Tahun Ajaran 2013/2014

LogikaMatematika Diskret (TKE132107)

Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Iwan Setiawan <stwn at unsoed.ac.id>

 

Logika Klasik

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Silogisme.(proposisi, penalaran)

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Tetralema.(afirmasi, negasi, konjungsi, disjungsi)

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Logika boolean, atau aljabar boolean.(Nilai kebenaran, aplikasi: pensaklaran, rangkaian digital, IC, ...)

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Teori formal kebenaran.(benar dan salah)

 

Logika Modern

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Logika fuzzy.(perluasan logika boolean,

kebenaran parsial)

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Fullofstars, CC BY-SA 3.0, http://en.wikipedia.org/wiki/File:Fuzzy_logic_temperature_en.svg

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Logika modal.(modal, kemungkinan, contoh: “biasanya”)

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Logika komputabilitas.(masalah komputasi, “selalu dapat dihitung”)

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Logika konstruktif.(intuisi, keberadaan bukti, justifikasi)

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Logika relevansi.(saya manusia, maka 1+1=2)

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Teori logika yang alami?

 

Logika

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Berkaitan dengan argumen.(dan hubungan antar argumen)

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Studi penalaran.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Agar kita dapat menentukan apakah sebuahargumen bernilai benar atau salah.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Logika

● Logika dapat berbentuk bahasa kita sehari-hari maupun bukti-bukti matematis.

● Aturan logika bersifat umum dan tidak terikat pada kalimat, atau disiplin ilmu tertentu.

● Lebih ke sintaks, daripada semantik.

 

Penalaran

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Cara (perihal) menggunakan nalar; pemikiran atau cara berpikir logis; jangkauan pemikiran. – Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI)

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Hal mengembangkan atau mengendalikan sesuatu dengan nalar dan bukan dengan

perasaan atau pengalaman. – KBBI

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Proses mental dalam mengembangkan pikiran dari beberapa fakta atau prinsip. – KBBI

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Penalaran membutuhkan logika.

 

Semua pengendara sepeda motor memakai helm. Setiap orang yang memakai helm adalah mahasiswa. Jadi, semua pengendara sepeda motor adalah mahasiswa.

 

Apa benar?

 

Semua manusia akan mati.Setsuna adalah manusia.Jadi, Setsuna akan mati.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Hukum logika menentukan maknadari sebuah pernyataan matematis.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Juga menentukan sebuahargumen valid/tidak valid.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Melakukan pembuktian (teorema).

 

Proposisi

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Kalimat deklaratif yang bernilai benaratau salah, tetapi tidak keduanya.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Nilai kebenaran.

 

5 adalah bilangan ganjil.

 

2 + 1 = 3

 

4 adalah bilangan prima.

 

1200 > 1199

 

Purwokerto adalah ibukotaKabupaten Banyumas.

 

Tadi pagi hujan.

 

Suhu sekarang ini 29° C.

 

Apa kamu sudah mandi?

 

Berikan saya nilai A untukMatematika Diskret!

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Proposisi dinyatakan dengan kalimat berita.

 

Ubai lebih tinggi daripada Dudi.

 

x + 5 = 23

 

x < 88

 

53 mencintai 35.

 

x + y = y + x

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Kalkulus proposisi/logika proposisi.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Proposisi dilambangkandengan huruf kecil.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

p = saya mempunyai makananq = 9 adalah bilangan ganjil

 

Kombinasi Proposisi

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Operator logika.(dan, atau, tidak)

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Konjungsi.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Disjungsi.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Negasi.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Proposisi majemuk.(terbentuk dari proposisi atomik)

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Notasi simbolik.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Metode kombinasi proposisi dibahaspada buku “The Laws of Thought”.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

∧ Dan/And/Konjungsi ∨ Atau/Or/Disjungsi

~ Tidak/Not/Negasi

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Ekpresi logika.(ekspresi proposisi majemuk dalam bentuk notasi simbolik)

 

p: Hari ini hujanq: Murid-murid diliburkan dari sekolah

Nyatakan dalam ekspresi proposisi untuk p∧q, p∨q, ~p, ~q!

 

p: Hari ini panasq: Hari ini cerah

Nyatakan dalam ekspresi proposisi untuk p∧q, p∨q, ~p, ~q!

 

p: Saya suka jerukq: Saya suka salak

Nyatakan dalam ekspresi proposisi untuk p∧q, p∨q, ~p, ~q!

 

p: Saya itu pintar matematikaq: Saya itu bijaksana

Nyatakan dalam Notasi Simbolik (1)

 

1) Saya itu pintar matematika dan bijaksana2) Saya itu pintar matematika, tapi tidak bijaksana3) Saya itu tidak pintar matematika, juga tidak

bijaksana4) Tidak benar bahwa saya pintar dan bijaksana5) Saya itu tidak pintar, atau pintar dan tidak

bijaksana6) Tidak benar bahwa saya itu tidak pintar atau

tidak bijaksana

Nyatakan dalam Notasi Simbolik (2)

 

Tabel Kebenaran

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Nilai kebenaran proposisi majemukditentukan oleh proposisi atomik.

(+cara proposisi tersebut dihubungkan dengan operator logika)

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

p dan q adalah proposisi.

 

Konjungsi p∧q bernilai benar jika p dan q keduanya ..., selain itu nilainya …

Gambarkan tabel kebenarannya!

 

Disjungsi p∨q bernilai salah jika p dan q keduanya ..., selain itu nilainya …

Gambarkan tabel kebenarannya!

 

Negasi ~p bernilai benar jika p ..., sebaliknyabernilai salah jika p …

Gambarkan tabel kebenarannya!

 

p: 17 adalah bilangan primaq: Bilangan prima selalu ganjil

Apa nilai konjungsi p∧q?

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Tabel kebenaran adalah salah satu cara untuk menentukan kebenaran proposisi majemuk.

 

Jika ada n variabel, tabelkebenaran memuat

berapa baris?

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Tabel kebenaran menampilkan hubunganantara nilai kebenaran dari proposisi atomik.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Sebuah proposisi majemuk disebut tautologi, jika benar untuk semua kasus.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Sebuah proposisi majemuk disebut kontradiksi, jika salah untuk semua kasus.

 

Gambarkan tabel kebenaran dari proposisi majemuk: p∨~(p∧q)!

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Lihat kolom terakhir.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Dua proposisi majemuk disebut ekivalen jika keduanya mempunyai tabel kebenaran

yang identik. (lihat kolom terakhir)

 

Disjungsi Eksklusif

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

OR inklusif.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Seorang dosen sedang mencari mahasiswa yang pernah mengambil mata kuliah Sinyal dan Sistem atau Sistem Kontrol.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

OR eksklusif.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Engkau bisa memilih, antara aku atau dia.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

XOR ( )

 

Hukum-HukumLogika Proposisi

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Identitas, dominasi, negasi, idempoten,involusi, penyerapan, komutatif, asosiatif,

distributif, De Morgan.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Untuk membuktikan keekivalenandua buah proposisi.

 

Sederhanakan bentuk berikut.~(~p q)∧ ∧(p∨q)

 

Buktikan ekivalensi~(p∨~q)∨(~p∧~q) ~p⇔

 

Proposisi Bersyarat(kondisional atau implikasi)

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Jika p, maka q.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Jika mahasiswa mendapat nilai 90 untuk Mate- matika Diskret, Ia akan mendapat nilai A.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Jika aku lulus nanti, akuakan tetap mengingatmu.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

p → q

Hipotesis

Konklusi

 

Bagaimana tabelkebenarannya?

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Berbeda antara implikasibahasa dan matematika.

(matematika: valid/tidak valid)

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

jika p, qp mengakibatkan qq jika pp hanya jika qp syarat cukup agar qq syarat perlu bagi pq bilamana p

 

Ubahlah proposisi berikut menjadi pernyataan “jika p, q”

1) Banyak minum kopi robusta dapat menyebabkan kita tidak mengantuk.

2) Syarat wajib bagi mahasiswa agar dapat mengikuti mata kuliah Sistem Operasi adalah sudah mengambil mata kuliah Arsitektur Komputer.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Konvers: q → pInvers: ~p → ~qKontraposisi: ~q → ~p

 

Gambarkan tabelkebenarannya!

 

Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan berikut.

“Jika Badu sudah mandi, Ia tidak bau.”

 

Bi-implikasi

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Proposisi majemuk “p jika dan hanya jika q”disebut bi-implikasi atau bikondisional.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

p q

 

Gambarkan tabelkebenarannya!

 

Ekivalen secara logika dengan …?

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Jika p, q dan jika q, p.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

p↔q ⇔ (p→q)∧(q→p)

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

p adalah syarat perlu dan cukup untuk qjika p, q, dan sebaliknyap iff q

 

1+1=2 jika dan hanya jika 2+2=4

 

Ubahlah pernyataan berikut menjadibentuk “p jika dan hanya jika q”:

Syarat cukup dan perlu agar kita mendapatkan nilai bagus adalah

kita belajar yang rajin.

 

Buktikan dengan tabel kebenaranbahwa ~(p∧q) ⇔ ~p∨~q!

 

Buktikan dengan tabel kebenaranbahwa ~(p∧q)↔~p∨~q!

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Bikondisional hanya benar jika kedua proposisi mempunyai nilai kebenaran yang sama.

 

Inferensi

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

1 proposisi.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

2 proposisi.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Beberapa proposisi.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Kita dapat menarik kesimpulan baru.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Proses penarikan kesimpulan daribeberapa proposisi disebut inferensi.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Modus-modus.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Ponen, Tollen, Silogisme Hipotesis, Silogisme Disjungtif, Simplifikasi, Penjumlahan, Konjungsi.

 

Argumen

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Rangkaian kalimat-kalimat.(deret proposisi)

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Deret proposisi yang dituliskan

p1p2⋮p

n

─(jadi) q

Hipotesis

Kesimpulan

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Sahih atau valid.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Palsu atau tidak valid.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Sebuah argumen dikatakan sahih jika semua hipotesisnya benar, dan konklusinya benar.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Jika sebaliknya, berarti argumendikatakan palsu atau tidak valid.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

(p1∧p2∧ … ∧pn) → q

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Implikasi bernilai benar.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Argumen palsu menunjukkanpenalaran yang tidak benar.

 

p ∨ (q ∨ r)~r

... p ∨ q

Apakah argumen di atas sahih?Buktikan dengan tabel kebenaran!

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

1) Tentukan hipotesis dan kesimpulan.2) Buat tabel kebenaran.3) Cari baris kritis: semua hipotesis benar.4) Jika semua kesimpulan benar pada baris kritis,

berarti argumen tersebut sahih/valid.

 

Jika mahasiswa mendapat nilai 90, Ia akan mendapat nilai A. Mahasiswa mendapat nilai 90, karena itu Ia mendapat nilai A.

Tunjukkan bahwa argumen di atas adalah sahih!

 

Di mana kacamata Roni?

Pada suatu ketika, Roni pergi ke kampus dan baru menyadari bahwa Ia tidak menggunakan kacamata. Setelah Ia mengingat-ingat, ada beberapa hal/fakta yang muncul.● Jika kacamataku ada di meja dapur, aku pasti melihatnya ketika

sarapan pagi.● Aku membaca koran di ruang tamu atau aku membacanya di

dapur.● Jika aku membaca koran di ruang tamu, pastilah kacamata

kuletakkan di meja tamu.● Aku tidak melihat kacamataku saat sarapan pagi.● Jika aku membaca buku di tempat tidur, kacamata kuletakkan di

meja samping tempat tidur.● Jika aku membaca koran di dapur, kacamataku ada di meja dapur.

 Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Daftar Bacaan

● Munir, R. 2010. Matematika Diskrit, Revisi Keempat, Penerbit Informatika.

● Siang, J.S. 2002. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer, Penerbit Andi.