Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV-101 SKS : 3 SKS · •Nilai y akan sama dengan nol pada saat x =...

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Pengantar Kalkulus

Pertemuan - 1

Mata Kuliah : Kalkulus

Kode : CIV-101

SKS : 3 SKS


• Kemampuan Akhir yang Diharapkan : Mahasiswa mampu menjelaskan sistem bilangan real

Mahasiswa mampu menyelesaikan pertaksamaan

Mahasiswa mampu membuat grafik persamaan

Mahasiswa mampu menjelaskan arti fungsi


• Bahan Ajar :

Sistem Bilangan Real

Sistem Koordinat dan Grafik Persamaan

Fungsi

• Text Book :

Varberg, D., Purcell, E., & Rigdon S. (2007). Calculus. 9th edition. Pearson. ISBN : 9780131293311

Thomas, G.B., Ross L. Finney (1996). Calculus and Analytic Geometry. 9th edition. Addison-Wesley Publishing Company.


N : Bilangan Asli

Z : Bilangan Bulat

Q : Bilangan Rasional

R : Bilangan Real

N : 1,2,3,…….

Z : ….., -2, -1, 0, 1, 2, …..

Q :

0,,, bZbab

aq

IrasionalQR :

Contoh bilangan irasional : √2, √3, 3√5, p




Sifat – Sifat Bilangan Real

1. Trichotomy. Jika x dan y adalah bilangan, maka berlaku salah satu dari hubungan : x < y, x > y atau x = y

2. Transitivity. Jika x < y dan y < z, maka x < z

3. Addition. Jika x < y, maka x + z < y + z

4. Multiplication. Jika z > 0, x < y, maka xz < yz. Dan bila z < 0, x < y, maka xz > yz


Pertaksamaan

• Pertaksamaan a < x < b, yang berasal dari dua pertaksamaan a < x dan x < b, mendeskripsikan suatu interval terbuka yang terdiri dari semua bilangan antara a dan b, namun tidak termasuk titik akhir a dan b. Interval ini dinotasikan (a,b)

• Pertaksamaan a < x < b, mendeskripsikan interval tertutup, yang dapat dinotasikan [a,b]


Pertaksamaan

Selesaikan pertaksamaan berikut ini dan gambarkan Himpunan Penyelesaiannya dalam suatu garis bilangan

• 2x – 7 < 4x – 2

• − 5 < 2x + 6 < 4

• x2 – x < 6


Pertaksamaan

Nilai absolut dinotasikan dengan │x│, didefinisikan sebagai :

│x│ = x jika x > 0

│x│ = - x jika x < 0

Sifat – sifat nilai absolut :

1. │ab│= │a│ │b│

2. │a+b│< │a│+│b│

3. │a-b│> ││a│-│b││

4. │a/b│ = │a│/│b│

5. │x│< a ↔ -a < x < a

6. │x│> a ↔ x < - a atau x > a


Pertaksamaan

Selesaikan pertaksamaan berikut ini dan gambarkan Himpunan Penyelesaiannya dalam suatu garis bilangan

1. │x - 4│ < 2

2. │3x - 5│> 1

3. Untuk e (epsilon) bilangan positif, tunjukkan bahwa : │x-2│< e/5 ↔ │5x-10│< e

4. Misalkan e adalah bilangan positif. Temukan sebuah bilangan positif d sehingga :

│x-3│<d →│6x-18│<e

Problem Set 0.2


Sistem Koordinat Persegi Panjang

• Sistem koordinat persegi panjang terdiri dari dua sumbu, yaitu sumbu horizontal x, dan sumbu vertikal y, yang berpotongan di suatu titik asal O.

• Sumbu x dan y membagi bidang menjadi 4 kuadran (I, II, III dan IV)

• Tiap titik P dalam sistem koordinat dapat dinyatakan sebagai sepasang angka (a,b) yang disebut dengan koordinat Cartesian



• Jarak antara titik P(x1,y1) dan titik Q (x2,y2) dapat dihitung dengan formula jarak :

Contoh :

Hitung jarak antara titik P dan Q berikut ini :

• P(-2,3) dan Q(4,-1)

2

12

2

12),( yyxxQPd

Q(x2,y2)

P(x1,y1) R(x2,y1)

x

y



• Sekumpulan titik-titik yang terletak pada jarak yang sama terhadap suatu titik tetap, dinamakan dengan lingkaran.

• Secara umum persamaan lingkaran yang berpusat di (h,k) dan memiliki radius r, dapat dinyatakan dalam bentuk :

222rkyhx

Contoh : • Tuliskan persamaan lingkaran yang berpusat di

(1,-5) dan memiliki radius 5



• Titik tengah antara dua titik P(x1,y1) dan Q(x2,y2) dapat dicari menggunakan formula titik tengah :

• Tentukan persamaan lingkaran yang diameternya melalui titik (1,3) dan

(7,11)

• Garis lurus melalui titik A(x1,y1) dan B(x2,y2), memiliki kemiringan/slope, m yang besarnya :

2,

2

2121 yyxx

12

12

xx

yym

B(x2,y2)

A(x1,y1)

x

y

m



• Garis lurus yang melalui (x1,y1) dan memiliki slope m, dapat dituliskan persamaannya menjadi :

• Bentuk lain persamaan garis :

• Dua buah garis memiliki kemiringan m1 dan m2, maka dua buah garis tersebut akan :

• Sejajar, apabila m1 = m2

• Tegak lurus bila m1.m2 = -1

11 xxmyy

kx

ky

bmxy

0 CByAx

(0,b)

x

y

m



• Tentukan persamaan garis yang melalui (-4,2) dan (6,-1)

• Tentukan persamaan garis yang melalui (6,8) dan sejajar dengan garis 3x – 5y = 11

• Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong antara 3x+4y = 8 dan 6x – 10y = 7, dan tegak lurus garis yang pertama

Problem Set 0.3


Grafik Persamaan

• Grafik dari sebuah persamaan dalam x dan y, terdiri dari titik-titik dalam bidang yang koordinatnya (x,y) memenuhi persamaan tersebut

• Langkah dalam mebuat grafik persamaan :

• Temukan beberapa titik yang memenuhi persamaan

• Plot titik-titik tersebut dalam sistem koordinat

• Hubungkan titik-titik tersebut dengan menggunakan suatu kurva mulus

• Gambarkan grafik dari y = x2 – 3

• Gambarkan grafik dari y = x3


Grafik Persamaan

• Titik di mana grafik persamaan memotong kedua sumbu koordinat, memiliki beberapa peranan penting

• Sebagai contoh, persamaan y = x3-2x2-5x+6 =(x+2)(x-1)(x-3)

• Nilai y akan sama dengan nol pada saat x = -2,1,3. Titik (-2,0), (1,0) dan (3,0) dikatakan sebagai titik potong grafik dengan sumbu x.

• Dengan cara sama, y = 6 ketika x = 0, maka titik (0,6) merupakan titik potong grafik dengan sumbu y.

• Tentukan semua titik potong grafik y2 – x + y – 6 = 0

• Tentukan titik potong garis y= -2x+2 dengan parabola

y=2x2-4x-2, gambarkan sketsa grafiknya.


Grafik Persamaan

Problem Set 0.4

y = x2 y = −x2

y = x3 y = −x3

x = y2 y = √x

y = ax2 +bx + c a > 0

y = ax2 +bx + c a < 0

y = ax3 +bx2 + cx + d a > 0

y = ax3 +bx2 + cx + d a < 0

x = y3


Fungsi Trigonometri

Sebuah fungsi f dikatakan periodik bila ada suatu bilang positif p, sedemikian hingga : f(x + p) = f(x) Untuk semua bilangan real x dalam domain f. Bilangan positif terkecil, p disebut sebagai periode fungsi. Fungsi sinus dan cosinus memiliki periode 2p.

180o = p radians ≈ 3,1415927 radians

x

ytan

r

xcos

r

ysin

y

xcot

x

rsec

y

rcsc

r

x

y


Fungsi Trigonometri

Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV-101 SKS : 3 SKS · •Nilai y akan sama dengan nol pada saat x =...

Documents

Transcript of Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV-101 SKS : 3 SKS · •Nilai y akan sama dengan nol pada saat x =...