Post on 01-Feb-2018
1 |SMA SANTA ANGELA
MATRIKS A. Pengertian, Notasi dan Bagian Dalam Matriks
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menemui data atau informasi
dalam bentuk tabel, seperti tabel pertandingan sepakbola, tabel absensi
kelas, tabel harga tiket kereta api dan sebagainya.
Contoh : 1. Tabel Pertandingan Sepakbola
Negara Menang Seri Kalah
Indonesia 4 1 0
Malaysia 4 0 1
Singapura 3 1 1
Laos 2 1 2
2. Tabel Absensi Kelas
Nama Sakit Ijin Alpa
Anita 3 2 1
Beno 0 2 1
Citra 2 1 0
3. Tabel Harga Tiket Kereta Api Bandung-Yogyakarta ( Dalam Ribuan )
Kereta Eksekutif Bisnis Ekonomi
Mutiara selatan 220 120 75
Lodaya 200 100 60
2 |SMA SANTA ANGELA
Notasi matriks dari tabel-tabel diatas adalah sbb :
( ) [ ]
( )
Pengertian atau Definisi Matriks
B. Ordo (Ukuran) Suatu Matriks
Adapun contoh-contoh matriks adalah sebagai berikut :
(
) [
]
Pengertian Ordo (Ukuran) Matriks
Matriks adalah
π 2Γ4
Ordo (ukuran) Matriks adalah
3 |SMA SANTA ANGELA
C. Jenis-Jenis Matriks
Adapun jenis-jenis matriks adalah sebagai berikut :
1. Matriks baris
2. Matriks kolom (lajur)
3. Matriks persegi
4. Matriks persegi panjang
5. Matriks Segitiga
Matriks segitiga Atas
Matriks segitiga Bawah
6. Matriks Diagonal
7. Matriks Identitas
8. Matriks Simetris
9. Matriks Nol
Contoh : Tentukan termasuk jenis matriks yang mana matriks-matriks berikut ini :
( ) [
]
(
)
[
] (
) [
]
(
) [
]
(
)
D. Transpos Suatu Matriks
Lambang transpos suatu matriks adalah Μ Transpose suatu matriks adalah
Contoh :
4 |SMA SANTA ANGELA
(
) ( )
*
+ * +
E. Kesamaan Dua Matriks
Contoh : 1. Tentukan nilai a, b dan c dari matriks-matriks berikut :
[
] [
]
2. Tentukan nilai a, b, c dan d dari matriks berikut :
*
+ *
+
3. Diberikan kesamaan matriks :
[
] [
]
Tentukan nilai dari ( )
Jawab :
Matriks A dan matriks B dikatakan sama (A=B) jika dan hanya jika :
1. Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B
2. Semua elemen yang seletak dari matriks A dan matriks B
mempunyai nilai yang sama πππ πππ
5 |SMA SANTA ANGELA
F. Operasi Aljabar Pada Matriks
1. Penjumlahan Matriks
Syarat :
1. Matriks-matriks dapat dijumlahkan apabila memiliki ordo yang sama
2. Unsur-unsur yang dijumlahkan adalah unsur-unsur yang seletak.
Contoh : Diketahui matriks-matriks :
*
+, *
+ , *
+ , *
+, dan
*
+
Tentukan hasil penjumlahan matriks berikut ini :
a. dan
b. ( ) dan ( )
c. , dan ( )
d. ( ) dan
Jawab :
a. ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Operasi Matriks
PENJUMLAHAN
PENGURANGAN
PERKALIAN
PEMANGKATAN
6 |SMA SANTA ANGELA
b. ( ) ( ) *( ) ( )+ ( )
( ) ( )
( ) *( ) ( )+ ( ) ( ) ( )
( )
c. ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
d. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Kesimpulan :
Jika A, B, C dan O adalah matriks-matriks yang berordo sama,
maka dalam penjumlahan matriks berlaku sifat-sifat berikut ini :
1. Sifat
2. Sifat
3. Sifat
4. Lawan
5.
7 |SMA SANTA ANGELA
2. Pengurangan Matriks
Syarat :
1. Matriks-matriks dapat dikurangkan apabila memiliki ordo yang sama
2. Unsur-unsur yang dikurangkan adalah unsur-unsur yang seletak.
Contoh :
1. Diketahui matriks-matriks : *
+, *
+ ,
*
+. Tentukan ( ) dan ( )
2. Diketahui matriks-matriks : *
+, *
+.
Tentukan ( ) dan
3. Diketahui matriks-matriks : *
+, *
+ ,
*
+.
Apabila , tentukanlah nilai Jawab :
8 |SMA SANTA ANGELA
3. Perkalian Matriks
Contoh :
1. Diketahui : matriks-matriks *
+, *
+,
*
+ dan [
]. Tentukan dan
2. Diketahui : matriks-matriks *
+, *
+ , *
+
Tentukanlah :
a. dan
b. ( ) dan ( )
c. ( ) dan ( )
d. ( )( ) dan ( )
e. ( )
f. ( ) dan
g. ( ) dan
Jawab :
2 a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b. ( ) *( ) ( )+ ( ) ( ) ( )
( )
Dua Matriks A dan B dapat dikalikan dan menghasilkan matriks C, jika
dan hanya jika :
1. Matriks-matriks berbentuk matriks persegi.
2. π΄πΓπ β π΅πΓπ πΆπΓπ
9 |SMA SANTA ANGELA
( ) ( ) *( ) ( )+ ( ) ( )
( )
c. ( ) ( ) *( ) ( )+
( ) ( ) ( )
( ) *( ) ( )+ *( ) ( )+
( ) ( ) ( )
d. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) *( ) ( )+ ( ) ( )
e. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f. ( ) *( ) ( )+ ( ) ( )
( ) ( ) ( )
g. ( ) *( ) ( )+ ( ) ( )
( ) ( ) ( )
10 |SMA SANTA ANGELA
Kesimpulan :
4. Pemangkatan Matriks
Syarat : Karena pemangkatan adalah perkalian berulang, maka
matriks bisa dipangkatkan apabila berupa matriks-matriks persegi.
Contoh :
1. Diketahui : matriks-matriks *
+, *
+.
Tentukan ( )2 dan 2 2.
2. Tentukan nilai dan dalam persamaan berikut ini :
a. (
) sehingga 2
b. (
) sehingga 2
3. Jika [
], maka tentukanlah 2
Jawab :
Jika A, B, C dan I adalah matriks-matriks yang berordo sama,
maka dalam perkalian matriks berlaku sifat-sifat berikut ini :
1. Sifat
2. Sifat
3. Sifat
4.
5.
6.
7.
11 |SMA SANTA ANGELA
G. Determinan dan Invers Matriks
Pada pokok bahasan matriks di kelas XII ini pembahasan difokuskan
pada mencari determinan dan invers matriks berordo 2 x 2 dan
ditambahkan materi pengayaan yaitu mencari determinan dan invers
matriks berordo 3 x 3. Determinan matriks berlaku pada matriks persegi
saja.
1. Mencari Determinan dan Invers Matriks Berordo 2 x 2
a. Mencari Determinan Notasi atau lambang determinan suatu matriks ditulis : β det
( ), | | atau
Contoh :
1. Jika (
) dan (
). Tentukan determinan
dari matriks .
2. Tentukan nilai dari persamaan berikut |
| |
|
3. Diketahui :
(
) dan (
) . Jika determinan A dan
determinan B sama maka tentukanlah nilai yang memenuhi.
Jika matriks π΄ (π ππ π
) maka determinan dari matriks A
dapat ditentukan oleh :
det (π΄) |π ππ π
| ππ ππ
Catatan :
1. Matriks Singular adalah matriks yang determinannya sama
dengan 0 dan tidak memiliki invers.
2. Matriks Non-Singular adalah matriks yang determinannya
tidak sama dengan 0 dan memiliki invers.
12 |SMA SANTA ANGELA
4. Diketahui matriks :
(
) dan (
) . Tentukanlah nilai yang memenuhi
persamaan ( )
5. Tentukan jumlah akar-akar dari persamaan |
|
Jawab :
b. Mencari Invers.
Contoh :
1. Jika *
+ dan *
+. Tentukanlah :
a. ( ) dan ( )
b. dan
c. dan
d. β dan β
e. ( ) dan ( )
f. Apakah ( ) β dan ( ) β ?
2. Diberikan : (
) dan (
). Tentukanlah :
a. β ( ) b. 2
Jawab :
1. a. ( ) ( ) ( ) ( )
π΄
det (π΄) (π π π π
)
Jika matriks π΄ (π ππ π
) dengan a, b, c, d β bilangan real
maka invers dari matriks A dapat ditentukan oleh :
13 |SMA SANTA ANGELA
( ) ( ) ( ) ( )
b. ( ) ( )
( ) ( )
c. ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
d. β ( ) ( ) ( )
β ( ) ( ) ( )
e. ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
f. Kesimpulan :
14 |SMA SANTA ANGELA
2. Mencari Determinan dan Invers Matriks Berordo 3 x 3
(Pengayaan)
a. Mencari Determinan.
Contoh : Carilah determinan dari matriks-matriks berikut ini :
a. [
] (
)
Jawab :
Jika matriks π΄ (π π ππ π ππ β π
) (ππππππ π π π π π π π β π β π )
maka determinan dari matriks A dapat ditentukan dengan
aturan sarrus :
et (π΄)
π π ππ π ππ β π
π ππ ππ β
(πππ πππ ππβ) (πππ ππβ πππ)
15 |SMA SANTA ANGELA
b. Mencari Invers.
Contoh : Carilah invers dari matriks-matriks berikut :
a. [
] b. (
)
Jawab :
πΎππ ( )π+π |π ππ π
| ( )π+π (ππ ππ)
π΄
det(π΄) π΄ππ (π΄)
Jika matriks π΄ (π π ππ π ππ β π
) (ππππππ π π π π π π π β π β π ) maka
invers dari matriks A dapat dicari dengan langkah-langkah sebagai
berikut :
1. Mencari determinan dari matriks det (π΄)
2. Mencari kofaktor dari matriks A, dengan cara :
3. Mencari Adjoin dari matriks A, dengan cara :
Adj (π΄) (πΎ πΎ2 πΎ3
πΎ 2 πΎ22 πΎ32
πΎ 3 πΎ23 πΎ33
)
4. Mencari invers dengan cara :
16 |SMA SANTA ANGELA
H. Persamaan Matriks Berbentuk dan
Mencari matriks dari persamaan matriks berbentuk
dan
( ) ( )
Kesimpulan :
Contoh : 1. Tentukan matriks yang memenuhi persamaan :
a. (
) (
) b. (
) (
)
2. Jika (
) ( ) (
) maka tentukanlah nilai (
)
3. Carilah matriks dari persamaan berikut :
(
) (
) (
)
Jawab :
17 |SMA SANTA ANGELA
I. Aplikasi Matriks Pada Sistem Persamaan Linear
Sistem persamaan linear baik yang dua variabel maupun yang tiga
variabel dapat diselesaikan dengan menggunakan matriks. Metode yang
dipakai untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan metode
βATURAN CRAMERβ
1. Sistem Persamaan Linear Dua variabel (SPLDV)
Perhatikan SPLDV berikut ini !
{
Cara mencari determinan matriks koefisien dan determinan variabel-
variabelnya adalah :
|
| ; |
| ;
| |
Contoh :
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut ini :
a. {
b. {
Jawab :
Langkah-langkah menyelesaikan sistem persamaan linear dengan
metode βAturan Cramerβ adalah :
1. Mencari determinan dari matriks koefisien dan determinan dari
variabel-variabel π₯ π¦ dan π§ π« π«π π«π π«π
2. Mencari nilai π₯ π¦ dan π§ dengan cara :
π π«π
π« ; π
π«π
π« ; π
π«π
π«
18 |SMA SANTA ANGELA
2. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
Perhatikan SPLTV berikut ini !
{
β
Cara mencari determinan matriks koefisien dan determinan variabel-
variabelnya adalah :
β
β
( β) ( β )
β
β
( β) ( β )
( ) ( )
β
β
( β) ( β )
Contoh : Tentukanlah himpunan penyelesaian dari SPLTV berikut ini :
b. {
b. {
Jawab :
19 |SMA SANTA ANGELA
Latihan 1
1. Diketahui
53101
35230
54211
P
Tentukan :
a. elemen-elemen baris ke-2
b. elemen-elemen kolom ke-2
c. elemen-elemen kolom ke-4
d. elemen baris ke-1 kolom ke-3
e. elemen baris ke-3 kolom ke-5
f. ordo P
2. Diketahui
6204
0413
1532
X
Tentrukan :
a. ordo X
b. elemen-elemen baris ke-2
c. 3.2x
d. 1.3x
e. 2.3x
20 |SMA SANTA ANGELA
3. Diketahui
423
151
520
642
A
Tentukan letak elemen :
a. β2 b. 5 c. 6 d. 3 e. 0
4. Berikut ini termasuk jenis matriks apa ?
a.
10
21A b. 201B
c.
334
031
003
C d.
400
040
004
D
5. Berikan contoh lain dari matriks :
a. simetris b. segitiga bawah
c. segitiga atas d. diagonal
Latihan 2 (Kesamaan dan Transpose Matriks)
1. Tentukan x dan y dari :
a.
52
93
58
33
y
x b.
xy
x
0
14
30
12
1
c.
35
24
32
14
x
xy
x
y d.
4
12
yx
yx
2. Tentukan a, b, c dan d dari :
a.
46
25
43
625 b
b
a b.
8
6
2
210
c
a
bda
cb
21 |SMA SANTA ANGELA
c.
52
3
21
3
a
db
cd
b
a d.
58
151
23
43
cadb
dbca
3. Tentukan transposenya dari :
a.
054
321A b.
521
305
124
B
4. Tentukan c jika
cb
aA
32
44,
14224
26
ba
abcB dan
TBA
Latihan 3 (Operasi Matriks)
1. Sederhanakanlah
a.
5
3
2
10 b.
510
43
51
12 c. 31
2
5
d.
74
32
51
20 e.
753
143
824
315
f.
53
21
40
37
12
45 g.
01
24
15
27
34
12
h. 454312 i.
yxx
xy
xyy
xyx
45
3
532
2
2. Tentukan x jika
32
41
54
32x
3. Tentukan x jika
36
27
53
14x
4. Tentukan a, b, c dan d dari :
a.
11
30
51
48
dc
ba
22 |SMA SANTA ANGELA
b.
51
04
53
24
dcc
aba
5. Jika
13
52A dan
02
41B , maka tentukan :
a. 2A + 2B b. 3A β 2B c. )(2
1BA
d. β4(A β B)
6. Tentukan matriks X jika:
a.
810
642X b.
03
67
45
232X
c.
42
31
010
152X d.
12
130
2
1
10
01X
7. Tentukan a, b, c dan d dari :
a.
54
75
3
13
1
22
c
b
d
a
b.
64
23
642
284
2
1
3
14
cb
c
db
ab
ca
8. Diketahui
cb
aA
32
4 dan
7
1232
ba
abcB . Jika
TBA 2 , maka
tentukan nilai c!
9. Sederhanakan !
a.
2
543 b.
40
1321
c.
3
1
2
1
98
64
23 |SMA SANTA ANGELA
d.
1
5
14
30 e.
12
53
01
43
f.
203
412
31
42
g.
30
24
13
524
301 h.
332
514
421
207
364
125
10. Diketahui
42
13X . Jika XXX .2 dan XXXX ..3 maka
tentukan :
a. 2X b.
3X
11. Jika
243
021A dan
00
11
24
B maka tentukan :
a. TBA)( b.
TAB)(
12. Tentukan a jika
1
12
34
12
3
54
3
1
ac
c
bb
d
Latihan 4 (Invers Matriks Berordo 2 x 2)
1. Tentukan determinannya !
a.
23
35A b. B =
32
64 c.
13
32C d.
32
54D
2. Tentukan inversnya ! (jika ada)
a.
35
11A b.
04
15B c.
63
84C d.
58
610D
24 |SMA SANTA ANGELA
3. Tentukan x jika
xx
xP
2
8 singular
4. Tentukan matriks X jika :
a.
1514
58
02
54X b.
12
34
43
21X
c.
14
28
41
23X d.
210
514
28
14
12X
Latihan 5 (Invers Matriks Berordo 3 x 3 / Pengayaan) 1. Tentukan determinan dari :
a.
130
123
021
A b.
211
033
124
B c.
214
301
425
C
2. Tentukan x jika 35
312
104
13
x
3. Diketahui
143
110
224
X . Tentukan :
a. 21M b. 33M c. 12A d. 22A e. Adj(X)
4. Tentukan inversnya dari :
a.
011
231
204
P b.
210
433
125
Q