Assalamua’alaikum Wr. Wb

MIPA MATEMATIKA IV A

Oleh:Dea Nindria Imansari

Media pembelajara

n matematika

Media pembelajara

n matematika

Materi pembelajaran--- Matriks--- Pengertian matriks--- Operasi dan sifat matriks --- Matriks persegi--- Determinan dan invers matriks--- Penerapan matriks pada sistem persamaan linear

Kegiatan Pembelajaran

•Mencari data-data yang disajikan dalam bentuk baris dan kolom •Menyimak sajian data dalam bentuk matriks•Mengenal unsur-unsur matriks•Mengenal pengertian ordo dan jenis matriks•Melakukan operasi aljabar matriks•Mengenal matriks invers melalui perkalian dua matriks persegi yang menghasilkan matriks satuan•Mendeskripsikan determinan suatu matriks•Mengunakan algoritma untuk menentukan nilai determinan matriks pada soal•Menemukan rumus untuk mencari invers dari matriks 2 x 2•Menyajikan masalah sistem persamaan linear dalam bentuk matriks•Menentukan invers matriks koefisien pada persamaan matriks•Menyelesaikan persamaan matriks dari sistem persamaaan matriks dari sistem persamaan linear dua variabel

matriks bujur sangkar yang semua entri nondiagonal utamanya nol disebut matriks diagonal

2 0 1 0 0 6 0 0 00 -5 0 1 0 0 -4 0 0

0 0 1 0 0 0 00 0 0 8

Suatu matriks diagonal umum D, n x n dapat ditulis sebagai

d1 0 … 0

0 d2 … 0

⁞ ⁞ ⁞ 0 0 … dn

Suatu matriks diagonal dapat dibalik jika dan hanya jika semua entri

diagonalnya tidak nol , hal ini invers dari matriks diagonal sebelumnya

1/d1 0 … 0 0 1/d2 … 0

⁞ ⁞ ⁞ 0 0 … 1/dn

Pangkat matriks diagonal mudah dihitung; jika D adalah matriks diagonal (1) dan k adalah suatu bilangan

bulat positif, maka 

d1k 0 … 0

0 d2k … 0

⁞ ⁞ ⁞ 0 0 … dn

k

Hasil kali matriks yang melibatkan faktor-faktor matriks diagonal

sangatlah mudah

d1 0 0 a11 a12 a13 a14

0 d2 0 a21 a22 a23 a23

0 0 d3 a31 a32 a33 a34

d1a11 d1a12 d1a13 d1a14

d2a21 d2a22 d2a23 d2a24

d3a31 d3a32 d3a33 d3a34

d1 0 0

0 d2 0 0 0 d3

d1a11 d2a12 d3a13

d1a21 d2a22 d3a23

d1a31 d2a32 d3a33

d1a41 d2a42 d3a43

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33 a41 a42 a43

Matriks-matriks segitiga

a11 a12 a13 a14

0 a22 a23 a24

0 0 a33 a34

0 0 0 a44

a11 0 0 0 a21 a22 0 0 a31 a32 a32 0

a41 a42 a43 a44

Sebuah matriks segitiga atas

umum 4 x 4

Sebuah matriks segitiga bawah umum

4 x 4

Matriks bujur sangkar yang semua entri dibawah diagonal utamanya nol disebut matriks segitiga atas.

Matriks bujur sangkar yang semua entri di atas diagonal utamanya nol disebut matriks segitiga

bawah.

CONTOH

2 1 4 3 0 1 5 5

0 0 7 8 0 0 0 9

2 1 4 3 0 1 5 5

0 0 7 8 0 0 0 9

Matriks segitiga atas

Matriks segitiga atas2 0 0 0 1 3 0 0

7 0 0 0

1 5 5 9

2 0 0 0 1 3 0 0

7 0 0 0

1 5 5 9

sifat – sifat matriks segitiga 1. Suatu matriks bujur sangkar A = [aij] adalah segitiga atas jika dan hanya jika baris ke-i dimulai

dengan paling tidak i - 1 nol2. Suatu matriks bujur sangkar A = [aij] adalah

segitiga bawah jika dan hanya jika kolom ke-j dimulai dengan paling tidak j - 1 nol

3. Suatu matriks bujur sangkar A = [aij] adalah segitiga atas jika dan hanya jika aij = 0 untuk i > j4. Suatu matriks bujur sangkar A=[aij] adalah segitiga bawah jika dan hanya jika aij = 0 untuk i <

j

Teorema 1.7.1•Transpos suatu matriks segitiga bawah adalah segitiga atas, dan transpose suatu matriks segitiga atas adalah segitiga bawah•Hasil kali matriks-matriks segitiga bawah adalah segitiga bawah, dan hasil kali matriks-matriks segitiga atas adalah segitiga atas•Suatu matriks segitiga dapat dibalik jika anggota-anggota diagonalnya semua tidak nol•Invers suatu matriks segitiga bawah yang dapat dibalik adalah segitiga bawah, dan invers suatu matriks segitiga atas yang dapat dibalik adalah segitiga atas

Matriks matriks simetrikMatriks matriks simetrikSuatu matriks bujur sangkar A disebut simetris jika A=AT

Cara memeriksa Matriks simetrik adalah entri-entri di diagonal utama boleh sembarang, tetapi entri-entri yang “bercerminan” terhadap diagonal utama harus sama (gambar 1)

1 4 5 4 -3 0 5 0 7

7 -3-3 5

1 4 5

-4 3 0

5 0 7

d1 0 0 0

0 d2 0 0

0 0 d3 0

0 0 0 d4

TEOREMA 1.7.2

j ika A dan B adalah matriks-matriks simetrik dengan ukuran yang sama, dan jika k adalah

sembarang scalar, maka:• AT adalah simetrik

•A+B dan A-B adalah simetrik•kA adalah simetrik

A = 1 4 5 4 -3 0 5 0 7

AT = 1 4 5 4 -3 0 5 0 7

TERBUKTI

CONTOH B TEOREMA 1.7.2A+B DAN A-B ADALAH SIMETRIK

A+B

A = + B = =

A-B

A = - B = =

1 4 5 4 -3 05 0 7

1 4 5 4 -3 05 0 7

2 7 4 7 1 0

4 0 3

2 7 4 7 1 0

4 0 3

3 11 9 11 -2 0

9 0 10

3 11 9 11 -2 0

9 0 10

1 4 5 4 -3 05 0 7

1 4 5 4 -3 05 0 7

2 7 4 7 1 0

4 0 3

2 7 4 7 1 0

4 0 3

-1 -3 1 -3 -2 0

1 0 4

-1 -3 1 -3 -2 0

1 0 4

TERBUKTI

Misalkan k = 3k.A

= 3 . 1 4 5 3 12 15 4 -3 0 = 12 -9 0 5 0 7 15 0 21

TRANSPOS 3 12 15 12 -9 0 15 0 21

TERBUKTI

Anggap A adalah simetrik dan dapat dibalik. Dari teorema 1.4.10 dan fakta bahwa A= A-1 kita dapatkan(A-1 )T = (AT )-1 = A-1

yang membuktikan bahwa A-1 adalah simetrik.

Anggap A adalah simetrik dan dapat dibalik. Dari teorema 1.4.10 dan fakta bahwa A= A-1 kita dapatkan(A-1 )T = (AT )-1 = A-1

yang membuktikan bahwa A-1 adalah simetrik.

Teorema 1.7.3. jika A adalah suatu matriks simetrik yang dapat dibalik, maka

A-1 adalah simetrik

Teorema 1.7.3. jika A adalah suatu matriks simetrik yang dapat dibalik, maka

A-1 adalah simetrik

Matriks-matriks berbentuk AAT dan ATA

Hasil kali matriks berbentuk AAT dan ATA muncul dalam berbagai penerapan. Jika A adalah suatu matriks m x n, maka AT adalah suatu matriks n x m sehingga

hasil kali AAT dan ATA keduanya adalah matriks-matriks bujur sangkar,

matriks A AT mempunyai ukuran m x m dan matriks ATA mempunyai ukuran n x

n. Hasil kali ini selalu simetrik karena(AAT)T =(AT)T AT =AAT dan (ATA)T = AT

(AT )T = ATA

TEOREMA 1.7.4 JIKA A ADALAH MATRIKS YANG DAPAT DIBALIK, MAKA AAT DAN ATA JUGA DAPAT DIBALIK

contohAnggap A adalah matriks 2 x 3

A = 1 -2 4 AT = 1 3 3 0 -5 -2 0 4 -5

Maka ATA = 1 3 1 -2 4 10 -2 11 -2 0 3 0 -5 = -2 4 -8 4 5 -11 -8 41

AAT = 1 -2 4 1 3 3 0 - 5 -2 0 = 21 -17

4 5 -17 34

Thanks for attentions

danke schon

Wassalamu’alaikum Wr.Wb