MA1201 MATEMATIKA 2AMA1201 MATEMATIKA 2A

Hendra GunawanSemester II, 2013/2014Semester II, 2013/2014

21 Februari 2014

Kuliah SebelumnyaKuliah Sebelumnya

9.4 Deret Positif: Uji Lainnya

Memeriksa kekonvergenan deret positifdengan uji perbandingan dan uji rasiodengan uji perbandingan dan uji rasio

9.5 Deret Ganti Tanda: Kekonvergenan Mutlakdan Kekonvergenan Bersyaratdan Kekonvergenan Bersyarat

Memeriksa kekonvergenan mutlak/bersyaratd t ti t dderet ganti tanda

2/21/2014 2(c) Hendra Gunawan

Sasaran Kuliah Hari IniSasaran Kuliah Hari Ini

9.6 Deret Pangkat

Menentukan selang kekonvergenan deretpangkatpangkat

9.7 Operasi pada Deret Pangkat

M l k k i d d t k t (Melakukan operasi pada deret pangkat (yang diketahui jumlahnya) untuk mendapatkand t k t l i (d j l h )deret pangkat lainnya (dan jumlahnya)

2/21/2014 3(c) Hendra Gunawan

9.6 DERET PANGKATMA1201 MATEMATIKA 2A

9.6 DERET PANGKATMenentukan selang kekonvergenan deretpangkat

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 4

pangkat

Deret FungsiDeret Fungsi

Sejauh ini kita baru membahas deret bilanganSejauh ini kita baru membahas deret bilanganreal. Sekarang kita akan mempelajari deretfungsi yang secara umum berbentuk )(xufungsi, yang secara umum berbentuk .

Sebagai contoh,3sin2sinsinsin xxxnx

)(xun

...33sin

22sin

1sinsin

1

xxxnnx

n

Perhatikan jika kita substitusikan nilai x tertentu, misal x = π/2, maka kita peroleh deret bilangan./ , p g

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 5

Deret PangkatDeret Pangkat

Deret pangkat adalah deret yang berbentukDeret pangkat adalah deret yang berbentuk

2210 ...n

n xaxaaxa

dengan an R untuk tiap n N. Pertanyaan yang 

0

210n

n

perlu kita ajukan terkait dengan deret pangkatadalah:

1. Untuk nilai xmanakah deret tsb konvergen?

2 Apakah kita dapat menentukan fungsi yang2. Apakah kita dapat menentukan fungsi yang merupakan jumlah deret tsb?

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 6

Contoh 1Contoh 1

Jika a ≠ 0 maka deret pangkatJika a ≠ 0, maka deret pangkat

2 ...n axaxaax

Merupakan deret geometri dengan suku

0n

pertama a dan rasio x. Kita tahu deret inikonvergen ke

a

untuk |x|< 1x

axS

1

)( BAGAIMANA DENGAN DERET PANGKAT LAINNYA?untuk |x|< 1.

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 7

PANGKAT LAINNYA?

Contoh 2Contoh 2Tentukan untuk xmana sajakah deret berikutkonvergen?

32

...32

n xxxnx

Dengan Uji Rasio Mutlak, kita hitung

1 32n n

.1

lim1

lim1

xnnx

nx

nx

n

nn

n

Jadi deret konvergen untuk |x| < 1 dan divergenuntuk |x| > 1 Untuk |x| = 1 Uji Rasio tidakuntuk |x| > 1. Untuk |x|   1, Uji Rasio tidakmemberikan kesimpulan apapun. So?2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 8

Kita selidiki apa yang terjadi dengan untuk nxn

|x| = 1, yakni untuk , secara tersendiri.n

1x

Jika x = 1, maka deret menjadi deret harmonik

yang divergen 1yang divergen. n

Jika x = ‐1, maka deret menjadi deret harmonik

ganti tanda yang konvergen. n)1(g y g g

Jadi deret pangkat konvergen pada [ 1 1)

n

xn

Jadi deret pangkat konvergen pada [‐1,1).2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 9

n

LatihanLatihan

Tentukan pada selang manakah deret berikutTentukan pada selang manakah deret berikutkonvergen.

n

1.

142n

n

n

nx

2.

1 !n

n

nx

3.

1! nxn

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 10

1n

Teorema Selang KekonvergenankDeret Pangkat

Himpunan kekonvergenan deret pangkat nxaHimpunan kekonvergenan deret pangkat

selalu berupa salah satu dari tiga kemungkinanberikut:

nxa

berikut:

(i) Himpunan {0}.

(ii) Selang (–R,R), mungkin dengan salah satuatau kedua titik ujungnya.

(iii)Seluruh garis bilangan real R.

Bila (i) (ii) atau (iii) terjadi deret dikatakan mem‐Bila (i), (ii) atau (iii) terjadi, deret dikatakan mempunyai jari‐jari kekonvergenan 0, R, atau∞.2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 11

ContohContoh

selang jari‐jari

kekonvergenan kekonvergenan n

1.                              [–2,2]                             2

142n

n

n

nx

2.                                  R ∞

1 !n

n

nx

3.                                 {0} 0

1n

! nxn

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 12

1n

TeoremaTeorema

Deret pangkat konvergen mutlak di nxaDeret pangkat konvergen mutlak disetiap titik di dalam selang kekonvergenannya.

nxa

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 13

Deret Pangkat dalam x – aDeret Pangkat dalam x a

Deret pangkat berbentukDeret pangkat berbentuk

di b d k d l ...)()()( 2

210 axaaxaaaxa nn

disebut deret pangkat dalam x – a.

Selang dan jari‐jari kekonvergenan deretSelang dan jari jari kekonvergenan deretpangkat dalam x – a dapat ditentukan melaluideret pangkat dalam t dengan t = x – aderet pangkat dalam t, dengan t = x a.

Sebagai contoh,                                      konvergen

44 22)1(

n

n

n

n

nt

nx

g , gutk ‐2 ≤ t ≤ 2, yakni utk ‐1 ≤ x ≤ 3. 2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 14

11 22 nn nn

SoalSoal

Tentukan selang kekonvergenan deret pangkatTentukan selang kekonvergenan deret pangkat

2 1)1()1(

nn x

12 1

)(n n

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 15

9.7 OPERASI PADA DERET PANGKATMA1201 MATEMATIKA 2A

Melakukan operasi pada deret pangkat (yang diketahui jumlahnya) untuk mendapatkan

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 16

deret pangkat lainnya (dan jumlahnya)

Jumlah Deret PangkatJumlah Deret Pangkat

Deret pangkat yang merupakan deret

naxDeret pangkat yang merupakan deret

geometri dengan suku pertama a dan rasio x mempunyai jumlah

0n

mempunyai jumlah

.11,)( xaxS

Bagaimana dengan deret pangkat lainnya?

.11,1

)(

xx

xS

g g p g y

Apakah kita dapat menentukan jumlahnya?

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 17

Penurunan dan Pengintegralank d kSuku demi Suku

Teorema. Misalkan S(x) adalah jumlah suatu( ) jderet pangkat pada selang I, yakni

2

M k t k di d l l I b l k

0

2210 ...)(

n

nn xaxaaxaxS

Maka, untuk x di dalam selang I, berlaku

(i)

21 32)(' n xaxaaxnaxS(i) 

(ii)

0

321 ...32)(n

n xaxaaxnaxS

32211)( nnx aaadttS(ii)

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 18

0

32210

1

0

...321

)(n

nn xxxaxn

dttS

Contoh 1Contoh 1Kita sudah tahu bahwa

0

2 .11...,11

1n

n xxxxx

Penurunan suku demi suku menghasilkan

1 112101 n

Pengintegralan s k demi s k menghasilkan

0

12 .11...,210

)1( n

n xxnxx

Pengintegralan suku demi suku menghasilkan

.11...,)1ln(321

xxxxxxn

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 19

.11...,321

)1ln(0

xxn

xn

Contoh 2 (Substitusi Peubah)Contoh 2 (Substitusi Peubah)Kita sudah tahu bahwa

0

2 .11...,11

1n

n xxxxx

Ganti x dengan –x, kita peroleh

2 111)(1 n xxxx

Ganti lagi dengan 2 kita peroleh

0

.11...,1)(1 n

xxxxx

Ganti lagi x dengan x2, kita peroleh

4222 .11...,1)(1 n xxxx

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 20

0

2 .11...,1)(1 n

xxxxx

Contoh 3Contoh 3Tentukan deret pangkat untuk tan‐1 x.

Petunjuk: .1

1tan 21

x

dtt

x10 t

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 21

Contoh 3Contoh 3Tentukan jumlah dari deret pangkat berikut:

...!3!2

1)(32

xxxxS

Catatan. Deret ini konvergen pada R.

J b P t h d h ilk

!3!2

Jawab: Penurunan terhadap xmenghasilkan

)(10)('32

xSxxxxS

Solusi persamaan diferensial ini adalah S(x) = 

).(...!3!2

10)( xSxxS

p ( )Cex. Karena S(0) = 1, maka C = 1. Jadi S(x) = ex.2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 22

SoalSoal

Tentukan deret pangkat untukTentukan deret pangkat untuk

2x1. xeex

2.x

e1

x

3. x

xex

1tan

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 23

xtan