Post on 05-Feb-2018
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Turunan
Pertemuan – 3, 4, 5, 6, 7
Mata Kuliah : Kalkulus
Kode : CIV - 101
SKS : 3 SKS
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
• Kemampuan Akhir yang Diharapkan Mahasiswa mampu :
- menjelaskan arti turunan fungsi
- mencari turunan fungsi
- menggunakan aturan rantai
- menggunakan aplikasi dari turunan
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
• Sub Pokok Bahasan :
• Turunan fungsi
• Turunan sinus dan kosinus
• Aturan rantai
• Turunan tingkat tinggi
• Turunan implisit
• Penggunaan turunan untuk maksimum dan minimum (global dan lokal)
• Penggunaan turunan untuk kemonotonan dan kecekungan
• Penggunaan turunan dalam penggambaran grafik
• Turunan fungsi multivariabel
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Definisi Garis singgung kurva y = f(x) pada titik P(c, f(c)) adalah garis yang melalui P dengan kemiringan Asalkan limit ini ada dan bukan ∞
atau −∞
h
cfhcfmm
hh
)()(limlim
0sec
0tan
Garis Singgung
y = f(x)
f(c+h) – f(c)
(c+h, f(c+h))
(c, f(c))
c c + h
f(c+h)
f(c)
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Garis Singgung
Contoh :
1. Carilah kemiringan garis singgung pada kurva y = f(x) = x2 di titik (2,4)
2. Carilah kemiringan garis singgung pada kurva y = f(x) = -x2 + 2x+2 pada titik-titik dengan koordinat x = -1, ½ , 2 dan 3.
3. Carilah persamaan garis singgung pada kurva y = 1/x di titik (2, ½)
y = x2
y = -x2 +2x + 2
y = 1/x
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Kecepatan Rata-Rata dan Kecepatan Sesaat
Apabila benda P bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisinya pada saat t diberikan oleh s = f(t). Pada saat c, benda berada di f(c); pada saat c+h benda berada di f(c+h), maka kecepatan rata-rata pada interval ini adalah : Sedangkan kecepatan sesaatnya adalah : Asalkan limitnya ada dan bukan ∞ atau −∞
h
cfhcfvavg
)()(
h
cfhcfvv
havg
h
)()(limlim
00
perubahan waktu
perubahan posisi
c
c + h f(c)
f(c+h)
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Kecepatan Rata-Rata dan Kecepatan Sesaat Contoh : 1. Hitunglah kecepatan sesaat suatu benda jatuh dari posisi diam pada t = 3,8
detik dan pada t = 5,4 detik, jika f(t) = 16t2
2. Berapakah waktu yang diperlukan oleh benda jatuh dalam contoh di atas untuk mencapai kecepatan sesaat sebesar 112 m/dt
3. Sebuah partikel bergerak sepanjang garis koordinat dan s (jarak berarah dalam cm yang diukur dari titik asal ke titik yang dicapai setelah t detik) ditentukan oleh fungsi s = f(t) = (5t + 1)½ . Hitunglah kecepatan sesaat partikel setelah 3 detik
4. Problem Set 2.1 No. 18 - 25
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Konsep Turunan (Derivative)
Kemiringan garis singgung, kecepatan sesaat, laju pertumbuhan
organisme, keuntungan marjinal, kepadatan kawat adalah merupakan konsep matematika yang dikenal dengan istilah turunan atau derivative.
Definisi Turunan suatu fungsi f adalah fungsi lain f/ yang nilainya pada sembarang bilangan x adalah Asalkan limit ini ada dan bukan ∞ atau −∞
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
/
Jika limit ini memang ada, maka dikatakan bahwa f terdiferensiasikan di c. Pencarian turunan disebut diferensiasi, dan bagian kalkulus yang berhubungan dengan turunan disebut kalkulus diferensial
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Konsep Turunan (Derivative)
Contoh :
1. Andaikan f(x) = 13x – 6. Carilah f/(4)
2. Jika f(x) = x3 + 7x, carilah f/(x)
3. Jika f(x) = 1/x, carilah f/(x)
4. Carilah F/(x) jika F(x) = √x, x > 0 Problem Set 2.2 No. 1 - 22
Teorema (Keterdiferensiasi-an Mengimplikasikan Kekontinuan Fungsi) Jika f/(c) ada, maka f dikatakan kontinu di c
Teorema di atas tidak berlaku kebalikannya. Sebagai contoh fungsi f(x) = │x│ Tugas : Tentukan di mana saja suatu fungsi menjadi tidak terdiferensiasi ? Penulisan bentuk lain untuk turunan diberikan oleh Gottfried Leibniz, yang sering dikenal dengan sebutan notasi Leibniz.
xfDxf
x
xfxxf
x
y
dx
dyx
xx
/
00limlim
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Aturan Mencari Turunan
Bagi HasilAturan )(
)(')()(')()](/)([ .8
Kali HasilAturan )(')()(')()]()([7.
SelisihAturan )(')(')]()([6.
JumlahAturan )(')(')]()([5.
KonstantaKelipatan Aturan )(')()]([.4
PangkatAturan )(')(.3
Identitas F.Aturan 1)(')(.2
Konstanta F.Aturan 0)('constant)(.1
2
1
xg
xgxfxfxgxgxfD
xfxgxgxfxgxfD
xgxfxgxfD
xgxfxgxfD
xfkxfDkxfkD
xnxfxxf
xfxxf
xfxf
x
x
x
x
xx
nn
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Aturan Mencari Turunan
Contoh :
1. Tentukan derivatif dari 5x2 + 7x – 6 dan 4x6 – 3x5 – 10x2 + 5x + 16
2. Misalkan g(x) = x; h(x) = 1 + 2x; f(x) = g(x)∙h(x) = x(1 + 2x). Temukan f/(x), g/(x), dan h/(x). Tunjukkan bahwa f/(x)≠ g/(x)∙h/(x)
3. Temukan derivatif dari (3x2 – 5)(2x4 – x)
4. Temukan
5. Tentukan Dxy jika
6. Tunjukkan bahwa Dx(x –n) = − nx –n–1
7. Problem Set 2.3 No. 1 – 44
7
532
x
x
dx
d
xxy
3
1
24
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Turunan Fungsi Trigonometri
xxxfxxf
xxxfxxf
xxfxxf
xxfxxf
xxfxxf
xxfxxf
cotcsc)('csc)(6.
tansec)('sec)(5.
csc)('cot)(.4
sec)('tan)(.3
sin)('cos)(.2
cos)(' sin)(.1
2
2
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Turunan Fungsi Trigonometri
Contoh :
1. Tentukan Dx(3sin x – 2cos x)
2. Tentukan persamaan garis singgung dari fungsi y = 3 sin x di titik (p,0)
3. Tentukan Dx(x2 sin x)
4. Tentukan
5. Tentukan Dx(xn tan x) untuk n > 1
6. Problem Set 2.4 No. 1 – 22
x
x
dx
d
cos
sin1
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Aturan Rantai
Teorema (Aturan Rantai) Misalkan y = f(u) dan u = g(x). Jika g terdiferensiasikan di x dan f terdiferensiasikan di u = g(x), maka fungsi komposit f◦g, didefinisikan oleh (f◦g)(x) = f(g(x)) terdiferensiasikan di x dan : (f ◦g)/(x) = f/(g(x))∙g/(x) Atau Dx(f(g(x))) = f/(g(x))∙g/(x) Atau Dxy = Duy∙Dxu Atau dx
du
du
dy
dx
dy
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Aturan Rantai Contoh :
1. Jika y = (2x2 – 4x + 1)60, tentukan Dxy
2. Jika y = 1/(2x5 – 7)3, tentukan dy/dx
3. Temukan
4. Jika y = sin 2x, tentukan dy/dx
5. Tentukan F/(y) jika F(y) = y sin y2
6. Tentukan
7. Tentukan
8. Tentukan Dxsin3(4x)
9. Tentukan Dx sin[cos(x2)] Problem Set 2.5 No. 1 - 40
13
4
3
3
12
t
ttDt
x
xxDx
1
132
312
1
xdx
d
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
• Sub Pokok Bahasan :
Turunan Tingkat Tinggi
Turunan Implisit
Maksimum dan Minimum
Maksimum dan Minimum Lokal
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Turunan Tingkat Tinggi
Operasi diferensiasi fungsi f, menghasilkan fungsi baru f ’, jika f ’ dideferensiasi lagi akan menghasilkan f ’’, demikian seterusnya akan diperoleh f ’’’, f(4), f(5) dan seterusnya
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Turunan Tingkat Tinggi
Contoh :
1. Jika y = sin 2x, carilah d3y/dx3, d4y/dx4
2. Sebuah benda bergerak sepanjang koordinat sehingga posisinya s memenuhi s = 2t2 – 12t + 8, dengan s diukur dalam cm dan t dalam detik (t > 0). Tentukan kecepatan benda ketika t = 1 dan ketika t = 6. Kapankah kecepatannya nol. Kapankah kecepatannya positif?
3. Sebuah titik bergerak sepanjang garis koordinat mendatar sedemikian rupa sehingga posisinya pada saat t dinyatakan oleh s = t3 – 12t2 + 36t – 30. Di sini diukur dalam desimeter dan t dalam detik. Kapankah kecepatannya nol? Kapan kecepatannya positif? Kapan titik bergerak mundur (ke kiri)? Kapan percepatannya positif (a = dv/dt = d2s/dt2)
4. Problem Set 2.6 No. 1 - 16
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Turunan Implisit
Fungsi : y=x3+ 2x + 5 disebut fungsi eksplisit
Fungsi : y3+7y +x3=0 disebut fungsi implisit
Bagaimana mencari derivatif dari suatu fungsi implisit?
Yaitu dengan menggunakan turunan implisit
73
3373
)()7()(
7
)(
2
222
33
33
y
x
dx
dyx
dx
dy
dx
dyy
xdx
dy
dx
dy
dx
d
xyy
xfy
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Turunan Implisit
Contoh :
1. Carilah dy/dx jika 4x2y – 3y = x3 – 1
2. Carilah dy/dx jika x2 + 5y3 = x + 9
3. Cari persamaan garis singgung pada kurva
y3 – xy2 + cos xy = 2 di titik (0,1)
4. Jika y = 2x5/3 + (x2 + 1) ½ , Carilah Dxy
5. Problem Set 2.7 No. 1 - 34
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Maksimum dan Minimum
Definisi Jika S, adalah domain dari f, berisi titik c. Maka dikatakan : • f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) > f(x) untuk semua x di S • f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) < f(x) untuk semua x di S • f(c) adalah nilai ekstrim f pada S bila ia adalah nilai maksimum atau minimum • Fungsi yang ingin dimaksimumkan atau minimumkan adalah fungsi objektif
Pada [0,∞) tanpa maks atau min Pada [1,3], maks = 1, min = 1/3 Pada (1,3], tanpa maks, min = 1/3 tanpa maks , min = 0
Teorema Jika f kontinu pada interval tertutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan minimum di interval tersebut
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Maksimum dan Minimum
Teorema Jika f terdefinisikan pada interval I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah berupa suatu titik kritis; yakni berupa salah satu dari : • Titik ujung dari I • Titik stasioner dari f (titik dimana f/(c) = 0), atau • Titik singular dari f (titik dimana f/(c) tidak ada)
titik ujung titik singular titik stasioner
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Maksimum dan Minimum
Contoh : 1. Carilah titik-titik kritis dari f(x) = -2x3 + 3x2 pada [ - ½ , 2]
2. Carilah nilai maksimum dan minimum dari f(x) = x3, pada [-2,2]
3. Carilah nilai-nilai maksimum dan minimum dari f(x) = -2x3 + 3x2
4. Fungsi F(x) = x2/3 kontinu di semua interval. Temukan nilai maksimum dan minimumnya di [-1,2]
5. Temukan nilai maksimum dan minimum dari f(x) = x + 2 cos x pada interval [-p,2p]
6. Problem Set 3.1 No. 1 - 26
Concept Review 1. Suatu fungsi ….. pada suatu interval ….. akan selalu mempunyai nilai maksimum dan
nilai minimum pada interval tersebut. 2. Istilah nilai ….. menyatakan suatu nilai maksimum atau minimum 3. Suatu fungsi dapat mencapai nilai ekstrim hanya pada titik kritis. Titik kritis tersebut
ada tiga jenis yaitu ….., ….., dan ….. 4. Titik stasioner untuk f adalah sebuah nilai c sedemikian sehingga …..; titik singular
untuk f adalah sebuah nilai c sedemikian sehingga …..
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Maksimum dan Minimum Lokal
Definisi Jika S, adalah domain dari f, berisi titik c. Maka dikatakan : • f(c) adalah nilai maksimum lokal dari f jika terdapat sebuah interval (a,b) yang berisi
c sehingga f(c) adalah nilai maksimum dari f pada (a,b) ∩ S • f(c) adalah nilai minimum lokal dari f jika terdapat sebuah interval (a,b) yang berisi c
sehingga f(c) adalah nilai minimum dari f pada (a,b) ∩ S • f(c) adalah nilai ekstrim lokal dari f bila ia adalah nilai maksimum lokal atau minimum
lokal
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Maksimum dan Minimum Lokal
Teorema (uji turunan pertama) Jika f kontinu pada interval terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c : • Jika f ’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f ’(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b) maka
f(c) adalah nilai maksimum lokal f • Jika f ’(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f ’(x) > 0 untuk semua x dalam (c,b) maka
f(c) adalah nilai minimum lokal f • Jika f ’(x) bertanda sama pada kedua sisi c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal f
tanpa nilai ekstrim lokal nilai maksimum lokal nilai minimum lokal
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Maksimum dan Minimum Lokal
Contoh :
1. Carilah nilai ekstrim lokal dari fungsi f(x) = x2 – 6x + 5 pada (−∞,∞)
2. Carilah nilai-nilai ekstrim lokal dari f(x) = 1/3x3 – x2 – 3x + 4 pada (−∞,∞)
3. Carilah nilai ekstrim lokal dari f(x) = (sin x)2/3 pada (-p/6, 2p/3)
4. Untuk f(x) = x2 – 6x + 5, gunakan uji turunan kedua untuk mengenali ekstrim lokal
5. Untuk f(x) = 1/3x3 – x2 – 3x + 4, gunakanlah uji turunan kedua untuk mengenali ekstrim lokal
6. Problem Set 3.3 No. 1 - 18
Teorema (uji turunan kedua) Jika f ‘ dan f ‘’ ada pada setiap interval terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan f’(c) = 0 : • Jika f ’’(c) < 0, maka f(c) adalah nilai maksimum lokal f • Jika f ’’(x) > 0, maka f(c) adalah nilai minimum lokal f
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
• Sub Pokok Bahasan :
Kemonotonan dan Kecekungan
Penggambaran Grafik
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Kemonotonan
Definisi Andaikan f terdefinisi pada interval I, dikatakan bahwa : • f naik pada I jika, untuk setiap pasang
bilangan x1 dan x2 dalam I x1 < x2 → f(x1) < f(x2) • f turun pada I jika, untuk setiap pasang
bilangan x1 dan x2 dalam I x1 < x2 → f(x1) > f(x2) • f monoton murni pada I jika f naik pada I atau
turun pada I
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Kemonotonan
Contoh :
1. Jika f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 7, cari dimana f naik dan dimana turun
2. Tentukan dimana g(x) = x/(1+x2) naik dan dimana turun
Teorema Kemonotonan Andaikan f kontinu pada interval I, dan terdiferensiasi pada setiap titik dalam dari I • Jika f’(x) > 0 untuk semua titik dalam I, maka
f naik pada I • Jika f’(x) < 0 untuk semua titik dalam I, maka
f turun pada I
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Kecekungan
Jika f terdiferensiasi pada interval terbuka I. Dikatakan bahwa f (dan grafiknya)
cekung ke atas pada I jika f ’ naik pada I dan dikatakan bahwa f cekung ke bawah pada I jika f ’ turun pada I
Teorema Kecekungan Andaikan f terdiferensiasi dua kali pada interval terbuka I • Jika f’’(x) > 0 untuk semua x dalam I, maka f cekung ke atas pada I • Jika f’’(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka f cekung ke bawah pada I
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Contoh :
1. Dimana f(x) = x3 – x2 – 3x + 4 naik, turun, cekung ke atas dan cekung ke bawah
2. Dimana f(x) = x/(1+x2) cekung ke atas dan dimana cekung ke bawah
3
1
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Titik Balik
• Andaikan f kontinu di c, maka titik (c, f(c)) merupakan titik balik dari grafik f, jika f cekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c.
• Titik-titik dengan f ’’(x) = 0 atau f ’’(x) tidak ada, merupakan calon-calon untuk titik balik
• Contoh : carilah titik balik untuk F(x) = x1/3 + 2
• Problem Set 3.2 No. 1 – 28
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
• Sub Pokok Bahasan :
Fungsi Dua Variabel atau Lebih
Limit dan Kekontinuan
Turunan Parsial
Aturan Rantai
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Fungsi Dua Variabel
y= f(x) fungsi satu variabel
z= f(x, y) fungsi dua variabel
z: variabel tak bebas
x, y: variabel bebas
Contoh :
Domain z = f(x,y) :
semua titik (x,y) yang memberikan suatu bilangan real untuk f(x,y). Kecualikan x dan y yang menghasilkan bilangan kompleks dan penyebut nol
yxyxg
yxyxf
2,.2
3),(.1 22
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Fungsi Dua Variabel
Contoh :
1. Sket domain asli dari fungsi :
22
22
),(.3
49363
1),(.2
xyyxfz
yxyxf
22
2
1),(
yx
xyyxf
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Fungsi Dua Variabel
• Untuk membuat sket grafik z = f(x,y) biasanya cukup sulit
• Cara yang lebih simple adalah dengan menyajikan dalam bentuk peta kontour
• Tiap bidang datar z = c akan memotong permukaan dalam bentuk sebuah kurva.
• Proyeksi kurva pada bidang xy disebut kurva ketinggian, dan kumpulan kurva-kurva tersebut dinamakan peta kontour
Contoh :
Gambarkan peta kontour dari permukaan yang berhubungan dengan
22
22 49363
1
xyz
yxz
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Fungsi Dua Variabel
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Limit dan Kekontinuan
• Atau secara sederhana dikatakan apabila (x, y) cukup dekat dengan (a, b),
maka f(x, y) akan cukup dekat dengan L
Definisi (Limit Fungsi Dua Variabel) berarti bahwa untuk setiap > 0 (betapapun kecilnya) terdapat > 0 yang berpadanan sedemikian hingga |f(x, y) – L| < dengan syarat bahwa 0 <|(x, y) – (a, b)|< .
Lyxfbayx
),(lim),(),(
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Limit dan Kekontinuan
Contoh : evaluasi limit berikut jika ada
22
22
)0,0(),(
22
22
)0,0(),(
2
)2,1(),(
lim.
1lim.
3lim.
yx
yxc
yx
yxb
yyxa
yx
yx
yx
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Kekontinuan Pada Titik
f(x, y) kontinu di titik (a, b) jika
1. f memiliki nilai di (a, b)
2. f memiliki limit di (a, b), dan
3. Nilai f di (a, b) sama dengan limitnya di titik itu
Catatan : 1. Fungsi Polinom kontinu di mana-mana
2. Fungsi Rasional kontinu di mana-mana asalkan penyebut bukan nol
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Kekontinuan Pada Titik
Contoh : Tentukan titik (x,y) di mana fungsi berikut kontinu
Problem Set 12.3 No. 1 - 26
23
2
4cos),(.
4
32),(.
yxyxyxFb
xy
yxyxHa
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Turunan Parsial
Definisi
Andaikan f(x, y) adalah fungsi 2 variabel, maka atau fx
adalah turunan parsial dari f terhadap x, dan atau fy
adalah turunan parsial dari f terhadap y.
x
f
y
f
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Turunan Parsial
Note:
fx dihitung dengan menganggap y konstan
fy dihitung dengan menganggap x konstan
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Turunan Parsial
Contoh :
1. Tentukan fx(1,2) dan fy(1,2) jika f(x,y) = x2y + 3y3
2. Jika z = x2sin(xy2), tentukan ∂z/∂x dan ∂z/∂y
tentukan ∂f/∂x dan ∂f/∂y dari fungsi :
22
22
22
2
49363
1),(.5
2),(.4
)1(),(.3
yxyxf
yxxyyxf
yx
yxyxf
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Turunan Parsial Tingkat Tinggi
Jika z= f(x,y), maka turunan parsial kedua dari fungsi f adalah :
y
f
yf
y
f
x
f
yf
xy
fb
y
f
xf
yx
fa
x
f
xf
x
f
yy
yx
xy
xx
2
2
2
2
2
2
.3
.2
;.2
.1
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Turunan Parsial Tingkat Tinggi
Contoh :
1. Tentukan empat buah turunan parsial kedua dari f(x,y) = xey – sin(x/y) + x3y2
2. Jika f(x,y,z) = xy + 2yz + 3zx, tentukan fx, fy, fz
Problem Set 12.2 No. 1 - 30
2
222
,,,),,,(.3222
z
T
wx
T
xw
TezzyxwT yxw
tentukan Jika
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Aturan Rantai
Teorema : Jika x = x(t) dan y = y(t) dapat didiferensialkan di t dan andaikan z = f(x,y) dapat didiferensialkan di (x(t), y(t)), maka z = f(x(t), y(t)) dapat didiferensialkan di t :
dt
dy
y
f
dt
dx
x
f
dt
dz
Contoh :
1. Jika z = x3y, dengan x = 2t dan y = t2, tentukan dz/dt
2. Misalkan w = x2y + y + xz, dengan x = cos q, y = sin q dan z = q2. Tentukan dw/dq dan evaluasi pada q = p/3
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Teorema : Jika x = x(s,t) dan y = y(s,t) mempunyai turunan parsial pertama di (s,t), dan z = f(x,y) dapat didiferensialkan di (x(s,t), y(s,t)), maka z = f(x(s,t), y(s,t)) mempunyai turunan parsial t
y
y
z
t
x
x
z
t
z
s
y
y
z
s
x
x
z
s
z
Contoh :
1. Jika z = 3x2 - y2, dengan x = 2s+7t dan y = 5st, tentukan ∂z/∂t
2. Misalkan w = x2 + y2 + z2 + xy, dengan x = st, y = s- t dan z = s + 2t, tentukan ∂w/∂t
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Misalkan F(x,y) = 0, dengan aturan rantai dapat didiferensialkan ke x sehingga
yF
xF
dx
dy
dx
dy
y
F
dx
dx
x
F
0
Contoh :
1. Tentukan dy/dx jika x3 + x2y – 10y4 = 0
2. Jika F(x,y,z) = x3ey+z – y sin(x – z) = 0, tentukan ∂z/∂x
3. Problem Set 12.6 No. 1 – 16
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
• TIU : Mahasiswa dapat melakukan turunan fungsi multivariabel
• TIK : Mahasiswa mampu menggunakan uji turunan kedua untuk mencari
nilai ekstrim fungsi multivariabel
• Sub Pokok Bahasan :
Nilai Ekstrim
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Nilai Ekstrim Fungsi Dua Variabel
Definisi Misalkan f adalah fungsi dengan domain S, dan p0=(x0, y0)
adalah titik di S, maka :
1. f(p0) adalah nilai ekstrim (global) dari f pada S, jika f(p0) adalah suatu nilai maksimum (global) atau nilai minimum (global)
2. f(p0) adalah nilai maksimum global dari f pada S jika f(p0) f(p) untuk semua p pada S
3. f(p0) adalah nilai minimum global dari f pada S jika f(p0) f(p) untuk semua p pada S.
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Nilai Ekstrim Fungsi Dua Variabel
Di mana nilai ekstrim muncul ?
1. Titik – Titik Batas
2. Titik Stasioner (fx = 0 ; fy = 0)
3. Titik Singular, titik di mana f tidak dapat didiferensialkan, misalkan titik di mana grafik f mempunyai pojok tajam
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Nilai Ekstrim Fungsi Dua Variabel
Contoh :
1. Cari nilai-nilai maksimum atau minimum lokal dari
f(x,y) = x2 – 2x + y2/4
2. Temukan nilai maksimum atau minimum lokal dari
f(x,y) = -x2/a2 + y2/b2
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Nilai Ekstrim Fungsi Dua Variabel
Andaikan f(x,y) memiliki turunan parsial kedua fxx, fxy, and
fyy dan , maka
1. Jika D>0 dan fxx(x0, y0)<0, f(x0, y0) adalah lokal maksimum
2. Jika D>0 and fxx(x0, y0)>0, f(x0, y0) adalah lokal minimum
3. Jika D<0, f(x0, y0) adalah titik saddle (bukan nilai ekstrim)
4. Jika D=0, tidak ada kesimpulan
D= fxx(x0, y0)fyy(x0, y0)- [fxy(x0, y0)]2
0),( 00 yxf
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Nilai Ekstrim Fungsi Dua Variabel
Contoh :
1. Cari nilai ekstrim jika ada, dari fungsi
F(x,y) = 3x3 + y2 – 9x + 4y
2. Tentukan jarak minimum antara titik asal dan permukaan
z2 = x2y + 4
3. Problem Set 12.8 No. 1 – 12