Logika Proposisi

Adri Priadanailkomadri.com

Matematika Diskrit

Apa ?

Cabang matematika yg mempelajari tentang obyek diskrit.

Apa yang dimaksud dengan kata diskrit(discrete)?

Objek disebut diskrit jika:

terdiri dari sejumlah berhingga elemen yang berbeda

elemen-elemennya tidak bersambungan (unconnected).

Contoh: himpunan bilangan bulat (integer)

Matematika Diskrit

Lawan kata diskrit: kontinyu atau menerus(continuous).

Contoh: himpunan bilangan riil (real)

Komputer digital bekerja secara diskrit.

Informasi yang disimpan dan dimanipulasi oleh komputer adalah dalam bentuk diskrit.

Kenapa belajar ?

Matematika diskrit merupakan ilmu dasar dalam

Teknik Informatika atau ilmu komputer.

Basic algoritma, struktur data, basis data,

otomata dan teori bahasa formal, jaringan

komputer, keamanan komputer, sistem operasi,

teknik kompilasi, dsb.

Proposisi

Proposisi adalah sebuah pernyataan yang bisa

bernilai benar (true/T) atau salah (false/F) tetapi

tidak sekaligus keduanya.

Kita katakan bahwa nilai kebenaran (truth

value) dari sebuah proposisi adalah benar atau

salah.

Dalam rangkaian dijital, nilai ini dinyatakan

sebagai 1 dan 0

Proposisi atau Pernyataan ?

“Gajah lebih besar daripada tikus.”

Apakah ini sebuah pernyataan? YA

Apakah ini sebuah proposisi? YA

Apakah nilai kebenaran

dari proposisi ini?BENAR

Proposisi atau Pernyataan ?

“520 < 111”

Apakah ini sebuah pernyataan? YA

Apakah ini sebuah proposisi? YA

Apakah nilai kebenaran

dari proposisi ini?SALAH

Proposisi atau Pernyataan ?

“y > 5”

Nilai kebenaran dari pernyataan tersebut

bergantung pada y, tapi nilainya belum

ditentukan.

Apakah ini sebuah pernyataan? YA

Apakah ini sebuah proposisi? TIDAK

Pernyataan jenis ini kita sebut sebagai fungsi proposisi atau kalimat terbuka.

Proposisi atau Pernyataan ?

“Sekarang tahun 2004 dan 99 < 5.”

Apakah ini sebuah pernyataan? YA

Apakah ini sebuah proposisi? YA

Apakah nilai kebenaran

dari proposisi ini?SALAH

“Tolong untuk tidak tidur selama kuliah”

TIDAK

TIDAK

Hanya pernyataanlah yang bisa menjadi

proposisi.

Ini adalah sebuah permintaan.

Apakah ini sebuah pernyataan?

Apakah ini sebuah proposisi?

Proposisi atau Pernyataan ?“x < y jika dan hanya jika y > x.”

Apakah ini pernyataan ? YA

Apakah ini proposisi ? YA

Apakah nilai kebenaran

dari proposisi ini ? BENAR

… karena nilai kebenarannya

tidak bergantung harga

spesifik x maupun y.

Penggabung Preposisi

Beberapa contoh terdahulu menunjukkan bahwa beberapa proposisi dapat digabung menjadi sebuah proposisi gabungan.

Hal ini kita formal-kan dengan melambangkan proposisi sebagai huruf-huruf; seperti p, q, r, s; dan memperkenalkan operator-operator logika.

Operator Logika

Kita akan membahas operator-operator berikut:

Negasi (NOT)

Konjungsi (AND)

Disjungsi (OR)

Eksklusif OR (XOR)

Implikasi (jika – maka)

Bikondisional (jika dan hanya jika)

Tabel logika (tabel kebenaran/ truth table) dapat

dipakai untuk menunjukkan bagaimana operator-

operator tsb diatas menggabungkan beberapa

proposisi menjadi satu proposisi gabungan.

Negasi (NOT)

Operator Uner, Lambang:

P P

Benar Salah

Salah Benar

Konjungsi (AND)

Operator Biner, Lambang:

P Q PQ

Benar Benar Benar

Benar Salah Salah

Salah Benar Salah

Salah Salah Salah

Disjungsi (OR)

Operator Biner, Lambang:

Tamu Boleh Menyumbang barang atau uang

P Q PQ

Benar Benar Benar

Benar Salah Benar

Salah Benar Benar

Salah Salah Salah

Eksklusif Or (XOR)Operator Biner, Lambang:

Saya akan melihat pertandingan itu di TV atau di lapangan

P Q PQ

Benar Benar Salah

Benar Salah Benar

Salah Benar Benar

Salah Salah Salah

Implikasi (jika - maka)

Operator Biner, Lambang:

Jika besok cerah (p), maka aku akan datang ke rumahmu (Q)

P = hipotesis, Q = konklusi

P Q PQ

Benar Benar Benar

Benar Salah Salah

Salah Benar Benar

Salah Salah Benar

Bikondisional (jika dan hanya jika)

Operator Biner, Lambang:

(P Q) ( Q P)

“p jika dan hanya jika q” dapat dibaca “jika p maka q dan jika q maka p”

P Q PQ

Benar Benar Benar

Benar Salah Salah

Salah Benar Salah

Salah Salah Benar

Pernyataan dan Operasi

Pernyataan-pernyataan dan operator-operator dapat

digabungkan menjadi suatu pernyataan baru.

P Q P Q (P)(Q)

Benar Benar Salah Salah Salah

Benar Salah Salah Benar Benar

Salah Benar Benar Salah Benar

Salah Salah Benar Benar Benar

Pernyataan dan Operasi

P Q PQ (PQ) (P)(Q)

Benar Benar Benar Salah Salah

Benar Salah Salah Benar Benar

Salah Benar Salah Benar Benar

Salah Salah Salah Benar Benar

Pernyataan-pernyataan dan operator-operator dapat digabungkan

menjadi suatu pernyataan baru.

Pernyataan-pernyataan yang ekivalen

P Q (PQ) (P)(Q) (PQ)(P)(Q)

Benar Benar Salah Salah Benar

Benar Salah Benar Benar Benar

Salah Benar Benar Benar Benar

Salah Salah Benar Benar Benar

Pernyatan (PQ) dan (P)(Q) adalah ekivalen secara logis, karena

(PQ)(P)(Q) selalu benar.

Tautologi

Suatu tautologi adalah pernyataan yang selalu

bernilai benar

Contoh:

R(R)

Jika ST sebuah tautologi, kita tulis S T.

JIka ST sebuah tautologi, kita tulis S T.

Kontradiksi

Suatu kontradiksi adalah pernyataan yang selalu bernilai salah.

Contoh: R(R)

Negasi dari sebarang tautologi adalah sebuah kontradiksi, sebaliknya, negasi dari sebuah kontradiksi adalah sebuah tautologi.

Inferensi

Apabila kita diberikan beberapa proposisi atau

deret proposisi, kita dapat menarik kesimpulan

baru dari proposisi-proposisi tersebut.

Proses penarikan kesimpulan dari beberapa

proposisi tersebut disebut sebagai inferensi.

Inferensi

1. Modus Ponen

didasarkan pada tautologi (p ˄ (p → q)) → q

dalam hal ini p dan p → q adalah hipotesis,

q adalah konklusi.

q

p

qp

Inferensi

2. Modus Tollen

didasarkan pada tautologi (~q ˄ (p → q)) → ~p

dalam hal ini ~q dan p → q adalah hipotesis,

~p adalah konklusi.

p

q

qp

Inferensi

3. Silogisme Hipotesis

didasarkan pada :

tautologi ((p → q) ˄ ((q → r)) → (p → r)

rp

rq

qp

Inferensi

4. Silogisme Disjungitf

didasarkan pada :

tautologi ((p ˅ q) ˄ ~p) → q

pq

qp

qpqp

Inferensi

5. Simplifikasi

didasarkan pada :

tautologi (p ˄ q) → p

qp

qpqp

Inferensi

5. Penjumlahan

didasarkan pada :

tautologi p → (p ˅ q)

qpqp

qp

Matur Nuwun