifat matriks segitiga 1. Suatu matriks bujur sangkar A = [aij] adalah segitiga atas jika dan hanya jika baris ke-i dimulai
dengan paling tidak i - 1 nol2. Suatu matriks bujur sangkar A = [aij] adalah
segitiga bawah jika dan hanya jika kolom ke-j dimulai dengan paling tidak j - 1 nol
3. Suatu matriks bujur sangkar A = [aij] adalah segitiga atas jika dan hanya jika aij = 0 untuk i > j4. Suatu matriks bujur sangkar A=[aij] adalah segitiga bawah jika dan hanya jika aij = 0 untuk i <
j
Teorema 1.7.1•Transpos suatu matriks segitiga bawah adalah segitiga atas, dan transpose suatu matriks segitiga atas adalah segitiga bawah•Hasil kali matriks-matriks segitiga bawah adalah segitiga bawah, dan hasil kali matriks-matriks segitiga atas adalah segitiga atas•Suatu matriks segitiga dapat dibalik jika anggota-anggota diagonalnya semua tidak nol•Invers suatu matriks segitiga bawah yang dapat dibalik adalah segitiga bawah, dan invers suatu matriks segitiga atas yang dapat dibalik adalah segitiga atas
Matriks matriks simetrikMatriks matriks simetrikSuatu matriks bujur sangkar A disebut simetris jika A=AT
Cara memeriksa Matriks simetrik adalah entri-entri di diagonal utama boleh sembarang, tetapi entri-entri yang “bercerminan” terhadap diagonal utama harus sama (gambar 1)
1 4 5 4 -3 0 5 0 7
7 -3-3 5
1 4 5
-4 3 0
5 0 7
d1 0 0 0
0 d2 0 0
0 0 d3 0
0 0 0 d4
TEOREMA 1.7.2
j ika A dan B adalah matriks-matriks simetrik dengan ukuran yang sama, dan jika k adalah
sembarang scalar, maka:• AT adalah simetrik
•A+B dan A-B adalah simetrik•kA adalah simetrik
A = 1 4 5 4 -3 0 5 0 7
AT = 1 4 5 4 -3 0 5 0 7
TERBUKTI
CONTOH B TEOREMA 1.7.2A+B DAN A-B ADALAH SIMETRIK
A+B
A = + B = =
A-B
A = - B = =
1 4 5 4 -3 05 0 7
1 4 5 4 -3 05 0 7
2 7 4 7 1 0
4 0 3
2 7 4 7 1 0
4 0 3
3 11 9 11 -2 0
9 0 10
3 11 9 11 -2 0
9 0 10
1 4 5 4 -3 05 0 7
1 4 5 4 -3 05 0 7
2 7 4 7 1 0
4 0 3
2 7 4 7 1 0
4 0 3
-1 -3 1 -3 -2 0
1 0 4
-1 -3 1 -3 -2 0
1 0 4
TERBUKTI
Misalkan k = 3k.A
= 3 . 1 4 5 3 12 15 4 -3 0 = 12 -9 0 5 0 7 15 0 21
TRANSPOS 3 12 15 12 -9 0 15 0 21
TERBUKTI
Anggap A adalah simetrik dan dapat dibalik. Dari teorema 1.4.10 dan fakta bahwa A= A-1 kita dapatkan(A-1 )T = (AT )-1 = A-1
yang membuktikan bahwa A-1 adalah simetrik.
Anggap A adalah simetrik dan dapat dibalik. Dari teorema 1.4.10 dan fakta bahwa A= A-1 kita dapatkan(A-1 )T = (AT )-1 = A-1
yang membuktikan bahwa A-1 adalah simetrik.
Teorema 1.7.3. jika A adalah suatu matriks simetrik yang dapat dibalik, maka
A-1 adalah simetrik
Teorema 1.7.3. jika A adalah suatu matriks simetrik yang dapat dibalik, maka
A-1 adalah simetrik
Matriks-matriks berbentuk AAT dan ATA
Hasil kali matriks berbentuk AAT dan ATA muncul dalam berbagai penerapan. Jika A adalah suatu matriks m x n, maka AT adalah suatu matriks n x m sehingga
hasil kali AAT dan ATA keduanya adalah matriks-matriks bujur sangkar,
matriks A AT mempunyai ukuran m x m dan matriks ATA mempunyai ukuran n x
n. Hasil kali ini selalu simetrik karena(AAT)T =(AT)T AT =AAT dan (ATA)T = AT
(AT )T = ATA
TEOREMA 1.7.4 JIKA A ADALAH MATRIKS YANG DAPAT DIBALIK, MAKA AAT DAN ATA JUGA DAPAT DIBALIK
contohAnggap A adalah matriks 2 x 3
A = 1 -2 4 AT = 1 3 3 0 -5 -2 0 4 -5
Maka ATA = 1 3 1 -2 4 10 -2 11 -2 0 3 0 -5 = -2 4 -8 4 5 -11 -8 41
AAT = 1 -2 4 1 3 3 0 - 5 -2 0 = 21 -17
4 5 -17 34
Thanks for attentions
danke schon
Wassalamu’alaikum Wr.Wb