Post on 22-Jan-2016
description
Materi 1Pengertian dan prosedur
penduga beda dan penduga regresi
PENDUGA RASIO adalah suatu estimator dengan menggunakan informasi pendukung agar mendapat estimasi yang lebih efisien yaitu menghasilkan presisi yang lebih baik. Pada sampling berpeluang setiap unit harus mempunyai informasi untuk penghitungan peluang yaitu pi, demikian juga pada rasio. Hanya pada rasio, pi bukan sebagai peluang tetapi sebagai dasar penghitungan rasio. Estimasi rasio cocok digunakan, bila unit-unit populasi mempunyai karakteristik yang berkorelasi besar dan positif. Estimasi rasio ini mendasarkan perubahan suatu karakteristik dari waktu ke waktu, atau juga dapat diadakan modifikasi dengan data sumber di luar survei sebagai dasar rasio, misalnya data proyeksi penduduk.
PENDUGA REGRESI (Regression Estimators)Estimator regresi seperti halnya estimator rasio juga menggunakan variabel pendukung sebagai dasar estimasi dengan tujuan meningkatkan presisi.
Bila b = c suatu konstanta, maka: merupakan PENDUGA BEDA (Diffrerence Estimator)
1) Penduga beda (difference estimator)
Misal dan merupakan penduga yg tidak bias dari dan
Penduga yg tidak bias dari adalah penduga beda
(difference estimator)
dg varian
Sampel independent, atau estimatornya tidak berkorelasi
Varian penduga beda tergantung pada korelasi antara dan .
Varian akan minimum apabila korelasi tersebut positif dan sangat besar.
1Y
2Y
1Y2Y
12 YYD
d
2Y 1Y
22121 , YYYY VCovVdV
021,
YYCov
1Y
2Y
Dalam suatu populasi dengan variabel dilakukan double sampling,
dapat dilakukan estimasi sbb.
dengan varian
utk mengurangi varian, koefisien korelasi tidak harus positif dan besar.
y
2
1
Y
1Y 2Y
221214
1 , YYYYY VCovVV
Rumus umum : xxcyDy
xyCovCxVCyVDyV ,22
21
..
.21
..
2
22
2
2
22
yV
Sy
SxSy
Sx
Sy
Sy
Sx
Sx
SyyVDyV
Sx
SyC
Sy
ScBila
n
ii
n
ii
n
iii yyxxxxyyDyv
1 1
2
1
22
SRSiBerkorelasydanx
estimatedifferentratarataVarianceDyV
estimatediffrentrataRataDy
taKonsC
ybagibiastidakEstimasiy
xbagibiastidakEstimasix
tan
atau
Keterangan :
CONTOH
yi 51 42 46 39 71 61 58 57 58 67
xi 56 47 48 40 78 59 52 58 55 67
Dik : N = 100 n = 10
yi : berat badan mahasiswa yang diukur dengan cara ditimbang
xi : berat badan mahasiswa yang diukur dengan cara dilihat
dengan X = 4700 kgdit : Hitung nilai estimasi rata-rata, varian serta rse-nya !
JAWABAN :
)( xXyy d
dimana :
5510
550
n
yy i
5610
560
n
xx i
47100
4700
n
XX
kgyd 46)5647(55
21)()( 2 yvyv d
028,1435,10
729,10
y
x
s
s
929,0.
),cov(
yx ss
yx
438,1)929,0)(028,1(2)028,1(18,9)( 2 dyv
026,046
689,1)()()(
dd
dd
y
yv
y
ysey dRSE (
dimana :
SOAL LATIHANJumlah Ternak pada 24 Desa Sampel
Desa Sampel
Jumlah TernakDesa
Sampel
Jumlah TernakDesa
Sampel
Jumlah Ternak
Sensus SurveiSensus Survei Sensus Survei
1 623 654 9 161 210 17 330 375
2 680 696 10 298 555 18 218 212
3 534 530 11 2045 2110 19 160 147
4 293 315 12 1069 592 20 225 297
5 189 78 13 706 707 21 262 401
6 842 640 14 1795 1890 22 204 252
7 475 692 15 1406 1123 23 185 199
8 371 292 16 128 115 24 574 564
Total Desa = 1238 ; Total ternak = 680900
2) Penduga regresi
mendaptkan estimator dg presisi yang lebih baik dg menggunakan variabel lain yang mempunyai korelasi dg variabel yg diduga
walaupun mempunyai hubungan linear, persamaan garisnya tidak melalui titik (0,0)
Bandingkan : penduga ratio melalui (0,0)
dengan penduga regresi tidak melalui (0,0)
penduga perubahan untuk penambahan satu unit.
Nilai dan diperoleh dari setiap unit dalam sampel ; nilai dan
diketahui.
Penduga total populasi :
y
Xx
yyr
xXbyylr
b y x
lrlr yNY
ix iy ix X
Penduga regresi :
utk
y
yylr0b
xXyyb lr
1
x
yb
rlr YXx
yxX
x
yyy
(penduga ratio)
xXbyylr
lry xyX
xbyXbxXbyylr (penduga beda)
(penduga beda)
3) Penduga regresi dg nilai ditentukan, misal = (asumsi SRS)
Teorema 1.1
unbiased, dg varian
Bukti dg menggunakan rumus SRS
b
xXbyylr 0
1
1 1
2
0
N
XxbYy
n
fyV
N
iii
lr
2200
2 21
xyxy SbSbSn
f
YxXbyEyE lr
0
1
1 1
2
0
N
XxbYy
n
fyV
N
iii
lr
2200
2 21
xyxy SbSbSn
f
0b
unbiased estimator dari varian
Minimum tercapai pada saat nilai
( buktikan 1 ) Tulis :
= koefisien korelasi populasi antara dan
1
1 1
20
n
xxbyy
n
fyv
n
iii
lr
2200
2 21
xyxy sbsbsn
f
Teorema 1.2 lryV
20x
yx
S
SBb
N
ii
N
iii
Xx
XxYy
1
2
1
22min 1
1
ylr Sn
fyV
x y
dBb 0
4) Penduga regresi dg nilai dihitung dari sampel, least squares estimate dari B, sbb.
Bila merupakan least squares estimate dari B dan
maka dalam pengambilan sampel SRS dg jumlah sampel n ( n besar )
untuk korelasi populasi antara dan
( = rho)
b
n
ii
n
iii
xx
xxyyb
1
2
1
Teorema 1.3
b xXbyylr
22 11
ylr Sn
fyV
yx
yx
SS
S x y
5) Estimasi dari varian
Tentukan nilai
maka dan
dari
karena
merupakan penduga yang tidak bias (unbiased) dari
dan
XxBYye iii
N
ie 0
N N
ii
N
iii XxBXxYyXxe 02
teorema 1.3 22 11
ylr Sn
fyV
222 1 ey SS 21elr S
n
fyV
21
elr sn
fyv
2es
2eS
2
1
2
1
1
n
iie ee
ns
( buktikan 2 )
xxBbxxbyy
xxByyee
iii
iii
dapat diabaikanUtk sampel besar, estimator dari 2
eS
2es
1
1
2
n
xxbyyn
iii
Utk populasi yg tak terhingga (infinite) dan regresi linear digunakan penyebut (n-2), bukan (n-1), sehingga penduga varian menjadi :
n
iiilr xxbyy
nn
fyv
1
2
2
1
2
2
2
2
1
xx
xxyyyy
nn
f
i
iii
xxByye iii untuk sampel
6) Penduga regresi pada stratified sampling a. Separate regression estimate ( penduga regresi dihitung untuk setiap rerata stratum)
utk
Rumus di atas digunakan apabila koefisien regresi berbeda antar stratum
b. Combine regression estimate ( penduga regresi dihitung secara kombinasi ), yaitu apabila koefisien regresi sama utk semua strata
maka
hhhhlrh xXbyy
h
lrhhlrshh yWyNNW
hB
hB
h
hhst yWy
hhhst xWx
ststlrc xXbyy
c. Penghitungan varian utk nilai dan ditentukan.
Dari butir 2) di atas, penduga yang tidak bias dari , sehingga merupakan penduga yg tidak bias dari . Karena sampling dilakukan secara independen pada setiap stratum, dari teorema 1.1 diperoleh :
Dari teorema 1.2 : minimum utk the true regression coeffisient in stratum Minimum varian dapat dituliskan :
bhb
lrhy hY
lrsy
Y
2222
21
xhhyxhhyhh h
hhlrs SbSbS
n
fWyV
lrsyV
hh Bb h
2
22
2
min
1
xh
yxh
yhh h
hhlrs S
SS
n
fWyV
Utk combine regression estimate merupakan penduga yg tidak bias dari
Karena merupakan penduga dari stratified sample utk variate
dapat digunakan teorema tentang stratified random sampling utk variate tsb.yg menghasilkan
nilai yg meminimumkan varian di atas
nilai merupakan rerata tertimbang dari stratum regression koefisien
lrcy Y
lrcy
hihi xXby
2222
21
xhyxhyhh h
hhlrc SbSbS
n
fWyV
b
h h
xhhh
h h
yxhhhc n
SfW
n
SfWB
22211
cB
2xh
yxh
h S
SB
Bila
Dari rumus varian minimum di atas, dan menggantikan dg diperoleh
Hasil tsb menunjukan bhw dg pemilihan separate estimate yg optimum akan diperoleh varian yg lb kecil dibanding combined estimate kecuali sama utk semua strata.
Pemilihan yg optimum membutuhkan nilai dan
h
xhhhh n
SfWa
22 1
hh
hhhc aBaB
b cB
22minmin c
hh
hhhlrslrc VaBayVyV
2chh BBa
hB
2xhyxh SS