Post on 26-Mar-2016
description
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir 1
BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA1
A. Bentuk Pangkat
B. Bentuk Akar
1. Jika n bilangan bulat positif dan a bilangan real
maka:
faktor
n
n
a a a a
2. Sifat-sifat bilangan berpangkat bulat dan nol
am an am n
, 0m
m nn
a a aa
a0 1, a 0
3. Sifat pemangkatan bilangan berpangkat
(am)n amn
n n
na ab b
(a b)n an bn
1mma
a
1. Sifat-sifat bentuk akar
mn m na nn n nab a b
( )n n np a q a p q a
, 0n
nn
a a bb b
( )n n np a q a p q a
m n mna a
2. Bentuk-bentuk akar sekawan
a sekawan dengan a
a a sekawan dengan a a
a b sekawan dengan a b
C. Bentuk Logaritma
1. Jika n adalah logaritma dari a dengan bilangan
pokok p, maka berlaku:plog a n pn a; a 0, p 0 dan p 1
2. Sifat-sifat logaritma
plog (ab) plog a plog balog an n
log log logp p pa a bb
plog 1 0
plog an n · plog alog
log
q
qanp
plog a · alog q plog q
logp ap a
log lognp m pma a
nalog a 1
plog a lognp na
2 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
I N G A T
1. Nilai x yang memenuhi persamaan
114
x 3 3 12 x adalah . . . .
A.2
9x D.
2
5x
B.4
9x E.
4
5x
C.5
9x
Jawab:1
14
x 133 12 x
2
11
2
x3 1
32x
(2 2)x 1 3 1
32x
2x 23 1
3
x
3( 2x 2) 3x 1
6x 6 3x 1
6x 3x 1 6
9x 5 x 59
Kunci: C
2. Jika 2log x 4log y 4log z2, maka z2 . . . .
A. x y D. 4x yB. 2x y E. 2 4x yC. xy
Jawab:2log x 4log y 4log z2
4log x2 4log y 4log z2
4log x2 · y 4log z2 z2 2x yKunci: B
A. 2log 3 D. (3log 2)2
B. 3log 2 E. (2log 3)2
C. 4log 9
Jawab:
mn
2 2
3 3
1 log log
log log
a bmn b a
(2log a alog 3) (2log b blog 3)2log 3 2log 3
(2log 3)2 Kunci: E
4. 1.000
3 log (log ). . . .
3 log (log )
xx
A.1
1log (log )x
B.1 1
3.000 1.000 log (log )x
C.1 1
3 100 log (log )x
D. 13
1
E. 13
Jawab:
1.000
3 log (log ) 3 log (log )
3log (1.000log )3log (log )
3 log (log )
3(log 1.000 log log )
3 log (log )
3(3 log log )
1
3
x xxx
xx
xx
Kunci: E
5. Jika 5log 3 a dan 3log 2 b, 6log 75 sama
dengan . . . .
A.1
ab D.
2
1
ab
B.a
a b E.2
(1 )
aa b
C.2 aa b
SoalSoalContohContoh
2log x 22 log x2 4log x2
3. Jika2
3
log
log
ab
m dan 3
2
log
log
ab
n, a > 1 dan
b 1, maka mn
. . . .
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir 3
Jawab:
• 5log 3 alog 3
log 5a log 3 a log 5
• 3log 2 blog 2
log 3b
log 2 b log 3
b (a log 5)
ab log 5
• 6
2 2
log 75 log 25 3log 75
log 6 log 2 3
log 5 3 log 5 log 3
log 2 3 log 2 log 3
2 log 5 log 3
log 2 log 3
2 log 5 log 5
log 5 log 5
(2 ) log 5 2 2
( )log 5 (1 )
aab a
a a aab a ab a a b
1. Nilai 2x yang memenuhi 4x 2 3 516x
adalah . . . .
A. 2 D. 16
B. 4 E. 32
C. 8
2. Diketahui 2x 2 x 5. Nilai 22x 2 2x . . . .
A. 23 D. 26
B. 24 E. 27
C. 25
3. Nilai dari
32
5 134
56
2
7
6
x y
x y x untuk x 4 dan
y 27 adalah . . . .
A. (1 2 2) 9 2 D. (1 2 2) 27 2
B. (1 2 2) 9 3 E. (1 2 2) 27 3
C. (1 2 2) 18 3
4. Diketahui 3log 2 x dan 2log 5 y, maka5log 15 . . . .
A.1x y
x y D.1
x y
B.1xy
xy E.1
xy
C.xy
x y
5. Himpunan penyelesaian persamaan
22x 5 · 2x 1 16 0 adalah . . . .
A. { 2, 8} D. {1, 8}
B. { 2, 3} E. {2, 8}
C. {1, 3}
6. Nilai
3 2132 4
30,25 0,5
25 16 27
625 81p adalah . . . .
A. 2 D. 16
B. 8 E. 36
C. 15
7. Diketahui 2log 5 p dan 3log 2 q.
Nilai 3log 125 8log 27 . . . .
A.3p q
q D.23 3pq
B.3
p qq E.
23p qq
C.23 1pqq
8. Akar dari persamaan 35x 1 27x 3 adalah
. . . .
A. 1 D. 4
B. 2 E. 5
C. 3
9. Nilai x dari persamaan
21392
3
3x
adalah . . . .
A. 23 D. 1
33
B. 12
4 E. 12
4
C. 13
3
Kunci: E
Soal-SoalSoal-Soal Ujian NasionalUjian Nasional
4 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
Bentuk umum persamaan kuadrat adalah
ax2 bx c 0
di mana a, b, c R dan a 0
1. Rumus abcRumus menentukan akar persamaan kuadrat ax2
bx c 0; a, b, c R dan a 0 adalah
2
1,2
4
2
b b acx
a
2. Memfaktorkan
Bentuk a2 bx c 0 diubah menjadi bentuk
1
a (ax p)(ax q) 0
di mana: p q bpq ac
Sehingga akan diperoleh 1 2danp qx x
a a
PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT2
3. Melengkapkan kuadrat
Bentuk x2 bx c 0 diubah menjadi bentuk
(x p)2 q
di mana: 2
2
2
b
b
p
q c
Sehingga diperoleh x1 dan x
2
Jika x1 dan x
2 akar-akar persamaan kuadrat
ax2 bx c 0; a, b, c R dan a 0 maka:
1. Jumlah akar-akar persamaan kuadrat adalah:
1 2bx xa
2. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat adalah:
1 2cx xa
Menentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat dengan
diskriminan D1. D 0 memiliki dua akar yang sama dan real
2. D 0 memiliki dua akar bilangan real yang
berbeda (x1
x2)
3. D 0 tidak memiliki akar bilangan real
Setiap tahun selalu keluar 1 soal tentangbentuk pangkat, bentuk akar, danlogaritma. Diprediksikan pada tahun2006 akan keluar juga salah satu dariketiga bentuk, apakah bentuk pangkat,bentuk akar, atau logaritma.
Analisis
A. Persamaan Kuadrat
D. Jenis-Jenis Persamaan Kuadrat
Pahami sifat-sifat dari bentuk pangkat,akar, logaritma.
B. Penyelesaian Persamaan Kuadrat
C. Jumlah Hasi Kali Persamaan
Kuadrat
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir 5
Persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar x1 dan x
2
adalah:
a(x x1)(x x
2) 0 a(x2 (x
1x
2) x x
1x
2) 0
E. Membentuk Persamaan Kuadrat
F. Fungsi Kuadrat
Langkah-langkah untuk menggambar grafik fungsi
1. Tentukan titik potong terhadap sumbu-xPada gambar (i) dan (ii), titik potong terhadap
sumbu -x berturut-turut adalah titik A dan titik Bserta titik D dan titik E.
2. Tentukan titik potong terhadap sumbu-yPada gambar (i) dan (ii), titik potong terhadap
sumbu-y berturut-turut adalah titik C dan titik F.
3. Perhatikan koefisien x2, yaitu a.
a 0 : Grafik terbuka ke atas
Seperti gambar (i)
a 0 : Grafik terbuka ke bawah
Seperti gambar (ii)
4 Menentukan nilai diskriminan DD 0 : Grafik menyinggung sumbu-x
D 0 : Grafik memotong sumbu-x pada dua
titik
D 0 : Grafik tidak memiliki titik potong
dengan sumbu-x
1. Jika jumlah kuadrat akar-akar persamaan
x2 3x n 0 sama dengan jumlah pangkat tiga
akar-akar persamaan x2 x n 0, maka nilai nadalah . . . .
A. 8 D. 8
B. 6 E. 10
C. 2
Jawab:Misalkan:
Akar-akar persamaan x2 3x n 0 adalah
a dan bAkar-akar persamaan x2 x n 0 adalah cdan d
a2 b2 c3 d3
(a b)2 2ab (c d)3 3cd(c d)
32 2n ( 1)3 3( n)( 1)
9 2n 1 3n2n 3n 1 9
n 10 Kunci: E
2. Jika x, dan x2 adalah akar-akar persamaan
x2 log x 1.000, maka x1
· x2 sama dengan . . . .
A. 10 1 D. 10
B. 10 2 E. 100
C. 1
Jawab:
x2 log x 1.000
log x2 log x log 103
(2 log x) log x 3
2 log x log2x 3
log 2x 2 log x 3 0
(log x 1)(log x 3) 0
log x 1 atau log x 3
x 10 x 10 3
Jadi, x1 · x
2 10 · 10 3 10 2 Kunci: B
SoalSoalContohContoh
A B
C
(i)
y
xO
(ii)
F
D E
y
xO
6 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
3. Parabola dengan titik puncak (3, 1) dan melalui
(2, 0) memotong sumbu-y di titik . . . .
A. (0, 5)
B. (0, 6)
C. (0, 7)
D. (0, 8)
E. (0, 9)
Jawab:P(p · q) P(3, 1) p 3 dan q 1
Persamaan kuadrat: y a(x p)2 qMelalui titik (2, 0) y a(x p)2 q
0 a(2 3)2 ( 1)
0 a( 1)2 1
0 a 1
a 1
Sehingga diperoleh persamaan
y a(x p)2 qy 1(x 3)2 1
y x2 6x 9 1
y x2 6x 8
Titik potong dengan sumbu-y maka x 0
y x2 6x 8
y 02 6(0) 8
y 8
Jadi, parabola memotong sumbu-y di titik
(0, 8) Kunci: D
4. Kurva pada gambar berikut adalah grafik
fungsi . . . .
A. f(x) (x 1)(2 x)
B. f(x) (x 1)(x 2)
C. f(x) 2 x x2
D. f(x) x2 x 2
E. f(x) (x 1)(x 2)
Jawab:Persamaan kuadrat
y a(x x1)(x x
2)
y a(x ( 1))(x 2)
y a(x 1)(x 2)
Melalui titik (0, 2)
y a(x 1)(x 2)
2 a(0 1)(0 2)
2 2aa 1
Sehingga diperoleh,
y a(x 1)(x 2)
f(x) 1(x 1)(x 2)
(x 1)( x 2)
(x 1)(2 x) Kunci: A
5. Jika grafik fungsi y x2 ax b mempunyai titik
puncak (1, 2) maka nilai a dan b adalah . . . .
A. a 1, b 3 D. a 0,5, b 1,5
B. a 1, b 3 E. a 0,5, b 1,5
C. a 2, b 3
Jawab:Persamaan kuadrat
y x2 ax b a 1, b a, dan c bMelalui titik puncak (1, 2)
2 2(1)
12
2
b ax xa
a
aDiskriminan
2 2
2
4 4(1)( )2
4 4(1)
(( 2) 4 )2
4
8 4 4
8 4 4
12 4
3
b ac a bya
b
bbb
b
Jadi, a 2 dan b 3 Kunci: C
6. Akar-akar persamaan x2 6x 12 0 adalah
x1 dan x
2. Persamaan baru yang akar-akarnya
1 2
3 3
x x dan x
1x
2 adalah . . . .
A. x2 9x 18 0
B. x2 21x 18 0
C. x2 21x 36 0
D. 2x2 21x 36 0
E. 2x2 18x 18 0
y
x1 O 2
2
y
x1 2 3 4 5
1
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir 7
Jawab:x2 6x 12 0 a 1, b 6, dan c 12
1 2
1 2
66
1
1212
1
bx xa
cx xa
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan
adalah (x )(x ) 0 sehingga jika akar-
akarnya1 2
3 3x x dan x
1x
2 diperoleh:
1 21 2
2 11 2
1 2
1 21 2
1 2
2
2
3 3( ) 0
3 3( ) 0
3( )( ) 0
3( 6)( ( 12)) 0
12
3( 12) 0
2
2118 0
2
2 21 36 0
x x x xx x
x xx x x x
x x
x xx x x x
x x
x x
x x
x x
x xKunci: D
1. Akar-akar persamaan 2x2 2px q2 0 adalah pdan q di mana p q 6. Nilai pq adalah . . . .
A. 6 D. 6
B. 2 E. 8
C. 4
2. Absis titik balik grafik fungsi
y px2 (p 3)x 2 adalah p.
Nilai p sama dengan . . . .
A. 3 D.2
3
B.3
2E. 3
C. 1
3. Persamaan kuadrat mx2 (m 5)x 20 0, akar-
akarnya saling berlawanan. Nilai m . . . .
A. 4 D. 8
B. 5 E. 12
C. 6
4. Jika x1 dan x
2 akar-akar persamaan x2
px 1 0, maka persamaan kuadrat yang akar-
akarnya1 2
2 2x x dan x
1x
2 adalah . . . .
A. x2 2p2x 3p 0
B. x2 2px 3p2 0
C. x2 3px 2p2 0
D. x2 3px p2 0
E. x2 p2x p 0
5. Persamaan 2x2 qx (q 1) 0 mempunyai
akar-akar x1 dan x
2. Jika x
12 x
22 4, maka nilai
q . . . .
A. 6 dan 2 D. 3 dan 5
B. 5 dan 3 E. 2 dan 6
C. 4 dan 4
6. Jika nilai diskriminan persamaan kuadrat
2x2 9x c 0 adalah 121, maka nilai c adalah.
. . .
A. 8 D. 5
B. 5 E. 8
C. 2
7. Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum
2 untuk x 3, dan untuk x 0 nilai fungsi itu 16.
Fungsi kuadrat itu adalah . . . .
A. f(x) 2x2 12x 16
B. f(x x2 6x 8
C. f(x) 2x2 12x 16
D. f(x) 2x2 12x 16
E. f(x) x2 6x 8
8. Agar F(x) (p 2)x2 2(2p 3)x 5p 6 bernilai
positif untuk semua x, maka batas-batas nilai padalah . . . .
A. p 1 D. 1 p 2
B. 2 p 3 E. p 1 atau p 2
C. p 3
Soal-SoalSoal-Soal Ujian NasionalUjian Nasional
8 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
9. Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai maksimum
3 untuk x 1 dan grafiknya melalui titik (3, 1),
memotong sumbu-y di titik . . . .
A. 72
0, D. (0, 2)
B. (0, 3) E. 32
0,
C. 52
0,
10. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan 2
adalah . . . .
A. x2 7x 10 0
B. x2 7x 10 0
C. x2 3x 10 0
D. x2 3x 10 0
E. x2 3x 10 0
11. Nilai x yang memenuhi sistem persamaan linier
2 8
2 9
3 3
x yy z
x y z
adalah . . . .
A. 4 D. 2
B. 3 E. 3
C. 2
12. Akar-akar persamaan x2 x 6 0 adalah
dan . Persamaan kuadrat yang akar-akarnya
2 3 dan
2 3 adalah . . . .
A. 39x2 19x 6 0
B. 39x2 16x 6 0
C. 39x2 19x 6 0
D. 39x2 19x 6 0
E. 39x2 16x 6 0
13. Persamaan kuadrat x2 (m 1)x 2 14 0
mempunyai dua akar yang berlainan. Batas-batas
nilai m yang memenuhi adalah . . . .
A. 2 m 4 D. m 2 atau m 4
B. 4 m 2 E. m 2 atau m 4
C. m 2 atau m 4
14. Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar
adalah . . . .
A. y x2 4x 5 D. y x2 4x 5
B. y x2 2x 5 E. y x2 4x 5
C. y x2 2x 5
15. Diketahui x1 dan x
2 adalah akar-akar persamaan
x2 px 2 dan 1
2
112 2
x xx . Nilai p . . . .
A. 4 D. 2
B. 2 E. 4
C. 1
16. Persamaan kuadrat (m 1)x2 4x 2m 0
mempunyai akar-akar tidak nyata. Nilai m yang
memenuhi adalah . . . .
A. 2 m 1 D. m 2 atau m 1
B. 1 m 2 E. m 1 atau m 2
C. 1 m 2
17. Grafik suatu fungsi kuadrat dalam x, memotong
sumbu-x di titik yang berabsis 1 dan 5, serta melalui
titik (6, 10). Fungsi kuadrat ini mempunyai . . . .
A. nilai maksimum 8
B. nilai minimum 8
C. nilai nol untuk x 1
D. nilai maksimum 8
E. nilai minimum 8
18. Akar-akar persamaan kuadrat x2 x 2 0 adalah
x1 dan x
2. Persamaan kuadrat baru yang akar-
akarnya1 2
2 1dan
x xx x adalah . . . .
A. 2x2 3x 2 0
B. 2x2 3x 2 0
C. 2x2 5x 2 0
D. x2 5x 2 0
E. x2 3x 2 0
19. Batas-batas nilai p supaya persamaan kuadrat
x2 3px 6 3x 10p, mempunyai akar-akar real
adalah . . . .
A. 59
atau 3p p
B. 53
atau 3p p
C. 59
atau 3p p
D. 59
atau 3p p
E. 59
3p
20. Grafik fungsi kuadrat y 3x2 12x 6 memotong
salah satu sumbu koordinat di titik (a, 0) dan
(b, 0) dengan a b. Pernyataan berikut benar,
y
xO
(2, 1)
(0, 5)
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir 9
kecuali . . . .A. grafik terbuka ke atas
B. a · b 2
C. a b 4
D. 4 2a b
E. 3 2 2ab
21. Diketahui persamaan kuadrat x2 x 2 0
mempunyai akar-akar x1 dan x
2.
Nilai x13 x
23 . . . .
A. 7 D. 10
B. 5 E. 13
C. 5
22. Agar (3m 1)x2 4(m 1)x m 4 untuk setiap
x real, maka haruslah . . . .
A. m 0 atau m 5
B. 13
5m
C. 0 m 5
D. 5 m 0
E. 13
5m m
23. Fungsi f(x)2
, 11
x xx
mempunyai kurva
seperti . . . .
A. D.
B. E.
C.
24. Persamaan kuadrat 2x2 3x 4 0 mempunyai
akar-akar x1 dan x
2. Persamaan kuadrat yang akar-
akarnya1 2
1 1danx x adalah . . . .
A. 4x2 3x 4 0
B. 4x2 3x 2 0
C. 4x2 3x 4 0
D. 4x2 3x 2 0
E. 4x2 3x 2 0
25. Nilai x yang menyebabkan pernyataan: ”Jika
x2 x 6 maka x2 3x 9” bernilai salah
adalah . . . .
A. 3 D. 2
B. 2 E. 6
C. 1
26. Fungsi kuadrat yang titik puncaknya adalah
perpotongan garis y x 3 dan 5x 2y 20 dan
melalui (0, 3) adalah . . . .
A.21
22 3y x x
B.21
22 3y x x
C.2 1
22 3y x x
D.2 1
22 3y x x
E.2 1
22 3y x x
y
y 2
1
0x 1
x
y x 1
y 1
x02
x 1
x 1
y 2x
y
0
y
x 1
0y 1
y
y 1x0
2
2x 1
Setiap tahun soal tentang persamaan danfungsi kuadrat pasti keluar minimal 2soal. Bentuk soal yang sering keluaradalah seperti soal nomor 22, 23, 24, dan26.
Analisis
Pelajari cara menentukan fungsi kuadratjika diberikan gambar grafik dan jugacara menentukan persamaan kuadratyang baru jika diketahui akar-akarnya.
10 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
1. Bentuk umum sistem persamaan linier dua variabel
1 1 1
2 2 2
a x b y ca x b y c
di mana a1, b
1, c
1, a
2, b
2, c
2R
2. Penyelesaian SPL ada empat cara, yaitu:
Metode grafik: dilakukan dengan menggambar
grafik dari SPL
Metode substitusi: dilakukan dengan
mensubstitusi salah satu peubah
Metode eliminasi: salah-satu variabelnya
dihilangkan dengan cara menjumlahkan atau
mengurangkan kedua persamaan linier
Gabungan metode eliminasi dan substitusi
3. Bentuk umum SPL tiga variabel
a1x b
1y c
1z d
1
a2x b
2y c
2z d
2
a3x b
3y c
3z d
3
di mana a1, a
2, a
3, b
1, b
2, b
3, d
1, d
2, d
3, R
1. Bentuk Umum Sistem Persamaan Linier-Kuadrat
y px q … Persamaan liniery ax2 bx c … Persamaan kuadrat
2. Menentukan banyaknya penyelesaian SPL dan
sistem persamaan kuadrat (SPK) adalah sebagai
berikut:
Jika garis memotong parabola, maka sistem
persamaan memiliki dua persamaan.
SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN KUADRAT3
A. Persamaan Kuadrat
B. Sistem Persamaan Non-Linier
SPL
SPK
y
x
SPK
SPL
y
x
ySPL
SPKx
Bentuk umum sistem persamaan kuadrat dua variabel
2
2
y ax bx c
y px qx r
dengan a, b, c, p, q, r R
C. Sistem Persamaan Kuadrat
Jika garis menyinggung parabola, maka sistem
persamaan memiliki satu penyelesaian.
Jika garis tidak menyinggung parabola, maka
persamaan linier-kuadrat tidak memiliki
penyelesaian.
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir 11
1. Jika pembilang dari suatu pecahan ditambah 2
dan penyebutnya ditambah 1 akan diperoleh hasil
bagi sama dengan 12
. Jika pembilang ditambah 1
dan penyebut dikurangi 2, diperoleh hasil bagi sama
dengan 35
. Pecahan yang dimaksud adalah . . . .
A.2
3D.
2
7
B.6
21E.
3
4
C.8
12
Jawab:
Misalkan pecahan tersebut adalah ab
Pembilang 2 1
Penyebut 1 2
2 1
1 2
2( 2) 1
2 4 1
2 3 .... (1)
ab
a ba b
b a
Pembilang 1 3
Penyebut 2 5
1
2
ab
3
55(a 1) 3(b 2)
5a 5 3b 6
3b 5a 11 .... (2)
Substitusi Persamaan (1) ke Persamaan (2)
3(2a 3) 5a 11
6a 9 5a 11
6a 5a 11 9
a 2
Substitusi nilai a ke Persamaan (1) atau
Persamaan (2). Misalkan ke Persamaan (2)
3b 5a 11
3b 5(2) 11
3b 10 11
3b 21
b 7
Jadi, pecahan tersebut adalah 27 . Kunci: D
2. Jika x dan y memenuhi persamaan
2 1 1 21 dan 8
x y x y
maka1
x y . . . .
A. 32
D. 5
B. 56
E. 6
C. 65
Jawab:
Misalkan:1 1
dana bx y
2a b 1 1 2a b 11
a 2b 8 2 2a 4b 16
5b 15
b 3
2a b 1
2a 3 1
2a 4
a 2
Sehingga diperoleh
1 12 2
2
1 13 3
3
a xx
b yy
Jadi,11 162 3
1 1 16
x y. Kunci: E
3. Himpunan penyelesaian sistem persamaan
73 2
36
4 2 2
16 4 3
x y z
x y z
x y z
adalah {x, y, z}. Nilai x y z . . . .
A. 7 D. 7
B. 5 E. 13
C. 1
SoalSoalContohContoh
12 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
Jawab:
7 ...... (1)3 2
36 ...... (2)
4 2 2
1 ...... (3)6 4 3
x y z
x y z
x y z
Eliminasi y pada Persamaan (1) dan
Persamaan (2).
3 2
3
4 2 2
32
3 14 2 2
5 54 2
7 3
6 1
3 21
6
15 .... (4)
yx
yx z
x
z
x y z
y z
x z
Eliminasi y pada Persamaan (2) dan
Persamaan (3).
34 2 2
6 4 3
34 2 2
32
3 54 2
6 1
1 6
6
2 6
12
x z
yx Z
x z
y
y
x y z
x z
.... (5)
Eliminasi z pada Persamaan (4) dan
Persamaan (5).
5 54 2
3 54 2
24
15
12
3
2 12
6
x z
x z
x
xx
Substitusi nilai x ke Persamaan (4) atau (5).
Misalkan ke Persamaan (5).
3 54 2
18 54 2
5 302 4
(6) 12
12
20 60
3
z
z
z
zz
Substitusi nilai x dan z ke salah satu
persamaan. Misalkan Persamaan (1).
73 2
6( 3) 7
3 2
7 3 22
22
4
x y z
y
y
y
yJadi, x y z 6 4 3 5. Kunci: B
4. Dua buah mobil menempuh jarak 450 km.
Kecepatan mobil kedua setiap jamnya 15 km
lebihnya daripada kecepatan mobil pertama. Jika
waktu perjalanan mobil kedua 1 jam lebih cepat
dari waktu perjalanan mobil pertama, maka rata-
rata kecepatan kedua mobil tersebut adalah . . . .
A. 97,5 km/jam D. 85 km/jam
B. 92,5 km/jam E. 82,5 km/jam
C. 87,5 km/jam
Jawab:Misalkan:
Jarak yang ditempuh mobil 1 s1
Jarak yang ditempuh mobil 2 s2
Kecepatan mobil 1 v1
Kecepatan mobil 2 v2
Waktu perjalanan mobil 1 t1
Waktu perjalanan mobil 2 t2
Diketahui:
s1
s2
450
v1
xv
2v
1 15 v
2x 15
t1
tt2
t1
1
t1
1
1
450sv x
t2
t1
1 2
2
sv
4501
x450
15x
450 xx
450
15x
(450 )(x 15) 450x450x 6.750 x2 15x 450x
x2 15x 6.750 0
x2 15x 6.750 0
(x 90)(x 75) 0
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir 13
x 90 0 atau x 75 0
x 90 x 75
(tidak memenuhi)
v1
x 75
v2
v1
15 75 15 90
vrata-rata
1 2 75 90
2 2
v v
82,5 Kunci: E
5. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
2 2 5
4
y x x
y x
adalah . . . .
A. {(5, 20), (1, 4)}
B. {( 5, 20), ( 1, 4)}
C. {(5, 20), (1, 4)}
D. {( 5, 20), ( 1, 4)}
E. {(5, 20), ( 1, 4)}
Jawab:y x2 2x 5 ..... (1)
y 4x ..... (2)
Substitusi Persamaan (2) ke Persamaan (1)
4x x2 2x 5
x2 6x 5 0
(x 5)(x 1) 0
x 5 0 atau x 1 0
x 5 x 1
• Untuk x 5 y 4x 4(5) 20
• Untuk x 1 y 4x 4(1) 4
HP: {(5, 20), (1, 4)} Kunci: C
1. Himpunan penyelesaian sistem persamaan
6 3 21
7 4 2
x y
x y
adalah {(x0, y
0)}. Nilai 6x
0y
0 . . . .
A.1
6D. 6
B.1
5E. 36
C. 1
2. Seorang ayah membagikan uang sebesar
Rp100.000,00 kepada 4 orang anaknya. Makin
muda usia anak makin kecil uang yang diterima.
Jika selisih yang diterima oleh setiap dua anak
yang usianya berdekatan adalah Rp5.000,00 dan
si sulung menerima uang paling banyak, maka
jumlah yang diterima oleh si bungsu adalah . . . .
A. Rp15.000,00 D. Rp22.500,00
B. Rp17.500,00 E. Rp25.000,00
C. Rp20.000,00
3. Hani dan Yasmin berbelanja di suatu pasar. Hani
membayar Rp853.000,00 untuk empat barang I
dan tiga barang II. Sedangkan Yasmin membayar
Rp1.022.000,00 untuk tiga barang I dan lima barang
II. Harga barang I adalah . . . .
A. Rp109.000,00 D. Rp106.000,00
B. Rp108.000,00 E. Rp105.000,00
C. Rp107.000,00
4. Jika x dan y memenuhi sistem persamaan
2 1
x y 1 dan 1 2
8,x y maka
1
x y . . . .
A.3
2D. 5
B. 5
6E. 6
C.6
5
Bentuk soal yang sering keluar adalahseperti soal nomor 1 dan 4. Setiap tahunsoal tentang sistem persamaan linierselalu keluar minimal 1 soal.
Analisis
Pelajari cara menyelesaikan sistempersamaan linier dengan dua dan tigavariabel.
Soal-SoalSoal-Soal Ujian NasionalUjian Nasional
14 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
1. Pertidaksamaan linier adalah pertidaksamaan
dengan pangkat tertinggi dari variabelnya satu.
2. Sifat-sifat untuk menyelesaikan pertidaksamaan
linier
a. Sifat-sifat untuk menyelesaikan pertidak-
samaan adalah
x y x z y z dan x z y z
x y x z y z dan x z y z
b. Sifat perkalian dan pembagian dengan bilangan
positif
x y dan z 0 xz yz dan x yz z
x y dan z 0 xz yz dan x yz z
Bentuk umum pertidaksamaan bentuk akar
f g
dengan syarat terdefinisi f 0 dan g 0
PERTIDAKSAMAAN4
A. Pertidaksamaan Linier
B. Pertidaksamaan Kuadrat
Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat
ax2 bx c 0 atau ax2 bx c 0
ax2 bx c 0 atau ax2 bx c 0
di mana a, b, c R
C. Pertidaksamaan Pecahan
Pertidaksamaan pecahan merupakan pertidaksamaan
yang memuat variabel pada penyebutnya.
Misalkan:
2
2
2
2
0 atau
0
ax cax bx c
ax bx cx bx c
D. Pertidaksamaan Bentuk Akar
E. Pertidaksamaan Bentuk Nilai Mutlak
1. Definisi nilai mutlak dari suatu bilangan real xadalah
, jika 0| |
, jika 0
x xx
x x
2. Sifat-sifat nilai mutlak
2| |p p
|p q| |p| |q|
| | | || |pq p q
|x| p p x p
, 0p p qq q
|x| p x p atau x p
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir 15
1. Perhatikan gambar! Untuk 6 x2 5x 6
6 x2 5x 6
x2 5 6
x2 5x 6 0
(x 6)(x 1) 0
HP: { 6 x 3 atau 2 x 1} Kunci: C
3. Nilai-nilai yang memenuhi pertidaksamaan
|x 2|2 4 |x 2| 12 adalah . . . .
A. 4 x 8
B. x 8 atau 4
C. x 2 atau x 2
D. 2 x 2
E. x 8 atau x 2
Jawab:|x 2|2 4 |x 2| 12 Misalkan |x 2| p
p2 4p 12
p2 4p 12 0
(p 6)(p 2) 0
p 6
Nilai minimum f(x, y) 2x 3yUntuk (x, y) di daerah yang diarsir adalah . . . .
A. 10 D. 13
B. 11 E. 14
C. 12
Jawab:Perhatikan titik pojok dari daerah yang diarsir
Titik Pojok f(x, y) 2x 3yA(0, 4) 2(0) 3(4) 12
B(2, 2) 2(2) 3(2) 10
C(5, 5) 2(5) 3(5) 25
Jadi, nilai minimum adalah 10.
Kunci: A
2. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
|x2 5x| 6 adalah . . . .
A. {x| 6 x 1}
B. {x| 3 x 2}
C. {x| 6 x 3 atau 2 x 1}
D. {x| 6 x 5 atau 0 x 1}
E. {x| 5 x 3 atau 2 x 0}
Jawab:Untuk |x2 5x| 6
|x2 5x| 6
x2 5 6
x2 5x 6 0
(x 3)(x 2) 0
3 2
6 1
6 3 2 1
2 6
4 8
Untuk p 2 x 2 2
x 0 (tidak memenuhi)
Untuk p 6 |x 2| 6
6x 2 6
x 2 6 atau x 2 6
x 8 x 4
HP: {x | x 8 atau x 4} Kunci: B
SoalSoalContohContoh
x
y
C
B
A
5
4
2
O 2 4 5
16 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
4. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
1 2 6x x adalah . . . .
A.5
3x D.
53
3x
B.5
3x E. 3 x 1
C.5
13
x
Jawab:
1 x 2 6x1 x 2x 6
3x 5
x 53
syarat: • 1 x 0
x 0 1
x 1
• 2x 6 0
2x 6
x 3
5. 2 2
3 5
3 2 4 3x x x xberlaku untuk . . . .
A. 12
x D. 12
3x
B. x 2 E. 2 x 3
C. x 3
Jawab:
2 2
3 5
3 2 4 3x x x x3(x2 4x 3) 5(x2 3x 2)
3x2 12x 9 5x2 15x 10
2x2 3 1 0
2x2 3x 1 0
(2x 1)(x 1) 0
Syarat: • x2 3x 2 0
(x 2)(x 1) 0
x 2 atau x 1
35
31
HP:53
| 1x x Kunci: C
12
1
1 2
2 3
12
1
1 2
3
• x2 4x 3 0
(x 3)(x 1) 0
x 3 atau x 1
HP: {x| x 3} Kunci: C
1. Nilai minimum fungsi objektif 5x 10y pada
himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan
yang grafik himpunan penyelesaiannya disajikan
seperti daerah yang diarsir pada gambar di bawah
adalah . . . .
A. 400 D. 200
B. 320 E. 160
C. 240
2. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
6,x x x R adalah . . . .
A. {x| 2 x 3, x R}
B. {x|x 3 atau x 2, x R}
C. {x| 6 x 2 atau x 3, x R}
D. {x|x 2 atau x 3, x R}
E. {x|x 3, x R}
y
32
24
16
O 16 24 36 48x
Soal-SoalSoal-Soal Ujian NasionalUjian Nasional
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir 17
3. Daerah yang
diarsir pada
gambar di sam-
ping adalah him-
punan (x, y) yang
memenuhi . . . .
A. 2x y 30, 3x 4y 60, x 0, y 0
B. 2x y 30, 3x 4y 60, x 0, y 0
C. x 2y 30, 4x 3y 60, x 0, y 0
D. x 2y 30, 4x 3y 60, x 0, y 0
E. 2x y 30, 4x 4y 60, x 0, y 0
4. Nilai maksimum dari f(x, y) 4x 28y yang
memenuhi syarat 5x 3y 34, 3x 5y 30,
x 0, y 0 adalah . . . .
A. 104 D. 208
B. 152 E. 250
C. 168
5. Diketahui sistem pertidaksamaan x 0, y 0,
x + y 12 dan x + 2y 16. Nilai maksimum dari
(2x + 5y) adalah . . . .
A. 12 D. 40
B. 24 E. 52
C. 36
y30
15
O 15 20x
LOGIKA MATEMATIKA5
1. Pernyataan adalah kalimat tertutup yang memiliki
nilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak
sekaligus benar dan salah.
2. Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum pasti
nilai kebenarannya karena memuat variabel.
3. Ingkaran atau negasi suatupernyataan p adalah
pernyataan ~p yang bernilai
benar jika p bernilai salah dan
bernilai salah jika p bernilai
benar.
A. Pernyataan Kalimat terbuka,
dan Ingkaran
p ~q
B SS B
1. Konjungsi bernilai benar jika dan hanya jika
pernyataan-pernyataan tunggalnya bernilai benar.
B. Konjungsi dan Disjungsi
p q p q
B B BB S SS B SS S S
Pelajari cara menentukan penyelesaianpertidaksamaan.
Soal tentang pertidaksamaan keluarpada tahun 2001, 2002, dan 2005. Tetapitidak keluar pada tahun 2000, 2003, dan2004.
Analisis
18 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
2. Disjungsi terdiri dari:
Disjungsi inklusif bernilai benar jika kedua
pernyataan bernilai benar atau salah satu
pernyataan tunggalnya bernilai benar.
p q p q
B B BB S BS B BS S S
Disjungsi eksklusif bernilai benar hanya jika
salah satu pernyataan tunggalnya bernilai
benar.
p q p q
B B SB S BS B BS S S
1. Suatu implikasi bernilai salah hanya jika hipotesa
bernilai benar dan konklusi salah.
C. Implikasi dan Bimpikasi
p q p q
B B BB S SS B SS S B
p q p q
B B BB S SS B BS S B
2. Suatu biimplikasi p q bernilai benar jika
pernyataan p dan q memiliki nilai kebenaran yang
sama.
D. Pernyataan Majemuk
1. Pernyataan majemuk yang ekuivalen
q p disebut konvers dari implikasi p qp q disebut invers dari implikasi p qq p disebut kontraposisi implikasi p q
p q q p artinya implikasi ekuivalen
dengan kontraposisi
q p p q artinya konvers dari implikasi
ekuivalen dengan invers dari impliksi tersebut
2. Ingkaran dari pernyataan majemuk
(p q) p q artinya ingkaran dari
p q adalah p q(p q) (p q) (q p) artinya
ingkaran dari adalah p q adalah
(p q) (q p)
(p q) p q artinya ingkaran dari
p q adalah p q(p q) p q artinya ingkaran dari
p q adalah p q
Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang
melibatkan semua atau beberapa anggota semesta
mewakili suatu keadaan.
1. Ingkaran pernyataan berkuantor eksistensial adalah
pernyataan berkuantor universal dengan kalimat
terbukanya menjadi ingkaran. Dinotasikan dengan,
[ x M(x)] x[ M(x)]
di mana Exist Ada dan All Semua
Untuk setiap
2. Ingkaran pernyataan berkuantor universal adalah
pernyataan berkuantor eksistensial dengan kalimat
terbukanya menjadi ingkaran. Dinotasikan dengan,
[ x M(x)] x[ M(x)]
p q p q q p p q q pp q Ingkaran Implikasi Konvers Invers Kontraposisi
B B S S B B B B
B S S B S B B S
S B B S B S S B
S S B B B B B B
E. Pernyataan Berkuantor dan
Ingkarannya
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir 19
1. Modus ponens
Premis 1 : p qPremis 2 : p–––––––––––––––––––
Konklusi : q
2. Modus tollens
Premis 1 : p qPremis 2 : q–––––––––––––––––––
Konklusi : p3. Silogisme
Premis 1 : p qPremis 2 : q r–––––––––––––––––––––––
Konklusi : p r
F. Pernyataan Majemuk
1. Perhatikan kalimat “semua pemain basket berbadan
tinggi”. Negasi kalimat ini adalah . . . .
A. Tidak ada pemain basket yang berbadan tinggi.
B. Beberapa pemain basket berbadan tinggi.
C. Semua pemain basket berbadan pendek.
D. Beberapa pemain basket berbadan pendek.
E. Tidak ada pemain basket yang berbadan
pendek.
Jawab:Negasi dari ”semua pemain basket berbadan tinggi”
adalah ”Beberapa pemain basket berbadan pendek”.
Kunci: D2. Invers dari pernyataan (p q) p adalah . . . .
A. p (p q) D. ( p q) pB. p (p q) E. (p q) pC. ( p q) p
Jawab:(p q) p(p ~q) p( p q) p Kunci: D
3. Ingkaran dan pernyataan “Semua peserta UMPTN
ingin masuk perguruan tinggi negeri” adalh . . . .
A. Semua pesera UMPTN tidak ingin masuk
perguruan tinggi negeri.
B. Tidak ada peserta UMPTN ingin masuk
perguruan tinggi negeri.
C. Ada peserta UMPTN ingin masuk perguruan
tinggi negeri.
D. Ada peserta UMPTN tidak ingin masuk
perguruan tinggi negeri.
E. Tidak ada peserta UMPTN tidak ingin masuk
perguruan tinggi negeri.
Jawab:Ingkaran dari “Semua peserta UMPTN ingin masuk
perguruan tinggi negeri” adalah ada peserta UMPTN
tidak ingin masuk perguruan tinggi negeri.
Kunci: D4. Kontraposisi dari pernyataan: “Jika sudut di
kuadran I makin besar, maka nilai tangennya makin
besar” adalah . . . .
A. Jika nilai tangen makin besar maka sudut di
kuadran I makin besar
B. Jika nilai tangen makin kecil maka sudut di
kuadran I makin besar
C. Jika nilai tangen makin kecil maka sudut di
kuadran I makin besar
D. Jika nilai tangen makin besar maka sudut di
kuadran I makin kecil
E. Jika sudut di kuadran I makin kecil maka
tengennya makin kecil
Jawab:Misal: P : sudut di kuadran I makin besar
q : nilai tangen makin besar.
Dari pernyataan : p qKontraposisi : q pJadi, jika nilai tangen makin kecil maka sudut di
kuadran I makin kecil.
Kunci: E5. Pernyataan ( p q) (p q) ekuivalen dengan
pernyataan . . . .
A. p q D. p qB. p q E. p qC. p q
Jawab:
I N G A Tp q ( p q ) (p q)
Kunci: E
SoalSoalContohContoh
20 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
6. Jika pernyataan p bernilai benar dan q bernilai
salah, maka pernyataan di bawah ini yang bernilai
salah adalah . . . .
A. q p D. p qB. p q E. p qC. q p
Jawab:
p q p q q p p q q p
B S S B B B B
p q p q p q p q
B S S B S B
Kunci: D
1. Kontraposisi dari pernyataan majemuk
p (p q) adalah . . . .
A. (p q) pB. ( p q) pC. (p q) pD. ( p q) pE. (p q) p
2. Diketahui Premis I : p qPremis II : q r––––––––––––––––––––––
p rKesimpulan tersebut merupakan . . . .
A. konvers D. modus tollens
B. kontraposisi E. silogisme
C. modus ponens
3. Penarikan kesimpulan yang sah dari argumentasi:
p qq r––––––––––
. . .
adalah . . . .
A. p r D. p rB. p r E. p rC. p r
4. Penarikan kesimpulan dari premis-premis:
p qq
–––––––––. . .
adalah . . . .
A. p D. (p q)
B. p E. qC. q
5. Negasi dari pernyataan: ’’Jika ulangan dibatalkan,maka semua murid bersuka ria’’ adalah . . . .
A. Ulangan dibatalkan dan semua murid tidak
bersuka ria
B. Ulangan tidak dibatalkan dan ada murid
bersuka ria
C. Ulangan tidak dibatalkan dan semua murid
bersuka ria
D. Ulangan dibatalkan dan ada murid tidak
bersuka ria
E. Ulangan tidak dibatalkan dan semua murid
tidak bersuka ria
6. Negasi dari pernyataan: “Ani cantik tetapi tidak
pandai” adalah . . . .
A. Ani tidak cantik dan tidak pandai
B. Ani cantik dan pandai
C. Ani tidak cantik atau tidak pandai
D. Ani tidak cantik atau pandai
E. Ani cantik atau pandai
7. Argumentasi yang sah adalah . . . .
A. p q D. p qp q p
p qB. p q E. p q
p p qq q
C. p qqp
8. Ingkaran dari pernyataan: “Seorang siswa dinyatakanlulus ujian apabila semua nilai ujiannya tidak kurangdari 4,25” adalah . . . .
A. Seorang siswa dinyatakan lulus ujian apabila
ada nilai ujiannya kurang dari 4,25.
B. Seorang siswa dinyatakan tidak lulus ujian apabila
ada nilai ujiannya yang tidak kurang dari 4,25.
Soal-SoalSoal-Soal Ujian NasionalUjian Nasional
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir 21
C. Seorang siswa lulus nilai ujiannya di atas 4,25.
D. Seorang siswa tidak lulus atau tidak mendapat
nilai 4,25.
E. semua nilai ujian seorang siswa tidak kurang
dari 4,25 tetapi ia tidak lulus.
9. Negasi dari pernyataan majemuk p (q r)adalah . . . .
A. (r q) p D. p ( q r)B. (q r) p E. p ( q r)C. p (q p)
10. Ingkaran dari pernyataan
”Jika Fathin mendapat nilai 10 maka ia diberi
hadiah” adalah . . . .
A. Jika Fathin tidak mendapat nilai 10, maka ia
tidak diberi hadiah
B. Jika Fathin diberi hadiah, maka ia mendapat
nilai 10
C. Fathin mendapat nilai 10 tetapi ia tidak diberi
hadiah
D. Fathin mendapat nilai 10 dan ia diberi hadiah.
E. Jika Fathin tidak diberi hadiah maka ia tidak
mendapat nilai 10
11. Argumen mana yang valid (sah)
(i) Premis 1 : p (q r)Premis 2 : p–––––––––––––––––––––––––––––Konklusi : q r
(ii) Premis 1 : q rpPremis 2 : p–––––––––––––––––––––––––––––Konklusi : rq
(iii) Premis 1 : (p q) rPremis 2 : r (p q)–––––––––––––––––––––––––––––Konklusi : (p q) (p q)
A. (i) dan (ii) D. (i) dan (iii)
B. (i) E. (i) (ii) dan (iii)
C. (ii) dan (iii)
12. Ingkaran dari pernyataan: ”Semua peserta ujianberdoa sebelum mengerjakan soal” adalah . . . .
A. Semua peserta ujian tidak berdoa sebelum
mengerjakan soal.
B. Beberapa peserta ujian berdoa sebelum
mengerjakan soal.
C. Beberapa peserta ujian tidak berdoa sebelum
mengerjakan soal.
D. Semua peserta ujian berdoa sesudah
mengerjakan soal.
E. Beberapa peserta ujian berdoa sesudah
mengerjakan soal.
13. Kesimpulan dari tiga premis
p qr q
r. . .
adalah . . . .
A. p D. p qB. q E. r rC. q
14. Pernyataan p q ekuivalen dengan per-
nyataan . . . .
A. p q D. p qB. p q E. p qC. p q
15. Diberikan empat pernyataan p, q, r, dan s. Jika
pernyatan berikut benar
p qq rr sdan s pernyataan yang salah, maka di antara
pernyataan berikut yang salah adalah . . . .
A. p D. p rB. r E. p rC. q
Soal tentang trigonometri paling banyakkeluar dalam ujian nasional. Tahun 2000sebanyak 5 soal, tahun 2001 sebanyak 7soal, tahun 2002-2003 sebnayak 4 soal,tahun 2004 sebanyak 6 soal.
AnalisisPahami aturan sinus dan cosinus. Ingatkembali rumus penjumlahan dan selisihdua sudut begitu juga denganpenjumlahan dan selisih sinus dancosinus.
22 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
1. Perbandingan trigonometri dari suatu sudut
segitiga siku-siku di B
sin
cos
tan
yCrxCryCx
Secara umum didefinisikan
Sisi di hadapan sudutsin
Sisi terpanjang
di mana adalah sudut yang ditanyakan
Sudut-sudut istimewa dalam trigonometri adalah
sudut yang besarnya 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90°
2. Cotangen, secan, dan cosecan
• Cotangen biasa disingkat dengan “cot”
cot1 cos
tan sin
A xCC A y dengan tan
C 0, dan sin c 0
• Secan biasa disingkat ”sec”
Sec1
cos
rCC x
dengan cos C 0
• Cosecan biasa disingkat dengan “cosec”
cosec1
sin
rCC y
dengan sin C 0
Fungsi Sudut
Trigonometri 0° 30° 45° 60° 90°
Sinus 012
12
2 12
3 1
Kosinus 112
3 12
2 12
0
Tangen 013
3 1 3Cotangen 3 1
13
3 0
Secan 123
3 2 2
Cosecan 2 223
3 1
TRIGONOMETRI6
A. Rumus-Rumus Trignometri
I N G A T• sec2 C tan2 C 1
• cosec2 C cot2 C 1
1. Relasi di Kuadran I (semua bernilai positif)
sin (90° ) cos
cos (90° ) sin
tan (90° ) tan
2. Relasi di Kuadran II (sinus bernilai positif)
sin (180° ) sin
cos (180° ) cos
tan (180° ) tan
3. Relasi di Kuadran III (tangen bernilai positif)
sin (180° ) sin
cos (180° ) cos
tan (180° ) tan
4. Relasi di Kuadran IV (cosinus bernilai positif)
sin (360° ) sin
cos (260° ) cos
tan (360° ) tan
B x C
y r
A
B. Perbandingan Trignometri
Sudut-sudut Istimewa
C. Perbandingan Trigonometri
Sudut Berelasi
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir 23
1. Aturan sinus
sin sin sin
a b cA B C
2. Aturan cosinus
a2 b2 c2 2bc cos A2 2 2
cos2
b c aAbc
b2 a2 c2 2ac cos B2 2 2
cos2
b c bBac
c2 a2 b2 2ac cos C2 2 2
cos2
a b cCab
3. Luas segitiga sembarang
L 12
alas tinggi
Jika tinggi segitiga tidak diketahui,
pergunakanlah rumus berikut.
L 12
· c · b · sin A
L 12
· a · c · sin B
L 12
· a · b · sin C
1. Cara cepat mengingat tanda positif ( ) dan
negatif ( )
: Semua sin tan cos
I II III IV
2. Sudut berelasi lainnya
sin (90° ) cos
cos (90° ) sin
tan (90° ) cot
sin (270° ) cos
cos (270° ) sin
tan (270° ) cot
sin (270° ) cos
cos (270° ) sin
tan (270° ) cot
sin ( ) sin
cos ( ) cos
tan ( ) tan
I N G A T
D. Aturan Sinus, Cosinus, dan Luas
Segitiga
E. Rumus Penjumlahan dan Selisih
Dua Sudut
F. Rumus Trigonometri Sudut Ganda
atau Rangkap
1. cos 2 cos2 sin2
1 2 sin2
2 cos2 1
2. sin 2 2 sin cos
3. 2
2 tantan 2
1 tan
4. 12
1 coscos
2
5. 12
1 cossin
2
6.12
1 costan
1 cos
C
ab t
A D Bc
1. cos ( ) cos cos sin sin
2. cos ( ) cos cos sin sin
3. sin ( ) sin cos cos sin
4. sin ( ) sin cos cos sin
5. tan ( )tan tan
1 tan tan
6. tan ( )tan tan
1 tan tan
A c B
b a
C
24 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
1. 2 sin cos sin ( ) sin ( )
2. 2 cos sin sin ( ) sin ( )
3. 2 cos cos cos ( ) cos ( )
4. 2 sin sin cos ( ) cos ( )
1. sin P sin Q 2 sin cos2 2
P Q P Q
2. sin P sin Q 2 cos sin2 2
P Q P Q
3. cos P cos Q 2 cos cos2 2
P Q P Q
4. cos P cos Q 2 sin sin2 2
P Q P Q
G. Rumus Trigonometri untuk Hasil
Kali Sinus dan Cosinus
H. Rumus Jumlah dan Selisih Sinus
dan Cosinus
1. Dalam segitiga ABC, a, b, dan c adalah sudut-
sudutnya. Jika tan a 34
dan tan b 43
, maka
sin c . . . .
A. 1 D.24
25
B.24
25E. 1
C.7
25
Jawab:a b c 180° c 180° (a b)
sin c sin (180° (a b)) sin(a b)
sin a · cos b cos a · sin b3 3 44 5 5
34 43 5 5
tan sin , cos
tan sin , cos
a a a
b b b
sehingga:
3 3 4 45 5 5 5
9 16 2525 25 25
sin
1
c
Kunci: E
2. Pada suatu segitiga ABC yang siku-siku di C, dike-
tahui bahwa sin A sin B 25
dan sin (A B) 5a.
Nilai a adalah . . . .
A. 15
D. 53
B. 325
E. 35
C. 125
Jawab:A B 90°
sin (A B) 5acos2 (A B) 1 sin2 (A B)
1 (5a)2
1 25a2
cos (A B) 21 25a
sin A sin B 25
2 sin A sin B 45
cos (A B) cos (A B) 45
21 25a cos 90° 45
21 25a 0 45
Kedua ruas dikuadratkan sehingga diperoleh,
1 25a2 1625
25a2 925
a22
9
25
a 325
Kunci: B
3. Untuk 0° x 360°, himpunan penyelesaian
2 sin 2x 1 adalah . . . .
A. {x|30° x 15°}
B. {x|x 45°} {x|x 225°}
C. {x|15° x 75°} {x|195° x 225°}
D. {x|75° x 195°}
E. {x|15° x 75°}
Jawab:2 sin 2x 1
sin 2x 12
sin 2x sin 30°
sin 150°
SoalSoalContohContoh
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir 25
2x 30° k · 360°
2x 15° k · 180°
2x 150° k · 360°
2x 75° k · 180°
HP {x 15° x 75°} {195° x 225°}
Kunci: C
4. Bentuk 3 cos x sin x, untuk 0 x 2 dapat
dinyatakan sebagai . . . .
A. 2 cos6
x D.7
2 cos6
x
B.11
2 cos6
x E. 2 cos6
x
C.11
2 cos6
x
Jawab:
Misalkan 3 cos x sin x r cos (x )
22 2 23 ( 1) 3 1 2r a b
tan1
3
ba
Nilai tan yang bernilai negatif berada di Kuadran II
dan Kuadran IV.
Sehingga:
tan (tan 30°) tan 150° (tan 210°)
tan 330°
5 7 11
6 6 6 6
Jadi, 3 cos sin 2 cos6
72 cos
6
x x x
x
Kunci: A
5. Jika dan sudut lancip, cos ( ) 12
3 dan
cos cos 12
, maka cos( )
cos( ) . . . .
A. 2 3 D. 12
1 3
B. 13
1 3 E. 23
3 1
C. 3 2 3
Jawab:2 cos cos cos ( ) cos ( )
2 · 12 cos ( ) cos ( )
1 cos ( ) cos ( )
cos ( ) 1 cos ( )
cos( )
cos( )
1 cos( )
cos( )
12
1 32 2
1 3 11
3
23
3 1 Kunci: E
6. f(x) cos x 3 sin x 3 mempunyai nilai mak-
simum m dan minimum n maka nilai mn . . . .
A. 8 D. 2
B. 5 E. 2
C. 5
Jawab:f(x) y cos x 3 sin x 3
a 1, b 3, c 3
ymaksimum
2 2a b c
221 3 3
1 3 3
4 3
2 3 5
ymaksimum
m 5
yminimum
221 3 3
1 3 3
2 3
1
yminimum
n 1
Nilai mn 5 · 1 = 5
Kunci: B
7.2
3
6
2
3
5
3
2
Persamaan grafik fungsi trigonometri pada gambar
di atas adalah . . . .
26 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
A. y sin 23
x
B. y cos 26
x
C. y 2 cos 3
x
D. y 2 sin 3
x
E. y 2 cos 6
x
Jawab:Grafik tersebut berbentuk fungsi cosinus dengan
A 2. Jadi dapat ditulis:
y A cos (kx )y 2 cos (kx )
• Untuk x 0, y 3
3 2 cos (0
cos1
23
6
• k2
21 (Dari grafik, 2 gelombang 2 )
Jadi fungsinya:
y 2 cos 16
x
y 2 cos 6
x
Kunci: D
1. Luas segitiga ABC adalah (3 2 3) cm2. Panjang
sisi AB (6 2 3) dan BC 7 cm. Nilai
sin (A C) adalah . . . .
A.1
7D.
7
6 4 3
B. 47
3 E.1 3
7
C.1
2
2. Diketahui sin 810
, 0 90x xNilai cos 3x cos x . . . .
A.18
25D.
6
25
B.84
125E.
12
25
C.42
125
3. Bentuk 2
2 tan
1 tan
xx
ekuivalen dengan . . . .
A. 2 sin x D. cos 2xB. sin 2x E. tan 2xC. 2 cos x
4. Himpunan penyelesaian
3 cos (360 x)° 2 sin2 x° untuk 0 x 360
adalah . . .
A. {60 x 180}
B. {x 60 atau x 180}
C. {0 x 60 atau 300 x 360}
D. {0 x 60 atau 300 x 360}
E. {60 x 180}
5. Batas-batas nilai p agar persamaan
p sin x (p 1) cos x p 2
dapat diselesaikan adalah . . . .
A. p 1 atau p 3
B. p 1 atau p 3
C. p 3 atau p 1
D. 1 p 3
E. 1 p 3
6. Nilai dari cos BAD pada
gambar berikut adalah . . . .
A.17
33D.
30
34
B.17
28E.
33
35
C.3
7
7. Diketahui PQR dengan PQ 6 cm, QR 4 cm,
dan PQR 90°. Jika QS garis bagi PQR, maka
panjang QS . . . .
D
C
A B
36
4
3
Soal-SoalSoal-Soal Ujian NasionalUjian Nasional
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir 27
A. 1210
2 cm D. 56
2 cm
B. 125
2 cm E. 6 2 cm
C. 245
2 cm
8. Diketahui sin a cos a 825
.
1 1Nilaisin cos
. . . .
A.3
25D.
3
5
B.9
25E.
15
8
C.5
8
9. Persamaan fungsi pada gambar grafik di bawah
adalah . . . .
A. 56 6
0, , D. 5 16 6 2
0, , , 1 , 2
B. {0, , 2 } E. 513 6
0, , , , 2
C. 56 6
0, , , , 2
13. Jika panjang sisi-sisi ABC berturut-turut adalah
AB 4 cm, BC 6 cm, dan AC 5 cm,
sedangkan BAC , ABC , dan
BCA , maka sin : sin : sin . . . .
A. 4 : 5 : 6 D. 4 : 6 : 5
B. 5 : 6 : 4 E. 6 : 4 : 5
C. 6 : 5 : 4
14. Diketahui cos (x y) 45
dan sin x sin y 310
.
Nilai tan x tan y . . . .
A.5
3D.
3
5
B.4
3E.
5
3
C.3
5
15. Persamaan grafik fungsi di bawah adalah . . . .
A. y 2 sin (3x 45)°
B. y 2 (3x 45)°
C. y sin (3x 45)°
D. y sin (3x 60)°
E. y 2 cos (3x 45)°
10. Himpunan penyelesaian
sin (x 20°) sin (x 70°) 1 0
untuk 0° x 360° adalah . . . .
A. {x| 0° x 70° atau 160° x 360°}
B. {x| 25° x 70° atau 135° x 160°}
C. {x| x 70° atau x ³ 160°}
D. {x| 70° x 160°}
E. {x| 20° x 110°}
11. Himpunan penyelesaian persamaan
2 3 cos 2x 4 sin x cos x 2
dengan 0 x 2 adalah . . . .
A. 13 5 16 6 4
, , D. 3 5 134 6 12
, ,
B. 3 3 12 4 6
, , E. 3 1374 4 12
, ,
C. 3 1312 4 12
, ,
12. Himpunan penyelesaian cos x sin x 1 0
untuk 0 x 2 adalah . . . .
y
xO
6 3 22
35
6
y
x
1
1 22
O
1
15 75 135 195 255 315 360
45 105 165 225 285 345
A. y 1 sin 3x D. y 1 3 sin x
B. y 1 sin 3x E. y 1 3 sin
3x
C. y sin (3x 3)
16. Jika a sin x b cos x sin (30° x) untuk setiap
x, maka 3a b . . . .
A. 1 D. 2
B. 2 E. 3
C. 1
17. Diketahui segitiga ABC dengan AC 5 cm,
AB 7 cm, dan BCA 120°. Keliling segitiga
ABC . . . .
A. 14 cm D. 17 cm
B. 15 cm E. 18 cm
C. 16 cm
18. Diketahui A adalah sudut lancip
cos12
1
2
xAx . Nilai sin A adalah . . . .
28 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
A.2 1
2
xx
D. 2 1x
B. 2 1
xx E.
1xx
C. 2 1x
19. Persamaan grafik di bawah adalah . . . .
A. y 2 sin (3x 45)°
B. y 2 sin (3x 15)°
C. y 2 sin (3x 45)°
D. y 2 sin (3x 15)°
E. y 2 sin (3x 45)°
24. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
2 sin 2x° 3 0 untuk adalah . . . .
A. {x | 15 x 75 atau 195 x 255}
B. {x | 30 x 60 atau 210 x 240}
C. {x | 60 x 120 atau 240 x 300}
D. {x | 105 x 165 atau 285 x 345}
E. {x | 120 x 150 atau 300 x 330}
25. Nilai x yang memenuhi persamaan
2 cos x° 2 sin x° 2 untuk 0 x 360
adalah . . . .
A. 15 atau 255 D. 105 atau 345
B. 45 atau 315 E. 165 atau 285
C. 75 atau 375
26. Turunan pertama dari fungsi f(x) cos3 2x adalah
f (x) . . . .
A. 6 cos2 2x sin 2x D. 3 cos 2x sin 4xB. 3 cos2 2x sin 2x E. 6 cos 2x sin 4xC. 3 cos 2x sin 4x
27. Diketahui segitiga PQR dengan PQ 12 cm,
PR 8 cm dan QR 4 7 cm. Jika adalah
sudut QPR, nilai tan . . . .
A. 13
3 D. 3
B. 12
3 E. 2 3
C. 23
3
28. Diketahui sin A 35
dan cos B 12
dengan
0° A 90°, 90° B 180°.
Nilai dari cos (90° A B) . . . .
A.4 5 3
10D.
3 8 3
10
B.4 3 3
10E.
3 8 3
10
C.4 3 3
10
29. Persamaan grafik trigonometri pada gambar
adalah . . . .
y
x
2
2O
232
2
2
A. 22 siny x
B. 2sin 2y x
C. 22siny x
D. 2siny x
E. y 2 sin (2x )
20. Himpunan penyelesaian persamaan
sin x° 3 cos x° 2 untuk 0 x 360
adalah . . . .
A. {15, 285} D. {165, 255}
B. {75, 165} E. {195, 285}
C. {105, 195}
21. Pada segitiga ABC diketahui sisi AB 6 cm,
AC 10 cm, dan sudut A 60°. Panjang sisi
BC . . . .
A. 2 19 cm D. 2 29 cm
B. 3 19 cm E. 3 29 cm
C. 4 19 cm
22. Nilai tan 75° tan 15° . . . .
A. 0 D. 2 3
B. 1 E. 4
C. 3
23. Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah . . . .
y
x
2
0 15 45 75 105 135
22
y
x25
643
O
2
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir 29
A. 2 sin6
y x
B. 2 cos6
y x
C. 2sin6
y x
D. 2 cos6
y x
E. 2 cos 26
y x
30. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
cos 4x° 3 sin 2x° 2
untuk 0 x 180 adalah . . . .
A. {x| 15 x 75}
B. {x| 14 x 75}
C. {x| 15 x 45}
D. {x| 15 x 45 atau 135 x 180}
E. {x| 0 x 15 atau 75 x 135}
31. Nilai x yang memiliki persamaan
3 cos x sin x 2
untuk 0° x 360° adalah . . . .
A. 75° dan 285° D. 15° dan 345°
B. 75° dan 345° E. 15° dan 75°
C. 15° dan 285°
32. Diketahui segitiga PQR dengan PQ 103
6 cm,
QR 10 cm dan sudut P 60°. Sudut R . . . .
A. 45° D. 90°
B. 55° E. 105°
C. 75°
33. Diketahui tan p, maka cos 2 . . . .
A. 1 p2 D.
2
2
(1 )
1
pp
B. 2(1 p)2 E.2
2
1
1
pp
C.
2
2
1
(1 )
pp
34. Persamaan grafik pada gambar di bawah ini
adalah . . . .
A. y 2 cos (3x 20)°
B. y 2 cos 2(x 20)°
C. y 2 cos 2(x 20)°
D. y 2 cos 3(x 20)°
E. y 2 cos 3(x 20)°
35. Himpunan penyelesaian dari
2 cos x cos 10° 1 2 sin x sin 10°
untuk 0° x 360° adalah . . . .
A. {0 x 70, 310 x 360}
B. {0 x 60, 300 x 360}
C. {60 x 180, 320 x 360}
D. {0 x 90, 240 x 320}
E. {30 x 120, 245 x 330}
36. Nilai x yang memenuhi persamaan
2 3 sin x 2 cos x 2 3
untuk 0° x 360° adalah . . . .
A. 15 dan 140 D. 60 dan 150
B. 45 dan 150 E. 90 dan 150
C. 30 dan 140
37. Nilai sinus dari sudut C pada gambar berikut
adalah . . . .
D
3
A B4
C
6
60°
2 3
A. 13
3 D.2
3
B. 16
11 E.5
6
C. 15
11
38. Diketahui segitiga ABC dengan sudut A dan B
lancip, sin 12
A dan sin 27
7B .Nilai cos C . . . .
A. 314
21 D. 114
7
B. 514
7 E. 114
21
C. 114
7
39. Persamaan grafik fungsi pada gambar berikut ini
dapat dinyatakan sebagai . . . .
y
x
2
0
2
20 50 110
80
y
x
6
3
0
3
6
30 165
75
120
30 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
A. y 6 sin 2(x 30)°
B. y 6 sin (2x 30)°
C. y 6 cos (2x 30)°
D. y 6 cos 2(x 40)°
E. y 6 cos (x 30)°
40. Turunan pertama f(x)cos
sin tan
xx x adalah f (x).
Nilai 14
. . . .fA. 8 D. 2
B. 4 E. 4
C. 2
41. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
2 cos 2x 3 0 dalam interval xadalah . . . .
A. 11 1 1 1110 10 10 10
| ,x x x
B. 10 101 111 11 11 11
| ,x x x
C. 11 1 1 1112 12 12 12
| ,x x x
D. 12 1 1 1213 13 13 13
| ,x x x
E. 13 131 114 14 14 14
| ,x x x
42. Himpunan penyelesaian persamaan
3 cos x° sin x° 1 0 untuk 0 x 360
adalah . . . .
A. {120, 150} D. {150, 300}
B. {120, 300} E. {180, 300}
C. {150, 270}
43. Segitiga ABC dengan AC BC 6 dan AB 3.
Nilai sin A° . . . .
A.1
15
B.2
15
C. 415
15
D. 215
15
E. 14
15
44. Diketahui tan 23
; 0° 90°
Nilai cos2 2 sin2 2 . . . .
A.5
13D.
119
169
B.7
13E.
131
169
C.81
169
45. Himpunan penyelesaian persamaan
sin (x 210)° sin (x 210)° 12
3
untuk 0° x 360° adalah . . . .
A. {30°, 210°} D. {300°, 330°}
B. {210°, 300°} E. {300°, 360°}
C. {210°, 330°}
46. Grafik fungsi trigonometri di bawah mempunyai
persamaan . . . .
2
1
45 135 225 315 405
A. y cos (x 45)° 1
B. y cos (x 90)° 1
C. y cos (x 90)° 1
D. y sin (x 45)° 1
E. y sin (x 45)° 1
47. Nilai x yang memiliki 2 cos x 2 sin x 2 untuk
0° x 360° adalah . . . .
A. 90° dan 180° D. 180° dan 360°
B. 90° dan 270° E. 270° dan 360°
C. 180° dan 270°
48. Jika sin 3 45 3
dan tan , dan adalah
sudut lancip, maka nilai sin ( ) sin ( )
adalah . . . .
A.9
25D. 1
B.16
25E.
32
25
C.18
25
49. Jika sin x cos x p, maka sin x cos x . . . .
A. 12
( 1)p D.21
2(1 )p
B. 12
(1 )p E.21
2p
C.21
2( 1)p
50. Dalam segitiga ABC diketahui AB 8 cm,
BC 11 cm, dan CA 5 cm. Jika sudut di
hadapan sisi BC, maka 10 sin . . . .
A. 2 21 D. 21
B. 45
E. 2 21
C. 12
21
66
A 3 B
C
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir 31
51. Jika 12
x dan sin 13
x maka
tan x . . . .
A. 2 2 D. 14
2
B. 23
2 E. 34
2
C. 13
2
52. Jika sin x cos x a untuk 0 x 12
, maka
tan 2x . . . .
A. 2(1 )
aa D. 2
2
(1 4 )
aa
B. 2(1 )
aa E. 2a2
C. 2
2
(1 4 )
aa
53. Jika dari segitiga ABC diketahui AC 8,17 cm,
BC 10 cm dan sudut A 60°, maka sudut Cadalah . . . .
A. 105° C. 55°
B. 95° D. 45°
C. 75°
54. Pada ABC diketahui cos (B C) 940
. Jika
panjang AC 10 cm, AB 8 cm, maka panjang
sisi BC . . . .
A. 8 2 cm D. 11 2 cm
B. 9 2 cm E. 12 2 cm
C. 10 2 cm
55. Gambar di bawah adalah grafik fungsi . . . .
A. 2
1
1 t D. 21
tt
B. 2
1
1 t E.2
1
tt
C. 21
tt
57. Nilai x di antara 0° dan 360° yang memenuhi
persamaan 3 cos sin 2x x adalah . . . .
A. 75° dan 285° D. 15° dan 345°
B. 75° dan 345° E. 15° dan 75°
C. 15° dan 285°
58. Jika x memenuhi 2 sin2x 7 sinx 3 0 dan
02
x maka cos x . . . .
A. 13
3 D. 12
2
B. 12
E. 12
3
C. 12
59. Penyelesaian 2 cos 3x° - 1 0
pada 0° x 180° adalah . . . .
A. x° 60°; x 300°
B. x° 60°; 100° x 180°
C. 0° x° 20°; 100° x 140°
D. 20° x° 100°; 140° x 180°
E. 0° x° 20°; 140° x 180°
60. Bentuk 2 cos 6 sinx x dinyatakan ke
dalam bentuk k cos (x ), 0 x 2
adalah . . . .
A. 13
2 2 cos x
B. 76
2 2 cos x
C. 43
2 2 cos x
D. 76
4 2 cos x
E. 43
4 2 cos x
61. Titik-titik sudut segitiga samakaki ABC terletak
pada lingkaran berjari-jari 3 cm. Jika alas
AB 2 3 cm maka tan B . . . .
A. 13
( 2 3) D. 2 2 3
B. 12
( 2 3) E. 3 2 3
C. 2 3
y
4
4
90°
180°
360°
A. y sin 4x D. y sin x 4
B. y 4 sin x E. y sin x 4
C.14
siny x
56. Jika2
2tan
1
tt
(sudut lancip), maka
cos 12
sama dengan . . . .
32 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
62. Jika adalah sudut lancip yang memenuhi
4tan 2 0tan
, maka cos . . . .
A. 12
2
B. 15
5
C. 13
3
D. 12
6
E.1
3 6
Soal tentang trigonometri paling banyakkeluar dalam ujian nasional. Tahun 2000sebanyak 5 soal, tahun 2001 sebanyak 7soal, tahun 2002-2003 sebanyak 4 soal,tahun 2004 sebanyak 6 soal.
Analisis
DIMENSI TIGA7
A. Menggambarkan Bangun Ruang
1. Bidang gambar adalah bidang datar yang akan
digunakan untuk bangun ruang.
2. Bidang frontal adalah bidang gambar yang sejajar
dengan bidang gambar lain.
3. Bidang ortogonal adalah bidang yang tegak lurus
terhadap bidang frontal.
Bidang ortogonal terdiri atas bidang ortogonal
vertikal dan bidang ortogonal horizontal.
Bidang ortogonal vertikal adalah bidang
ortogonal yang menghadap ke kiri atau ke
kanan.
Bidang ortogonal horizontal adalah bidang
ortogonal yang menghadap ke atas atau ke
bawah.
B. Jarak Dan Sudut
1. Perbandingan proyeksi
Panjang garis ortogonal pada gambar
Panjang garis ortogonal sebenarnya
C. Volume Bangun Ruang
No. Bangun Volume Keterangan
Ruang
1. Prisma Luas alas t t tinggi
2. Tabung r2 t 227
3,14, r jari-jari, t tinggi
3. Limas 13
Luas alas t t tinggi
4. Kerucut21
3r t 22
7 3,14, r jari-jari, t tinggi
5. Bola34
3r 22
7 3,14, r jari-jari
6. Kubus s3 s sisi atau rusuk
7. Balok p l t p panjang, l lebar, t tinggi
2. Sudut surut adalah sudut pada gambar yang
dibentuk oleh garis frontal horizontal arah ke kanan
dengan garis ortogonal arah ke belakang yang
berpotongan.
Pahami aturan sinus dan cosinus. Ingatkembali rumus penjumlahan dan selisihdua sudut begitu juga dengan penjum-lahan dan selisih sinus dan cosinus.
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir 33
1. Rusuk TA, TB, TC pada bidang empat T·ABCsaling tegak lurus pada T.
AB AC 2 2 dan AT 2. Jika adalah sudut
antara bidang ABC dan bidang TBC, maka
tan . . . .
A. 2 D.3
2
B. 3 E.6
2
C.2
2
Jawab:
• Perhatikan ATD!
2tan 2
2
ATTD Kunci: A
2. Bidang V dan W berpotongan tegak lurus
sepanjang garis g. Garis l membentuk sudut 45°
dengan V dan 30° dengan W. Sinus sudut antara
l dan g adalah . . . .
A.1
2D. 1
33
B.2
2E.
2
3
C.3
2
T
2
A C
D
B
2 2
2 2
• AB AC 2 2AT 2
• Rusuk TA TB TCTA bidang TBC maka TA TD
sehingga
ATD siku-siku di T• Perhatikan ATD!
2 2
2 2(2 2) (2)
2
TA TB TB AB AT
TA TC TC 2
• Perhatikan TBC!
2 2 2 2
1 12 2
2 2 2 2
(2 2) 2
BC TB TC
BD BC
• Perhatikan TBD!
2 2 4 2 2TD TB BO
Jawab:• QR // garis g• sudut antara garis l dan g adalah PQR.
• PQR adalah segitiga samasisi
PQR 60°
sin 60° 12
3 Kunci: C
3. Pada limas beraturan T·ABCD, AT 3 2a dan
AB 3a. Luas irisan bidang datar melalui A dan
tegak lurus TC dengan limas adalah . . . .
A. 2 3a D. 26 3a
B. 23 3a E. 26 6a
C. 23 6a
Q R
P
g
V 45°
l
30° W
SoalSoalContohContoh
34 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
Perhatikan TAC!
AC 2 3 2AB a
AC AT CT 3 2aTAC adalah segitiga samasisi
sehingga:
Garis tinggi Garis bagi Garis berat.
Titik H merupakan titik berat.
Sehingga:
TU : HU 2 : 1
FG // DB TH : HU 2 : 3
FG 23
DB 23
3 2 2 2a a
Perhatikan irisan bidang datar (layang-layang)!
1 22 3
6 2 2a a2 23
22 3 3a a
Kunci: B
4. Garis g tegak lurus pada bidang V dan bidang Wmembentuk sudut lancip dengan bidang V. Jika Wmemotong V menurut suatu garis s, maka proyeksi
g pada W . . . .
A. tegak lurus pada VB. tegak lurus dengan sC. bersilang tegak lurus dengan gD. sejajar dengan VE. sejajar dengan s
Jawab:
Jawab:T
E
D C
F
G
A 3a B
U
3 2aH
C
F GH
A
g
V
s
WO
O
P
Garis g bidang W.
Bidang V dan W membentuk sudut
( sudut lancip).
Garis s merupakan garis perpotongan bidang
V dan W.
P merupakan titik tembus garis g pada bidang
V (titik P terletak pada garis g)
Proyeksi titik O pada bidang V adalah O ,
sehingga
garis OO bidang VGaris OO bidang V dan garis s terletak
pada bidang V, maka
garis OO garis sGaris g tegak lurus bidang W dan garis sterletak pada bidang W, maka
garis g garis sSehingga diperoleh:
garis g bidang OO P dan
garis O P pada bidang OO P maka
garis s garis O PO P merupakan proyeksi garis g pada bidang
W tegak lurus dengan s.
Kunci: B
AE TU 2 2TC CF
CF2 12
AC
12
3 2a
32
2a
AE2 2
32
3 2 2a a
2 292
18a a
2 3272 2
6a a
Luas layang-layang AGEF12
diagonal 1 diagonal 2
12
AE FG
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir 35
Jawab:2 2
2 212
232
12
2 2 1 13 3 2 3
2 2
6
6 6
AR AF FR
a a
a
a
AS AR a aKunci: B
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH di mana titik P, Qdan R adalah titik pertengahan rusuk AD, BC, dan
CG. Irisan kubus dengan bidang yang melalui P,
Q, dan R berbentuk . . . .
A. segi empat sembarang
B. segitiga
C. jajargenjang
D. persegi
E. persegi panjang
2. Diketahui T.ABCD limas beraturan. Panjang rusuk
alas 12 cm, dan panjang rusuk tegak 12 2 cm.
Jarak A ke TC adalah . . . .
A. 6 cm D. 8 cm
B. 6 2 cm E. 8 6 cm
C. 6 6 cm
3. Diketahui bidang segi empat beraturan T.ABCDdengan rusuk 4 cm. Titik P pada pertengahan AB.
Sudut antara TP dengan bidang alas adalah .
Nilai tan . . . .
A. 2 2 D. 12
3
B. 23
2 E. 13
3
C. 1
4. Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD.
Panjang rusuk tegak 11 cm dan panjang rusuk
alas 2 2 cm. Sudut antara bidang TAD dan TBCadalah , maka cos . . . .
A. 311
11 D. 12
3
B.5
9E.
8
9
C. 29
14
5. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm.
Jika P titik tengah EH, maka jarak titik P ke garis
CF adalah . . . .
A. 20 cm D. 12 cm
B. 18 cm E. 8 cm
C. 14 cm
6. Pada kubus ABCD.EFGH, adalah sudut antara
bidang ACF dan ABCD. Nilai sin . . . .
A. 14
3 D. 13
3
B. 13
6 E. 12
3
C. 14
2
7. Prisma segi empat beraturan ABCD EFGH dengan
rusak 6 cm dan tinggi prisma 8 cm. Titik potong
diagonal AC dan BD adalah T, jarak titik D dan THsama dengan . . . .
A. 1241
41 cm D. 3641
41 cm
B. 2441
41 cm E. 2 41 cm
C. 3041
41 cm
8. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm.
Jika sudut antara BF dan bidang BEG adalah ,
maka sin . . . .
A. 14
2 D. 12
3
B. 12
2 E. 12
6
C. 13
3
9. Limas beraturan T.ABC dengan panjang rusuk alas
6 cm dan panjang rusuk tegak 9 cm. Nilai sinus
sudut antara bidang TAB dan bidang ABCadalah . . . .
5. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang
rusuk a cm. Jika S merupakan proyeksi titik Cpada bidang AFH, maka jarak titik A ke titik Sadalah . . . .
A. 13
3 cma D. 2 cma
B. 13
6 cma E. 3 cma
C. 23
6 cma
H G
E FD C
A a B
S
2a
R
Ujian NasionalUjian NasionalSoal-SoalSoal-Soal
36 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
A.69
2D.
138
12
B.69
6E.
138
6
C.139
24
10. Perhatikan gambar di bawah!
, danAT AB AC saling tegak lurus di A. Jarak
titik A ke bidang TBC adalah . . . .
A.5 6
cm4
B.5 3
cm3
C.5 2
cm2
D.5 6
cm3
E. 5 2 cm
11. Pada kubus ABCD.EFGH, adalah sudut antara
bidang ADHE dan ACH. Nilai cos . . . .
A. 12
3 D. 13
2
B. 13
3 E. 16
2
C. 16
3
12. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm
dan titik M adalah perpotongan diagonal-diagonal
AC dan BD. Jarak E ke garis GM adalah . . . .
A. 3 2 cm D. 3 6 cm
B. 3 3 cm E. 6 3 cm
C. 4 3 cm
13. Panjang proyeksi garis EG pada bidang BDGdalam kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm
adalah . . . .
A. 2 6 cm D. 6 2 cm
B. 4 3 cm E. 3 10 cm
C. 3 6 cm
14. Pada limas segi empat beraturan T.ABCD semua
rusuknya sama panjang. Sudut antara TA dan
bidang ABCD adalah . . . .
A. 15° D. 60°
B. 30° E. 75°
C. 45°
15. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm.
P adalah titik tengah rusuk HE. Jarak titik P ke
diagonal ruang AG . . . .
A. 3 6 cm D. 3 2 cm
B. 3 5 cm E. 3 cm
C. 3 3 cm
16. Diketahui limas T.ABC, TA TB 5. TC 2,
CA CB 4, AB 6. Jika sudut antara TC dan
bidang TAB, maka cos . . . .
A.7
16D.
13
16
B.9
16E.
15
16
C.11
16
17. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Nilai sinus dari sudut
antara bidang ABC dan bidang ACF adalah . . . .
A. 12
2 D. 2 2
B. 23
2 E. 13
3
C. 2
18. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm.
P adalah titik tengah FG. Jarak titik P dan garis
BD adalah . . . .
A. 4 6 cm D. 2 14 cm
B. 4 5 cm E. 4 3 cm
C. 6 2 cm
19. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang
rusuknya 6 cm. Nilai sinus sudut antara CD dan
bidang ACH adalah . . . .
A. 13
3 D. 13
6
B. 12
3 E. 12
6
C. 12
2
20. Pada kubus ABCD.EFGH diketahui P adalah titik-
titik tengah rusuk AE. Sudut antara bidang PFHdan bidang BDHF adalah b. Nilai sin b . . . .
A. 13
6 D. 13
3
B. 12
2 E. 16
6
C. 14
6
21. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang
rusuknya 4 cm dan titik P adalah titik potong EG dan
FH. Jarak titik P dan bidang BDG adalah . . . .
A. 13
3 cm D. 13
6 cm
B. 23
3 cm E. 23
6 cm
C. 43
3 cm
T
A C
B
5 cm
5 cm
5 cm
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir 37
26. Suatu garis lurus mempunyai gradien 3 dan
memotong parabola y 2x2 x 6 di titik (2, 4).
Titik potong lainnya mempunyai koordinat . . . .
A. (4, 2) D. (3, 2)
B. (3, 1) E. ( 4, 22)
C. (7, 1)
27. Ditentukan kubus ABCD.EFGH. Tangen sudut
antara CG dengan bidang BDG ialah . . . .
A. 12
3
B. 2
C. 12
2
D. 3
E. 6
22. Diketahui limas beraturan T.ABC, AB 6 cm, dan
TA 9 cm. Sudut antara TA dan bidang TBCadalah . Nilai tan . . . .
A.7
23D.
23
7
B.46
24E.
7 23
23
C.46
12
23. Dari sebuah bidang empat ABCD diketahui
BC BD dan AB tegak lurus bidang BCD(AB BCD), BC BD 3 2 dan AB 3. Sudut
antara bidang ACD dan BCD . . . .
A.6
D.3
B.5
E.2
C.4
24. Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD.
Panjang proyeksi TA pada TBC adalah . . . cm.
A. 34
5
B. 12
3
C. 34
55
D. 12
61
E. 59
25. Bidang empat beraturan ABCD.
Sudut antara bidang ABC dan BCD adalah .
Nilai tan . . . .
A.1
3B. 2 2
C. 2
D. 32
2
E.2 2
3
T
D C
A B
8 cm
6 cm
C
D
B
A
4 cm
Tahun 2000, soal tentang dimensi tigasebanyak 4 soal, tahun 2001 dan 2004keluar 3 soal, sedangkan tahun 2002,2003, dan 2005 keluar 2 soal.
Analisis
H G
E F
D C
A B
Pelajari cara menentukan irisan bidang,jarak antara titik terhadap garis padabidang, dan sudut antara garis padabidang.
38 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
1. Data tunggal
a. Rata-rata Jumlah semua nilai data
( )Banyak data
ixxn
b. Median adalah nilai tengah dari sekumpulan
data (x) yang telah diurutkan dari data terkecil
atau sebaliknya.
Me1
2
nx n ganjil
Me 2 21n nx x n genap
c. Modus adalah data yang paling sering muncul.
d. Kuartil adalah nilai yang membagi data terurut
menjadi empat bagian yang sama banyaknya
di mana Q1
kuartir bawah, Q2
kuartil tengah
(median), dan Q3
kuartil atas
2. Data berkelompok
a. Rata-rata: i i
i
x fx
fdi mana xi Titik tengah kelas-i
fi Frekuensi-i
b. Median: 22
22 2
N fe fM Q L c
di mana L Batas bawah kelas median
f Frekuensi kelas median
f2
Jumlah frekuensi sebelum
kelas median
N Jumlah data ( f)c Interval kelas
c. Modus: 10 0
1 2
fM L cf f
di mana L0
Batas bawah kelas modus
f1
Frekuensi kelas dengan
frekuensi sebelum kelas modus
f2
Frekuensi kelas dengan
frekuensi sesudah kelas modus
c Interval kelas
STATISTIKA8
A. Ukuran Pemusatan d. Kuartil
Kuartil bawah: 14
1 11
N fQ L c
f
di mana L1
Batas bawah kelas
kuartil bawah
f1
Frekuensi kelas kuartil
bawah
f1
Jumlah frekuensi sebelum
kelas kuartil bawah
N Jumlah data ( f)c Interval kelas
Kuartil tengah Median Me Q2
(Lihat
median)
Kuartil atas: 34
3 33
N fQ L c
f
di mana L3
Batas bawah kelas kuartil
atas
f3
Frekuensi kelas kuartil
atas
f3
Jumlah frekuensi sebelum
kelas kuartil atas
N Jumlah data ( f)c Interval kelas
B. Ukuran Penyebaran
1. Rataan kuartil 12
(Q1
Q3)
2. Rataan tiga 14
(Q1
2Q2
Q3)
3. Statistik lima serangkai
Q2
Q1
Q3
Xmin
Xmax
4. Rentang (jangkauan) adalah selisih antara data
terbesar dan terkecil.
R Xmax
– Xmin
Bagian 1 Bagian 2 Bagian 3 Bagian 4
Q1
Q2
Q3Data Data
minimum maksimum
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir 39
5. Hamparan adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3)
dengan kuartil pertama (Q1)
H Q3 – Q
1
6. Simpangan kuartil adalah setengah kali panjang
hamparan.
Qd12
H 12
(Q3 – Q
1)
1. Umur rata-rata (rata-rata hitung) dari suatu kelompok
yang terdiri dari dokter dan jaksa adalah 40 tahun.
Jika umur rata-rata para dokter adalah 35 tahun
dan umur rata-rata para jaksa adalah 50 tahun,
maka perbandingan banyaknya dokter dan
banyaknya jaksa adalah . . . .
A. 3 : 2 D. 2 : 1
B. 3 : 1 E. 1 : 2
C. 2 : 3
Jawab:Misalkan: • Rata-rata umur dokter 1x
• Banyaknya dokter n1
• Rata-rata umur jaksa 2x• Banyaknya jaksa n
2
1 1 2 2
1 2
n x n xx
n n40
1 2
1 2
35 50n nn n
40n1
40n2
35n1
50n2
5n1
10n2
1
2
nn
10
5
n1 : n
2 10 : 5 2 : 1
Kunci: D
2. Nilai Ujian Matematika Frekuensi
4 20
5 40
6 70
8 a10 10
Dari tabel di atas, nilai rata-rata ujian Matematika
adalah 6, maka nilai a adalah . . . .
A. 0 D. 20
B. 5 E. 30
C. 10
Jawab:4 20 5 40 6 70 8 10 10
20 40 70 10
80 200 420 8 1006
140
axa
aa
840 6a 800 8a2a 40
a 20 Kunci: D
3. Pada ujian Bahasa Inggris yang diikuti oleh 40
murid, rata-rata nilainya 32 dengan simpangan baku
25. Karena rata-rata terlalu rendah, maka nilai
dikatrol, masing-masing nilai dikalikan dengan 2
kemudian dikurangi 10. Kesimpulan di bawah ini
yang benar adalah . . . .
A. rata-rata nilai menjadi 64
B. rata-rata nilai menjadi 34
63
C. simpangan baku tetap 25
D. simpangan baku menjadi 50
E. simpangan baku menjadi 40
Jawab:Jumlah nilai mula-mula 40 32 1.280
Simpangan baku (d) mula-mula
2
2
2( )
( 32)25
x xdf
xf
Jumlah nilai baru (2 1.280) (40 10)
2.560 400
2.160
Rata-rata baru ( )Bx :
2.16054
40Bx
xB 2xA 10
7. Varians
V S22
1
1( )
ni
ix x
n
8. Simpangan baku
2 2
1
1( )
ni
iS S x x
n
SoalSoalContohContoh
40 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
Simpangan baku baru (dB)
2
2
2
2
2
( )
(2 10 54)
(2 64)
4 (2 32)
( 32)2
2 25 50
B BB
A
A
A
A
x xdf
xf
xf
xf
xf
Kunci: D
4. Perbandingan 7.200 mahasiswa yang diterima pada
empat perguruan tinggi digambarkan sebagai dia-
gram lingkaran berikut ini. Banyak siswa yang
diterima pada perguruan tinggi IV adalah . . . .
A. 1.500 orang
B. 2.240 orang
C. 2.880 orang
D. 2.940 orang
E. 3.200 orang
Jawab:Misalkan jumlah siswa yang diterima pada
perguruan tinggi IV adalah n.
360 (90 72 54)7.200
360
144
360
n
7.20020
2.880Kunci: C
5. Tabel berikut adalah hasil ulangan Matematika
suatu kelas, maka modus adalah . . . .
Nilai 31-36 37-42 43-48 49-54 55-60 61-66 67-72
f 4 6 9 14 10 5 2
A. 49,06 D. 51,33
B. 50,20 E. 51,83
C. 50,70
Jawab:
Nilai 31-36 37-42 43-48 49-54 55-60 61-66 67-72
f 4 6 9 14 10 5 2
I
54°
II
72°III
90°
IV
Misalkan:
M0
Modus
L1
Tepi bawah kelas modus
d1
Selisih nilai f modus dengan f di atas
d2
Selisih nilai f modus dengan f di bawah
10 1
1 2
14 948,5
(14 9) (14 10)
548,5
5 4
dM L
d d
48,5 0,56 49,06 Kunci : A
6. Nilai ulangan 40 siswa disajikan dalam histogram
berikut:
Nilai kuartil bawah pada data di atas adalah . . . .
A. 60 D. 70
B. 64 E. 75
C. 65
Jawab:
1 140 10
4 4n
Kelas Q1
64,5 69,5
Tb 64, 5
( f1) 3 6 9
f1
10
c 5
Q1
64,510 9 5
10
64, 5 0, 5
65
Kunci: C
2
4
6
8
10
12
54,5 59,5 64,5 69,5 74,5 79,5 84,5 89,5
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir 41
1. Median dari data umur pada
tabel di samping adalah . . . .
A. 16,5
B. 17,1
C. 17,3
D. 17,5
E. 18,3
2. Diagram berikut menyajikan data berat badan
(dalam kg) dari 40 siswa, modusnya adalah . . . .
Umur f14 - 71 6
18 - 11 10
12 - 15 18
16 - 19 40
20 - 23 16
24 - 27 10
A. 36,1 D. 48,0
B. 46,5 E. 40,4
C. 46,9
3. Simpangan kuartil dari dua data 3, 6, 2, 4, 14, 9,
12, 8 adalah . . . .
A. 12
2 D. 4
B. 3 E. 12
4
C. 12
3
4. Kuartil atas dari data pada diagram berikut
adalah . . . .
5. Rataan hitung dari data pada histogram dari gambar
adalah 10. Maka nilai n yang memenuhi
adalah . . . .
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
E. 8
6. Simpangan kuartil dari data pada gambar di bawah
adalah . . . .
frekuensi
5
8
14
10
3
55,5 60,5 65,5 70,5 75,5 80,5data
A. 71,5 D. 73,0
B. 72,0 E. 73,5
C. 72,5
A. 6,25 D. 4,35
B. 6,05 E. 3,75
C. 4,75
7. Modus nilai ulangan pada
data berikut adalah . . . .
A. 69,75
B. 70,75
C. 72,50
D. 73,25
E. 74,50
8. Berat badan 48 siswa disajikan dalam histogram
berikut ini.
Nilai f55 - 59 2
60 - 64 6
65 - 69 11
70 - 74 12
75 - 79 9
80 - 84 7
85 - 89 3
12
10
8
6
4
2
46,5 50,5 54,5 58,5 62,5 66,5 70,5 74,5
berat badan (kg)
freku
ensi
Nilai kuartil bawah data di atas adalah . . . .
A. 47,17 D. 59,17
B. 51,17 E. 63,17
C. 55,17
2,5 5,5 8,5 11,5 14,5 17,5
3n
9
6
2
Nilai
Ujian NasionalUjian NasionalSoal-SoalSoal-Soal
frekuensi
12
8
6
3
1
O 40 44 45 49 50 55 55 59 60 64
berat
badan
frekuensi
26
1412
8
0,5 10,5 20,5nilai
42 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
9. Data berikut adalah hasil ujian Matematika suatu
kelas SMA yang nilai rata-ratanya adalah x .
Nilai 3 4 5 6 7 8
Frekuensi 2 4 8 12 16 4
Siswa dinyatakan lulus bila nilainya lebih besar
atau sama dengan 1x . Banyaknya siswa yang
lulus ujian ini adalah . . . .
A. 20 D. 36
B. 28 E. 40
C. 32
10. Modus dari kelompok data 3, 6, 7, 5, 8, 4, 5, 9
adalah . . . .
A. 5,0 D. 7,5
B. 7,0 E. 6,0
C. 5,5
11. Jangkauan dan median dari data 21, 20, 19, 18,
17, 22, 22, 18, 17, 23, 24, 25, berturut-turut
adalah . . . .
A. 25 dan 21 D. 2 dan 20,5
B. 25 dan 20 E. 8 dan 20,5
C. 17 dan 21
PELUANG9
A. Kaidah Pencacahan, Permutasi dan
Kombinasi
1. Permutasi dari sekumpulan unsur-unsur yang
berbeda adalah cara penyusunan unsur-unsur
tersebut dengan memperhatikan urutannya.
2. Notasi faktorial
n! n (n – 1) (n – 2) . . . 3 2 1
3. Banyak permutasi r unsur yang diambil dari n unsur
yang tersedia adalah
,( )
nr
nP r nn r
4. Banyak permutasi n unsur yang diambil dan n unsur
yang tersedia adalah
nnP n
5. Permutasi dari n unsur yang tersedia jika terdapat
k unsur yang sama adalah
,nP k nk
6. Permutasi dari n unsur yang tersedia jika terdapat
k unsur yang sama, l unsur yang sama, dan munsur yang sama adalah
,nP k l m n
k l m
7. Banyak permutasi siklis dari n unsur berbeda adalah
Psiklis
(n 1)
8. Kombinasi dari sekumpulan unsur-unsur yang
berbeda adalah cara penyusunan unsur-unsur
tersebut tanpa memperhatikan urutannya.
Soal mengenai statistika keluar sebanyaksatu soal pada tahun 2002-2005.Kemungkinan akan muncul juga satu soalpada tahun 2006.
Analisis
Pahami cara penyajian data denganmenggunakan diagram dan grafik.Hafalkan rumus-rumus ukuran pemu-satan dan penyebaran data.
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir 43
9. Banyak kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur
yang tersedia adalah
( )
nr
nCr n r
, r n
1. Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang
mungkin dari sebuah percobaan.
2. Jika setiap anggota ruang sampel mempunyai
peluang yang sama untuk muncul maka peluang
kejadian A yang memiliki anggota sebanyak n(A)
adalah
P(A)( )
( )
n An S
, A S
3. Titik sampel adalah setiap anggota ruang sampel
disebut juga kejadian yang mungkin.
4 Jika A komplemen kejadian A maka peluang
kejadian A adalah
P(A ) 1 P(A)
5. Frekuensi relatif suatu kejadian A
( )r
n AfN
di mana N Banyaknya percobaan
B. Peluang Suatu Kejadian C. Peluang Kejadian Majemuk
6. Frekuensi harapan dari kejadian A
fh P(A) N
di mana N Banyaknya percobaan
1. Jika A dan B dua kejadian yang berada dalam
ruang sampel S maka peluang kejadian A Badalah
P(A B) P(A) P(B) P(A B)
2. Jika A dan B masing-masing dua kejadian yang
saling lepas maka peluang gabungan dua kejadian
yang saling lepas adalah
P(A B) P(A) P(B)
3. Jika A dan B kejadian-kejadian yang saling bebas,
maka berlaku
P(A B) P(A) P(B)
1. Dari 10 orang siswa yang terdiri dari 7 orang putra
dan 3 orang putri akan dibentuk tim yang
beranggotakan 5 orang. Jika disyaratkan anggota
tim tersebut paling banyak 2 orang putri, maka
banyaknya tim yang dapat dibentuk adalah . . . .
A. 168 D. 231
B. 189 E. 252
C. 210
Jawab:Kemungkinan yang terjadi:
Semua putra (5 Putra dan 0 Putri)
7 56 77
215 (7 5) 1 2
C
SoalSoalContohContoh
44 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
4 Putra dan 1 Putri
7 5 3 17 3
4 (7 4) 1 (3 1)
5 6 73
1 2 3
35 3 105
C C
3 Putra dan 2 Putri
7 5 3 27 3
3 (7 3) 2 (3 2)
5 6 73
1 2 3
35 3 105
C C
Jadi, banyaknya tim yang dapat dibentuk adalah:
21 105 105 231 Kunci: D
2. Suatu sekolah membentuk tim delegasi yang terdiri
dari 4 anak Kelas VII, 5 anak Kelas VIII, dan 6
anak Kelas IX. Kemudian akan ditentukan pimpinan
yang terdiri dari ketua, wakil ketua, dan sekretaris.
Jika kelas asal ketua harus lebih tinggi dari kelas
asal wakil ketua dan sekretaris, maka banyaknya
kemungkinan susunan pimpinan adalah . . . .
A. 156 D. 600
B. 492 E. 720
C. 546
Jawab:Ketua harus di atas kelas yang lain, artinya
harus Kelas VIII.
Kemungkinan terpilihnya Ketua Kelas IX ada
6 orang.
Wakil dan Sekretaris ada di Kelas VII dan VIII
Kemungkinan terpilihnya adalah 9 orang.
Kemungkinan terpilihnya susunan
9 29 9 72
(9 2) 7P
Jadi, 6 72 432 kemungkinan
Wakil dan Sekretaris Kelas VII adalah
4 orang.
4 24 4 12
(4 2) 2P
Jadi, 5 12 60 kemungkinan.
Sehingga banyaknya kemungkinan susunan
pimpinan adalah: 432 60 492
Kunci: B
3. Seorang murid diminta mengerjakan 9 soal dari 10
soal ulangan, tetapi soal nomor 1 sampai dengan
nomor 5 harus dikerjakan. Banyaknya pilihan yang
dapat diambil murid tersebut adalah . . . .
A. 4 D. 9
B. 5 E. 10
C. 6
Jawab:Soal nomor 1 sampai 5 harus dikerjakan
Soal nomor 6 sampai 10, yang dikerjakan
hanya 4 soal, sehingga pilihannya adalah 4
soal dari 5 soal.
5 45 5 5
(5 4) 4 1 4C
Kunci: B
4. Linda memiliki delapan teman akrab. Dia ingin
mengundang tiga dari delapan temannya untuk
diajak makan bersama. Tetapi dua di antara mereka
adalah pasangan suami istri. Kedua suami istri
diundang atau keduanya tidak diundang. Banyak
kemungkinan cara Linda mengundang temannya
adalah . . . .
A. 18 D. 24
B. 20 E. 26
C. 22
Jawab:Kedua suami istri diundang
2 2 6 12 6
(2 2) 2 (6 1) 1
1 6 6
C C
Kedua suami istri tidak diundang
6 3 2 06 2
(6 3) 3 (2 0) 0
6 2
3 3 2
20 1 20
C C
Jadi, banyak kemungkinan cara Linda mengundang
temannya adalah 20 6 26 cm.
Kunci: E
5. Sebuah kantong berisi empat buah bola merah
dan lima bola berwarna putih. Jika dua buah bola
diambil dari dalam kantong satu per satu dengan
tidak mengembalikan setiap pengambilan, maka
peluang terambilnya kedua bola itu berwarna merah
sebesar . . . .
A. 172
D. 112
B. 116
E. 16
C. 427
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir 45
Jawab:• Banyaknya bola:
n(S) 4 bola merah 5 bola putih
9 bola
• Banyaknya bola merah: n(A) 4 bola
• Peluang terambilnya bola merah pada
pengambilan pertama:
( ) 4( )
( ) 9
n AP An S
• Peluang terambilnya bola merah pada
pengambilan kedua:
( ) 3( | )( ) 8
( ) ( ) ( | )
4 3
9 8
karena sudahdiambil satu
n AP B An S
P A B P A P B A
12 1
72 6Kunci: E
5. Dalam suatu populasi keluarga dengan tiga orang
anak, peluang keluarga tersebut mempunyai
paling sedikit dua anak laki-laki adalah . . . .
A.1
8D.
1
2
B.1
3E.
3
4
C.3
8
6. Dua buah dadu dilempar bersama-sama. Peluang
munculnya jumlah mata dadu 9 atau 10
adalah . . . .
A.5
36D.
9
36
B.7
36E.
11
36
C.8
36
7. Kotak I berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning.
Kotak II berisi 2 bola merah dan 6 bola kuning.
Dari masing-masing kotak diambil sebuah bola
secara acak. Peluang terambilnya kedua bola
berwarna sama adalah . . . .
A.1
8D.
9
16
B.5
16E.
7
8
C.7
16
8. Populasi satu jenis serangga tiap tahun menjadi
dua kali lipat. Jika populasi serangga tersebut saat
ini mencapai 5.000 ekor, maka 10 tahun yang
akan datang populasinya sama dengan . . . .
1. Banyaknya garis yang dapat dibuat dari 8 titik
yang tersedia, dengan tidak ada 3 titik yang segaris
adalah . . . .
A. 336 D. 28
B. 168 E. 16
C. 56
2. Suatu kelas terdiri dari 40 siswa, 25 siswa gemar
Matematika, 21 siswa gemar IPA, dan 9 siswa
gemar Matematika dan IPA. Peluang seorang tidak
gemar Matematika maupun IPA adalah . . . .
A.25
40D.
4
40
B.12
40E.
3
40
C.9
40
3. Kotak I berisi 3 bola merah dan 2 bola putih.
Kotak II berisi 3 bola hijau dan 5 bola biru. Dari
masing-masing kotak diambil 2 bola sekaligus
secara acak. Peluang terambil 2 bola merah dari
kotak I dan 2 bola biru dari kotak II adalah . . . .
A.1
10D.
3
8
B.3
28E.
57
140
C.4
15
4. Nilai1 10 4
14 15 16 . . . .
A.114
16D.
9
16
B.108
16E.
4
16
C.84
16
Ujian NasionalUjian NasionalSoal-SoalSoal-Soal
46 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
A. 2.557.500 ekor D. 5.115.000 ekor
B. 2.560.000 ekor E. 5.120.000 ekor
C. 5.090.000 ekor
9. Dua dadu dilambungkan bersama-sama. Peluang
muncul mata dadu pertama 3 dan mata dadu kedua
5 adalah . . . .
A.6
36D.
3
36
B.5
36E.
1
36
C.4
36
10. Di dalam sebuah kotak ada 9 tiket yang diberi
nomor 1 sampai dengan 9. Jika dua tiket diambil
secara acak, peluang terambilnya satu ganjil dan
satu genap adalah . . . .
A.1
36D.
7
18
B.1
6E.
5
9
C.5
18
11. Sebuah kotak berisi 5 kelereng merah, 3 kelereng
putih dan 2 kelereng biru. Dari dalam kotak diambil
3 kelereng sekaligus secara acak. Peluang terambil
2 kelereng merah dan 1 kelereng putih
adalah . . . .
A.1
4D.
2
15
B.3
20E.
13
120
C.1
8
12. Sepuluh kartu diberi nomor 1 sampai dengan 10.
Dari kartu-kartu tersebut diambil sebuah kartu
secara acak. Peluang terambilnya kartu bernomor
bukan prima dan bukan komposit adalah . . . .
A. 0 D.6
25
B.4
10E. 1
C.6
10
13. Dari angka-angka 2, 3, 5, 6, 7, dan 9 dibuat
bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berlainan.
Banyaknya bilangan yang dapat dibuat yang lebih
kecil dari 400 adalah . . . .
A. 10 D. 80
B. 20 E. 120
C. 40
14. Dalam kotak I terdapat 4 bola merah dan 3 bola
putih, sedangkan dalam kotak II terdapat 7 bola
merah dan 2 bola hitam. Dalam setiap kotak diambil
satu bola secara acak. Peluang terambilnya bola
putih dari kotak I dan bola hitam pada kotak II
adalah . . . .
A.28
63D.
6
63
B.21
63E.
5
63
C.8
63
15. Akan disusun suatu tim peneliti yang terdiri dari
2 orang matematikawan dan 3 orang teknisi. Jika
calon yang tersedia 3 orang matematikawan dan
5 orang teknisi, maka banyak cara menyusun tim
tersebut adalah . . . .
A. 20 D. 90
B. 30 E. 360
C. 60
Soal tentang peluang selalu muncul setiaptahun. Tahun 2000-2003 dan 2005 keluarsebanyak 2 soal, sedangkan tahun 2004hanya keluar 1 soal.
Analisis
Pahami kisaran nilai peluang, faktorial,permutasi dan kombinasi.
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir 47
1. Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada
bidang datar yang berjarak sama terhadap titik
tertentu. Titik tertentu itu disebut pusat lingkaran
dan jarak tertentu disebut jari-jari lingkaran.
2. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0, 0)
dan berjari-jari r adalah x2 y2 r2.
3. Titik P(a, b) terletak di dalam lingkaran
x2 y2 r2 jika dan hanya jika a2 b2 r2.
5. Titik P(a, b) terletak di luar lingkaran x2 y2 r2
jika dan hanya jika a2 b2 r2.
A. Persamaan-Persamaan Lingkaran
x
y
O
P(x, y)
2 2
2 2
OP R
x y r
x y r
4. Titik P(a, b) terletak pada lingkaran x2 y2 r2
jika dan hanya jika a2 b2 r2.
6. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(a, b)
dan berjari-jari r adalah
(x a)2 (y b)2 r2
7. Bentuk umum persamaan lingkaran adalah:
x2 y2 Ax By C 0
dengan pusat P ,2 2
A B dan jari-jari
r2 2
4 4
A B C .
8. Titik R(h, k) terletak di dalam lingkaran
(x a)2 (y b)2 r2 jika dan hanya jika
(h a)2 (k b)2 r2
y
x
P(a, b)
R(h, k)
r
O
x
y
O
P(a, b)
r
LINGKARAN DAN IRISAN KERUCUT10
y
xr
P(a, b)
O
x
y
O
P(a, b)
r
48 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
9. Titik R(h, k) terletak pada lingkaran
(x a)2 (y b)2 r2 jika dan hanya jika
(h a)2 (k b)2 r2
Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di
titik P(a, b) dan berjari-jari r adalah
(x a)(x1
a) (y b)(y1
b) r2
y
x
R(h, k)
O
r
10. Titik R(h, k) terletak di luar lingkaran
(x a)2 (y b)2 r2 jika dan hanya jika
(h a)2 (k b)2 r2
11. Titik R(h, k) terletak di dalam lingkaran
x2 y2 Ax By C 0 jika dan hanya jika
h2 k2 Ah Bk C 0
12. Titik R(h, k) terletak pada lingkaran
x2 y2 Ax By C 0 jika dan hanya jika
h2 k2 Ah Bk C 0
13. Titik R(h, k) terletak di luar lingkaran
x2 y2 Ax By C 0 jika dan hanya jika
h2 k2 Ah Bk C 0
B. Persamaan Garis Singgung
Lingkaran
O x
y
P(a, b)
P(a, b)
r
C. Persamaan Parabola
m(x1, y1)
x
y
y1 b
P(a, b)
x1 a
1. Persamaan parabola dengan titik fokus F(p, 0) dan
garis direktriks x p adalah
y2 4px
2. Persamaan parabola dengan puncak (0, 0), titik
fokus F( p, 0) garis direktriks x p adalah
y2 4px
3. Persamaan parabola yang mempunyai fokus
F(0, p) dan garis direktriks y p adalah
x2 4py
4. Persamaan parabola dengan puncak (0, 0), titik
fokus F(0, p) garis direktriks y p adalah
x2 4py
5. Persamaan parabola di titik (h, k) dengan
persamaan direktriksnya adalah x h p dan titik
fokus F(h p, k) adalah
(y k)2 4p(x h)
• R(h, k)
a(x, y)
x
yl1
f(p, o)
l2
0
x p
Q( p, y)
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir 49
6. Persamaan parabola di titik (h, k) dengan
persamaan direktriksnya adalah x h p dan titik
fokus F(h p, k) adalah
(y k)2 4p(x h)2
7. Persamaan parabola di titik (h, k) dengan persamaan
direktriksnya adalah y k p dan titik fokus
F(h, k p) adalah
(x h)2 4p(y k)2
8. Persamaan parabola di titik (h, k), dengan direktriks
y k p dan titik fokus F(h, k p) adalah
(x h)2 4p(y k)
2 2
2 21
x h y k
b adi mana:
• Puncak: (h, k a) dan (h, k a)
• Titik ujung sumbu minor: (h b, k) dan (h b, k)
• Fokus : (h, k c ) dan (h, k c)
5. Persamaan garis singgung elips
2 2
2 21
x h y k
a b dengan gradien m
adalah :2 2 2y k m x h a m b
6. Persamaan garis singgung elips
2 2
2 21
x h y k
b a dengan gradien m
adalah:
2 2 2y k m x h b m a
3. Persamaan elips berpusat di (h, k) dengan sumbu
utama garis y k dan sumbu sekawan garis x kadalah
2 2
2 21
x h y k
a bdi mana :
• Puncak: (h a, k) dan (h a, k)
• Titik sumbu minor: (h, k b) dan (h, k b)
• Fokus : (h c, k ) dan (h c, k)
4. Persamaan elips berpusat di (h, k) dengan sumbu
utama garis x h dan sumbu sekawan adalah garis
y k
D.Persamaan Garis Singgung Parabola
1. Persamaan parabola yang berpuncak di A(h, k) pada
parabola (y k)2 4p(x h) dengan gradien madalah
(y k) m(x h)pm
2. Persamaan parabola yang berpuncak di A(h, k) pada
parabola (y k)2 4p(x h) dengan gradien madalah
(y k) m(x h)pm
3. Persamaan parabola yang berpuncak di A(h, k)pada
parabola (x h)2 4p(y k) dengan gradien m adalah
(y k) m(x h) m2p
4. Persamaan parabola yang berpuncak di A(h, k)pada
parabola (x h)2 4p(y k) dengan gradien madalah
(y k) m(x h) m2p
E. Persamaan Elips
1. Bentuk umum persamaan elips
Ax2 By2 Cx Dy E 0 dengan
A 0, B 0, A B
2. Persamaan elips yang berpusat di O(0, 0) dan fokus
di F1( c, 0) dan F
2(c, 0) adalah
2
2
xa
2
2
yb
1
di mana:
• c2 a2 b2
• Eksentrisitas : eca
• Direktriks:axe
E. Persamaan Hiperbola
1. Bentuk umum persamaan hiperbola adalah
Ax2 By2 Cx Dy E 0
dengan 0A , 0B , A B2. Persamaan hiperbola berpusat di O(0, 0), fokus di
F1(0, c) dan F
2(0, c) selisih jarak terhadap kedua
fokus sama dengan 2a adalah
22
2 21
yxa b
di mana: b2 c2 a2
50 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
3. Persamaan hiperbola berpusat di O(0, 0), fokus di
F1(0, c) dan F
2(0, c) adalah
22
2 21
yxa b
4. Persamaan hiperbola yang berpusat di A(h, k),sumbu utama sejajar sumbu-x adalah
2 2
2 2
( ) ( )1
x h y ka b
di mana:
• b2 c2 a2
• Sumbu nyata y k, dan sumbu sekawan x h• Koordinat puncak (h a, k) dan (h a, k)
• Koordinat titik ujung (h, k b) dan (h, k b)
• Fokus (h c, k) dan (h c, k)
• Eksentrisitas: eca
• Direktriksax he
• Persamaan asimtot :
( ) ( )by k x ha
• Panjang latus rectum 22b
a5. Persamaan hiperbola berpusat di A(h , k) sumbu
utama sejajar sumbu-y adalah
2 2
2 2
( ) ( )1
y k x ha b
di mana:
• b2 c2 a2
• Sumbu nyata x h, dan sumbu sekawan y k• Koordinat puncak (h, k a)dan (h, k a)
• Koordinat titik ujung (h b, k ) dan (h b,)• Fokus (h , k c) dan (h, k c)
• Eksentrisitas: eca
• Persamaan direktriksay ke
• Persamaan asimtot :
( ) ( )ay k x hb
6. Hiperbola
22
2 21
yxa b
, mempunyai asimtot
by xa
7. Hiperbola
2 2
2 21
y xa b
, mempunyai asimtot
ay xb
N
G. Persamaan Garis Singgung
Hiperbola yang Berpusat di A(h, k)
1. Persamaan garis singgung hiperbola
2 2
2 2
( ) ( )1
x h y ka b
dengan gradien m adalah
2 2 2( ) ( )y k m x h a m b
2. Persamaan garis singgung hiperbola
2 2
2 2
( ) ( )1
y k x ha b
dengan gradien m adalah
2 2 2( ) ( )y k m x h b m a
1. Lingkaran yang sepusat dengan lingkaran
x2 y2 4x 6y 17 0
dan menyinggung garis 3x 4y 7 0 mempunyai
persamaan . . . .
A. (x 2)2 (y 3)2 25
B. (x 2)2 (y 3)2 16
C. (x 2)2 (y 3)2 25
D. (x 2)2 (y 3)2 16
E. (x 4)2 (y 6)2 25
Jawab:x2 y2 4x 6y 17 0
Pusat: 1 12 2
( 4), (6) (2, 3)P
SoalSoalContohContoh
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir 51
Jari-jari lingkaran:
2 2
3(2) 4( 3) 7 6 12 7
9 16(3) ( 4)
255
5
r
Persamaan lingkaran:
(x 2)2 (y 3)2 52
(x 2)2 (y 3)2 25 Kunci: A
2. Jika titik ( 5, k) terletak pada lingkaran
x2 y2 2x 5 y 21 0
maka nilai k adalah . . . .
A. 1 atau 2 D. 0 atau 3
B. 2 atau 4 E. 1 atau 6
C. 1 atau 6
Jawab:Persamaan lingkaran:
x2 y2 2x 5y 21 0
( 5, k) ( 5)2 k2 2( 5) 5(k) 21 0
25 k2 10 5k 21 0
k2 5k 6 0
(k 1)(k 6) 0
sehingga k 1 atau k 6 Kunci: C
3. Luas sebuah lingkaran adalah fungsi dari keliling-
nya. Jika keliling sebuah lingkaran adalah x, maka
laju perubahan luas lingkaran terhadap kelilingnya
adalah . . . .
A. x D.x
B. 2 x E.2x
C.2
x
Jawab:Keliling lingkaran (K) 2 r
r2
K
Luas lingkaran (L) r2
Substitusi r2
K ke luas lingkaran
2 2 2
22 44
K K KL
Laju perubahan luas terhadap keliling:
2
4 2
K KL Kunci: C
4. Tiga buah lingkaran yang berjari-jari sama saling
bersinggungan luar. Lingkaran kecil L2 menyinggung
ketiga lingkaran tersebut dan lingkaran besar L2
juga menyinggung ketiga lingkaran itu seperti pada
gambar. Perbandingan jari-jari lingkaran L2 dan jari-
jari lingkaran L1 adalah . . . .
A. (1 3) : (1 3)
B. 14 : 1
C. (7 4 3) : 1
D. (7 4 3) : 1
E. (7 2 3) : 1
Jawab:r1
Jari-jari L1
r2
Jari-jari L2
R Jari-jari lingkaran A, B, dan C
O Titik pusat L1 dan L
2
RO
RA
C
BE
D
Perhatikan ABC dan BOD!
Segitiga ABC adalah segitiga samasisi,
sehingga:
ABC CAB BCA 60°
Dengan demikian besar 12
12
60
30
DBO ABC
OD r tan 30° tan 30° OD
r13
3r
13
3r
cos 30cos 30
DB DBOBOB
231
2
2 33 3
r r rr
r2
OB BE 23
3r r
r1
OB BE 23
3r r
52 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
2 22 1 3 3
: 3 : 3r r r r r r
22332
2 21 3 3
2 23 3
2 23 3
22 4 43 3 3
2 42233
7 4 13 3 3
1 13 3
3 13
3 3 1
3 1 3 1
3 1 3 1
3 1 3 1
13 1
3 (7 4 3)
7 4 3
1
rr rrr r r r
Jadi, r2 : r
1(7 4 3) : 1 Kunci: E
5. PQR segitiga dengan panjang setiap sisinya
6 cm. C lingkaran dalam PQR. C1, C
2, dan C
3
adalah lingkaran di dalam PQR yang masing-
masing menyinggung luar lingkaran C dan
menyinggung dua di antara tiga sisi segitiga itu.
Luas bagian PQR yang terletak di luar keempat
lingkaran itu adalah . . . .
A. 9 3
B. 9 3 2
C. 9 3 4
D. 3 3
E. 3 3 2
Jawab:
Dengan demikian
Besar SQC 12
PQR 12
60° 30°
r CS 3 tan 30° tan 30° 3
r
13
3 3
3
2 2 2 2( 3) 3
3 9 12 2 3
CQ CS SQ
CQ CS 3rC3 3
3
13 3
2 3 3 3
3 2 3 3
3
rC
rC
rC
Luas PQR 12
6 6 sin 60°
3 6 12
3 9 3
Luas lingkaran C r2 2( 3) 3
Luas lingkaran kecil
3 Luas lingkaran kecil
3 ( rC3)2 1
33 3
Luas daerah yang diarsir
Luas PQR Luas lingkaran C (3
Luas lingkaran kecil)
9 3 3
9 3 4 Kunci: C
6. Koordinat titik fokus dari persamaan parabola
y2 4y 8x 28 0 adalah . . . .
A. ( 4, 2) D. ( 2, 2)
B. (2, 2) E. ( 2, 2)
C. ( 2, 4)
Jawab:y2 4y 8x 28 0
y2 4y 8x 28
(y 2)2 4 8x 28
(y 2)2 8x 32
(y 2)2 (8x 4)
Koordinat puncak ( 4, 2)
4p 8 p 2
Fokus ( 4 p, 2) ( 4 2, 2)
( 2, 2)
Kunci: E
C2
C1
C3
C
P R
R
SQ 12
PQ 12
6 3 cm
Perhatikan PQR dan SQC.
Segitiga PQR adalah segitiga samasisi,
sehingga:
PQR QRP RPQ 60°
C
r
P S Q
R
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir 53
7. Persamaan garis singgung pada parabola
x2 4x 2y 10 0 yang tegak lurus pada garis
2x 4y 7 0 adalah . . . .
A. 2x y 5 0 D. x 2y 5 0
B. x 2y 5 0 E. 2x y 5 0
C. 2x y 5 0
Jawab:x2 4x 2y 10 0
x2 4x 2y 10
(x 2)2 4 2y 10
(x 2)2 2y 6
(x 2)2 2(y 3)
Puncak (2, 3) 4p 2
p 1
2
2x 4y 7 0
4y 2x 7
y1
1
2x 7
4m
1
1
2
m1· m
21 (karena tegak lurus)
1
2· m
21
m2
2
Persamaan garis singgung:
(y k) m2(x h) m
22p
(y 3) 2(x 2) (2)2 · 1
2
(y 3) 2(x 2) 4 · 1
2
(y 3) 2(x 2) 4 · 1
2
y 3 2x 4 2
y 3 2x 2
2x y 5 0
Kunci: A8. Koordinat fokus pada elips
ax2 9y 48x 72y 144 0 adalah . . . .
A. 6 2 5, 4 D. 6 2 5, 4
B. 6, 2 5 4 E. 6 2 5, 4
C. 6 2 5, 4
Jawab:4x2 48x 9y 72y 144
4(x2 12x 36) 9(y2 8y 16)2
144 144 144
4(x 6)2 9 (y 4) 144
2 26 4
136 16
x y
a2 36, b2 16, h 6, k 4
c2 36 16
c 2 5
Fokus: (6 2 5 , 4) dan
(6 2 5 , 4)
Kunci: C
9. Persamaan asimtot hiperbola dengan puncak
(2, 4) dan ( 6, 4) serta salah satu titik fokusnya
adalah (3, 4) adalah . . . .
A. 4x 3y 10 0 dan 3x 4y 22 0
B. 3x 4y 22 0 dan 3x 4y 10 0
C. 3x 4y 22 0 dan 3x 4y 10 0
D. 4x 3y 10 0 dan 4x 3y 22 0
E. 3x 4y 22 0 dan 3x 4y 10 0
Jawab:Puncak (2, 4), ( 6, 4)
Fokus (3, 4)
2
6
2 4
2
h ah a
hhh a 2 k 4
2 a 2
a 4
h c 3
2 c 3
c 5
b2 c2 a2
52 ( 4)2
25 16 9
b 3
Persamaan asimtot:
y k ba (x h)
y k 3
4(x 2)
54 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
1. Garis singgung lingkaran x2 y2 25 di titik
( 3, 4) menyinggung lingkaran dengan pusat
(10, 5) dan jari-jari r. Nilai r adalah . . . .
A. 3 D. 9
B. 5 E. 11
C. 7
2. Koordinat fokus elips
9x2 25y2 18x 100y 116 0
adalah . . . .
A. (2, 1) dan ( 6, 1)
B. (6, 1) dan (2, 1)
C. (3, 2) dan ( 5, 2)
D. (3, 2) dan ( 5, 2)
E. (5, 2) dan ( 3, 2)
3. Salah satu persamaan asimtot hiperbola
2 2( 2) ( 1)
16 9
x y 1 adalah . . . .
A. 4x 3y 11 0
B. 4x 3y 5 0
C. 3x 4y 6 0
D. 3x 4y 10 0
E. 3x 4y 6 0
4. Persamaan garis singgung kurva y 2x x di titik
pada kurva dengan absis 2 adalah . . . .
A. y 3x 2 D. y 3x 2
B. y 3x 2x E. y 3x 1
C. y 3x 1
5. Salah satu persamaan garis singgung dari titik
(0, 4) pada lingkaran x2 y2 4 adalah . . . .
(i) y 4 3
4(x 2)
y 4 3
4x 3
2
y 3
4x 11
2 0
4y 3x 22 0
A. y x 4 D. 3 4y x
B. y 2x 4 E. 2 4y xC. y x 4
6. Diketahui persamaan hiperbola
9x2 4y2 54x 8y 41 0
persamaan asimtot hiperbola tersebut adalah . . . .
A. 3x 2y 11 0 dan 3x 2y 7 0
B. 3x 2y 11 0 dan 3x 2y 7 0
C. 3x 2y 11 0 dan 3x 2y 7 0
D. 2x 3y 11 0 dan 2x 3y 7 0
E. 2x 3y 11 0 dan 2x 3y 1 0
7. Persamaan garis singgung pada kurva
y 2x2 6x 7 yang tegak lurus garis x 2y 13 0 adalah . . . .
A. 2x y 15 0
B. 2x y 15 0
C. 2x y 15 0
D. 4x 2y 29 0
E. 4x 2y 29 0
8. Jarak antara titik pusat lingkaran
x2 4x y2 4 0
dari sumbu-y adalah . . . .
A. 3 D. 12
1
B. 12
2 E. 1
C. 2
9. Koordinat salah satu fokus elips
7x2 16y2 28x 96y 60 0 adalah . . . .
A. (2, 0) D. ( 1, 3)
B. (2, 6) E. ( 2, 3)
C. (2, 3)
(ii) y 4 3
4(x 2)
y 4 3
4x 3
2
y 3
4x 5
2 0
4y 3x 10 0
Jadi persamaan asimtotnya
3 4y 22 0 dan 3x 4y 10 0
Kunci: B
Ujian NasionalUjian NasionalSoal-SoalSoal-Soal
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir 55
10. Suatu garis menyinggung kurva y x3 3x2 2x 5
di titik T(1, 3). Persamaan garis singgung tersebut
adalah . . . .
A. y 5x 7 D. y 7x 5
B. y 5x 10 E. y 7x 10
C. y 7x 3
11. Diketahui sebuah lingkaran melalui titik O(0, 0),
A(0, 8), dan B(6, 0). Persamaan garis singgung
pada lingkaran tersebut di titik A adalah . . . .
A. 3x 4y 2 0
B. 3x 4y 32 0
C. 3x 4y 32 0
D. 4x 3y 32 0
E. 4x 3y 32 0
12. Koordinat pusat hiperbola
3x2 4y2 12x 32y 10 0 adalah . . . .
A. ( 2, 4) D. (2, 4)
B. ( 2, 4) E. (4, 2)
C. (2, 4)
13. Garis singgung pada parabola y x2 4 yang te-
gak lurus pada garis y x 3 memotong sumbu-ydi titik . . . .
A. 134
0, D. 194
0,
B. 154
0, E. 214
0,
C. 174
0,
14. Persamaan garis singgung lingkaran
(x 4)2 (y 3)2 40 yang tegak lurus garis
x 3y 5 0, adalah . . . .
A. y 3x 1 dan y 3x 30
B. y 3x 2 dan y 3x 32
C. y 3x 2 dan y 3x 32
D. y 3x 5 dan y 3x 35
E. y 3x 5 dan y 3x 35
15. Persamaan parabola horisontal dengan titik puncak
(1, 3) dan melalui titik (3, 7) adalah . . . .
A. (y 1)2 8(x 3)
B. (y 1)2 12(x 3)
C. (y 3)2 6(x 1)
D. (y 3)2 8(x 1)
E. (y 3)2 12(x 1)
16. Panjang sumbu minor suatu elips horisontal yang
pusatnya M(3, 1) sama dengan 6. Elips tersebut
melalui titik P(8, 3). Persamaan elips adalah . . . .
A.2 2( 3) ( 1)
140 9
x y
B.2 2( 3) ( 1)
142 9
x y
C.2 2( 3) ( 1)
145 9
x y
D.2 2( 3) ( 1)
142 18
x y
E.2 2( 3) ( 1)
145 36
x y
17. Salah satu simbol asimtot hiperbola
2 2( 3) ( 1)
16 25
x y 1
memotong sumbu-y di titik . . . .
A. 14
0, 2 D. 14
0, 4
B. 34
0, 2 E. 34
0, 4
C. 12
0, 4
18. Suatu kurva melalui titik P(1, 3). Gradien garis
singgung kurva tersebut di titik T(x, y) sama dengan
2 5dy xdx
. Persamaan kurva tersebut
adalah . . . .
A. y x2 5x 7
B. y x2 5x 8
C. y x2 5x 9
D. y x2 5x 10
E. y x2 5x 11
19. Elips dengan persamaan 4x2 9y2 36 digeser
1
2 kemudian diputar 90° dengan pusat ( 1, 2).
Persamaan bayangan elips tersebut adalah . . . .
A. 4(x 3)2 9(y 3)2 36
B. 9(x 1)2 4(y 2)2 36
C. 4(x 1)2 9(y 2)2 36
D. 9(x 1)2 4(y 2)2 36
E. 4(x 1)2 9(y 2)2 36
20. Diketahui kurva dengan persamaan
y x3 5x2 7.
Persamaan garis singgung kurva yang berabsis 1
dan tegak lurus y 2x 3 adalah . . . .
A. x 2y 5 0 D. x 2y 6 0
B. x 2y 7 0 E. 2x y 5 0
C. x 2y 7 0
56 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
21. Suatu lingkaran berpusat pada titik potong garis
x y 1 0 dan garis x y 3 0 serta
menyinggung garis 3x 4y 35 0. Persamaan
lingkaran tersebut adalah . . . .
A. x2 y2 4x 2y 20 0
B. x2 y2 2x y 20 0
C. x2 y2 4x 2y 20 0
D. x2 y2 2x y 20 0
E. x2 y2 4x 2y 20 0
22. Diketahui suatu parabola dengan titik puncak
( 1, 3) dan titik fokus (3, 3). Persamaan garis
singgung parabola tersebut yang bergradien 2
adalah . . . .
A. y 2x 3 D. y 2x 8
B. y 2x 4 E. y 2x 12
C. y 2x 7
23. Diketahui hiperbola dengan puncak (0, 6) dan
(0, 0) serta salah satu fokus (0, 8). Persamaan
asimtot hiperbola adalah . . . .
A. 4 43 3
3 dan 3y x y x
B. 4 43 3
3 dan 3y x y x
C. 3 34 4
3 dan 3y x y x
D. 3 34 4
3 dan 3y x y x
E. 16 169 9
3 dan 3y x y x
24. Persamaan garis singgung pada kurva
y ax3 2x2 di titik (1, a 2) dan tegak lurus
garis x 2y 4 adalah . . . .
A. y 2x 2 D. y 2x 2
B. y 2x 1 E. y 2x 2
C. y 2x 1
25. P adalah titik potong garis x 4y 4 0 dan
2x y 10. Persamaan lingkaran yang berpusat
di P dan menyinggung garis 3x 4y 0
adalah . . . .
A. x2 y2 4x 2y 2 0
B. x2 y2 4x 2y 2 0
C. x2 y2 4x 2y 4 0
D. x2 y2 8x 4y 4 0
E. x2 y2 8x 4y 2 0
26. Diketahui parabola dengan puncak (1, 3) dan fokus
(1, 2). Persamaan garis singgung parabola tersebut
yang sejajar dengan garis 2x y 3 0
adalah . . . .
A. 2y 4x 1 D. 2y 4x 1
B. 2y 2x 9 E. 2y 4x 7
C. 2y 4x 11
27. Persamaan garis asimtot hiperbola dengan
koordinat titik puncak ( 2, 1) dan (6, 1), serta
salah satu fokus (7, 1) adalah . . . .
A. 4x 3y 10 0 dan 4x 3y 2 2
B. 3x 4y 2 0 dan 3x 4y 10 0
C. 3x 4y 2 0 dan 3x 4y 10 0
D. 3x 4y 10 0 dan 3x 4y 2 0
E. 3x 4y 10 0 dan 3x 4y 2 0
28. Salah satu persamaan garis singgung kurva
y x3 6x2 18x 3 yang tegak lurus dengan
garis 9y x 2 0 adalah . . . .
A. y 9x 7 0 D. y 9x 3 0
B. y 9x 7 0 E. y 9x 3 0
C. y 9x 7 0
29. Persamaan lingkaran yang berpusat pada titik
potong garis x 3y 3 0 dan 2x y 4 0
serta menyinggung garis 3x 4y 8 0
adalah . . . .
A. x2 y2 6x 4y 12 0
B. x2 y2 6x 4y 4 0
C. x2 y2 6x 4y 5 0
D. x2 y2 6x 4y 23 0
E. x2 y2 6x 4y 25 0
30. Diketahui parabola dengan koordinat titik puncak
(2, 3) dan berfokus pada titik ( 1, 3). Persamaan
garis singgung pada parabola tersebut dengan
gradien 3 adalah . . . .
A. y 3x 4 D. y 3x 4
B. y 4x 3 E. y 3x 4
C. y 4x 3
31. Koordinat fokus suatu hiperbola adalah (3, 4 5 )
dan (3, 4 5 ) sedangkan salah satu titik
puncaknya (3, 6). Hiperbola tersebut mempunyai
asimtot dengan persamaan . . . .
A. y 2x 1 dan y 2x 5
B. y 2x 1 dan y 2x 4
C. y x 3 dan y x 1
D. y 2x 2 dan y 2x 10
E. y 2x 3 dan y 2x 8
32. Garis singgung y x3 2x 1 di titik dengan
absis 1 adalah . . . .
A. y 2x 2 D. 1 12 2
y xB. y x 1 E. y 3x 3
C. y x 1
33. Persamaan lingkaran dengan ujung diameter
A(2, 4) dan B( 4, 2) adalah . . . .
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir 57
A. (x 3)2 (y 1)2 10
B. (x 1)2 (y 3)2 10
C. (x 1)2 (y 3)2 10
D. (x 1)2 (y 3)2 10
E. (x 1)2 (y 3)2 10
34. Persamaan garis singgung pada parabola
y2 8x yang sejajar dengan garis 2x y 1 0
adalah . . . .
A. y 2x 1 D. 2y x 1
B. y 2x 1 E. y 2x 2
C. 2y x 1
35. Salah satu persamaan asimtot hiperbola dengan
persamaan 9x2 16y2 36x 32y 124 0
adalah . . . .
A. 4y 3x 2 0
B. 4y 3x 1 0
C. 3x 4y 2 0
D. 3x 4y 2 0
E. x 3y 4
36. Gradien garis singgung sebuah kurva di setiap titik
adalah23 4 3
dy x xdx . Jika kurva tersebut
melalui titik (3, 10) maka persamaan kurvanya
adalah . . . .
A. y x3 2x2 3x 10
B. y x3 2x2 3x 16
C. y x3 2x2 3x 26
D. y x3 2x2 3x 16
E. y x3 2x2 3x 26
37. Persamaan garis singgung melalui titik (5, 1) pada
lingkaran x2 y2 4x 6y 12 0 adalah . . . .
A. 3x 4y 19 0
B. 3x 4y 19 0
C. 4x 3y 19 0
D. x 7y 26 0
E. x 7y 26 0
38. Persamaan parabola dengan fokus (2, 1) dan garis
direktriks x = 6 adalah . . . .
A. y2 2y 8x 31 0
B. y2 2y 8x 33 0
C. y2 2y 8x 35 0
D. x2 8x 8y 18 0
E. x2 8x 8y 24 0
39. Koordinat titik fokus elips
9x2 25y2 36x 50y 164 0 adalah . . . .
A. (6, 1) dan ( 2, 1)
B. ( 6, 1) dan (2, 1)
C. (1, 6) dan (1, 2)
D. (1, 6) dan (1, 2)
E. (6, 1) dan ( 1, 1)
40. Diketahui salah satu asimtot dari
2 2
21
4
x yb
sejajar dengan garis 6x 3y 5 0. Nilai b2
. . . .
A.1
4D. 16
B. 1 E. 25
C. 4
41. Persamaan hiperbola yang berfokus di titik
( 8, 1) dan (18,1) serta jarak kedua puncak
hiperbola 24 satuan, adalah . . . .
A.2 2( 1) ( 5)
112 5
x y
B.2 2( 5) ( 1)
1144 25
x y
C.2 2( 1) ( 5)
112 5
x y
D.2 2( 1) ( 5)
125 16
y x
E.2 2( 1) ( 5)
1144 25
y x
Soal tentang suku banyak selalu keluarsetiap tahun. Tahun 2000-2001 keluarsebanyak 2 soal. Tahun 2002-2005keluar 1 soal. Kemungkinan akan keluarjuga 1 soal pada tahun 2006.
Analisis
Pelajari cara menentukan sisa pembagiandan menentukan akar-akar persamaansuku banyak.
58 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
1. Bentuk anxn an 1
xn 1 an 2xn 2 … a
1x a
0,
dengan an 0 dan n bilangan cacah disebut suku
banyak dalam variabel x berderajat n.
2. an, an 1, an 2
, … , a1,
adalah bilangan-bilangan real
yang merupakan koefisien-koefisien suku banyak
dari masing-masing variabel x, sedangkan a0
disebut suku tetap.
1. Hubungan antara yang dibagi, pembagi, hasil bagi,
dan sisa pembagian adalah:
Yang dibagi Pembagi Hasil bagi Sisa pembagian
2. Jika suatu suku banyak f(x) berderajat n dibagi
oleh suku banyak g(x) berderajat kurang dari n,
maka didapat suatu hasil bagi h(x) dan sisa
pembagian s(x).
f(x) h(x)g(x) s(x)
3. Jika suatu suku banyak f(x) berderajat n dibagi
x k, maka sisanya f(k).
4. Jika suatu suku banyak f(x) berderajat n dibagi
ax b, maka sisanya fba .
5. Jika suatu suku banyak f(x) berderajat n dibagi ax2
bx c, maka hasil baginya h(x)
berderajat n 2 dan sisanya s(x) px q.
Jika pembagi g(x) dapat difaktorkan menjadi faktor-
faktor linier (x c)(x d), maka sisa pembagian
suku banyak f(x) oleh (x c)(x d) adalah
s(x) px q dengan p( ) ( )f c f d
c d dan
( ) ( )cf d df cqc d
A. Pengertian Suku Banyak
SUKU BANYAK11
B. Nilai Suku Banyak
1. Jika dua buah suku banyak dalam variabel xmemiliki nilai sama untuk setiap nilai x, maka
koefisien-koefisien suku-suku yang sepangkat
adalah sama.
anxn an 1
xn 1 an 2xn 2 … a
1x a
0bnx
n
bn 1xn 1 bn 2
xn 2 … b1x b
0
maka:
an bn, an 1bn 1
, …, a1
b1, dan a
0b
0
2. Nilai suku banyak f(x) anxn an 1
xn 1 an 2xn 2
… a1x a
0 untuk x k adalah:
ankn an 1
kn 1 an 2kn 2 … a
1k a
0, dengan
k bilangan real.
C. Pembagian Suku Banyak
SoalSoalContohContoh
1. Suatu suku banyak f(x) dibagi (x 2) sisanya 5
dan (x 2) adalah faktor dari f(x). Jika f(x) dibagi
x2 4, sisanya adalah . . . .
A. 5x 10 D. 5x 30
D. 5 54 2
x E. 5 74 2
x
C. 5x 10
Jawab:• F(x) dibagi x2 4 sisanya ax b
(x2 4) (x 2)(x 2)
x 2 F( 2) 2a b 0 .... (1)
x 2 F(2 2a b 5 .... (2)
• Eliminasi b dari Persamaan (1) dan (2)
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir 59
2a b 0
2a b 5
4a 5
a 5 54 2
b
Jadi, F(x) dibagi x2 4 sisanya 5 54 2
x
Kunci: B
2. Suku banyak f(x) dibagi (x 1) sisanya 2 dan
dibagi (x 3) sisa 7, suku banyak g(x) dibagi
(x 1) sisa 3 dan dibagi (x 3) sisa 2. Diketahui
h(x) f(x) · g(x), jika h(x) dibagi x2 2x 3,
sisanya adalah . . . .
A. S(x) 3x 1 D. S(x) 6x 1
B. S(x) 4x 1 E. S(x) 7x 2
C. S(x) 5x 1
Jawab:f(x) dibagi (x a) sisanya f(a)
f(x) dibagi (x a)(x b) sisanya ax bf(x) dibagi (x 1)(x 3)
f( 1) a b 2 ..... (1)
f(3) 3a b 7 ..... (2)
Eliminasi b dari Persamaan (1) dan (2)
a b 2
3a b 7
4a 9
a 9 14 4
b
Jadi, f(x) dibagi (x 1)(x 3) sisanya 9 14 4
x .
g(x) dibagi (x 1)(x 3) sisanya px qg( 1) p q 3 ..... (3)
g(3) 3p q 2 ..... (4)
Eliminasi b dari Persamaan (3) dan (4)
p q 3
3p q 2
4p 1
p 1 114 4
q
Jadi, g(x) dibagi (x 1)(x 3) sisanya 1 114 4
x .
91 11 14 4 4 4
2116
( 9 98 11)
x x
x x9
16
212 16
2116
( 9 98 11)2 3
( 9 18 27)
80 16
x xx x
x x
x
Jadi, sisanya adalah 80x 16 5x 1
Kunci: C
3. Akar-akar persamaan 2x3 11x 17x 6 adalah
x1, x
2, dan x
3. Nilai x
1x
2
1
3x
3 adalah . . . .
A.1
32
D. 2
B. 5 E. 4
C.1
52
Jawab:
Misalkan (x b) faktor dari suku banyak
f(x) 2x3 11 17x 6. Sehingga p merupakan
pembagi dari 6 yaitu 1, 2, 3 dan 6. Cari
nilai dari f(p) untuk nilai-nilai tersebut sampai
ditemukan salah satu faktor dari suku banyak f(x).
p 1 f(1) 2(1)3 11(1) 17 · 1 6
2 0 (bukan faktor)
p 1 f( 1) 2( 1)2 11( 1)2 17( 1) 6
36 0 (bukan faktor)
p 2 f(2) 2(2)3 11(2)2 17(2) 6
0 (bukan faktor)
Selanjutnya dicari faktor yang lain dengan cara
skematik
2 7 3
2 11 17
4 14
6
6
0 Sisa
2
Suku ke-1 Suku ke-2 Suku ke-3 Suku ke-4
Faktor
suku
banyak
Konstanta
pada
suku
banyak
2x3 11x2 17x 6 (x 2) (2x2 7x 3)
(x 2) (2x2 1) (x 3)
x1
2 x2
1
2x
3 3
Jadi, x1
2x2
1
3x
32 2 (
1
2)
1
3 (3)
2 1 1
4
Kunci: E
60 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
4. Suku banyak V(x) jika dibagi x2 9 dan x2 16
sisanya 5x 2 dan nol. Jika V(x) dibagi oleh
x2 7x 12 maka sisanya adalah . . . .
A. S(x) 17x 68
B. S(x) 17x 68
C. S(x) 17x 68
D. S(x) 68 17xE. S(x) 68 17xJawab:
V(x) dibagi x2 9 sisanya 5x 2
x2 9 (x 3)(x 3)
V(3) 5(3) 2 14
V( 3) 5( 3) 2 17
V(x) dibagi x2 16 sisanya nol
x2 16 (x 4)(x 4)
V(4) 0
V( 4) 0
V(x) dibagi x2 7x 12 sisanya px qx2 7x 12 (x 4)(x 3)
V( 4) 4p q0 4p q ..... (1)
V( 3) 3p q17 3p q ..... (2)
Eliminsi q dari Persamaan (1) dan (2)
4p q 0
3p q 17
p 17
p 17 q 68
Jadi, jika V(x) dibagi oleh x2 7x 12 maka
S(x) 17x 68. Kunci: A
5. Suku banyak (2x3 7x2 ax 3) mempunyai
faktor (2x 1). Faktor-faktor linier yang lain
adalah . . . .
A. (x 3) dan (x 1)
B. (x 3) dan (x 1)
C. (x 3) dan (x 1)
D. (x 3) dan (x 1)
E. (x 2) dan (x 6)
Jawab:f(x) 2x3 7x2 ax 3
faktor (2x 1) sehingga x 12
3 21 1 1 12 2 2 2
1 1 18 4 2
1 7 14 4 2
12
2 7 3
0 2 7 3
3 0
1
2
f a
a
a
a
a
Jadi, f(x) 2x3 7x2 2x 3.
12
2 7 2 3
1 4 3
2 8 6 0 Hasil bagi
2x2 8x 6 2(x2 4x 3)
2(x 1)(x 3)
f(x) 2x3 7x2 2x 3
2(2x 1)(x 1)(x 3) Kunci: B
1. Suku banyak P(x) 3x3 4x2 6x 20 habis
dibagi (x 2). Sisa pembagian P(x) oleh
3x2 2x 2 adalah . . . .
A. 20x 24 D. 8x 24
B. 20x 16 E. 32x 16xC. 32x 24
2. Akar-akar persamaan x3 4x2 x 4 0 adalah
x1, x
2, dan x
3. Nilai x
12 x
22 x
32 adalah . . . .
A. 2 D. 17
B. 14 E. 18
C. 15
3. Diketahui suku banyak f(x) jika dibagi (x 1) bersisa
8 dan dibagi (x 3) bersisa 4. Suku banyak g(x)
jika dibagi (x 1) bersisa 9 dan jika dibagi
(x 3) bersisa 15. Jika h(x) f(x) g(x) maka sisa
pembagian h(x) oleh (x2 2x 3) adalah . . . .
A. x 7 D. 11x 13
B. 6x 3 E. 33x 39
C. 6x 21
4. Suku banyak 6x3 13x2 qx 12 mempunyai
faktor (3x 1). Faktor linier yang lain adalah . . . .
Ujian NasionalUjian NasionalSoal-SoalSoal-Soal
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir 61
A. 2x 1 D. x 4
B. 2x 3 E. x 2
C. x 4
5. Fungsi y 4x3 6x2 2 naik pada interval . . . .
A. 0 x 1 D. x 0
B. x 1 E. x 0 atau x 1
C. x 1
6. Suatu suku banyak dibagi (x 5) sisanya 13,
sedangkan jika dibagi (x 1) sisanya 5. Suku
banyak tersebut jika dibagi x2 6x 5 sisanya
adalah . . . .
A. 2x 2 D. 3x 2
B. 2x 3 E. 3x 3
C. 3x 1
7. Suatu suku banyak bila dibagi oleh x 2 bersisa
11, dibagi oleh x 1 sisanya 4. Suku banyak
tersebut bila dibagi oleh x2 x 2 bersisa . . . .
A. x 5 D. 5x 1
B. x 5 E. 5x 1
C. 5x 21
8. Suku banyak (x4 7x3 9x2 13x 7) dibagi
(x 1) (x 3) menghasilkan sisa . . . .
A. x 1 D. 2x 1
B. x 3 E. 2x 3
C. 2x 1
9. Suku banyak P(x) x3 (a 1)x2 bx 2a, habis
dibagi oleh x 2, dibagi x 2 sisanya 4. Nilai adan b berturut-turut adalah . . . .
A. 7 dan 3 C. 3 dan 5
B. 2 dan 6 D. 1 dan 3
E. 4 dan 8
10. Akar real persamaan x5 2x4 4x2 ax b 0
adalah x1
1, x2
3, dan x3.
Nilai dari x1
x2
2x3
. . . .
A. 0 D. 3
B. 1 E. 4
C. 2
11. Suku banyak x4 5x3 ax2 x b jika dibagi xbersisa 2 dan dibagi (x 1) bersisa 1. Nilai
a 3b . . . .
A. 8 D. 2
B. 6 E. 0
C. 4
12. Diketahui persamaan x3 x2 x 0. Jika
1, 2 dan adalah akar-akar persamaan
tersebut, maka nilai dari 2 2 2 . . . .
A. 3 D. 12
B. 6 E. 14
C. 8
13. Suku banyak x4 ax3 2x2 bx 5 jika dibagi
oleh (x 2) bersisa 7, sedangkan suku banyak
tersebut dibagi (x 3) akan memberikan sisa 182.
Nilai dari a2 4ab 4b2 . . . .
A. 1 D. 16
B. 4 E. 25
C. 9
14. Akar-akar persamaan suku banyak
px3 5x2 22x q 0 adalah x1
1, x2
5 dan
x3. Nilai x
1x
2 4x
3 . . . .
A. 10 D. 2 12
B. 2 E. 10
C. 2
15. Suku banyak x3 Ax2 Bx 6 habis dibagi
(x 3x 2). Nilai A B . . . .
A. 5 D. 17
B. 17 E. 19
C. 5
16. Persamaan x3 2x2 5x 6 0 mempunyai akar-
akar x1, x
2, dan x
3. Nilai x
1x
2x
3 dan x
1x
2x
3
adalah . . . .
A. 2 dan 6 D. 5 dan 6
B. 6 dan 2 E. 5 dan 6
C. 2 dan 6
17. Suku banyak f(x) jika dibagi x 2 sisanya 8 dan
jika dibagi 3x 1 sisanya 1. Sisa pembagian f(x)
oleh 3x2 5x 2 adalah . . . .
A. 2x 3 D. 3x 2
B. 3x 3 E. 3x 2
C. 3x 2
18. p dan q merupakan akar-akar rasional dan
persamaan 3x4 8x3 7x 2 0.
Nilai p q . . . .
A. 8
3D. 5
3
B. 7
3E. 7
3
C.5
3
62 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
Soal tentang suku banyak selalu keluarsetiap tahun. Tahun 2000-2001 keluarsebanyak 2 soal. Tahun 2002-2005keluar 1 soal. Kemungkinan akan keluarjuga 1 soal pada tahun 2006.
Analisis
19. Diketahui suku banyak
f(x) 12
x5 4x3 6x2 3x 8.
Nilai suku banyak f untuk x 2 adalah . . . .
A. 70 D. 18
B. 6 E. 26
C. 40
FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS12
A. Fungsi Komposisi
1. Misalkan fungsi f(x) dan g(x) masing-masing
terdefinisi pada daerah asalnya, maka:
fungsi f(x) dilanjutkan dengan fungsi g(x)
dinyatakan oleh (g f)(x) g(f(x)) terdefinisi
jika Rf Dg .
fungsi g(x) dilanjutkan dengan fungsi f(x)
dinyatakan oleh (f g)(x) f(g(x)) terdefinisi
jika Rg Df .
2. Sifat-sifat fungsi komposisi
Pada umumnya, fungsi komposisi tidak bersifat
komutatif
(f g)(x) (g f)(x)
Fungsi komposisi bersifat asosiatif
Untuk sembarang fungsi f(x), g(x), dan h(x),
berlaku
(f (g h))(x) ((f g) h)(x)
3. Dalam fungsi komposisi terdapat unsur identitas,
yaitu fungsi identitas I(x) x yang memiliki sifat
(f I)(x) (I f)(x) f(x).
1. Suatu fungsi f : A B memetakan setiap anggota
A ke B secara unik. Invers dari fungsi f, ditulis
f 1 merupakan balikan fungsi tersebut, yaitu relasi
yang menghubungkan anggota-anggota di B ke A.
2. Suatu fungsi f : A B mempunyai fungsi invers
f 1 : B A jika dan hanya jika f merupakan
fungsi bijektif, yaitu fungsi satu-satu dan onto.
3. Misalkan f adalah fungsi bijektif dengan daerah
asal Df dan daerah hasil Rf maka f 1(x) adalah
fungsi invers dari f jika dan hanya jika (f 1 f)(x)
(f f 1)(x) x.
4. Grafik fungsi f(x) dan grafik fungsi f 1(x) simetri
terhadap garis y x.
5. Jika f(x) dan g(x) fungsi bijektif dan f 1(x)dan g 1(x)
masing-masing merupakan fungsi inversnya maka
• (f g) 1(x) (g 1 f 1)(x)
• (g f) 1(x) (f 1 g 1)(x)
B. Fungsi Invers
Pelajari cara menentukan sisa pembagiandan menentukan akar-akar persamaansuku banyak.
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir 63
1. Jika g(x) (x 1) dan 2( )( ) 3 1,f g x x xmaka f(x) . . . .
A. x2 5x 5 D. x2 6x 1
B. x2 x 1 E. x2 3x 1
C. x2 4x 3
Jawab:( )f g (x) f(g(x))
x2 3x 1 f(x 1)
(x 1)2 (x 1) 1 f(x 1)
f(x 1) (x 1)2 (x 1) 1
f(x) x2 x 1 Kunci: B
2. Jika ( )( )g f x 4x2 4x dan g(x) x2 1, maka
f(x 2) adalah . . . .
A. 2x 1 D. 2x 3
B. 2x 1 E. 2x 5
C. 2x 2
Jawab:Diketahui: ( )g f (x) 4x2 4x
g(x) x2 1
( )g f (x) g(f(x))
4x2 4x f(x)2 1
f(x)2 4x2 4x 1
f(x)2 (2x 1)2
f(x) 2x 1
Jadi, f(x 2) 2(x 2) 1
2x 4 1
2x 3 Kunci: C
3. 2( ) 1f x x dan
21( )( ) 4 5,2
f g x x xx
maka g(x 3) . . . .
A.1
5x D.1
3x
B.1
1x E.1
3x
C.1
1xJawab:
Diketahui:2( ) 1f x x
21( )( ) 4 52
( )( ) ( ( ))
f g x x xx
f g x f g x
Misalkan g(x) y
2 2
22
2
22
222
2 2
2 22
2
22
2
2
4 5
( 2)
2 4 5
( 2)
4 5 ( 4 4)
( 2)
1
( 2)
1
( 2)
( )( ) ( ( )) ( )
1 4 5 1 ......
1
1 ......
( 2)4 5
( 2) ( 2)
1
2
kedua ruasdikuadratkanx
x xx
x x samakanpenyebutx
x x x xx
x
x
f g x f g x f y
x x y
y
y
xx xyx x
y
y
yx
Sehingga,
1( )2
1 1( 3)3 2 5
g x yx
g xx x
Kunci: A
4. Diketahui fungsi 12
5 3( ) ,
2 1
xf x xx
, dan
g(x) 3x 2. Hasil dari 1( )( )f g x . . . .
A.16
3 5,
6 1
x xx
B.16
3 5,
6 1
x xx
C.16
3 5,
6 1
x xx
D.12
6 5,
6 3
x xx
E.12
6 5,
6 3
x xx
Jawab:
f(x)5 3
2 1
xx Misalkan f(x) y
y5 3
2 1
xx
SoalSoalContohContoh
64 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
2yx y 5x 3
2yx 5x 3 y
x(2y 5) 3 y
x3
2 5
yy
f 1(x)3
2 5
xx
1( )( )f g x f 1(g(x)) f 1(3x + 2)
3 (3 2) 3 5
2(3 2) 5 6 4 5
x xx x
1( )( )f g x3 5 1
,6 1 6
x xx
Kunci: A
5. Jika ( ) , 0 dan ( ) ,1
xf x x x g xx
x 1,
maka1( ) (2)g f . . . .
A. 14
D. 2
B. 12
E. 4
C. 1
Jawab:
( )( ) ( ( )) ( )1
xg f x g f x g xx
Misalkan: ( )( )g f x y
2 2
2
2
21
2
21
2
1
( 1) .....
( 1)
( 1)
( ) ( )( 1)
2 4( ) (2) 41(2 1)
kedua ruasdikuadratkan
xyx
y x y xy x x y
x y y
x y y
yxy
xg f xx
g f
Kunci: E
1. Diketahui: f(x) 2x 1
( )f g (x 1) 2x2 4x 1
Nilai g( 2) . . . .
A. 5 D. 1
B. 4 E. 5
C. 1
2. Diketahui f(x)2 3 1
,4 1 4
x xx . Jika f 1 adalah
invers fungsi f, maka f 1(x 2) . . . .
A.4 5
,4 5 4
x xx
B.4 5
,4 5 4
x xx
C.2 3
,4 3 4
x xx
D.3,
4 3 4
x xx
E.5,
4 5 4
x xx
3. Diketahui fungsi f(x) 6x 3, g(x) 5x 4, dan
( )f g (a) 81. Nilai a . . . .
A. 2 D. 2
B. 1 E. 3
C. 1
4. Jika f(x) 1x dan ( )f g (x) 2 1x ,
maka fungsi g adalah g(x) . . . .
A. 2x 1 D. 4x 3
B. 2x 3 E. 5x 4
C. 4x 5
5. Diberikan fungsi f dan g dengan f(x) 2x 1 dan
( )( ) , 11
xf g x xx maka invers dari
fungsi adalah g 1(x) . . . .
A. , 11
x xx
B.2 1
, 02
x xx
C.1, 0
x xx
D.12
2 ,2 1
x xx
E.2 1
, 02
x xx
Ujian NasionalUjian NasionalSoal-SoalSoal-Soal
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir 65
6. Diketahui f : R dan g : R R, didefinisikan
dengan f(x) x3 4 dan g(x) 2 sin x. Nilai
12
( )f g adalah . . . .
A. 4 D. 6
B. 2 E. 12
C. 3
7. Diketahui f : R R, g : R R dengan
g(x) 3x 7 dan ( )g f (x) 15x2 6x 19.
Rumus untuk f(x) adalah . . . .
A. 5x2 6x 12 D. 5x2 2x 4
B. 5x2 6x 4 E. 5x2 2x 3
C. 5x2 3x 4
8. Diketahui fungsi f(x) 2x 3 dan g(x) 3x 1.
Nilai x yang memenuhi ( )f g (x 4) f(x) 2g(x)
adalah . . . .
A. 12 D.1
2
B. 1 E. 12
C. 2
9. Diketahui f(x)2 3 , 4
4x x
x dan g(x) 2x,
maka 1( ) ( )g f x . . . .
A.2 1,
3 1 3x xx
D.4 10 , 33x x
x
B.2 5 2,3 2 3
x xx
E.4 10 , 33x x
x
C.4 6 , 4
4x x
x
10. Diketahui: f : x 2 3,
4
x xx
4
( )g f (x) x2 7x 8
Nilai dari 58
g . . . .
A. 8 D. 0
B. 6 E. 4
C. 4
11. Fungsi invers dari 153( ) (1 ) 2f x x adalah
f 1(x) . . . .
A.1351 ( 2)x D.
531 ( 2)x
B.1351 ( 2)x E.
53( 2)x
C.531 ( 2)x
12. Diketahui f(x) x 1 dan ( )f g (x) 3x2 4 maka
g(4) . . . .
A. 15 D. 52
B. 16 E. 57
C. 51
13. Diketahui fungsi f yang dinyatakan dengan
f(x 3) 4
2 5
xx untuk x 5
2, dan f 1(x) adalah
invers dari f(x). Rumus fungsi f 1(x) . . . .
A.12
1,
1 2
x xx D.
12
5 4,
2 1
x xx
B.12
1,
1 2
x xx E.
12
5 4,
2 1
x xx
C.12
1,
2 1
x xx
14. Diketahui: g(x) x 4
( )f g (x) x2 3x 2.
Nilai f(0) sama dengan . . . .
A. 20 D. 8
B. 16 E. 6
C. 15
15. Diketahui f(x 2) 12
5,
2 1
x xx
Jika f 1(x) adalah invers dari f(x) maka
f 1(x) . . . .
A.12
5 1,
1 2
x xx D.
12
2,
2 1
x xx
B.12
1,
1 2
x xx E.
12
2 3,
2 1
x xx
C.12
5 3,
2 1
x xx
16. Jika ( )f g (x) 4x2 8x 3 dan g(x) 2x 4,
maka f -1(x) . . . .
A. x 9 D. 2 1xB. 2 x E. 2 7xC. x2 4x 3
17. f(x) x 2 untuk x 0
g(x)15
x untuk x 0
Dengan demikian 1 1 ( ) 1f g x untuk x sama
dengan . . . .
A. 1 D. 8
B. 3 E. 10
C. 5
66 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
18. Fungsi invers dari f(x)3 4
2 1
xx adalah . . . .
A.2 1
3 4
xx D.
2 3
4
xx
B.4
2 3
xx E.
4
2 3
xx
C.3 4
2 1
xx
Tahun 2002 dan 2003 soal tentang fungsikomposisi dan fungsi invers keluarsebanyak 2 soal. Tahun 2001-2002 dan2004-2005 hanya keluar 1 soal saja.
Analisis
LIMIT FUNGSI13
A. Pengertian Limit di Suatu Titik
Misalkan fungsi f(x) didefinisikan di sekitar x a, maka
lim ( )x a
f x L jika dan hanya jika
lim ( ) lim ( )x a x a
f x L f x L
lim ( )x a
f x L disebut limit kiri
lim ( )x a
f x L disebut limit kanan
B. Limit Fungsi Aljabar
1. Jika pangkat tertinggi variabel x pada f(x) sama
dengan pangkat tertinggi variabel x pada g(x) maka
( ) koefisien variabel dari ( )lim
( ) koefisien variabel dari ( )
n
nx
f x x f xg x x g x
n adalah pangkat tertinggi variabel x.
2. Jika pangkat tertinggi variabel x pada f(x) lebih dari
pangkat tertinggi variabel x pada g(x) dan koefisien
variabel x yang pangkatnya tertinggi pada f(x)
bernilai positif maka
( )lim
( )x
f xg x
3. Jika pangkat tertinggi variabel x pada f(x) lebih dari
pangkat tertinggi variabel x pada g(x) dan koefisien
variabel x yang pangkatnya tertinggi pada f(x)
bernilai negatif maka
( )lim
( )x
f xg x
4. Jika pangkat tertinggi variabel x pada f(x) kurang
dari pangkat tertinggi variabel x pada g(x) maka
( )lim 0
( )x
f xg x
Pahami cara menentukan fungsi kom-posisi jika salah satu fungsi diketahui,begitu juga cara menentukan invers darisuatu fungsi.
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir 67
Misalkan n bilangan asli, k konstanta, dan f dan gfungsi-fungsi yang mempunyai limit di c, maka:
1. limx c
k k
2. limx c
x c
3. lim ( ) lim ( )x c x c
kf x k f x
4. lim ( ( ) ( )) lim ( ) lim ( )x c x c x c
f x g x f x g x
5. lim ( ( ) ( )) lim ( ) lim ( )x c x c x c
f x g x f x g x
6. lim ( ( ) ( )) lim ( ) lim ( )x c x c x c
f x g x f x g x
7.
lim ( )( )
lim( ) lim ( )
x cx c
x c
f xf xg x g x
, syaratnya g(x) 0.
8. lim ( ) lim ( )nn
x c x cf x f x
C. Teorema Limit
D. Limit Trigonometri
9. lim ( ) lim ( )n nx c x c
f x f x ,syaratnya lim ( ) 0x c
f x
untuk n bilangan genap.
SoalSoalContohContoh
1.2lim (3 2) 9 2 5 . . . .
xx x x
A. 0 D.4
3
B.1
3E.
5
3
C. 1
Jawab:2
2 2
2 2
lim (3 2) 9 2 5
lim (3 2) 9 2 5
lim 9 12 4 9 2 5
12 ( 12) 10 5
6 32 9
x
x
x
x x x
x x x
x x x x
Kunci: E
I N G A T
2
2 2lim
2
x
a a
ax bx c ax dx c
b da
2. lim ( )( ) . . . .x
x a x b x
A.2
a bD.
2
a b
B. E. a bC. 0
Jawab:
1.0 0
sinlim 1 atau lim 1
sinx x
x xx x
2.0 0
tanlim 1 atau lim 1
tanx x
x xx x
3.0
lim cos 1x
x
4.0 0
sinlim atau lim
sinx x
ax a ax abx b bx b
5.0 0
tanlim atau lim
tanx x
ax a ax abx b bx b
68 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
2
2 2
lim ( )( )
( )( )lim ( )( )
( )( )
( )( )lim
( )( )
( )lim
( )( )
x
x
x
x
x a x b x
x a x b xx a x b xx a x b x
x a x b xx a x b x
x a b x ab xx a x b x
12
( )a b Kunci: D
3. 30
1 1lim
1 1x
xx sama dengan . . . .
A. 0 D.3
2
B.1
3E. 2
C.2
3
Jawab:12
23
12
23
12
30 0 13
1 12 2 3
211
33
(1 )1 1lim lim
1 1 (1 )
(1)
(1)
x x
xxx x
Kunci: D
4.
2 2
40
1 cos cos sinlim . . . .x
x x xx
A. 0 D. 1
B.1
4E. 1
C.1
2
Jawab:2 2
40
2 2
40
2
40
1 cos cos sinlim
sin cos sinlim
sin (1 cos )lim
x
x
x
x x xx
x x xx
x xx
2 2 12
40
2 1 122 4
2 20 12
sin 2 sinlim
2 sinsinlim
x
x
x x
xxx
x x
1 14 2
1 2 1 Kunci: C
5.
1 132
7lim . . . .
7
x
x x
A.1
54D. 0
B.1
13E.
C.1
9
Jawab:3 21 1
32 3 2
7 7
7
7
7
7
lim lim7 7
3 2 3 2lim
3 23( 2 ( 7)
9 (2 )lim
3 2 ( 7) 3 2
( 7)lim
3 2 ( 7) 3 2
1lim(3 2 ) 3 2
1 1
(3 3)(3 3)3 2 7 3 2 7
xx x
x x
x
x
x
x
x x
x xxx x
xx x x
xx x x
x x
1 1
9 6 54 Kunci: A
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir 69
1. Nilai2
20lim
1 1xx
x . . . .
A. 2 D. 2
B. 0 E. 3
C. 1
2. Nilai0
sin 2lim
3 2 9x
xx
. . . .
A. 3 D. 3
B. 1 E. 6
C. 0
3. Nilai lim 5 2 1x
x x . . . .
A. 1 D. 2
B. 0 E.
C. 1
4. Nilai2
0
4lim1 cos 2x
xx
. . . .
A. 2 D. 2
B. 1 E. 4
C. 1
5. Nilai22
6 1lim24x
xxx
. . . .
A.1
2D.
1
4
B.1
4E.
1
2
C. 0
6.2
22
1 cos ( 2)lim
3 12 12x
xx x
. . . .
A. 0 D. 1
B.1
3E. 3
C.1
3
7. lim (2 5)(2 1) (2 5)x
x x x . . . .
A. 2 D. 7
B. 3 E. 14
C. 7
8. Nilai lim2( ) tan ( )x
xx x
. . . .
A.1
2D.
1
3
B.1
4E.
2
5
C.1
4
9. Nilai2
5
2 9 5lim
5x
x xx
. . . .
A. 0 D. 11
B. 8 E.
C. 9
10. Nilai0
tan 2lim
1 cos 6x
x xx
. . . .
A.1
9D.
1
3
B.1
6E.
2
3
C.2
9
11.4
lim1 2 1 2x
xx x
. . . .
A. 0 D. 2
B.1
2E.
C. 1
12.2 tan
Nilai lim1 cosx
x xx
. . . .
A. 4 D. 1
B. 1 E. 4
C. 0
13. Nilai22
2lim . . . .
2x
xx x
A.1
4D.
1
6
B.1
6E.
1
4
C. 0
Ujian NasionalUjian NasionalSoal-SoalSoal-Soal
70 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
14.
4
2
2 sin cos 1lim . . . .
6 cos 3x
x xx
A.2
3D.
1
3
B.1
3E.
2
3
C. 0
15.0
( ) ( )lim
h
f x h f xh
untuk
f(x) 3x2 cos3 (x2 ) adalah . . . .
A. 18x3 sin3(x2 ) 3x cos2(x2 )
B. sin2(x2 ){cos(x2 ) 3x2 sin(x2 )}
C. cos2(x2 ){sin(x2 ) 3x2 sin(x2 )}
D. 6x cos2(x2 ){cos(x2 ) 3x2 sin(x2 )}
E. 6x cos2(x2 ){cos(x2 ) 3x2 sin(x2 )}
16.2
3
4 6 3 18lim . . . .
3x
x x xx
A. 1 D.13
4
B.1
2E.
27
4
C.1
4
17.30
sin 3 sin 3 cos 2lim . . . .
4x
x x xx
A. 3 D.2
3
B.3
2E.
1
2
C.3
4
18.3
23
27lim . . . .
9x
xx
A. 0 D. 12
4
B. 2 E.
C. 12
2
19.4 2
cos sinlim
2x
x xx . . . .
A. D. 2
B. 2 E. 12
2
C. 1
20.3
22
8lim . . . .
6t
tt t
A. 0 D.5
4
B.4
3E.
C.12
5
21.0
sin 5lim . . . .
sin 3x
xx
A. 1 D.5
3
B.3
5D. 1
C. 0
22.0
tanlim . . . .
1 cosx
x xx
A. 4 D.1
2B. 2 E. 2
C. 1
23.2lim 3 2 9 2 5 . . . .
xx x x
A.5
6D. 1
32
B. 13
2 E.5
6
C. 23
1
24.0
4lim . . . .sin 3xx
x x
A.3
4D. 3
B. 1 E. 4
C.4
3
25.1
1lim . . . .
1x
xx
A. 2 D. 1
B. 5 E.
C. 0
26.2
2
2
cos ( )lim
(2 ) tan ( )x
xx x
A. 1 D.1
2B. 1 E. 0
C.1
2
Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir 71
AnalisisDiprediksikan soal tentang limit akanmuncul sebanyak 2 soal dalam ujiannasional pada tahun 2006.
1. Turunan fungsi f(x) pada sebarang bilangan cadalah
0
( ) ( )( ) lim
x
f c h f cf ch ,
asalkan limit ini ada
2. Aturan fungsi konstan
Jika f(x) k, dengan k sebuah konstanta, maka
untuk setiap x R, berlaku f (x) 0.
3. Aturan fungsi identitas
Jika f(x) x maka f (x) 1.
4. Aturan pangkat
Jika f(x) axn, dengan a bilangan real tidak nol
dan n bilangan asli maka
f (x) anxn 1
5. Aturan kelipatan konstanta
Jika f(x) ku(x), dengan k suatu konstanta dan
u(x) mempunyai turunan u (x) maka
f (x) ku (x)
TURUNAN FUNGSI14
A. Aturan Turunan 6. Aturan jumlah
Jika f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang mempunyai
turunan f (x) dan g (x), maka
(f g) (x) f (x) g (x)
7. Aturan selisih
Jika f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang mempunyai
turunan f (x) dan g (x), maka
(f g) (x) f (x) g (x)
8. Aturan hasil kali
Jika f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang mempunyai
turunan f (x) dan g (x), maka
(f . g) (x) f(x)g (x) g(x)f (x)
9. Aturan hasil bagi
Jika f(x) dan g(x), dengan g(x) 0 merupakan
fungsi-fungsi yang mempunyai turunan f (x) dan
g (x), maka
2
( ) ( ) ( ) ( )( )
[ ( )]
f g x f c f x g xxg g x
Alokasikan waktu yang lebih banyakuntuk mempelajari cara menyelesaikanlimit fungsi yang mengandung akar danfungsi trigonometri.
16 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
KUNCI JAWABAN DAN PEMBAHASANKOMPILASI SOAL
UJIAN NASIONAL Lima Tahun Terakhir
1. Kunci Jawaban: B
5
3432 5 2( 2)4 16 2 2
4 202 4
3
xx x x
xx
6x 12 4x 20
2x 8
x 4
2. Kunci Jawaban: A
22x 2 2x (2x 2 x)2 2(2x · 2 x)
52 2 25 2 23
3. Kunci Jawaban: B
32
5 134
56
2
7substitusikan nilai 4 dan 27
6
x y x yx y x
Akan diperoleh:3
2
5 1
34
6 5
2
7 4 27
4 6 27 4
156
52
3
1 4
7 2 3
2 6 3 2
12
12
2
2
7 73 3 6 9 3
8 86 1 4 2 2
2 23 16
14 9 3 7 9 3 2 2 1
2(2 2 1) 2 2 1 4 2 1
7 9 3 (2 2 1) 7 9 3(2 2 1)
8 1 7
(1 2 2) 9 3
4. Kunci Jawaban: B3log 2 x dan 2log 5 y
1. Bentuk Pangkat, Akar dan LogaritmaBentuk Pangkat, Akar dan LogaritmaBentuk Pangkat, Akar dan LogaritmaBentuk Pangkat, Akar dan LogaritmaBentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
3log 2 x
log 2 log 2log 3
log 3x
x
2log 5log 5
log 2y y
log 5 y log 2
5log 15log 15
log 5log 5 3
log 5
log 5 log 3
log 5
1log 2 log 2
log 2
xy
y
log 2 1( )
log 2
xy
y1
1 1xy xyy x x y
11 xyxyxy xy xy
5. Kunci Jawaban: C
22x 5 · 2x 1 16 0 (2x)2 5 · 2x · 2 16 0
Misalkan 2x a a2 10a 16 0
(a 8) (a 2) 0
a 8 atau a 2
untuk a 8 2x 8 x 3
untuk a 2 2x 2 x 1
HP {1, 3}
6. Kunci Jawaban: C
p2 3 1 2 11 2 1 13 3 3 32 4 2 2 4
25 51 1100 3 10 3
1 3 2 16 9 312
25 5300 30
30,25 0,5
2 4 3
4 4
25 16 27 (25 ) (16 ) (27 )
625 81 (625 ) (81 )
(5 ) (2 ) (3 ) 5
(5 ) (3 )
232 3
135
233
2
7. Kunci Jawaban: C
2log 5 plog 5
log 2p log 5 p log 2
3log 5 p log 2
log 3q log 3
log 2
q
Sehingga,
3log 125 3log 125 log 5 3 log 5
log 3 log 3 log 3
3 ( log 2)3
log 2
p pq
q
8log 27
3
3
log 27 log 3 3 log 3
log 8 3 log 2log 2
log 3 log 2 1 1
log 2 log 2q q
Jadi, 3log 125 8log 27 3pq21 3 1pq
q q
8. Kunci Jawaban: E
35x 1 27x 3 35x 1 33x 9
5x 1 3x 9
2x 10
x 5
9. Kunci Jawaban: D
2
83
23
21 13 3
2 9 2 4 3
22 4
2 4
3 9
3 3
3 13 3
3 3
x
xx
x
17Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
1. Kunci Jawaban: E
2x2 2px q2
0, akar-akarnya p dan q.
Diketahui p q 6 p q 6
Karena pada persamaan kuadrat di atas a 2, b 2p, c q2,
dan akar-akarnya x1 p dan x2 q maka:
2
2
b pp q pa
Karena p q 6, berarti: 6 ( 6)
6 2 6
3 12 4
q q qq qq q
Dari p q 6 didapat:
p ( 4) 6 2
sehingga p · q 2 · ( 4) 8
2. Kunci Jawaban: B
Absis titik balik fungsi y px2 (p 3) x 2 adalah p.
Koordinat titik balik grafik fungsi kuadrat yang persamaannya:
y ax2 bx c adalah (x0, y0) dengan 0 0dan2 4
b Dx ya a
di mana D determinan b2 4ac.
Pada fungsi di atas a p, b (p 3) dan c 2
Diketahui absis titik baliknya adalah p, maka:
0
( 3)
2 2
3
2
b px pa ppp
p
2p2 p 3 0
(2p 3) (p 1) 0
Jadi, p 3
2 atau p 1
3. Kunci Jawaban: B
Bentuk umum persamaan kuadrat yang akar-akarnya
berlawanan adalah ax2 c 0, maka b 0.
Untuk persamaan kuadrat:
mx2 (m 5)x 20 0 m 5 0
m 5
a b c
4. Kunci Jawaban: C
x2 px 1 0 a 1, b p, c 1
1 2
1 2
1
11
1
b px x pa
cx xa
2. Persamaan Kuadrat dan Fungsi KuadratPersamaan Kuadrat dan Fungsi KuadratPersamaan Kuadrat dan Fungsi KuadratPersamaan Kuadrat dan Fungsi KuadratPersamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat
1 3
82 4
3
6 12 8
6 20
13
3
x
xx
x
Misalkan akar-akar persamaan yang baru adalah
1 2
1 2 1 2
1 2
2( )2 2 2( )2
1
x x p px x x xx x p
Persamaan kuadrat yang baru
x2 ( ) · 0
x2 ( 2p p)x ( 2p) ( p) 0
x2 3px 2p2
0
5. Kunci Jawaban: E
2x2 qx (q 1) 0
1 2 1 2
1dan
2 2
q qx x x x
x12 x2
2 (x1 x2)
2 2x1x2 4
2
2
2
12 4
2 2
1 4 04
3 04
q q
q q
q q
q2 4q 12 0
(q 6) (q 2) 0
q 6 0 q 6
q 2 0 q 2
Jadi nilai q adalah 2 dan 6.
6. Kunci Jawaban: B
2x2 9x c 0
Diskriminan: D b2 4ac
121 ( 9)2
4(2)(c)
121 81 8c 8c 40
c 5
7. Kunci Jawaban: A
Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai minimum 2 untuk x 3
adalah:
f(x) a(x 3)2
2
x 0 f(0) a(0 3)2
2 16
9a 2 16
9a 18
a 2
Jadi f(x) 2(x 3)2
2
2x2 12x 18 2
2x2 12x 16
8. Kunci Jawaban: C
F(x) (p 2)x2 2(2p 3)x 5p 6, bernilai positif untuk
semua x.
Syarat selalu bernilai positif:
(i) a 0, berarti p 2 0 p 2
(ii) D 0, berarti:
{2(2p 3)}2
4(p 2) (5p 6) 0
4(4p2 12p 9) 20p2
64p 48 0
4p2 16p 12 0
p2 4p 3 0
( p 3) (p 1) 0
18 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
p 1 atau p 3
Karena syarat (i) p 2 maka yang memenuhi adalah p 3.
9. Kunci Jawaban: C
F(x) memiliki nilai maksimum 3 untuk x 1.
Berarti: 1 22
b b aa
Fungsi kuadratnya dapat ditulis:
F(x) ax2 2ax c
F(1) a 2a c a c 3 . . . (i)
Melalui titik (3, 1), maka:
F(3) a · 32
2a · 3 c 1
3a c 1 . . . (ii)
Dari (i) dan (ii) didapat:
a c 3 3 3a 3x 9
3a c 1 1 3a c 1
4c 10 5
2c
Berarti, grafiknya melalui titik (0, 5
2).
10. Kunci Jawaban: E
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan 2 adalah:
(x x1)(x x2) 0
(x 5)(x 2) 0
x2 3x 10 0
11. Kunci Jawaban: E
2x y 8 . . . (1) y 2x 8 . . . (4)
2y z 8 . . . (2) 2(2x 8) z 8
4x 16 z 8 . . . (5)
3x y z 3 . . . (3) 3x (2x 8) z 11 . . . (6)
(5) (6) 4x z 8
5x z 11
x 3
x 3
12. Kunci Jawaban: A
x2 x 6 0 a 1, b 1, c 6
1
66
1
ba
ca
Akar-akar persamaan yang baru adalah dan2 3 2 3
2 2
2
2
(2 3) (2 3)
2 3 2 3 (2 3)(2 3)
2 3 2 3
4 6 6 9
2( ) 4 3( )
4 6( ) 9
2( 1) 4(6) 3( 1)
4(6) 6( 1) 9
19
39
2 3 2 3 (2 3)(2 3)
4 6( ) 9
6
4(6) 6( 1) 9
6
39
Persamaan kuadrat yang baru adalah
2 19 60
39 39x x . . . kedua ruas dikali 39
39x2 19x 6 0
13. Kunci Jawaban: E
x2 (m 1) x 2
1
4 0
a b cDua akar berlainan D 0
b 4ac 0
(m 1)2
4(1) 9
4 0
m2 2m 1 9 0
m2 2m 8 0
(m 4) (m 2) 0
Jadi batas-batas nilai m yang memenuhi adalah m 4 atau
m 2.
14. Kunci Jawaban: D
P(m, n) P(2, 1) m 2, n 1
Persamaan kuadrat: y a(x m)2 n
melalui titik (0, 5) 5 a(0 2)2
1
5 4a 1
4a 4
a 1
Sehingga diperoleh persamaan
y a(x m)2 n
y 1(x 2)2
1
y x2 4x 4 1
y x2 4x 5
15. Kunci Jawaban: A
x2 px 2 x2 px 2 0 a 1, b p, c 2
x1 x2 1
b p pa
x1 · x2
22
1
ca
1 1 11
2 2
1 2 1
1 1 2 2
2 11
2 2 2 2
2 2 (2 1)
2 4 2
x x xxx x
x x xx x x x
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 4 0
2( ) 4 0
2( ) 4( 2) 0
2 8
4
x x x xx x x x
ppp
2 4
19Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
16. Kunci Jawaban: D
(m 1)x2 4x 2m 0
a b cAkar-akar tidak nyata D O
b2 4ac 0
42 4(m 1)(2m) 0
16 (4m 4)2m 0
16 8m2 8m 0
m2 m 2 0
(m 2) (m 1) 0
Nilai m yang memenuhi adalah m 2 atau m 1.
17. Kunci Jawaban: B
Memotong sumbu-x di titik (1, 0) dan (5, 0) sehingga diperoleh
persamaan kuadrat.
y a(x x1)(x x2)
y a(x 1)(x 5)
Melalui titik (6, 10)
y a(x 1)(x 5)
10 a(6 1)(6 5)
10 5a a 2
Karena a 0 maka mempunyai titik balik minimum.
Nilai minimum y 0.
y 2(x 1)(x 5) y 0
y 2(x2 6x 5) 4x 12 0
y 2x2 12x 10 4x 12
x 3
Nilai minimum: y 2(32) 12(3) 10
18 36 10
8
18. Kunci Jawaban: B
x2 x 2 0 a 1, b 1, c 2
x1 x2 1ba
x1 · x2
22
1
ca
Akar-akar persamaan yang baru adalah 1
2
xx
dan 2
1
xx
.
2 21 2 1 2 1 2 1 2
2 1 1 2 1 2
2
1 2 1 2
2 1 1 2
( ) 2
( 1) 2(2) 3
2 2
1
x x x x x x x xx x x x x x
x x x xx x x x
sehingga diperoleh persamaan kuadrat yang baru:
x2 3
2x 1 0 . . . kedua ruas dikali 2
2x2 3x 2 0
19. Kunci Jawaban: C
Pers. Kuadrat: x2 3px 6 3x 10p x2 3px 3x 6 10p 0
x2 (3p 3)x 10p 6 0
Akar real: D 0
b2 4ac 0
[ (3p 3)]2
4 · 1 (10p 6) 0
9p2 18p 9 40p 24 0
9p2 22p 15 0
(9p 5)(p 3) 0
Jadi,5
atau 39
p p
20. Kunci Jawaban: D
Fungsi kuadrat: y 3x2 12x 6 a 3, b 12, c 6
Memotong salah satu sumbu koordinat di titik (a, 0) dan
(b, 0) x1 a, x2 b.
Sehingga diperoleh:
a 3 a 0 maka grafik terbuka ke atas.
a · b 1 2
62
3
cx xa
a b 1 2
124
3
bx xa
a b 21 2 1 2 1 2( ) 4 16 (4)(2)
8 2 2
x x x x x x
Jadi, pernyataan yang salah adalah pilihan D.
21. Kunci Jawaban: C
x2 x 2 0 a 1, b 1, c 2
x1 x2
( 1)1
1
ba
x1 · x2
22
1
ca
x13 x2
3 31 2 1 2 1 2
3
( ) 3 ( )
(1) 3(2)(1)
1 6 5
x x x x x x
22. Kunci Jawaban: C
(3m 1)x2 4(m 1)x m 4
(3m 1)x2 4 (m 1) x (m 4) 0
a b c
Akar real D 0
b2 4ac 0
( 4m 4)2 4(3m 1)(m 4) 0
16m2 32m 16 (12m 4)(m 4) 0
16m2 32m 16 12m2 52m 16 0
4m2 20m 0
m2 5m 0
m(m 5) 0
0 5
Nilai m yang memenuhi adalah 0 m 5.
2 1
59
3
20 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
23. Kunci Jawaban: C
2( ) , 1
1
xf x xx
Memotong sumbu-x f(x) 0
20 2 0
1
2 . . . . (2, 0)
x xx
xMemotong sumbu-y x 0
0 2( ) 2
0 1f x . . . . (0, 2)
Jadi, grafik yang memenuhi adalah pilihan C.
24. Kunci Jawaban: D
2x2 3x 4 0 a 2, b 3, c 4
x1 x2
( 3) 3
2 2
ba
x1 · x2
42
2
ca
Akar-akar persamaan yang baru adalah 1
1
x dan 1
1
x .
2 1 1 2
1 2 1 2 1 2
32
1 2 1 2
( )1 1
3
2 4
1 1 1 1
2
x x x xx x x x x x
x x x x
Persamaan kuadrat yang baru adalah
x23 1
04 2
. . . kedua ruas dikali 4
4x2 3x 2 0
25. Kunci Jawaban: D
x2 x 6 x2 3x 9
(x 3) (x 2) 0 untuk x 3
x 3 atau x 2 ( 3)2 3(3) 9
0 9 (benar)
untuk x 2
(2)2 2(3) 9
10 9 (salah)
Jadi, nilai x yang menyebabkan pernyataan bernilai salah adalah
x 2.
26. Kunci Jawaban: B
Titik potong kedua garis
y x 3 x y 3 2
5x 2y 20 1
2x 2y 6
5x 2y 20
7x 14
x 2 y 5
Sehingga diperoleh titik puncak adalah P(2, 5)
Persamaan parabola
y a(x p)2 q a(x 2)2
5
Melalui titik (0, 3) x 0, y 3
y a(x 2)2 5 3 a (0 2)2
5
3 4a 5
4a 2
a1
2
1. Kunci Jawaban: C
6 321 6 3 21 . . . . (1)
7 42 7 4 2 . . . . (2)
y x xyx y
y x xyx y
6y 3x 21xy 4 24y 12x 84xy7y 4x 2xy 3 21y 12x 6xy
45y 90xy90xy 45y x
1
2
Dari persamaan (1) diperoleh:
6y 3x 21xy untuk x 1
2 didapat:
6y 3 · 1
2 21 ·
1
2y
6y21 3
2 2y
9 3 1
2 2 3y y
Himpunan penyelesaiannya adalah 1 1
2 3.
Jadi, 6x0 y0
1 16 1.
2 3
2. Kunci Jawaban: B
Sn 100.000, n 4, dan b 5.000
Sn12 ( 1)
2
U b nn
100.000 12 ( 5000) (4 1)4
2
U
100.000 4U1 30.000
U1130.000
32.5004
sehingga,
U4 U1 (n 1)b32.500 (4 1) ( 5.000) 17.500
Jadi jumlah uang yang diterima si bungsu adalah Rp17.500,00.
3. Kunci Jawaban: A
Misalkan: Barang I xBarang II y
4x 3y 853 5
3x 5y 1.022.000 3
20x 15y 4.265.000
9x 15y 3.066.000
11x 1.199.000
x 109.000
Jadi harga barang I adalah Rp109.000,00.
3. Sistem Persamaan LinSistem Persamaan LinSistem Persamaan LinSistem Persamaan LinSistem Persamaan Linieieieieier dan Kuadratr dan Kuadratr dan Kuadratr dan Kuadratr dan Kuadrat
Sehingga,
y1
2(x 2)
2 5 y
1
2x2 2x 3
21Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
4. Kunci Jawaban: E
Misalkan:1
xa dan
1 by
2 11 2 1 1
1 28 2 8 2
a bx y
a bx y
2a b 1
2a 4b 16
5b 15
b 3 a 2
13
y1
x 2
1
3y x
1
2
Sehingga,1 1 12 3 6
1 1 16
x y
4. PertidaksamaanPertidaksamaanPertidaksamaanPertidaksamaanPertidaksamaan
32
24
16
8
O 8 16 24 36 48
y
x
A
B
C
D
O 10
y
x
P (5, 3)6
645
1113
1. Kunci Jawaban: D
Titik A adalah (0, 32)
Titik B Titik potong persamaan garis 2x y 32 dengan
2x 3y 72.
2x y 32
2x 3y 72
2y 40
y 20 x 6
Jadi titik B adalah (6, 20)
Titik C Titik potong persamaan garis 2x 3y 72 dengan
x 3y 36.
2x 3y 72
x 3y 48
x 24 y 8
Jadi, titik C adalah (24, 8)
Titik D adalah (48, 0)
Uji titik pojok
A(0, 32) 5 · 0 10 · 32 320
B(6, 20) 5 · 6 10 · 20 230
C(24, 8) 5 · 24 10 · 8 200
D(48, 0) 5 · 48 10 · 0 240
Jadi, nilai minimumnya adalah 200.
3. Kunci Jawaban: A
Persamaan garis yang melalui titik (20, 0) dan (0, 15)
15x 20y 20 · 15
3x 4y 60
Persamaan garis yang melalui titik (15, 0) dan (0, 30)
30x 15y 30 · 15
2x y 30
4. Kunci Jawaban: A
F(x, y) 4x 28ymaksimum di titik P(5,3)
F(5, 3) 4(5) 28(3)
104
5. Kunci Jawaban: D
x y 12
x 2y 16
y 4
y 4 x 8
F(x, y) 2x 5y maksimum di titik (0, 8)
F(8, 4) 2(0) 5(8) 40
5. Logika Matematika
1. Kunci Jawaban: B
p ( )p q
Kontraposisi: ( )
( )
p q pp q p
2. Kunci Jawaban: E
p q p qq r q r
p r p r
Jadi cara penarikan kesimpulan tersebut adalah silogisme.
3. Kunci Jawaban: E
p qq rp r
O 16
y
x
(8, 4)
12
8
12
F(x, y) 5x 10yTitik Pojok
22 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
p r p r p r p r p r p r p rB B B B B S S B
B S B S S B S B
S B B S B S B B
S S S S B S S S
Dari tabel kebenaran diperoleh:
( p r) (p r)
4. Kunci Jawaban: A
. . .
p qq
ekuivalen dengan
p qqp
5. Kunci Jawaban: D
Negasi dari pernyataan: “Jika ulangan dibatalkan, maka semua
murid bersuka ria” adalah “Ulangan dibatalkan dan ada murid
tidak bersuka ria”.
6. Kunci Jawaban: D
Negasi dari pernyataan: “Ani cantik tetapi tidak pandai” adalah
“Ani tidak cantik atau pandai”.
7. Kunci Jawaban: B
p qqq
ekuivalen dengan
q pqq
Dengan demikian argumennya dapat dinyatakan menjadi modus
tolens dan kesimpulan argumen tersebut adalah sah.
8. Kunci Jawaban: E
Ingkaran dari pernyataan: “Seorang siswa dinyatakan lulus ujian
apabila semua nilai ujiannya tidak kurang dari 4,01” adalah
“Semua nilai ujian seorang siswa tidak kurang dari 4,01 tetapi
ia tidak lulus”.
9. Kunci Jawaban: E
p (q r) p (q r)
[ p (q r)]
p ( q r)
10. Kunci Jawaban: C
Ingkaran dari pernyataan: “Jika Fathin mendapat nilai 10 maka
ia diberi hadiah” adalah “Fathin mendapat nilai 10 tetapi ia tidak
diberi hadiah”.
11. Kunci Jawaban: D
(i) ( )p q rp
q r
(ii)
q rpp
r q
(iii) (
( ) ( )
p q rr p q
p q p q
Jadi, argumen yang sah adalah (i) dan (iii).
(Silogisme)
(Modus tollens)
12. Kunci Jawaban: C
Ingkaran dari pernyataan: “Semua peserta ujian berdoa sebelum
mengerjakan soal” adalah “Beberapa peserta ujian tidak berdoa
sebelum mengerjakan soal”.
13. Kunci Jawaban: A
. .
p qq r
rekuivalen dengan
p qq rp r
rp
Jadi, kesimpulannya adalah p.
14. Kunci Jawaban: A
Kontraposisi: p q p q
15. Kunci Jawaban: D
s pernyataan yang salah
p q : Benar p : Salah
q r : Benar q : Salah
r s : Benar r : Salah
Sehingga
: Benar
: Benar
: Benar
pqr
: Salah
: Benar
p rp r
16. Kunci Jawaban: C
(p q) r (p q) r ( p q) rIngkaran:
[( p q) r] p q r
6. TrigonometriTrigonometriTrigonometriTrigonometriTrigonometri
C
A B
7
6 4 3
1. Kunci Jawaban: A
Luas ABC (3 2 3 ) cm2
AB (6 4 3 ) cm dan BC 7 cm
Lihat gambar!
Luas ABC (3 2 3 ) cm2, jadi:
sin3 2 3
2
(6 4 3) 7 sin3 2 3
2
6 4 3 1sin
77 (6 4 3)
AB BC
sin (A C) sin (180 B)
sin (180 )
sin 1
7
2. Kunci Jawaban: C
2
28
10
8sin ; 0 90
10
cos 1 sin
61
10
x x
x x
23Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
p 1
pk
R
TQ P
SU
45
45
6 cm
4 cm
1 3
60 300
90 270 360
Karena 0 x 90 , maka nilai cos x 0 , jadi yang dipakai
adalah cos x6
10
Gunakan rumus penjumlahan trigonometri:
cos A cos B 2 cos cos2 2
A B A B
Jadi:
cos 3x cos x 2 cos 3 3
cos2 2
x x x x
2 cos 2x cos xcos 2x 1 2 sin2x, sehingga diperoleh
cos 3x cos x 2(1 2 sin2x) cos x
28 6
2 1 210 10
100 128 6 422
100 10 125
3. Kunci Jawaban: B
2
2 2 2 2
2 2
2 2
sin 2 sin cos2cos2 tan cos
1 tan sin (cos sin )1
cos cos
2 sin cos2 sin cos
sin cos
sin 2
x x xxx x
x x x xx x
x x x xx xx
4. Kunci Jawaban: D
3 cos (360 x) 2 sin2 x ; 0 x 360
3 cos x 2 sin2 x 0
3 cos x 2(1 cos2 x ) 0
2 cos2 x 3 cos x 2 0
(2 cos x 1) (cos x 2) 0
Karena (cos x 2) selalu positif, berarti tidak mempengaruhi
pertidaksamaan. Jadi tinggal menentukan nilai x yang
memenuhi pertidaksamaan 2 cos x 1 0.
cos x1
2 ; 0 x 360
Nilai-nilai x yang memenuhi adalah:
0 x 60 atau 300 x 360
HP {0 x 60 atau 300 x 360 }
5. Kunci Jawaban: A
p sin x (p 1) cos x p 2
2 2
2
tg1
( 1)
2 2 1
pp
k p p
p p
Persamaan di atas dapat ditulis:
k sin sin x k cos cos x p 2
k cos (x ) p 2
cos (x )2
2 2
2 2 1
p pk p p
Persamaan nilai dari consinus antara lain 1 dan 1, maka:
2
2
2
2
2
21 1
2 2 1
( 2)0 1
2 2 1
( 2)1
2 2 1
p
p p
pp p
pp p
p2 4p 4 2p2 2p 1
p2 2p 3 0
( p 1) (p 3) 0
HP: {x 1 atau x 3}
6. Kunci Jawaban: A
Perhatikan gambar pada soal!
BAD dan BCD adalah sudut keliling yang saling berhadapan.
BAD BCD 180 Misalkan BAD
BCD 180
BCD 180
Dengan rumus cosinus diperoleh
BD2 AB2 AD2 2AB · AD cos
42 62 2 · 4 · 6 · cos
52 48 cos . . . . (1)
Perhatikan BCD!
BD2 BC2 CD2 2 · BC · CD · cos (180 )
32 32 2 · 3 · 3 ( cos )
18 18 cos . . . . (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh
BD2 52 48 cos
BD2 18 18 cos
0 34 66 cos
34 66 cos
cos34 17
36 33
7. Kunci Jawaban: B
Luas PQR Luas PQS Luas QSR
2 2 2
PQ QR PQ ST QR SU
PQ QR PQ ST QR SU6 4 6 · QS · sin 45 4 · QS · sin 45
24 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
241 1
6 2 4 22 2
QS QS
24 3 2 2 2QS QS
24 5 2 QS
QS24 24 2 12
2 cm5 2 55 2
8. Kunci Jawaban: E
sin cos8
25
1 1 cos sin
sin cos sin cos
2
2 2
cos sin (cos sin )
cos sin 2 sin cos
1 2 sin cos
8 9 31 2
25 25 5
Sehingga
35825
1 1 15
sin cos 8
9. Kunci Jawaban: C
Bentuk umum persamaan fungsi trigonometri:
y A sin k(x )
Pada grafik amplitudonya (A) dengan nilai tertinggi adalah
1 A 1
Periode 165 45 120
sehingga, k360
3120
Sumbu tegak bergeser ke kanan sejauh 15 15 .
Jadi, fungsi trigonometri adalah:
y 1 sin 3(x 15) sin (3x 45)
10. Kunci Jawaban: A
Ingat rumus:
sin A sin B 2 sin cos2 2
A B A B
sin (x 20 ) sin (x 70 ) 1 0
( 20 ) ( 70 ) ( 20 ) ( 70 )2 sin cos
2 2
x x x x1 0
2 sin (x 25 ) cos (45 ) 1 0
2 sin (x 25 )1
22
1 0
sin (x 25 )1
2
x 25 45 atau 135
x 70 atau x 160
Jadi, himpunan penyelesaian dari nilai sinus yang kurang dari
atau sama dengan 1
22
adalah
{x | 0 x 70 atau 160 x 360 }
11. Kunci Jawaban: E
2 3 cos 2x 4 sin x cos x 2 . . . kedua ruas dibagi 2
3 cos 2x 2 sin x cos x 1
tan 60 cos 2x sin 2x 1
sin 60
cos 60 cos 2x sin 2x 1
sin 60 cos 2x cos 60 sin 2x cos 60
sin (60 2x)1
2
sin(2x 60 )1
2
sin 2(x 30 )1
2
2 (x 30) 20 atau 330
2(x 30 ) 210
x 30 105
x 1353
4 2(x 30 ) 330
x 30 165
x 19513
12Karena k 2, yaitu koefisien x, maka nilai x yang lain adalah:
x3 7
4 4
x13 25
12 12 (tidak memenuhi)
sehingga, HP 3 7 13
, ,4 4 12
12. Kunci Jawaban: C
cos 2x sin x 1 0
(cos2 x sin2 x) sin x (cos2 x sin2 x) 0
2 sin2 x sin x 0
sin x( 2 sin x 1) 0
sin x 0
x 0 atau 360 x 0; x 2
2 sin x 1 0
2 sin x 1
sin x1
2
x5
;6 6
Jadi, HP {0, 5,
6 62 }
25 65 160
25Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
13. Kunci Jawaban: C
sin sin sin
6 5 4
sin sin sin
a b c
Jadi sin : sin : sin 6 : 5 : 4
14. Kunci Jawaban: D
cos (x y)4
5
cos x cos y sin x sin y4
5
cos x cos y 3
10
4
5
cos x cos y1
2
Sehingga,
tan x tan ysin sin
cos cos
x yx y
31012
sin sin 3
cos cos 5
x yx y
15. Kunci Jawaban: A
Perhatikan gambar pada soal!
Periode2
3y sin 3x
Digeser ke atas sejauh 1 satuan maka y 1 sin 3x.
16. Kunci Jawaban: D
a sin x b cos x sin (30 x)
a sin x b cos x sin 30 cos x cos 30 sin x
1 1cos 3 sin
2 2
1 13 sin cos
2 2
x x
x x
sehingga diperoleh a1
32
dan b1
2
maka:
1 1 3 13 3 ( 3) 2
2 2 2 2a b
17. Kunci Jawaban: B
Dengan rumus cosinus didapat:
AC2 CB2 2AC · CB cos ACB AB2
52 x2 2 · 5 · x cos 120 72
25 x2 10x ( 12
) 49
x2 5x 24 0
(x 3)(x 8) 0
x1
3 atau x2
8 (tidak memenuhi)
Maka, keliling ABC 5 7 3 15 cm.
18. Kunci Jawaban: A
cos 12
1
2
xAx
sin 21 12 2
1 12 2
1 cos
1 x xx x
A A
sin A 2 sin 12
A cos 12
A
21 1 12 2
2 x x xx x x
19. Kunci Jawaban: C
Perhatikan grafik pada soal!
Nilai maksimumnya adalah 2 A 2
Persamaan fungsi trigonometri: y A cos (kx )
Untuk x 0 mencapai maksimum, sehingga x 0 dan y 2
2 2 cos (0 )
2 2 cos
cos 1
1
Periode: k2
12
Jadi persamaannya: y 2 cos x
y 2 sin (x2
)
20. Kunci Jawaban: C
sin x 3 cos x 2 ; 0 x 360
a 1, b 3
k 2 21 ( 3) 1 3 4 2
tan1 1
333
ab
150
Sehingga,
2 sin 150 sin x 2 cos 150 cos x 2
sin 150 sin x cos 150 cos x2
2
cos (x 150)1
22
(x 150) 45 atau 315
x 150 45
x 195
x 150 315
x 465 465 360 105
Jadi, HP {105 , 195 }
B Ca 6 cm
b 5 cmc 4 cm
A
A B
C
120x5
7
26 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
21. Kunci Jawaban: A
a2 b2 c2 2bc cos A 102 62 2 · 10 · 6 cos 60
100 36 120 · 1
2
136 60
a2 76
a 76
a 2 19
22. Kunci Jawaban: E
tan 75 tan 15 tan (45 35) tan (45 30)
2 19 2 3 4
23. Kunci Jawaban: E
Bentuk umum persamaan fungsi trigonometri adalah:
y A sin k(x ) A Amplitudo dan q pergeseran
sumbu tegak
Pada grafik amplitudo (nilai tertinggi) 2 jadi A 2
Periodenya 135 15 120
Jadi k360
120 3
Sumbu tegaknya bergeser ke kiri sejauh 15 , jadi 15
Maka fungsi trigonometrinya
y 2 sin 3(x 15)
y 2 sin (3x 45)
24. Kunci Jawaban: E
2 sin 2x 3 0 untuk 0 x 360
2 sin 2x 3 0 2 sin 2x 3
sin 2x 13
2
2x 240 k · 360
x 120 k · 180
x 120 ; 300
atau x 30 k · 180
x 150 ; 330
x 0 2 sin 0 3 0 3 0
x 90 2 sin 180 3 0 3 0
HP {x | 120 x 150 atau 300 x 330 }
25. Kunci Jawaban: D
2 cos x 2 sin x 2 untuk 0 x < 360
Ingat persamaan a cos x b sin x c mempunyai
penyelesaian jika 1ck 1 atau 1
2 2
c
a b 1
Misal 2 cos x 2 sin x 2 r cos (x )
r 4 4 8 2 2
tan2
2 1, di kuadran 1 45°
2 cos 2 sin x 2 2 cos (x 45)° 2
cos (x 45)°1
2
x 45° 60° k · 360°
x 105° k · 360°
k 0 x 105°
atau x 45 60° k · 360°
k 1 x 15° k · 360°
x 345°
Maka nilai x yang memenuhi adalah 105° atau 345°.
26. Kunci Jawaban: D
f(x) cos3 2x untuk menentukan f (x) digunakan rumus
f(x) cos g(x)
f (x) n cosn 1 g(x) ( sin g(x) · g (x))
f(x) 3 cos2 2x ( sin 2x · 2)
6 cos2 2x · sin 2x3 cos 2x (2 sin 2x cos 2x)
3 cos 2x sin 4x
27. Kunci Jawaban: D
Aturan cosinus
QR2 PR2 QP2 2 · PQ · QP · cos
24 7 8
2 12
2 2 · 12 · 8 · cos
112 64 144 192 cos
112 208 192 cos
cos96 1
192 2
cos1
1, 2 maka 32
x x r yr
sin3 1
32 2
yr
tan
12
12
3sin3
cos
28. Kunci Jawaban: E
3 4sin cos
5 5
1cos sin 3
2
A A
B B
cos (90 (A B)) cos 90 · cos (A B) sin 90 · sin (A B)
0 · cos (A B) 1 · sin (A B)
sin (A B)
sin (A B) [sin A cos B cos A · sin B]
sin A cos B cos A · sin B
3 1 43
5 2 5
60A B
C
b 10 a ?
c 6 cm
90 120 150 300 330
Q P
R
12
84 7
27Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
3 4 3 15 40 3
10 5 50
3 8 3
10
29. Kunci Jawaban: A
Perhatikan grafik pada soal!
Nilai maksimumnya adalah 2 A 2
Periode: k2
12
Bergeser ke kiri sejauh 6
Jadi, persamaannya adalah y 2 sin (x6
)
30. Kunci Jawaban: E
cos 4x 3 sin 2x 2
1 2 sin2 2x 3 sin 2x 2 0
2 sin2 2x 3 sin 2x 1 0
Misalkan sin 2x a2 a2 3a 1 0
(2a 1) (a 1) 0
2 sin 2x 1
sin 2x1
2
2x 30 ; 150
x 15 ; 75
sin 2x 1
2x 90 ; 270
x 45 ; 135
Jadi, HP {x | 0 x 15 atau 75 x < 135 }
31. Kunci Jawaban: B
3 cos sin 2 3, 1, 2x x a b cIngat: a cos x b sin x c merupakan penyelesaian
1 1cr
atau2 2
1 1c
a b
Misalkan 3 cos x sin x sama dengan r cos (x )
2 2 3 1 4 2r a b
1 1tan 3
33
30
ba
Sehingga,
3 cos sin 2
2 cos ( 30 ) 2
1cos ( 30 ) 2
2
30 45 atau 315
x x
x
x
x
x 30 45 k · 360
x 75 k · 360
k 0 x 75
x 30 315 k · 360
x 345 k · 360
k 0 x 345
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 75 dan 345 .
32. Kunci Jawaban: A
Dengan aturan sinus
10 103 3
12
6 610 10
sin 60 sin sin3R R
10 sin R 5 2
sin R1
22
R 45
Jadi, benar sudut R adalah 45 .
33. Kunci Jawaban: E
tan pcos 2 cos2 x sin2 x
2 2
2 2
2
2
2 2
2 2
cos sin
sin cos
cos sin
sin cos
cos sin 1sin cos
cos sin 1
sin cos
12
21
cos sin
cos sin
1
1
x xx xx xx x
x xx x px x
px x
ppp
p
x xx x
p
p
pp
34. Kunci Jawaban: D
Perhatikan grafik pada soal!
Nilai maksimumnya adalah 2 A 2
Bergeser ke kanan sejauh 20
Periode 120 diperoleh dari gambar, bahwa 1
2 periode
110 50 60
3603
120n
Jadi fungsi persamaannya adalah
y 2 cos 3(x 20)
35. Kunci Jawaban: A
2 cos x cos 10 1 2 sin x sin 10
2 cos x cos 10 2 sin x sin 10 1
2 cos (x 10) 1
cos (x 10)1
2
x 10 60 atau 300
Q R10
P
60
103
6
28 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
x 10 60 k · 360
x 70 k · 360
k 10 x 70
x 10 300 k · 360
x 310 k · 360
k 0 x 310
Jadi, HP {0 x 70 , 310 x 360}
36. Kunci Jawaban: E
2 3 sin 2 cos 2 3
2 3, 2, 2 3
x x
a b c
Misalkan 2 3 sin x 2 cos x sama dengan r cos (x )
2 2 12 4 16 4r a b
2 3tan 3
2
60
ab
Sehingga,
2 3 sin x 2 cos x 2 3
4 cos (x 60 ) 2 3
cos (x 60 )1
32
x 60 30 atau 330
x 60 30 k · 360
x 90 k · 360
k 0 x 90
37. Kunci Jawaban: B
Perhatikan gambar pada soal!
sin B
12
3sin 60
3 3
sin 60 3
62 3
3
ADBD BD
BD
BD2 BC2 DC2 2 · BC · DC · cos C
12 16 36 2 · 4 · 6 · cos C
12 52 48 cos C
cos C40 5
48 6
Ingat: cos C5
5, 66
x x rr
maka2 2 36 25 11y r x
Jadi,11 1
sin 116 6
C
38. Kunci Jawaban: C
1 3sin cos
2 2A A
2 21sin 7 cos
7 7B B
cos cos (180 ( ))
cos ( )
[cos cos sin sin }
3 21 1 27
2 7 2 7
63 2 7
14 14
3 7 2 7 17
14 14 14
C A BA BA B A B
39. Kunci Jawaban: B
Perhatikan grafik pada soal!
Nilai maksimumnya adalah 6 A 6
Bergeser ke kanan sejauh 30
Periode 180 (diperoleh dari gambar bahwa 12
periode
adalah 165 75 90 ) n360
2180
Jadi, fungsi persamaannya adalah
y 6 sin (2x 30)
40. Kunci Jawaban: B
2
sin
cos
2
2sincos
cos cos( )
sin tan sin
cos cos
sin
xx
xx
x xf xx x x
x xx
Misalkan: uu cos2 x u 2 cos x ( sin x)
2 sin x cos xv sin2 x v 2 sin x cos x
2
3 3
4
3 31 1 1 12 2 2 21
4 412
412
( )
2 sin cos 2 sin cos
sin
2 2 2 2 2 2
2
2
u v uvf ' xv
x x x xx
f
412
( 2 2)
2
4
41. Kunci Jawaban: C
2 cos 2x 3 0
2 cos 2x 3
cos 2x1
32
2x 30 k · 360
x 15 k · 180
Jadi,11 1 1 11
HP ,12 12 12 12
x x x
180 165 15 150 180165
29Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
42. Kunci Jawaban: C
3 cos x sin x 1 0
a 3 , b 1, k 2 2 4 2a b
tan1 1
333
ba
30
Sehingga,
3 cos x sin x 1 0
2 cos (x 30) 1 0
cos (x 30)1
2
x 30 120
x 30 120 n · 360
x 150 n · 360
x 150 ; 270
Jadi, HP {150 , 270 }
43. Kunci Jawaban: E
Dengan aturan cosinus
cos A2 2 2
2 2
6 3 6 36 9 36
2 6 3 36
9 11, 4 maka:
36 4
4 1 15
x r
y
sin A15 1
154 4
yr
44. Kunci Jawaban: D
tan
2 2
22, 3 maka:
3
2 3 4 9 13
y y xx
r
sin2
13
yr
cos3
13
xr
cos2 22 sin 2 cos 4
1 2 sin2 2
1 2(2 sin cos )2
1 2(4 sin2 cos2 )
1 2
2 22 3
413 13
1 216 9
13 13
2881
169
288 119
169 169
45. Kunci Jawaban: C
sin (x 210) sin (x 210)1
32
sin x cos 210 cos x sin 210 [sin x cos 210 cos x sin 210 ]
13
2
2 sin x cos 2101
32
2 sin x1
2
13
2
sin x1
32
x 210 atau 330
Jadi, HP [210 , 330 }
46. Kunci Jawaban: D
Perhatikan grafik pada soal!
Seperti pembahasan soal sebelumnya maka akan diperoleh
persamaan
y sin (x 45) 1
47. Kunci Jawaban: A
2 cos x 2 sin x 2 a 2, b 2
Misalkan 2 cos x 2 sin x sama dengan r cos (x ).
r 2 2 2 2( 2) 2 2 2a b
tan2
12
ba
135
Sehingga diperoleh,
2 cos x 2 sin x 2
2 2 cos (x 135 ) 2
cos (x 135 )1
22
x 135 45 k · 360
x 180 k · 360
x 90 ; 180
Jadi, HP {90 , 180 }
48. Kunci Jawaban: C
sin3
5
tan4 3
cos3 5
sin ( ) sin ( ) 2 sin cos
3 32
5 5
18
25
49. Kunci Jawaban: D
sin x cos x p
sin x cos x 2 2 2
1
2
1sin cos (sin cos )
2
1(1 )
2
p
x x x x
p
30 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
50. Kunci Jawaban: E
cos2 2 25 8 11 32 2
2 8 5 80 5
cos 2, 5 maka:x x rr
2 25 ( 2) 25 4 21y
10 sin 21
10 10 2 215
yr
51. Kunci Jawaban: D
sin x
2
11, 3 maka:
3
3 1 8 2 2
y y rr
x
tan x 1 12
42 2
yx
52. Kunci Jawaban: C
sin x cos x asin 2x 2 sin x cos x 2a
sin 2x
2 2 2
22 , 1
1
1 2 1 4
y a y a rr
x a a
tan 2x2
2
1 4
y ax a
53. Kunci Jawaban: C
Dengan aturan sinus
10 8, 17
sin 60 sin
1sin 2
2
45
B
B
B
Jadi, C 180 60 45 75
54. Kunci Jawaban: C
cos (B C)9
40
cos A cos (180 (B C))
cos (B C)
9
10
BC2 AC2 AB2 2AC · AB · cos A
102 82 2 · 10 · 8 9
40
100 64 36 200
BC 200 10 2
55. Kunci Jawaban: B
Perhatikan grafik pada soal!
Seperti pembahasan soal sebelumnya maka akan diperoleh
persamaan
y 4 sin x
56. Kunci Jawaban: A
tan 2
2
2 2 2 2
22 , 1 maka:
1
(2 ) (1 ) 1
y t y t x tx t
r t t t
cos2
2
1
1
x tr t
cos 2 cos2 12
1
2 2 2
2 2
2
2 12
2 12
1 1 1
1 1
2
1
2
2 cos cos 1
cos 1cos
2
1
2 2
1
2 1
t t tt t
t
t
12 2 2
1 1cos
1 1t t
57. Kunci Jawaban: B
Pembahasan sama dengan soal nomor 31.
58. Kunci Jawaban: E
2 sin2 x 7 sin x 3 0
(2 sin x 1)(sin x 3) 0
sin x1
2 atau sin x 3 (tidak memenuhi)
Karena x berada di kuadran I dan IV
maka: cos x 0
cos x1
32
59. Kunci Jawaban: C
2 cos 3x 1 0
2 cos 3x 1
cos 3x1
2
3x 60 k · 360
x 20 k · 120
x 0 ; 20 ; 100 ; 140
Jadi HP {0 x 20 ; 100 x 140 }
60. Kunci Jawaban: A
2 cos 6 sinx x dinyatakan ke dalam bentuk
k cos (x )
2 , 6a b
B C
A
8 5
11
60A B
8,1710
C
0 20 100 140A 8 B
C
10
13
2 2
31Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
2 2 2 6 8 2 2k a b
6tan 3
2
1
3
ba
Sehingga,1
2 cos 6 sin 2 2 cos ( )3
x x x
61. Kunci Jawaban: C
AB 2 3 3BD
AO 3 6DO
tan B
3 6
3
3 6 3
3 3
3 3 18 3 3 3 2
3 3
3 2 2 3
CD OC DOBD BD
62. Kunci Jawaban: C
2
4tan 2 0
tan
2 tan 40
tan1 tan
2 tan2 4 4 tan2 0
2 tan2 4 0
2 tan2 4
tan2 2
tan 2
tan2
2, 1 maka:1
2 1 3
y y xx
r
cos1 1
333
xr
A P B
H G
E F
D C
R
Q
7. Dimensi TigaDimensi TigaDimensi TigaDimensi TigaDimensi Tiga
A B
D C
P2 2
T
Q
11 cm
A B
C
D
O
A
B
P
T
C
Q 4
4
2
2
1. Kunci Jawaban: A
Pada kubus ABCD.EFGH, titik P, Q, dan R pertengahan rusuk
AB, BC, dan CG.
Irisan bidang yang melalui P, Q, dan R dengan kubus
membentuk segi empat sembarang.
2. Kunci Jawaban: C
T.ABCD limas beraturan dengan panjang rusuk alas 12 cm dan
rusuk tegak 12 2 cm.
Jarak A ke TC APATP siku-siku di P
AT 12 2 ; 6 2TP
2 2(12 2 ) (6 2 )
288 72 216 6 6 cm
AP
3. Kunci Jawaban: A
Bidang empat beraturan dengan panjang rusuk 4 cm.
Sudut antara TP dengan bidang atas sudut TPC.
Dari TPC terlihat TP PC
2 24 2
12 2 3
TP
dan
TC 4
Dari rumus cosinus
didapat:
TC2 TP2 PC2
2 · TP · PC cos
42
2 22 3 2 3 2 3 2 3 cos
16 12 12 2 · 12 cos
8 24 cos
cos8 1
24 3
Lihat gambar!
tan2 2
2 21
4. Kunci Jawaban: B
Sudut antara bidang TAD dan TBC adalah .
Sudut antara bidang TAD dan TBC adalah PTQ .
TP TQ
TP2 TA2 AP21
22
AP AD
2 211 2
11 2 9
TP 9 3 TQ
PQ 2 2 cmAB
A B
D C
T
12 2
P
12
3
1
2 2
32 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
Dari rumus cosinus didapat:
PQ2 TP2 TQ22 · TP · TQ cos
22 2 3
2 3
2 2 · 3 · 3 cos
8 18 18 cos
18 cos 10
cos10 5
18 9
5. Kunci Jawaban: B
Jarak suatu titik terhadap garis adalah
jarak tegak lurus titik tersebut ter-
hadap garis atau perpanjangannya.
Jarak P terhadap CF adalah PQ.
PQ CP sin ( PCF)
Untuk mencari sin PCF digunakan
rumus cosinus.
PF2 CP2 CF2 2CP · CF cos
PF2 FE2 EP2 4
2 2
2 20
CP2 CD2 DH2 HP2
42
42
22
36 CP 36 6
CF2 CB2 BF2
42
22
32 CF 32 4 2
Jadi,
20 62 2(4 2) 2 . 6 . 4 2 cos PCF
cos PCF68 20 1
2248 2
sin PCF 212
11 ( 2 ) 2,
2 jadi:
PQ CP sin PCF
6 · 21
2 3 2 3 2 182
6. Kunci Jawaban: B
22
32
1 2 31 2 1
2 4 2
sin 1
1 1 2 1sin 6
33
PF
PF
PF
7. Kunci Jawaban: B
A
E
HG
F
B
C
D
P
BA
GH
E F
CD
T
P8
F
P B
1
11
22
B
A
EH
G
CD
PQ
F
Jarak D ke garis HT adalah DPDP TD sin PTD
PTD HTD, jadi DP TD sin HTD
TD1
2diagonal alas
16 2 3 2 cm
2
sin HTD DHTH
DH tinggi prisma 8 cm
TH 2 2
2 2(3 2) 8 18 64 82
TD DH
Maka,
sin8
82HTD
Sehingga diperoleh:
DP8
sin 3 282
3 2 8 24 2441
412 41 41
TD HTD
8. Kunci Jawaban: C
adalah sudut antara BF dan bidang BEG
sinFIBI
FI1 1
diagonal sisi 4 2 2 22 2
BI 2 2
2 22 2 4 8 16
24 2 6
FI BF
Sehingga didapat:
2 2 2sin
2 6 6
2 1 13
32 3 3
FIBI
9. Kunci Jawaban: D
Sudut antara bidang TAB dengan bidang ABC adalah
TDC
cosDETD
Karena T.ABC limas beraturan, maka DE1
.3
DC
A B
H G
E F
D C
4
44
I
33
9
6
9
T
BA
C
ED
33Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
DE 2 2
2 2
1
3
1 16 3 27
3 3
13 3 3
3
BC BD
TD 2 2 2 29 3
72 6 2
TB BD
cos3 6
126 2
DETD
sin2 6
1 cos 112
6 144 6 1381
144 144 12
10. Kunci Jawaban: B
AE jarak (A, TBC)
ABC BC 2 25 5 5 2
TAC TC 2 25 5 5 2
CD1 5
22 2
TC
ABC BD 2 2
22 5
5 2 22
25 7550
2 2
BC CD
BD Garis berat pada BCTE Perpotongan ketiga garis berat
Jadi BE : ED 2 : 1
BE2 2 75
3 3 2BD
AEB AE 2 2
2
2 2 755
3 2
50 25 525 3
3 3 3
AB BE
11. Kunci Jawaban: B
(ADHE, ACH) CPDMisalkan: rusuk kubus a
PD 1 12 2
2ED a
CP22 2 2 1
2
2 2 231 12 2 2
2
6
CD PD a a
a a a a
cos
12 1
312
2 2 13
6 6 3
aPDCP a
12. Kunci Jawaban: A
AC 2 26 6
36 36
6 2 cm
MC 1 12 2
6 2 3 2AC
GM 2 2
2 2(3 2) 6
9(2) 36
18 36
54
6 9
3 6 cm
MC CG EM 2 2
2 26 2 3 6
36(2) 9(6)
72 54
18
2 9
3 2 cm
GE GM
13. Kunci Jawaban: C
Pada kubus ABCD EFGH, AC tegak lurus BD.
Misalkan proyeksi EG pada bidang AC dan BD, maka proyeksi
pada bidang BDG adalah GP.
GC 6, BD , BP 12
6 2 3 2BP BD
GP 2 2
2 2(6 2) (3 2) 72 18
54 3 6
GB BP
Maka panjang proyeksi kecil garis EG pada bidang BDG 3 6
14. Kunci Jawaban: C
Limas segi empat beraturan T. ABCD semua rusuknya sama
panjang. Sudut antara TA dan bidang ABCD adalah .
Misalkan AB BC CD AD TA TB TC TD aA B
H G
E F
D C
P
A
T
B
C
D
F
E
5 cm
5 cm
D a C
P
P12
2a
A B
E F
H G
D C
P
A B
E F
D C
M
H G
34 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
AC 1 12 2
2 2a AO AC a
Perhatikan AOF!
12 1
2
2cos 2
45
aAOAT a
15. Kunci Jawaban: D
Rusuk 6 cm
Diagonal ruang 3s
AG 6 3
12
3 3AQ AG
2 26 3
36 9 45
AP
Jarak titik P ke AG adalah PQ.
PQ 2 2
45 27
18 3 2
AP AQ
16. Kunci Jawaban: D
TA TB 5
TC 2
AC BC 4
AB 6
BP AP 12
AB 3
2 2 2 25 3
25 9 6 4
TP TB BP
2 2 2 24 3
16 9 7
PC BC PB
2 2 2
2 2 2
cos2
4 2 ( 7) 16 4 7 13
2 4 2 16 16
TP TC PCTP TC
17. Kunci Jawaban: E
Misalkan panjang rusuk adalah a, maka panjang diagonal
bidang adalah 2a .
12
2AP a
2 2
22 12
2 2 2624 4
2
2 2
2
6a
FP AF AP
a a
a a a
2 2
22 12
2 2 22 24 4
2
2
2a
BP AB AP
a a
a a a
2 2
22 12
2 2 2624 4
2
( 2) 2
2
6a
FP AF AP
a a
a a a
2 2 2 2 2 23 12 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
6 2cos
2 6 2 ( 6) 2
2 1 13
333 3
a a
a a a
a a a a
a
a a aa a
18. Kunci Jawaban: E
Panjang rusuk 8 maka panjang diagonal 8 2
8 2BD
2 2
2 24 8 16 64
80 4 5
BP FP BF
14 2
2BO BD
Jarak titik P dan garis BD adalah OP
OP 80 32 48 4 3
Jadi, jarak titik P dan garis BD adalah 4 3 .
19. Kunci Jawaban: D
AC CH AH 6 2
DI1
2 DB =
1
26 2 3 2
AI1
3 22
AC
HI 2 26 (3 2)
36 18 54 3 6
sin 13
66
3 6
20. Kunci Jawaban: A
UV FB a
HF a 2 (diagonal bidang)
UF1 1
22 2
HF a
PF 2 2
2 212
2 2 2514 4
25a
EP EF
a a
a a a
PU2 22 2 1
2 2
2 2 25 324 4 4 2
5 2
3
a
a
PF UF a
a a a
A B
D C
T
O
A B
H G
E FD C
P
Q
A
B
C
T
A
A a B
D C
H G
E F
P
A B
H G
E F
D C
O
P
8
8
A B
H G
E F
D C
I
A B
H G
E F
D C
V
Ub
35Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
PV222 2 1 1
2 2
2 2 231 14 2 4 2
2
3a
PA AV a a
a a a
cos b2
2 222 22 2
2
2 2 23 3 24 4
2 2
3 3
2 2 3
1
33 3
a a
a
aPU UV PVPU UV a
a a a aa a
cos b 2 21
3 1 23
x yr
sin b 2 3 6 16
3 33 3
yr
21. Kunci Jawaban: C
EC 4 3
EQ2 8
4 3 33 3
PR : EQ GP : GEPR : EQ 1 : 2
2
1 43
2 3
PR EQ
PR EQ
22. Kunci Jawaban: D
AP 2 2
36 9 3 3
AB BP
TP 2 2
81 9 6 2
TB BP
AP2 AT2 PT2 2 AT · PT cos
27 81 72 2 · 9 · 6 2 cos
126 2 9 6 2 cos
126 7cos
108 2 6 2
Maka,
23tan
7
23. Kunci Jawaban: C
CD 2 2
18 18 6
BC BD
AC 2 2
18 9 3 3
BC AB
AD 2 2
18 9 3 3
BD AB
BP 2 18 9 3BC CP
tan3
13 4
ABP PBP
D C
A B
T
U
A B
H G
E F
D C
Q
PR
A C
B
T
P3
3
D
CP3
3
3
3 23
B
A
7
6 2
23
24. Kunci Jawaban: A
2 2 2 28 3
64 9 55
6 2
TU TC UC
AC
25. Kunci Jawaban: B
26. Kunci Jawaban: E
Misalkan persamaan garis lurus yang bergradien m 3
adalah y 3x nMemotong parabola di titik (2, 4), maka:
4 3(2) n n 10
Sehingga diperoleh persamaan y 3x 10
22 6
3 10
y x xy x
2x2 x 6 3x 10
2x2 4x 16 0
x2 2x 8 0
(x 2) (x 4) 0
x 2 atau x 4
x 2 maka y 4 ( 2, 4)
x 4 maka y 22 ( 4, 22)
Jadi titik potong lainnya adalah ( 4, 22)
27. Kunci Jawaban: C
Misalkan panjang semua rusuk kubus a
tanTCGC
AC 2a (diagonal sisi)
TC 12 2
2aAC
tan12 1
2
22
aa
D C
E FH G
A BT
8. StatistikaStatistikaStatistikaStatistikaStatistika
Umur f Tepi bawah fk
4 - 7 6 3,5 6
8 - 11 10 7,5 16
12 - 15 18 11,5 34
16 - 19 40 15,5 74
20 - 23 16 19,5 90
24 - 27 10 23,5 100
1. Kunci Jawaban: B
Me22
22
N fL c
f
L2 Tepi bawah kelas median 15,5
c Internal kelas 4
N Jumlah frekuensi 100
f2 Frekuensi kumulatif sebelum kelas median
(6 16 18 34)
f2 Frekuensi kelas median
Me 15,5 4
1002
34 50 3415,5
40 10
15,5 1,6 17,1
2. Kunci Jawaban: D
M0 L0
0 1
0 1 12 (
f f cf f f
36 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
TB Tepi bawah kelas modus 44,5
I Interval 5
f0 Frekuensi kelas modus 12
f 1 Frekuensi kelas sebelum kelas modus 6
f 1 Frekuensi kelas setelah kelas modus 8
M0 44,5 5 12 6
2 12 (6 8)
44,5 30
4,7524 14
3. Kunci Jawaban: C
Data setelah diurutkan adalah sebagai berikut.
2 3 4 6 8 9 12 14
Q1 Q2 Q3
Simpangan kuartil 3 1
1( )
2
1 1(12 3) 4
2 2
Q Q
4. Kunci Jawaban: B
334
3 23
N fQ L c
f
Q3 Kuartil atas
c Panjang kelas 5
3f Jumlah frekuensi sebelum frekuensi yang memuat
kuartil atas 27
f3 Frekuensi kelas yang membuat kuartil atas 10
Q3 70,530 27 3
5 70,5 510 10
70,5 1,5 72,0
5. Kunci Jawaban: A
212 710
20
200 10 212 7
3 12
4
i i
i
f f nxf n
n nnn
6. Kunci Jawaban: D
n1 3
72 18 ; 544 4
n n
Nilai fi xi fi · xi
3 - 5 3 4 12
6 - 8 n 7 7n 9 - 11 9 10 90
12 - 14 6 13 78
15 - 17 2 16 32
fi 20 n fi · xi 212 7n
Nilai fi Tepi bawah fk
1 - 5 8 2,5 8
6 - 10 12 5,5 20
11 - 15 14 10,5 26
16 - 20 26 15,5 52
21 - 2 12 20,5 64
Kelas Q1 5,5 10,5
Tb 5; 1( )f 8; f1 12, c 5
Q1 5 16
18 8 255 5 9
12 6
Kelas Q3 15,5 20,5
Tb 15; 3( ) 8 12 26 46f
f3 14
Q3 15 67
54 46 205 15 17
14 7
Simpangan kuartil 6 13 1 7 6
1 1( ) 17 9
2 2
1(8,69) 4,345 4,35
2
Q Q
7. Kunci Jawaban: B
Kelas modus 70 74
L Tepi bawah kelas 69,5
f1 12 11 1
f2 12 9 3
c Panjang kelas 5
M01
69,5 51 3
569,5 69,5 1,25 70,75
4
8. Kunci Jawaban: C
1 148 12
4 4n
Kelas Q1 54,5 58,5
Tb 54,5
1( ) 4 6 10f ; f1 12; c 4
Q112 10 2
54,5 4 54,5 55,1712 3
9. Kunci Jawaban: E
(3 2) (4 4) (5 8) (6 12) (7 16) (8 4)
2 4 8 12 16 4
6 16 40 72 112 32 278
46 46
6,04
i i
i
x fxf
Siswa dinyatakan lulus bila nilai 1x nilai 5,04
Jumlah siswa yang nilainya 5,04 adalah 12 16 4 32
orang.
10. Kunci Jawaban: A
Data diurutkan: 3 4 5 5 6 7 8 9
Modus: 5
11. Kunci Jawaban: E
Data diurutkan
17 17 18 18 19 20
21 22 22 23 24 25
Jangkauan Xmax Xmin 25 17 8
Median 6 7 20 21 4120,5
2 2 2
x x
37Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
9. PeluangPeluangPeluangPeluangPeluang
1. Kunci Jawaban: D
Ada 8 titik, tidak ada 3 titik yang segaris. Karena tidak ada 3
titik yang segaris, maka dalam setiap pembuatan garis
memerlukan 2 titik.
Jadi persoalannya kombinasi 2 dari 8.
C(8, 2)8! 8 7 6
286! 2! 6! 2!
2. Kunci Jawaban: E
S Jumlah siswa 40
A Jumlah siswa gemar Matematika
B Jumlah siswa gemar IPA
A B Jumlah siswa gemar mMatematika dan IPA
(A B)c
Jumlah siswa tidak gemar Matematika dan IPA
P(A B)c 3
40
3. Kunci Jawaban: B
Kotak I : 3 bola merah, 2 bola putih.
n(S) C(5, 2)5!
103!2!
n(M) C(3, 2)3!
32! !!
Peluang terambilnya dua bola merah dari kotak I
1
( ) 3
( ) 10
n MPn S
Kotak II: 3 bola hijau, 5 bola biru
n(S) C(8, 2) 8!
286!2!
n(B) C(5, 2) 5!
102!3!
Peluang terambil 2 bola biru dari kotak II
2
( ) 10
( ) 28
n BPn S
Jadi, peluangnya adalah:
1 2
3 10 3
10 28 28P P P
4. Kunci Jawaban: C
n ! n faktorial n (n 1) (n 2) . . . 1
16! 16 · 15 · 14 . . . 1, dengan ketentuan:
0! 1 dan 1! 1
1 16 15 240
14! 16 15 14! 16!
10 10 16 160
15! 16 15! 16!
Karena penyebutnya sudah sama maka:
1 10 4 240 160 4 84
14! 15! 16! 16! 16!
5. Kunci Jawaban: D
P Perempuan, L Laki-laki
Kemungkinannya PPP, LLL, LLP, LPP.
Ada 4 kemungkinan
Kemungkinan paling sedikit mempunyai 2 anak laki-laki adalah
LLL dan LLP.
Peluangnya2 1
.4 2
6. Kunci Jawaban: B
Muncul mata dadu berjumlah 9 atau 10 adalah (3, 6), (4, 5),
(5, 4), (6, 3), (4, 6), (5, 5), (6, 4) Ada 7 kejadian.
Peluangnya7 7
6 6 36
7. Kunci Jawaban: C
Kotak I berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning.
Kotak II berisi 2 bola merah dan 6 bola kuning.
Dari masing-masing kotak diambil sebuah bola secara acak.
Ditanyakan peluang kedua bola berwarna sama.
Peluang bola merah dari kotak I
Peluang bola merah dari kotak II
Peluang kedua bola berwarna merah:
P(M)5 2 10
8 8 64
Peluang bola kuning dari kotak I 3
8
Peluang bola kuning dari kotak II 6
8
Peluang kedua bola berwarna kuning:
P(K)3 6 18
8 8 64
Peluang kedua bola berwarna sama:
P 10 18 28 7( ) ( )
64 64 64 16P M P K
8. Kunci Jawaban: D
Populasi serangga setiap tahun menjadi 2 kali lipat membentuk
barisan geometri, dengan
U1 a 5000
r10.000
25.000
10 tahun yang akan datang populasinya S10
10
10
( 1)
1
5.000(2 1) 5.000(1.024 1)
2 1 1
n
nrSr
S
5.000 (1.023) 5.115.000
9. Kunci Jawaban: E
Dua dadu dilambungkan bersama-sama
Munculnya mata dadu pertama 3 adalah 1
6 dan mata dadu
kedua 5 adalah 1
6.
Maka kejadian yang diharapkan 1 1 1
6 6 36
10. Kunci Jawaban: C
1 2 3 4 5 6 7 8 9
n(S) 9
M B 3S
16 9 12
38 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
Banyaknya tiket dengan nomor ganjil adalah n(A) 5
Peluang terambilnya tiket bernomor ganjil pada pengambilan
pertama adalah
P(A)( ) 5
(5) 9
n An
Peluang terambilnya tiket bernomor genap pada pegambilan
kedua adalah
4 1( ) karena sudah diambil satu.
8 2
5 1 5Jadi, ( ) ( )
9 2 18
P B
P P A P B
11. Kunci Jawaban: A
5 merah, 3 putih, 2 biru 10 kelereng
Dari 10 buah kelereng diambil 3 kelereng secara acak,
seluruhnya ada 10 3
10!
7! 3!C 120 cara.
Terambilnya 2 merah dan 1 putih, yaitu:
2 merah dapat diambil dari 5 merah.
5 2
5!
2! 3!C 10 cara
1 putih dapat diambil dari 3 putih
3 1
3!
1! 2!C 3 cara
Maka kemungkinan terambilnya 2 kelereng merah dan 1
kelereng putih adalah 10 3 30 cara.
Jadi, P (2 merah, 1 putih) 30 1
120 4
12. Kunci Jawaban: D
A Bukan prima 1 , 4 ,6 ,8 , 9 , 10
n(A) 6 6 3( )
10 5P A
B Bukan komposit 2 , 3 , 5 , 7
n(B) 4 4 2
( )10 5
P B
3 2 6( ) ( ) ( )
5 5 25P A B P A P B
13. Kunci Jawaban: C
Banyaknya bilangan yang dapat dibentuk dalam 3 digit.
2 5 4
Banyaknya cara 2 5 4 40.
14. Kunci Jawaban: D
Kotak I 4 bola merah 3 bola putih 7 bola
P(putih)3
7
Kotak II 7 bola merah 2 bola hitam 9 bola
P(hitam)2
9
Jadi, peluang terambilnya bola putih dari kotak I dan bola hitam
dari kotak II adalah3 2 6
7 9 63
15. Kunci Jawaban: B
2 orang matematikawan dari 3 orang
3 2
3!3
1! 2!C cara
3 orang teknisi dari 5 orang teknisi
5 3
5! 4 510
2! 3! 2C cara
Jadi banyaknya cara menyusun tim tersebut adalah
3 10 30
10. LingkaranLingkaranLingkaranLingkaranLingkaran
1. Kunci Jawaban: C
Diketahui lingkaran x2 y2 25
Garis singgung di titik ( 3, 4) menyinggung lingkaran lain yang
pusatnya (10, 5).
Gradien garis singgung:
m ( 3) 3
4 4
xy
Persamaan garis singgungnya melalui titik ( 3, 4):
4 3 34 ( 3)
( 3) 4 4
y y xx
. . . . (i)
Karena yang ditanyakan panjang jari-jari lingkaran kedua
yang berpusat di (10, 5), maka dapat langsung digunakan
rumus garis singgung lingkaran:
y b m(x a) R 21 mdengan (a, b) adalah pusat lingkaran kedua.
Persamaan garis singgung dari persamaan (i) adalah:
y 43
4(x 3)
(y 5) 13
4(x 10 13)
(y 5) 13
4(x 10)
391
4
(y 5)3
4(x 10)
35
4
Sehingga,
2 2 2
2
3 35 4 3 351
4 4 44
25 35
16 4
5 35 357
4 4 5
R R
R
R R
2. Kunci Jawaban: E
Persamaan: 9x2 25y2
18x 100y 116 0
dapat disederhanakan menjadi:
9(x2 2x) 25(y2
4y) 116 0
9(x 1)2
9 25(y 2)2
100 116 0
9(x 1)2
25(y 2)2
225 0
2 29( 1) 25( 2)1
225
x y
2 2( 1) ( 2)1
25 9
x y
Persamaan elips di atas memiliki pusat di (1, 2) dan sumbu
panjang sejajar dengan sumbu-x, jadi fokusnya:
F1( c , ) dan F2( c , ) dengan titik ( , ) adalah pusat
elips.
39Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
2 2 25 9 4c a b
sehingga c 1 4 5 dan c 1 4 3
Jadi, fokusnya adalah (5, 2) dan ( 3, 2).
3. Kunci Jawaban: D
Diketahui hiperbola dengan persamaan:
2 2( 2) ( 1)1
16 9
x y
Pusatnya (2, 1), 16a dan 9 3bPersamaan asimptotnya adalah
( ) ( )by xa
3( 1) ( 2)
4y x
Jadi garis singgungnya:
y 1 3
( 2)4
x 4y 3x 10 0
3x 4y 10 0
y 1 3
4(x 2) 4y 3x 2 0
3x 4y 2 0
4. Kunci Jawaban: A
Diketahui kurva y322 2x x x
Ditanyakan persamaan garis singgung pada x 2
Persamaan garis singung pada kurva y f(x) di titik x a adalah:
y f '(a)(x a) f(a)
32
32
( ) 2 , jadi
(2) 2 2 2 2 2 4
f x x
f
3 12 2
12
3 2( ) 2 ( )
2
3 2 3 2(2) 2 2 3
2 2
'f x x f x x
'f
Jadi persamaan garis singgungnya adalah:
y f'(2) (x 2) f(2) 3(x 2) 4 3x 2
5. Kunci Jawaban: D
Diketahui lingkaran x2 y2 4
Ditanyakan persamaan garis singgung dari titik (0, 4).
Persamaan garis singung pada lingkaran yang ditarik dari titik
(x , y) di luar lingkaran adalah:
y m(x x1) y1dengan m (gradien) dicari dari:
y1 mx121R m
R Jari-jari lingkaran
Pada lingkaran di atas R 2, dan (x1, y1) (0, 4).
Jadi:
2
2 2
2
4 0 2 1
2 1 1 4
4 1 3
3
m m
m m
m
m
Jadi persamaan garis singgungnya:
3( 0) 4 3 4y x x
6. Kunci Jawaban: A
Diketahui persamaan hiperbola:
9x2 4y2
54x 8y 41 0
9(x2 6x) 4(y2
2y) 41 0
9(x 3)2
81 4(y 1)2
4 41 0
9(x 3)2
4(y 1)2
36
2 2( 3) ( 1)1
4 9
x y
2 2
2 2
( 3) ( 1)1
2 3
x y
Persamaan asimtot hiperbola yang persamaan umumnya
2 2
2 2
( ) ( )1
x p y qa b
adalah ( )by q x pa
Jadi persamaan asimtot untuk hiperbola di atas adalah:
y 13
( 3)2
x
2y 2 3 (x 3)
2y 3x 11 0 atau 2y 3x 7 0
3x 2y 11 0 atau 3x 2y 7 0
7. Kunci Jawaban: B
l : x 2y 13 0
2y x 13
y1 13
2 2x
gradien l : Me1
2
g garis singgung
g l mg 12
1 12
lm
mg y' 4x 6 2
4x 8 x 2
x 2 2 (2) 6 (2) 7
8 12 7 11
Jadi titik singgung: P(2, 11)
g melalui P(2, 11) dengan gradien 2
y y1 m (x x1)
y 11 2 (x 2)
y 2x 4 11
y 2x 15
2x y 15 0
8. Kunci Jawaban: C
Lingkaran: x 4x y 4 0
x y 4x 4 0
Pusat:1 1 1 1
( 4) (0) (2, 0)2 2 2 2
A B
Jarak antara pusat dengan sumbu-y adalah 2.
9. Kunci Jawaban: D
7x2 16y2
28x 96y 60 0
(7x2 28x) (16y2
96y) 60
7(x2 4x) 16(y2
6y) 60
7(x2 4x 4) 16(y2
6y 6y 9) 60 28 144
7(x 2)2
16(y 3)2
112
2 2( 2) ( 3)1
16 7
x y
40 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
Pusat: (2, 3) (p, q)
a2 16; b2
7
c2 a2 b2 16 7 9
c 3
Fokus: F1(p c, q) F1(2 3, 3) F1(5, 3)
F2(p c, q) F2(2 3, 3) F2( 1, 3)
Jadi, salah fokusnya adalah F( 1, 3)
10. Kunci Jawaban: E
Garis menyinggung kurva y x3 3x2
2x 5
di titik T(1, 3)
y 3x2 6x 2
Gradiennya pada x 1
m 3 · 12
6 · 1 2 7
Persamaan garisnya:
y ( 3) 7 (x 1)
y 7x 10
11. Kunci Jawaban: B
Lingkaran melalui titik O(0, 0),
A(0, 8) dan B(6, 0)
Penyelesaian paling sederhana
dengan sketsa.
AOB 90 , berarti
BA diameter.
Garis singgung yang melalui titik Aharus tegak lurus pada garis BA.
Persamaan garis BA adalah: 8x 6y 8 · 6
8x 6y 48
3x 4y 32 0
12. Kunci Jawaban: A
3x2 4y2
12 32y 10 0
3(x2 4x) 4(y2
8y) 10 0
3{(x 2)2
4} 4 {(y 4)2
16} 10 0
3(x 2)2
4(y 4)2
62 0
Koordinat pusatnya adalah ( 2, 4)
13. Kunci Jawaban: C
2 4 2dyy x xdx
Garis singgungnya pada garis y x 1 m 1
Gradien garis singgung 1. Jadi:
11 2
2
dy x xdx
Untuk x 1
2 didapat:
21 15
42 4
y
Persamaan garisnya:
15 11
4 2
1 15 17
2 4 4
y x
y x y x
Jika memotong sumbu-y maka x 0
y 0 17 17 174 4 4
. . . . (0, )
Jadi garis singgungnya memotong sumbu-y pada 174
0,
14. Kunci Jawaban: D
Diketahui persamaan lingkaran (x 4)2
(y 3)2
40
Tegak lurus garis x 3y 5 0
Pusat lingkaran (4, 3), r 40
Gradien garis singgungnya
x 3y 5 0
3y x 5
51 113 3 3
y x m
Karena lingkaran tegak lurus garis maka hasil kali gradien 1
m1 · m2 1 123
2
1
3
m
m
Maka persamaan garis singgung lingkaran
(x 4)2
(y 3)2
40
yang tegak lurus garis x 3y 5 0 dapat digunakan rumus
2
2
( ) 1
3 3( 4) 40 3 1
3 12 3 40 10
3 15 400
3 15 20
y b m x a r m
y x
y x
xx
y1 3x 15 20 3x 5
y2 3x 15 20 3x 35
15. Kunci Jawaban: D
Persamaan parabola horisontal dengan titik puncak (1, 3) dan
melalui titik (3, 7) dapat ditentukan dengan menggunakan rumus:
(y b) 4p (x a)
(7 3) 4p (3 1)
16 4p(2)
16 8p p 2
maka persamaan parabola adalah (y 3) 8(x 1)
16. Kunci Jawaban: C
Diketahui panjang sumbu minor suatu elips horisontal yang
pusatnya M(3, 1) sama dengan 6 dan melalui titik P(8, 3).
Sumbu minor 6 2b 6
b 3
Persamaan elips dengan pusat M(3, 1), panjang sumbu minor
adalah 6 dan melalui titik P(8, 3) adalah:
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 2
( ) ( ) (8 3) (3 1)1 1
3
225 425 41 1
9 9
x h y ka b a
aa a
225 4a 9a 225 5a
a 45
Jadi, persamaan elips adalah 2 2( 3) ( 1)
145 9
x y
17. Kunci Jawaban: E
Pusat (3, 1), a 16 4 b 25 5
Asimtot: y k ( )b x ha
y 1 5
( 3)4
x
Asimtot memotong sumbu-y, jika x 0.
A(0, 8)
B(6, 0)O x
y
41Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
1
2
51 (0 3)
4
51 ( 3)
4
151
4
15 11 2 21 2 . . . . 0,
4 4 4 4
15 19 4 31 4 . . . . . 0, 4
4 4 3 4
y
y
y
y
y
18. Kunci Jawaban: A
Suatu kurva melalui titik P(1, 3)
Gradien garis singgung kurva tersebut di titik T(x, y) sama
dengan
2
2 5 (2 5)
5
dy y x y x dxdx
y x x c
Kurva melalui titik P(1, 3) 3 12
5 · 1 cc 7
Maka persamaan kurva adalah y x2 5x 7.
19. Kunci Jawaban: D
Persamaan 4x2 9y2
36
12 2 2
( , 90 ) [( 1, 2), 90 ]2 2
4 ( 1) 9( 2) 36
4( 1) 9( 2) 36
1 cos 90 sin 90 1
2 sin 90 cos 90 2
0 1 1 1
1 0 2 2
R P R
x y
x yx' yy' y
x' xy' y
2 1
1 2
x' yy' x
1
3
x' yy' x
Maka persamaan bayangan 4(x 1)2
9(y 2)2
36 adalah
4( y 1 1)2
9(x 3 2)2
36
4( y 2)2
9(x 1)2
36
9(x 1) 4(y 2) 36
20. Kunci Jawaban: B
y x3 5x2
7 . . . (i)
y 2x 3 m1 2
Karena maka m1 · m2 1
2 · m2 1
m2
1
2
Absis x 1
Substitusi x 1 ke (i)
y 13
5 · 12
7 3
Diperoleh titik (1, 3)
y y1 m2 (x x1)
y 31
2 (x 1)
y 1 1 1 73
2 2 2 2x y x
2y x 7 x 2y 7 0
21. Kunci Jawaban: A
x y 1 0 x y 1 . . . (i)
x y 3 0 x y 3 . . . (ii)
2x 4
x 2
Substitusi x 2 ke (i)
2 y 1 y 1
Diperoleh x 2, y 1
1 1
2 2
3 4 35 3(2) 4 1 35
9 163 4
6 4 35 255
5 5
x yr
Persamaan lingkaran: (x 2)2
(y 1)2
52
x2 4x 4 y2
2y 1 25 0
x2 y2 4x 2y 20 0
22. Kunci Jawaban: C
Titik puncak (a, b) ( 1, 3)
Titik fokus (a p, b) (3, 3)
a 1, b 3, a p 3
1 p 3 p 4
Persamaan parabola:
(y 3)2
4 · 4(x 1)
(y 3)2
16(x 1)
Persamaan garis singgung dengan m 2
y b m(x a)pm
y 3 2(x 1) 4
2
y 3 2x 2 2
y 2x 7
23. Kunci Jawaban: A
Hiperbola: Puncak (0, 6) dan (0, 0)
Fokus (0, 8)
h 0, k a 0
k a 6
2k 6
k 3 a 3
k c 8
3 c 8 c 5
c2 a2 b2
52
32 b2 b2
16 b 4
Persamaan hiperbola: 2 2( 3)
116 9
x y
Persamaan asimtot: 4
3 ( 0)3
y x
40
3y x
Jadi,4
33
y x atau 43
3x
24. Kunci Jawaban: D
y ax3 2x2
di titik (1, a 2) maka
a 2 a · 13
2 · 12 a 2 a 2
Karena a 2 a 2, maka nilai y 0
42 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
Jadi (1, 0) dengan garis x 2y 4
2y x 4
y 1
1 12
2 2x m
m1 · m2 2
11 1
2m
m2 2
y m(x 1) 2(x 1) 2x 2
25. Kunci Jawaban: D
x 4y 4 0 x 4y 4 . . . (i)
2x y 10 . . . (ii)
2 (i) (ii) 2x 8y 8
2x y 10
9y 18
y 2
Substitusi y 2 ke (i)
x 4(2) 4
x 8 4
x 4 8 4
Diperoleh x 4, y 2
1 13 4 3 4 4 2 204
5 59 16
x yr
Persamaan lingkaran: (x 4)2
(y 2)2
42
x2 8x 16 y2
4y 4 16 0
x2 y2 8x 4y 4 0
26. Kunci Jawaban: B
Parabola: Puncak (1, 3)
Fokus (1, 2)
a 1, b 3, b p 2
p 1
(x 1)2
4(y 3)2
Garis 2x y 3 0
y 2x 3 m1 2
m1 m2 2 (karena sejajar)
Persamaan garis singgung: (y b) m2(x a) m22
(y 3) 2(x 1) 4
y 2x 2 4 3
y 2x 9
27. Kunci Jawaban: D
Hiperbola:Puncak ( 2, 1), (6, 1)
Fokus (7, 1)
h a 2 r a 2, k 1
h a 6 a 4
2h 4 h c 7
h 2 2 c 7
c 5
c2 a2 b25
2 4
2 b2
b2 25 16
b2 9 b 3
Persamaan asimtot:
y 13
( 2)4
x
y3
( 2) 14
x
y3 3 3
( 2) 1 14 4 2
x x
y 3 5
4 2x
4y 3x 10 3x 4y 10 0
3 3 3( 2) 1 1
4 4 2
3 1
4 2
y x x
y x
4y 3x 2 3x 4y 2 0
28. Kunci Jawaban: A
y1 x3 6x2 18x 3 y1' 3x2 12x 18
9y2 x 2 0 2
12
9y x
Karena maka m1 · m2 1
1
9 · m2 1 m2 9
y1' m2 3x2 12x 18 9 3x2 12x 9 0
3(x 3) (x 1) 0
x 3 atau x 1
x 3 y1 33 62 · 3 18 · 3 3 30 . . . . (3, 30)
Persamaan garis singgung: y 30 9(x 3)
y 9x 3
y 9x 3 0
x 1 y1 13 6 · 12 18 · 1 3 16 . . . . (1, 16)
Persamaan garis singgung: y 16 9 (x 1)
y 9x 7
y 9x 7 0
29. Kunci Jawaban: A
I : 2x 6y 6 0
II : 2x y 4 0
II :
5 10 0 2( 3, 2)
2 2 4 0 3
y yx x
1 13 4 8 3( 3) 4 2 8
59 16
9 8 85
5
x yr
Sehingga diperoleh persamaan lingkaran:
(x 3)2
(y 2)2
25
x2 y2 6x 4y 9 4 25 0
x2 y2 6x 4y 12 0
30. Kunci Jawaban: E
p 3
Persamaan parabola (y 3)2
12(x 2)
Persamaan garis singgung dengan m 3
y 3 m(x 2) pm
y 3 3(x 2) 3
3
y 3x 6 1 3 y 3x 4
31. Kunci Jawaban: D
Pusat:3 3 4 5 4 5
,2 2
(3, 4)
Pusat (3, 4), Puncak (3, 6) F2(3, 4 5 )
O
( 1, 3) (2, 3)
43Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
a 2 , c 5
c2 a2 b2 5 4 b2
b2 1
Persamaan hiperbola: 2 2( 3) ( 4)
11 4
x y
Persamaan asimtot: y 4 2
( 3)1
x
I : y 2x 6 4 y 2x 2
II : y 2 x 6 4 y 2x 10
32. Kunci Jawaban: B
y x3 2x 1 , x 1
y ' 3x2 2
m y ' 3(1)2
2 3 2 1
Substitusi x 1 ke y x3 2x 1
y 13
2 · 1 1 0
Persamaan garis singgung: y 0 1 (x 1)
y x 1
33. Kunci Jawaban: E
Ujung diameter A(2, 4), B( 4, 2)
Pusat2 4 4 2
, ( 1, 3)2 2
r 2 ( 1)2 32 1 9 10
Persamaan lingkaran: (x 1)2 (y 3)2 10
34. Kunci Jawaban: A
y2 8x 4p 8 p 2
Garis 2x y 1 0
y 2x 1 m1 2
Karena sejajar m1 m2 2
y m2 x pm
y 2x2
2
y 2x 1
y 2x 1
35. Kunci Jawaban: B
Hiperbola: 9x2 16y2 36x 32y 124 0
9(x2 4x 4) 16(y2 2y 1) 124 36 16
9(x 2)2 16(y 1)2 144
2 2( 2) ( 1)1
16 9
x y
Sehingga diperoleh,
a2 16 a 4
b2 9 b 3
h 2 dan k 1
3 31 ( 2) ( 2) 1
4 4y x y x
y3 3 3
( 2) 1 14 4 2
x x
y3 1
4 3 1 04 2
x y x
y3
4(x 2) 1
3
4x
3
2 1
3
4x
5
2 4y 3x 5 0
36. Kunci Jawaban: E
23 4 3dy x xdx
2 3 23 4 3 2 3y x x dx x x x c
Kurva melalui titik (3, 10)
10 33 2 · 32 3 · 3 c10 27 18 9 cc 10 36 26
Persamaan kurva: y x3 2x2 3x 26
37. Kunci Jawaban: A
L x2 y2 4x 6x 6y 12 0 di titik (5, 1)
xx1 yy11
2 · 4 (x x1)
1
2 · 6 (y y1) 12 0
x · 5 y · 1 2(x 5) 3(y 1) 12 0
5x y 2x 10 3y 3 12 0
3x 4y 19 0
38. Kunci Jawaban: A
Parabola: F(2, 1), direktris x 6
a p 2 a 2 2 b 1
a p 6 a 4
2p 4
p 2
Persamaan parabola: (y b)2 4p (x a)
(y 1)2 8 (x 4)
y2 2y 1 8x 32
y2 2y 8x 31 0
39. Kunci Jawaban: A
Elips: 9x2 25y2 36x 50y 164 0
9(x2 4x 4) 25(y2 2y 1) 164 36 25
9(x 2)2 25 (y 1)2 225
2 2( 2) ( 1)1
25 9
x y
Sehingga diperoleh,
c2 a2 b2 25 9 16
c 4
h 2 dan k 1
Fokus: (h c, k) dan (h c, k)
(2 4, 1) dan (2 4, 1)
( 2, 1) dan (6, 1)
40. Kunci Jawaban: D
Asimtot hiperbola: by xa
di mana m ba
6x 3y 0 ba
m1
ba
3y 6x 5 22
b
y 2x5
34 b
b2 16
m1 m2 2
F2
(3, 4)
F1
(3, 6)
44 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
41. Kunci Jawaban: B
Hiperbola: Fokus ( 9 , 1) dan (18, 1) k 1
h c 8 5 c 8
h c 18 c 13
2h 10 2a 24
h 5 a 12 a2 144
b2 c2 a2 132 122 25
2 2
2 2
2
2 2
22
( ) ( )1
( 5) ( 1)1
12 5
1( 5)1
144 25
x h y ka bx y
yx
. Kunci Jawaban: D
P(x) 3x3 4x2
6x k habis dibagi (x 2) sehingga:
P(2) 0 3(2)3
4(2)2
6(2) k 0
24 16 12 k 0
k 4
Suku banyak tersebut adalah
P(x) 3x3 4x2
6x 4
Sisanya adalah:
3x 10
x2 2x 2 3x3
4x2 6x 4
3x 6x2 6x
10x2 12x 4
10x2 20x 20
8x 24 (sisa)
2. Kunci Jawaban: B
Jika x1, x2, dan x3 akar-akar persamaan berderajat tiga:
ax3 bx2 cx 4 0, maka berlaku:
x1 x2 x3b
a
x1 . x2 x1 . x3 x2 . x3ca
x1 . x2 . x3
da
Pada persamaan di atas:
a 1, b 4, c 1 dan d 4
x12 x2
2 x32
(x1 x2 x3)2
2(x1 x2 x1 x3 x2 x3)
2
2
2
( 4) 12
1 1
16 2 14
b ca a
3. Kunci Jawaban: E
f(x) dibagi oleh (x 1) sisanya 8, berarti f( 1) 8
f(x) dibagi oleh (x 3) sisanya 4, berarti f(3) 4
g(x) dibagi oleh (x 1) sisanya 9, berarti g( 1) 9
g(x) dibagi oleh (x 3) sisanya 15, berarti g(3) 15
Diketahui pula:
h(x) f(x) · g(x)
Ditanyakan sisa pembagian h(x) oleh (x 2x 3)
x 2x 3 (x 3) (x 1)
Misalkan sisa pembagian itu adalah ax b, maka:
Untuk x 1
a( 1) b f( 1) · g( 1)
a b 8 · 9 72 . . . . (i)
Untuk x 3
a(3) b f(3) · g(3)
3a b 4 · 15 60 . . . . (ii)
Dari (i) dan (ii) didapat sistem persamaan:
a b 72 b 72 a3a b 60 72 33
4a 132 a 33 39
Jadi sisa pembagian itu adalah 33x 39.
4. Kunci Jawaban: D
(3x 1), 3 13
x , berarti f 13 0
13
6 13 q 12
2 55
3
q
6 15 q 15 0
125
03
q q 5 3 · ( 12) 36
q 36 5 41
Suku banyak itu apabila dibagi oleh 13
x hasil baginya adalah
6x2 15x 36.
Jadi dapat ditulis:
6x3 13x2
41x 12 (6x2 15x 36)(x
1
3)
3(2x2 5x 12)(x
1
3)
(2x2 5x 12)(3x 1)
(2x 3)(x 4)(3x 1)
Jadi faktor yang lainnya adalah (2x 3) dan (x 4).
5. Kunci Jawaban: E
Diketahui fungsi y f(x) 4x3 6x2
2
Fungsi akan naik apabila f ' (x) 0 dan
turun apabila f '(x) 0.
Titik stasionernya f '(x) 0
f(x) 4x3 6x2
2
f '(x) 12x2 12x
f '(x) 0 12x2 12x 0 12x (x 1) 0
Titik stasionernya x 0 dan x 1
f '(x) 0 f '(x) 0 f '(x) 0
Jadi fungsi f(x) di atas naik pada selang x 0 atau x 1.
6. Kunci Jawaban: B
F(x) (x2 6x 5) · H(x) (ax b)
(x 5) (x 1) · H(x) (ax b)
F(x) dibagi (x 5) sisa 5a b 13
F(x) dibagi (x 1) sisa a b 5
4a 8
a 2
0 1
45Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
Sehingga, 2 b 5 b 3
Jadi sisanya adalah ax b 2x 3
7. Kunci Jawaban: D
F(x) (x2 x 2) · H (x) (ax b)
(x 2) (x 1) H(x) (ax b)
F(x) dibagi (x 2) sisa 2a b 11
F(x) dibagi (x 1) sisa a b 4
3a 15
a 5
Sehingga, 5 b 4
b 1
Jadi sisanya adalah 5x 1.
8. Kunci Jawaban: C
Suku banyak (x4 7x3
9x2 13x 7) dibagi (x 1) (x 3)
Menghasilkan sisa dengan menggunakan rumus.
Jika f(x) dibagi (x a)(x b) maka sisa pembagian adalah:
( ) ( ) ( ) ( )f a f b af b bf axa b a b
f(x) x4 7x3
9x2 13x 7
f( 1) ( 1)4
7 ( 1)3
9 ( 1)2
13 ( 1) 7
1 7 9 13 7 3
f(3) 34
7(3)3
9 . 32
13 . 3 7
81 189 81 39 7 5
Sisa3 5 1 5 3( 3)
1 3 1 3x
8 5 9
4 4x 2x 1
9. Kunci Jawaban: C
P(x) x3 (a 1)x2 bx 2a
Habis dibagi (x 2), berarti:
P( 2) ( 2)2
(a 1)( 2)2 b( 2) 2a
0 8 4(a 1) 2b 2a0 8 2a 4 2b 4 2a 2b
2a 2b 4 . . . (i)
Dibagi (x 2) sisa 4
P(2) 8 (a 1)4 2b 2a 4
2a 2b 12 4
2a 2b 16 . . . (ii)
(i) dan (ii)
2a 2b 4
2a 2b 16
4a 12
a 3
(i) 6 2b 4
2b 10, b 5
Jadi nilai a 3 dan b 5
10. Kunci Jawaban: A
1 1 2 4 a b 1 1 5 a 5
1 1 5 a 5 a b 5 sisa
3 1 2 4 a b 3 3 3 3a 9
1 1 1 a 3 3a b 9 sisa
Sisa 0 a b 5 0 . . . (1)
3a b 9 0 . . . (2)
Sehingga,
a b 5
3a b 9
2a 4
a 2 b 3
Maka suku banyak tersebut adalah:
x5 2x4
4x2 2x 3 0
(x 1) (x 3) x3 0
(x2 4x 3) x3 0
Hitung nilai x3.
3 2
2 5 4 2
5 4 3
2 5 10
4 3 2 4 2 3
4 3
x x xx x x x x x
x x x
2x4 3x3
4x2 2x 3
2x4 8x3
6x2
5x3 10x2
2x 3
5x3 20x2
15x
10x2 13x 3
10x2 40x 30
27x 27
Maka:
x5 2x4
4x2 2x 3
(x 1) (x 3) (x3 2x2
5x 10) 27x 27
(x 1) (x 3) (x 2) (x2 5)
x1 1 x2 3 x3 2 x4Jadi, x1 x2 2x3 1 3 2 ( 2) 0
11. Kunci Jawaban: A
P(x) x4 5x3 ax2 x b
Dibagi x sisa 2
P(0) b 2
Dibagi (x 1) sisa 1
P(1) 1 5 a 1 2 1
a 1 3 2
Nilai: a 3b 2 3 (2) 2 6 8.
12. Kunci Jawaban: E
1 1 a 1 b1 a 1 a 2
1 a 1 a 2 a b 2 sisa
2 1 a 1 b 2 2a 4 4a 10
1 a 2 2a 5 4a b 10 sisa
Sisa 0 a b 2 0
4a b 9 0
Sehingga,
a b 2
4a b 10
3a 12
a 4 b 6
Maka suku banyak tersebut adalah
x2 4x2 x 6 0
(x 1)(x 2) 0
(x2 x 2) 0
46 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
Hitung nilai
3
2 3 22 4 6
3 2 2
23 3 6
23 3 6
0
x
x x x x x
x x x
x x
x x
Maka:
x3 4x2 x 6 (x 1)(x 2) (x 3)
1 2 3
Jadi2 2 2
( 1)2
22
32
1 4 9 14
13. Kunci Jawaban: E
Suku banyak x4 ax3 2x2 bx 5
dibagi (x 2), S(x) 7, dibagi (x 3), S(x) 182
x 2 16 8a 8 2b 5 7
8a 2b 22 4a b 11
x 3 81 27a 18 3b 5 182
27a 3b 78
9a b 26
9a b 26
4a b 11
5a 15
a 3 b 1
Nilai a2 4ab 4b2
9 4( 3)1 4 · 12
9 12 4 25
14. Kunci Jawaban: B
Suku banyak: px3 5x2
22x q 0 , x1 1, x2 5
x1 x2 x3 3
3
5 51 5
54 . . .(i)
xp p
xp
1 2 1 3 2 3
3 2 2
3 3
22
225 ( )
22 225 (4) 4 5 . . . (ii)
x x x x x xp
x x xp
x xp p
4(i) (ii) 20 22
16 5
20 225 16
4221 42 21
2
p p
p p
pp
p
Nilai x1 x2 4x3 1 5 225
2
1 5 11 5 2
15. Kunci Jawaban: C
P(x) x3 Ax2 Bx 6
Habis dibagi (x2 3x 2) (x 2) (x 1)
P(2) 8 4A 2B 6 0
4A 2B 2 . . . (i)
P(1) 1 A B 6
A B 5 . . . (ii)
(i) dan (ii) (ii)
4A 2B 2 6 B 5
2A 2B 10 B 11
2A 12 Maka: A B 6 11 5
A 6
16. Kunci Jawaban: A
P(x) x3 2x2
5x 6 0
(x 3)(x2 x 2) 0
(x 3)(x 2) (x 1) 0
x1 3, x2 2, x3 1
Sehingga diperoleh,
x1 x2 x3 3 2 1 2
x1 · x2 · x3 3( 2) · 1 6
17. Kunci Jawaban: D
F(x) (3x2 5x 2) H(x) ax b
(3x 1) (x 2) H(x) ax bF(2) 2a b 8
F 13
13
a b 1
2 13
a 7
a 3 2(3) b 8
b 8 6 2
Jadi, sisanya adalah 3x 2.
18. Kunci Jawaban: C
P(x) 3x4 8x3
7x 2 0
(x 2) (3x3 2x2
4x 1) 0
(x 2) 13
x (3x2 3x 3) 0
3(x 2) (x1
3) (x2 x 1) 0
x1 p 2 dan x2 q 1
3
p q 21
3
5
3
19. Kunci Jawaban: B
2 12
0 4 6 3 8
1 2 4 4 14
12
1 2 2 7 6
f( 2) 6
47Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
12. Fungsi Komposisi dan Fungsi InversFungsi Komposisi dan Fungsi InversFungsi Komposisi dan Fungsi InversFungsi Komposisi dan Fungsi InversFungsi Komposisi dan Fungsi Invers
1. Kunci Jawaban: B
f(x) 2x 1 dan (f g)(x 1) 2x2 4x 1
(f g)(x 1) f{g(x 1)}
Misalkan g(x 1) t, maka dapat ditulis:
f(t) 2t 1 2x2 4x 1
2t 2x2 4x 2
t ( x2 2x 1)
t (x 1)2
Jadi g(x 1) (x 1)2
g(x) x2
g( 2) ( 2) 1
2. Kunci Jawaban: A
2 3 1( ) ;
4 1 4
xf x xx
Misalkan f(x) t, maka:
2 31
4 1
2 3 4
3 4 2
(3 4) 2
xx
x xt tx xt t
x t
2 2
3 4 3 4
t tx xt t
Jadi f 1(x)
2 3;
3 4 4
x xx
f 1(x 2)
2 ( 2)
3 4( 2)
4 5;
4 5 4
xx
x xx
3. Kunci Jawaban: D
(f g)(a) f(g(a))
f(5a 4)
6(5a 4) 3
30a 24 3 30a 21
Jadi, 30a 21 81 60
230
a
4. Kunci Jawaban: C
2
2
1 2
1
2
2
( ) 1
1
1
1
( ) 1
( )( ) 2 1
( ) ( ) 2 1
( 1) 2 1
(2 1) 1
4 ( 1) 1 4 5
f x x
y x
y x
x y
f x x
f g x x
g x f x x
x x
xx x
5. Kunci Jawaban: E
f(x) 2x 1 ; (f g)(x) ( ( ) )1
x f g xx
f(g(x)) 2g(x) 1 1
xx
2g(x)1
11 1
xx x
g(x)1
2( 1)xMisalkan g(x) y, maka:
1
2( 1)y
x2xy 2y 1
1 2
2
yxy
Jadi, 1 1 2 2 1( )
2 2
x xg xx x
6. Kunci Jawaban: A
f(x) x3 4 dan g(x) 2 sin x
(f g) (x) (2 sin x)3
4 8 sin3 x 4
(f g)12 8 sin
3 12 4 8( 1)
3 4 4
7. Kunci Jawaban: D
g(x) 3x 7
g(f(x)) 3f(x) 7 . . . . (i)
(g f)(x) 15x2 6x 19
g(f(x)) 15x2 6x 19 . . . . (ii)
Dari (i) dan (ii) diperoleh: 3f(x) 7 15x2 6x 19
3f(x) 15x2 6x 12
f(x) 5x2 2x 4
8. Kunci Jawaban: A
f(x) 2x 3, g(x) 3x 1
(f g) (x 4) f(x) 2g(x)
f(g(x 4)) 2x 3 2(3x 1)
f(3(x 4) 1) 2x 3 6x 2
f(3x 13) 8x 1
2(3x 13) 3 8x 1
6x 26 3 8x 1
2x 24
x 12
9. Kunci Jawaban: C
f(x)2 3
; 4 dan ( ) 24
x x g x xx
(g f)(x)2 3
( ( ))4
2 3 4 62
4 4
xg f x gx
x xx x
Sehingga,
y 4 64 4 6
4
x xy y xx
xy 4x 6 4y x(y 4) 6 4y
x4 6
4
yy
(g f) 1 (x)
4 6; 4
4
x xx
10. Kunci Jawaban: E
2 3( ) ; 4
4
xf x xx
48 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
(g f)(x) x2 7x 8
g(f(x)) x2 7x 8
g 2 3
4
xx x2
7 8
Misalkan:2 3 5
4 8
xx
8(2x 3) 5(x 4)
16x 24 5x 20
11x 44 x 4
g(4) 42
7 · 4 8
16 28 8 4
11. Kunci Jawaban: B
f(x)153(1 ) 2x
y153(1 ) 2x
y 2153(1 )x
(y 2)5
1 x3
x3 1 (y 2)
5
x135(1 ( 2) )y
f 1(x)
135(1 ( 2) )y
12. Kunci Jawaban: C
f(x) x 1 dan (f g) (x) 3x2 4
f(g(x)) 3x2 4
g(x) 1 3x2 4 g(x) 3x2
3
g(4) 3 · 16 3 48 3 51
13. Kunci Jawaban: B
f(x 3) ( 3) 44 1
( )2 5 2( 3) 5 2 1
xx xf xx x x
1
1 1 1 1
2 1 2 1
1 1( )
2 1 1 2
x xf xx x
14. Kunci Jawaban: E
g(x) x 4
f(g(x)) x2 3x 2
f(x 4) x2 3x 2
f(x 4) ((x 4)2
8x 16) 3x 2
(x 4)2
5x 14
(x 4)2
5(x 4) 6
f(x) x2 5x 6
f(0) 02
5 · 0 6 6
15. Kunci Jawaban: -
( 2) 55( 2) ( )
2 1 2( 2) 1
3 3( )
2 5 2 5
xxf x f xx xx xf x yx x
y(2x 5) x 3
2xy 5y x 3
2xy x 5y 3
x(2y 1) 5y 3
x5 3
2 1
yy
f 1(x)
5 3 1;
2 1 2
x xx
16. Kunci Jawaban: E
(f g)(x) 4x 8x 3
g(x) 2x 4
(f g)(x) f(g(x))
4x 8x 3 f(2x 4)
f(2x 4) (2x 4)2
4(2x 4) 3
f(x) x2 4x 3
y x2 4x 3
Sehingga,
x2 4x 3 y 0
2
1,2
4 ( 4) 4(1)( 3 )
2 1
4 16 12 4 4 28 4
2 2
4 2 72 7
2
yx
y y
y y
Jadi, 1( ) 2 7f x x
17. Kunci Jawaban: C
f(x) x 2 , x 0 g(x) 15 , 0x x
y x 2 y 15x
x y 2 x 115 15( )y xg x
f(x)1 x 2
1 1
1 1 1 15
( ) 1
( ) 1
152 1
153
5
x
f g x
f g x f
x
xx
18. Kunci Jawaban: B
f(x)3 4
2 1
xx
y3 4
2 1
xx
y(2x 1) 3x 4
2xy y 3x 4
2xy 3x y 4
x(2y 3) y 4
x4
2 3
yy
1( )f x4
2 3
xx
49Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
13. Limit FungsiLimit FungsiLimit FungsiLimit FungsiLimit Fungsi
1. Kunci Jawaban: D
2 22
2 2 2
2 2
2
2 2
2
2
1 1
1 1 1 1 1 1
1 1
1 (1 )
1 1
1 1
x xx
x x x
x x
x
x x
x
x
Sehingga,
22
20 0lim lim (1 1 )
1 1
(1 1 0 (1 1) 2
x x
x xx
2. Kunci Jawaban: E
0 0
0 0
sin 2 sin2 (3 2 9)lim lim
23 2 9
sin 2lim lim (3 9)
2
1 (3 3) 6
x x
x x
x x xxx
x xx
3. Kunci Jawaban: E
Perhatikan bahwa apabila nilai x mendekati tak terhingga, maka:
5x x begitu pula 2 1 2x xsehingga untuk x tak terhingga:
5 2 1 2x x x xJadi:
lim ( 5 2 1)x
x x
4. Kunci Jawaban: D
1 cos 2x (sin2x cos2x) (cos2x sin2x) 2 sin2xSehingga,
2 2
20 0
22
0
4 4lim lim
1 cos 2 2 sin
lim 2 2 1 2sin
x x
x
x xx x
xx
5. Kunci Jawaban: A
22 2
2
2
2
6 1 (6 ) ( 2)lim lim
2 ( 2))( 2)4
2 4lim
( 2)( 2)
2( 2)lim
( 2)( 2)
2 2 2 1lim
2 2 2 4 2
x x
x
x
x
x x x xx x xx
xx x
xx x
x
6. Kunci Jawaban: B
2 2
2 22 2
1 cos ( 2) sin ( 2)lim lim
3 12 12 3 ( 4 4)x x
x xx x x x
2
2
2
2
sin ( 2)lim
3( 2)
1 sin ( 2)lim
3 ( 2)
1 11
3 3
x
x
xx
xx
7. Kunci Jawaban: B
lim (2 5)(2 1) (2 5)x
x x x dapat ditulis sebagai berikut:
2 2lim 4 8 5 (2 5)x
x x x
2 2lim 4 8 5 4 20 25x
x x x x
Limit berbentuk:
2 2limx
ax bx c px qx r
Jika: a p 1
2
bp
a pa p
Limit di atas a p 4. Maka hasilnya adalah:
8 ( 20) 123
42 4
8. Kunci Jawaban: D
tan( )
1lim lim
2( ) tan ( ) 2
1 1
2 1 3
xx xx
xx x
9. Kunci Jawaban: D
2
5 5
5
2 9 5 (3 1) ( 5)lim lim
5 5
lim 2 1
2 5 1 11
x x
x
x x x xx x
x
10. Kunci Jawaban: A
cos 6x cos2 3x sin2 3x 1 2 sin2 3x1 cos 6x 2 sin2 3x
92 90
tan 2lim . . . .
2 sin 3
xxx
x x dikalikanx
2
20
2
0 0
2
1 tan 2 9lim
9 2 sin 3
1 tan 2 3lim lim
9 2 sin 3
1 11 1
9 9
x
x x
x xx x
x xx x
11. Kunci Jawaban: D
4 1 2 1 2lim
1 2 1 2 1 2 1 2x
x x xx x x x
50 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
4 1 2 1 2lim
(1 2 ) (1 2 )
4lim
x
x
x x x
x x
x 1 2 1 2
4
x x
x1 1 2
12. Kunci Jawaban: E
Ingat: 1 cos x 2 sin21
2x
2 tanlim
1 cosx
x xx
2lim
x
tan
2
x x 14
2 1142
. . . .sin
xdikalikan
xx
214
2 1142
tan 1lim
sinx
xxx x
212
12
tan4 lim lim
sinxx
xxx x
4 · 1· 12 4
13. Kunci Jawaban: C
22 2
2 2lim lim
( 2)2
2 2 00
2( 2 2) 8
x x
x xx xx x
14. Kunci Jawaban: C
Ingat:
2 sin x cos x sin 2x6 cos2 x 3 3 (2 cos2 x 1) 3 · cos 2x
4 4
13
1 13 3
2 sin 2lim lim tan 2
6 3 cos 2
tan 0 02
x x
x xx
15. Kunci Jawaban: E
0
( ) ( )limh
f x h f xh
f(x) 3x2 cos3 (x2 )
u 3x2 u' 6x v cos3 (x2 ) v' 6x cos2 (x2 ) sin (x2 )
f '(x) 6x (cos3 (x2 )) 3x2 ( 6x cos2 (x2 ) sin (x2 ))
6x cos2 (x2 ) {cos (x2 ) 3x2 sin (x2 )}
16. Kunci Jawaban: D
12
12
2
3
212
3
12
4 6 3 18lim
3
4 0 ( 3 18) (2 3)lim
0 1
4 (9 9 18) (6 3)
1
x
x
x x xx
x x x
121
1 12
2 6
9 312 4
4 (36) 9 4 9
1 1
4 4 1 133
1 1 4 4
17. Kunci Jawaban: B
3 30 0
2
30
2 3
2 30
2
sin 3 sin 3 cos 2 sin 3 (1 cos 2 )lim lim
4 4
tan 3 2 tanlim
4
tan 3 sin 3lim 2
3 4
3 31 2 1
4 2
x x
x
x
x x x x xx x
x xx
x x xx x x
18. Kunci Jawaban: D
3
23 3
( 3)27lim lim
9x x
xxx
2( 3 9)
( 3)
x xx
2
3
( 3)
3 9lim
3
9 9 9
6
27 9 14
6 2 2
x
x
x xx
19. Kunci Jawaban: E
Ingat:
cos 2x cos2 x sin2 xcos 2x (cos x sin x) (cos x sin x)
cos x sin x2
cos sin
xx x
Sehingga,
4 4
cos 2
cos sin
2 2
cos sinlim lim
2 2
xx x
x x
x xx x
4
4
2
2
4 4
1 12 2
sin 2lim
2 cos sin
1lim
cos sin
1
cos sin
1 1
2 2 2
12
2
x
x
x
x x x
x x
20. Kunci Jawaban: C
3
22 2
8 ( 2lim lim
6t t
t tt t
2)( 2 4)
( 2
t tt
2
2
)( 3)
2 4lim
3
4 4 4 12
5 5
t
t
t tt
21. Kunci Jawaban: D
0
sin 5lim
sin 3t
xx . . . . dikali
9
25
51Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
0 0
3 sin 5 5lim lim
sin 3 5 3
5 51 1
3 3
x x
xx
22. Kunci Jawaban: B
0
tanlim
1 cosx
x xx
(hampir mirip dengan nomor 12)
2 102
3lim
12 sinx x . . . . dikalikan
1414
xx
212
1 10 02 4
tan 1lim lim
sin 2
41 1 2
2
x x
xxx x
23. Kunci Jawaban: C
22
2
2
2
3 2 9 2 5lim 3 2 9 2 5
3 2 9 2 5
(3 2) (9 2 5)lim
3 2 9 2 5
( 9lim
x
x
x
x x xx x xx x x
x x x
x x x
x 212 4 9x x 2
2
2
2 5)
3 2 9 2 5
10 9lim
3 2 9 2 5x
x
x x xx
x x x
2
9
52 2
10lim
3 9
10 0 10 10
3 3 63 0 9
5 21
3 3
xx
x x x
24. Kunci Jawaban: B
4
sin 30 0
0
4lim lim
sin 3
4lim 1
1 3
xx
xxx xx x
x
xx x
25. Kunci Jawaban: A
1 1
1 1 ( 1lim lim
1 1x x
x x xx x
) (1 )
1
xx 1
lim 1
1 1 2
xx
26. Kunci Jawaban: C
2 2
2
2
2 2
2
2
cos ( ) coslim lim
(2 ) cot(2 ) tan
cos sinlim
2
cos sinlim
2( )
x x
x
x
x xx xx x
x xx
x xx
2
2 2
2
2
2
2
2
sin ( ) sinlim
2( )
sin ( ) sinlim lim
2( )
sin 1 11 1
2 2 2
x
x x
x xx
x xx
14. Turunan FungsiTurunan FungsiTurunan FungsiTurunan FungsiTurunan Fungsi
1. Kunci Jawaban: C
2100 ; 6 8y x xNilai maksimumnya diperoleh saat x2
paling kecil. Nilai x2 pal-
ing kecil adalah pada saat x 0, yaitu didapat:
2100 0 100 10yDapat juga menggunakan cara turunan pertama.
2100y x y1221
(100 ) 22
x x
0 10 xx 10
Jadi diperoleh nilai maksimumnya adalah 10.
2. Kunci Jawaban: E
f(x) sin3 (3 2x)
Fungsi di atas merupakan fungsi komposisi, kita misalkan:
u (3 2x) u ' 2 dx
f(u) sin3 u f (u) 3 sin
2 u cos uf(x) f(u)
2
2
3sin cos ( 2)
3 sin (3 2 ) cos(3 2 ) ( 2)
3 {2 sin (3 2 ) cos (3 2 )} sin (3 2 )
3 sin (6 4 ) sin (3 2 )
df df dudx du dx
u u
x xx x x
x x
3. Kunci Jawaban: A
Panjang kawat 10 m akan dibuat bangun seperti gambar.
Keliling bangun seluruhnya:
K 5a 5bKarena panjang kawat 10 m, berarti:
5a 5b 10 a b 2
b 2 aLuas bangunan seluruhnya:
A 3a b 3a (2 a) 6a 3a2
6dAda
6a 0
6a 0
a 1 m
Jadi panjang b 2 a 2 1 1 m
b
b
a a
52 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
Luas seluruhnya:
A 3(a b) 3(1 1) 3 m2
4. Kunci Jawaban: B
f(x) x3 3x2
9x, dengan 3 x 2
f ' (x) 3x2 6x 9
f ' (x) 0 3x2 6x 9 0
x2 2x 3 0
(x 3) (x 1) 0
Titik-titik ekstrimnya x 3 dan x 1
f( 3) ( 3)3
3( 3)2
9 · ( 3)
27 27 27 27
f(1) 12
3 · 12
9 · 1 5
f(2) 23
3 · 22
9 · 2 2
Jadi nilai maksimumnya pada selang tersebut adalah 27.
5. Kunci Jawaban: E
F(x) (6x 3)3 (2x 1)
Jika F(x) U V maka:
F(x) U 'V U · V'Untuk fungsi di atas:
U (6x 3)3 U ' 3(6x 3)
2 · 6 18(6x 3)
2
V (2x 1) V ' 2, jadi
F(x) 18(6x 3)3
(2x 1) (6x 3)3 · 2
F(1) 18(6 · 1 3)2 (2 · 1 1) (6 ·1 3)
3 · 2
18 · 32 · 1 3
3 · 2
162 54 216
6. Kunci Jawaban: D
f(x) (2x 1)2 (x 2)
f(x) u · v f'(x) u' u'v uv 'Misalkan: u (2x 1)
2 u ' 2(2x 1) · 2
4(2x 1)
v (x 2) v ' 1
f ' (x) 4(2x 1)(x 2) (2x 1)2 (1)
4(2x 1)(4x 8 2x 1)
(2x 1) (6x 7)
7. Kunci Jawaban: D
Misalkan: a rusuk alas
t tinggi
Luas kotak a2 4at 432
4at 432 a
t2432
4
aa
Volume kotak:
22 2
33
432
4
432 1108
4 4 4
aV a t aa
a a a a
2
2
3108 0
4
3108
4
V' a
a
a2 144
a 12 cm
8. Kunci Jawaban: A
f(x)122 23 5 (3 5)x x
f '(x)1 12 22 2
2
1(3 5) (6 ) 3 (3 5)
2
3
3 5
x x x x
x
x
9. Kunci Jawaban: D
g(x) 2 3; (1) '(1) 1
( )
x f ff x
g '(x)2
2 ( ) (2 3) '(1)
{ ( )}
f x x ff x
g '(1)2
2 (1) (2 1 3) '(1) 2 1 ( 1) 1
1{ (1)}
f ff
3
10. Kunci Jawaban: C
y1
3(p 2)
2 x3 x2 5px
Memiliki nilai minimum 27 untuk x 3
Berarti grafiknya melalui titik (3, 27)
27 13
(p 2)2 · 3
3 3
2 5p · 3
27 9(p2 4p 4) 9 15p
9p2 51p 72 0
3(3p 8)(p 3) 0
p 83
atau p 3
Karena pada pilihan jawaban hanya ada p 3, maka tidak perlu
uji turunan pertama.
11. Kunci Jawaban: B
f(x) (x sin 3x) dan g(x) x2
u(x) g(f(x)) u ' (x) g ' ( f(x)) · f ' (x)
u '(x) 2(x sin 3x) (1 3 cos 3x)
2(x 3x cos 3x sin 3x 3 sin 3x cos 3x)
2x 6x cos 3x 2 sin 3x 3 sin 6x
12. Kunci Jawaban: C
Keliling kebun 2x y48 2x y y 48 2x
Luas kebun xyx(48 2x)
48x 2x2
L(x) 48x 2x 48x 2x2
Luas maksimal kebun2
2
( 4 )
4 4
(48 4 ( 2) 0)
4( 2)
(2304)288
8
D b aca a
13. Kunci Jawaban: D
f(x)2
2
3( )
2 1
x u'v uv'f ' xx v
f ' (x)2 2 2
2 2
2
2 2
6 (2 1) 3 2 12 6 6
(2 1) (2 1)
6 6 6 ( 1)
(2 1) (2 1)
x x x x x xx x
x x x xx x
sungai
x
y
53Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
14. Kunci Jawaban: B
f(x) sin cos
sin
x xx
sin cos
cos sin
sin
cos
u x xu' x xv x
v' x
f ' (x)2
2 2
2
2 2
2 2
(cos sin ) sin (sin cos ) cos
sin
cos sin sin sin cos cos
sin
(sin cos ) 1
sin sin
x x x x x xx
x x x x x xx
x xx x
2 2 2
2
1 1( ) 1
sin ( ) 1f '
15. Kunci Jawaban: E
f(x) 2 cos3 (1 2x)
Misalkan: u 1 2x u 2dx f(u) 2 cos
3 4
f ' (u) 6 sin u · cos2u
f(x) f(u)
df df dudx du dx
6 sin u · cos2u · ( 2)
6 sin u cos2 u · (2)
6 {2 sin (1 2x) cos (1 2x)} · cos (1 2x)
6 · sin (2 4x) cos (1 2x)
16. Kunci Jawaban: E
f(x)1 cos
sin
xx
u 1 cos x
u' sin xv sin xv cos x
f ' (x)2
2 2
2 2
sin ( sin ) (1 cos ) ( cos )
( sin )
sin cos cos 1 cos
sin sin
x x x xx
x x x xx x
13 2
3 2 213 2
3234
1 cos ( ) 1( )
sin ( ) ( 3)
3 42
2 3
f
17. Kunci Jawaban: E
Luas: 2 · xy 24 xy 12
y12
xKeliling: K 3x 4y
3x 48x
Jadi,2
2
2
2
0 3 48 0
483
48 3
16 4
12 3
K' x
xx
x xxy y
18. Kunci Jawaban: D
f(x) sin2 (2x3
5)
f'(x) 2 sin (2x3 5) cos (2x3
5) · 6x2
6x2 sin (4x3
10)
19. Kunci Jawaban: C
K 2(p l) L p l 8 2(3 x l) (3 x) (1 x)
8 6 2x 2l (3 2x x2)
2l 2 3x Max pada saat L' 0
l 1 x L' 2 2x 0
2x 2
x 1
20. Kunci Jawaban: E
f(x) cos2 (1 3x)
Misalkan: u 1 3x u 3dxf(u) cos
2 uf ' (u) 2 cos u · sin uf(x) f(u)
df df dudx du dx
2 cos u · sin u · 3
3 · 2 cos( 3x) sin (1 3x)
3 · sin (2 6x)
21. Kunci Jawaban: B
y x · e2x u ' x u 1
v ' e2x v 2e2xdydx
1 · e2x x · 2e2x
e2x 2xe2x e2x
(1 2x)
22. Kunci Jawaban: D
f(x) 5 15x 9x2 x3
f naik jika f '(x) 0
f ' (x) 15 18x 3x2 0
3(x2 6x 5) 0
3(x 5) (x 1) 0
x 5 atau x 1
Nilai x yang memenuhi adalah x 5 atau x 1
23. Kunci Jawaban: E
y ax2 bx 3 di titik (1, 1)
1 a · 12 b · 1 3
a b 2 a b 2 . . . (*)
y ' 2ax b
Garis: 6y x 7 y 1
1 7 1
6 6 6x m
Garis maka m1 · m2 1
1
6. m2 1 m2 6
y ' m2 2ax b 6
2ax b 6
x 6
2
ba
16
2 62
b a ba
Masukan (*) ke 2a b 6
2(b 2) b 6
2b 4 b 6
5 1
54 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
b 6 4 2
a b 2 2 2 4
Maka a2 b2 ( 4)
2 ( 2)
2 16 4 20
24. Kunci Jawaban: E
y 2(x 2)(x2 3x 1)
(2x 4) (x2 3x 1)
Misalkan: u 2x 4 u ' 2
v x2 3x 1 v ' 2x 3
y ' 2(x2 3x 1) (2x 4)(2x 3)
2x2 6x 2 4x2
2x 12
6x2 4x 10
25. Kunci Jawaban: D
3cosy
x
Misalkan:23
3u u x dxx
y f(x)3
cosx
f(u) cos uf ' (u) sin u
2
2
sin ( 3 )
3 3sin
dy df df duy u xdx dx du dx
yxx
26. Kunci Jawaban: D
Lihat jawaban nomor 7.
Luas kotak a2 4at 432
t432
4aVolume kotak: V a2t
22 3432 1
1084 4
aa a aa
V maks V' 0
108 230
4a
a2 144
a 12
V 108 (12) 31
(12)4
1296 432 864
15. IntegralIntegralIntegralIntegralIntegral
x
y
0
1
2
x
y
1
1
1 2
1. Kunci Jawaban: D
.
5 5
uv' dx u v uv'dxu x u' dx
6 717
(1 ) (1 )v' x v x
16 7 7
0
7 7
1 15 (1 ) 5 (1 ) 5 (1 )
7 7
5 5(1 ) (1 )
7 7
x x dx x x x dx
x x x dx
17 8
0
17 8
0
7 8 7 8
5 5 1(1 ) (1 )
7 7 8
5 5(1 ) (1 )
7 56
5 . 1 5 5 . 0 5(1 1) (1 1) (1 0) (1 0)
7 56 7 56
5 50
56 56
x x x
x x x
2. Kunci Jawaban: E
y x3 1
Terlihat luas daerah antara 1 dan 1 adalah di bawah kurva
dan antara 1 dan 2 di atas kurva. Sehingga untuk mencari
luasnya tidak boleh sekaligus.
I. Antara 1 dan 1
1 13 4
11
4 4
1( 1)
4
1 1.1 1 ( 1) ( 1)
4 4
1 11 1 2
4 4
x dx x x
Karena luas selalu positif, berarti L1 2.
II.Antara 1 dan 2
2 22 4
11
4 4
1( 1)
4
1 1.2 1 .1 1)
4 4
1 1 32 ( 1) 3 2
4 4 4
x dx x x
Luas seluruhnya: L L1 L2 2 23 3
44 4
3. Kunci Jawaban: C
2
14
xy diputar mengelilingi sumbu x
Kurva diputar mengelilingi sumbu x, berarti
V
22 2 22
0 0
14
xy dx dx
55Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
22 3 4 3 2
00
12 16 6 80
8 22 4 22 0 (2 )
6 80 3 5
30 20 6 16satuan volum
15 15 15 15
x x x xdx x
4. Kunci Jawaban: B
cos x cos 4x 1cos( 4 ) cos( 4 )
2
1cos 5 cos( 3 )
2
x x x x
x x
Karena cosinus merupakan fungsi genap, maka
cos ( 3x) cos 3x. Jadi:
cos x cos 4x 1(cos 5 cos 3 ),
2x x sehingga:
cos x cos 4x dx 1(cos 5 cos 3 )
2
1 1 1sin 5 sin 3
2 5 3
1 1sin 5 sin 3
10 6
x x dx
x x C
x x C
5. Kunci Jawaban: C
Diketahui kurva y x 1
Diputar mengelilingi sumbu x antara x 1 dan x 1
Volum benda putarnya:
1 12 2
1 1
V r dx y dx
Karena kurvanya simetris, maka:
1 1 12 2 2 4 2
0 0 0
15 3
0
2 ( 1) 2 ( 2 1)
1 22 . 1 1
5 3
1 2 3 10 152 1 2
5 3 15
8 162
15 15
V y x dx x x dx
x
6. Kunci Jawaban: A
Gunakan cara substitusi
2 29 9x x dx x x dx
Misalkan: u2 9
2 29x x
2u du 2x dx u du x dxJadi integral di atas dapat diganti menjadi:
2
2
3
32
2 2
9 ( )
1
3
19
3
1(9 ) 9
3
x x dx u u du
u du
u C
x C
x x C
7. Kunci Jawaban: C
32
33 2
(3 2 2) 40
2 40
p
p
x x dx
x x x
(27 9 6) (p3 p2 2p) 40
p3 p2 2p 16 0
2( 2)( 3 8) 0
Definit positif
p p p
p 2 0
p 2
1 1( 2)
2 2p 1
8. Kunci Jawaban: D
Luas daerah yang diarsir
L2
2
0
23 2
0
(8 2 )
18
3
8 116 4 0 9
3 3
x x dx
x x x
2
2
22 8
8
y xx x
y x
x2 2x 8 0
(x 4) (x 2) 0
x1 4 atau x2 2
Jadi, daerah yang diarsir adalah: 0 x 2
9. Kunci Jawaban: D
2
22 0
y xx y
y x
X
Y
2
y 8 x2
y 2x
X
Y
2
2
2 0x y 2 0
y x2
x
y
r1 1
1
O
56 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
x2 x 2
x2 x 2 0
(x 2) (x 1) 0
x 2, x 1
2 22 1
12 2 2
2
12 4
2
13 2 5
2
( )
( 2) ( )
( 4 4 )
1 12 4
3 5
1 1 8 322 4 8 8
3 5 3 5
2 4 6 22 12 14 14
15 15 15 5
b
aV y y dx
x x dx
x x x dx
x x x x
10. Kunci Jawaban: B
2 2
0 0
1sin 3 cos 5 (2 sin 3 cos 5 )
2x x dx x x dx
2
2
2
0
0
0
1(sin(3 5 ) sin (3 5 ))
2
1(sin 8 sin 2 )
2
1 1 1cos 8 cos 2
2 8 2
1 1 1 1 4cos 4 cos cos 0 cos0
2 8 2 8 2
x x x x dx
x x dx
x x
1 1 1 1 11 ( 1)
2 8 2 8 2
1 1 1 1 1
2 8 2 8 2
1 1 8( 1)
2 2 16
11. Kunci Jawaban: D
Misalkan: u x du dx
dv sin x dx v sin x dxcos x
0
0
sin ( cos ) cos
( cos sin )
x x dx x x x dx
x x x
( ( 1) 0) (0 0)
12. Kunci Jawaban: B
f(x) (x 2)2
4 x2 4x
g(x) f(x) ; berarti f(x) dan g(x) setangkup.
Determinan dari x2 4x 0 adalah:
D ( 4)2
4 · 1 · 0 16
Jadi luas daerah di atas kurva f(x) dan di bawah garis y 0
adalah:
16 16 16 4 64 32
6 1 6 6 3L
Karena f(x) dan g(x) setangkup maka luas seluruhnya adalah:
32 64 12 21
3 3 3L satuan luas
13. Kunci Jawaban: C
y sin x ; 0 x Daerah D diputar menge-
lilingi sumbu-x sejauh
360 .
Volume benda putar yang terjadi:
2 2
0 0
0
00
2
(sin )
(1 cos 2 )
2
1(1 cos 2 ) sin 2
2 2 2
1( 0) (sin 2 sin 0)
2 2
satuan volume2
V y dx x dx
x dx
x dx x x
14. Kunci Jawaban: A
2 22 2
0 0
cos sin sin (cos )x x dx x x dx
Misalkan u sin x du cos x dx
2 22
2 2 3
00 0
3
1sin (cos )
3
1 1sin 0
3 2 3
x x dx u du u
15. Kunci Jawaban: D
Misalkan:2
1
2
1 1cos sin
sin x
u du dxx x
dxx
Jadi dapat ditulis:
1
2
sin 1cosx dx du u C C
xx
x
y
57Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
16. Kunci Jawaban: A
u x2 du 2x dx
dv cos x v sin x
u dv u v v du
2 2cos sin 2 sinx x dx x x x x dx
Dengan cara yang sama seperti di atas dapat ditulis:
2 2
2
cos sin 2 ( cos ) 2( cos )
sin 2 cos 2 sin
x x dx x x x x x dx
x x x x x C
17. Kunci Jawaban: A
Untuk menentukan luas daerah antara parabola dan parabola
dapat dirumuskan dengan menggunakan diskriminan yaitu:
26
D DLa
Parabola: y x2 9x 15 dan y x2
7x 15
x2 9x 15 x2
7x 15
2x2 16x 30 0 a 2, b 16, c 30
D b2 4ac
( 16)2
4 . 2 . 30
256 240 16
Luas2 2
16 16 16 4 8 22
24 3 36 6 2
D Da
18. Kunci Jawaban: A
23
6
sin x cos x dx23
6
12
sin 2x dx
23
6
23
6
1sin 2
2
1 1cos 2
2 2
1 4cos cos
4 3 3
1 1 1 1( 1)
4 2 2 4
10,25
4
x dx
x
19. Kunci Jawaban: E
x sin 2x cos 2x dx 1sin 4
2
1sin 4
2
1sin 4
2
x x dx
x x dx
x x dx
Misalkan:u x du dx
dv sin 4x dx v sin 4x dx
1cos 4
4x
Gunakan rumus integral parsial
u dv u v v du
1 1 1 1sin 4 cos 4 cos 4
2 2 4 4
1 1 1cos 4 cos 4
2 4 4
1 1 1 1cos 4 sin 4
2 4 4 4
1 1cos 4 sin 4
8 32
1(4 cos 4 sin 4 )
32
x x dx x x x dx
x x x dx
x x x C
x x x C
x x x C
20. Kunci Jawaban: C
2
1
3 2
1
(3 4 4) 18
2 4 18
a
a
x x dx
x x x
(a3 2a2
4a) (1 2 4 ) 18
(a3 2a2
4a) 3 18
a3 2a2
4a 21 0
2
definitif positif
( 3)( 7) 0a a a
a 3 0 a 3
21. Kunci Jawaban: E
L2
2
0
22
0
23 2
0
2 (4 4)
2 4 4
22 4
3
16 168 8 satuan luas
3 3
x x dx
x x dx
x x x
22. Kunci Jawaban: D
Misalkan: u (x 2)(x 3) x2 5x 6
2 5du xdx du (2x 5) dx
2 du (10 4x) dx
13
2 23 3
13
2 23
22
32 3
2
3 ( 5 6)
du u duu
u C u C
x x C
x
y
O
1
y 4x 22
y 2x2
58 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
23. Kunci Jawaban: C
L6 6
2 3 2
00
3 2
1 3( 3 )
3 2
1 3(6) (6) 72 54 18
3 2
x x dx x x
Karena L positif maka L 18 satuan luas.
24. Kunci Jawaban: C
Misalkan u 9 x du 3x2 dx
21
3du x dx
32
32
12
12
2
0
22
00
2
30
1 1 1
3 3
1 2( 2)
33(9 )
2 2 2
3 9 8 3 9 03 9
2 2 6 2 4
3 9 9 9 9
du u duu
ux
x
25. Kunci Jawaban: A
1
2
1
3 2
1
(3 2)( 4) 50
(3 10 8) 50
5 8 50
a
a
a
x x dx
x x dx
x x x
(a3 5a2
8a) (1 5 8) 50
a3 5a2
8a 48 0
a 4 64 80 32 48 0
26. Kunci Jawaban: C
y x2 4x 3, y 2x
Perpotongan kedua kurva:
x2 4x 3 2x
x2 2x 3 0 (x 3) (x 1) 0
x 3 atau x 1
untuk x 3 y 6 . . . (3, 6)
x 1 y 2 . . . ( 1, 2)
L3
2
1
32
1
33
2
1
( 2 ) ( 4 3)
( 2 3)
13 ( 9 9 9) 1 3
3 3
2 29 1 10 satuan luas
3 3
x x x dx
x x dx
x x x
27. Kunci Jawaban: E
132
3 2
44 ( 1)
1
x dx x x dxx
12
13
21 33
2 23 3
22
2 2
23
2
23
( 1)4 ( 1)
2
2 ( 1) ( 1)
2 2
3 3( 1)
3 ( 1)
d xx xx
x d x
yy dy C
y C x C
x C
28. Kunci Jawaban: D
Titik perpotongan
2x 3 x2 x 1
x2 x 2 0
(x 2) (x 1) 0
x 2 atau x 1
2
2
2
1
2
1
23 2
1
(2 3) ( 1)
2
1 12
3 2
L x x x dx
x x dx
x x x
8 1 12 4 2
3 3 2
1 1 13 1 4
3 6 2
29. Kunci Jawaban: C
Misalkan: u x2 4
du 2x dx
1
2du x dx
12
12
2
1 1 1In
2 2
In
In In 4
dudu u C
u u
u C
u C x C
30. Kunci Jawaban: C
2
1
3 2
1
3 2
3 2
2
(3 2 ) 78
78
( ) (1 1) 78
80 0
( 4)( 5 20) 0
a
a
x x dx
x x
a a
a a
a a a a 4 0
a 4
1
3
y
x
y x2 x 1
y 2x 3
x
y
O
1
59Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
31. Kunci Jawaban: C
1 13 3
13
13
0 0
0
0
1sin 3 cos 3 sin 6
2
1sin 6
2
1 1( cos 6 )
2 6
x x dx x dx
x dx
x
13
0
1cos 6
12
1(cos 2 cos 0)
12
1(1 1) 0
12
x
32. Kunci Jawaban: E
Titik perpotongan: x2 2x x 6
x2 x 6 0
(x 3)(x 2) 0
x 3 atau x 2
L2
2
2
3
2
3
23 2
3
( 6) ( 2 )
( 6)
1 16
3 2
8 92 12 9 18
3 2
1 1 57 13 20
3 2 6
x x x dx
x x dx
x x x
33. Kunci Jawaban: D
Titik potong: x2 x x2 x 0
x(x 1) 0
x 0 atau x 1
V1 2
1 2 2
0
1 2 2 2
0
13 5
0
( )
1 1
3 5
1 1 2
3 5 15
y y dx
x x dx
x x
34. Kunci Jawaban: B
Misalkan: u x du dx
dv sin 2x dx 1
cos 22
v x
1 1sin 2 cos 2 cos 2
2 2
1 1cos 2 cos 2
2 2
x x dx x x x dx
x x x dx
1. Kunci Jawaban: B
73 2
x y z 2x 3y 6z 42 ....................... (1)
36
4 2 2
x y zx 6y 2z 24 .................. (2)
16 4 3
x y z2x 3y 4z 12 ........................(3)
Dari (1) dan (3) eliminasikan x2x 3y 6z 42
2x 3y 4z 12
6y 2z 30 3y z 15 ................... (4)
Dari (1) dan (2) eliminasikan x
2x 3y 6z 42 1
x 6y 2z 24 2
2x 3y 6z 42
2x 12y 4z 48
15y 10z 90
3y 2z 18 ................................... (5)
Dari (4) dan (5) eliminasikan y3y z 15
3y 2z 18
z 3
z 3 (5): 3y 2 ( 3) 18
3y 6 18
3y 12
y 4
4
3
yz
(2): x 6(4) 2 3) 24
x 24 6 24
x 6
Nilai x y z 6 4 ( 3) 5
2. Kunci Jawaban: C
B 3x 2y 12 1 3x 2y 12
x y 9 2 2x 2y 18
5x 30
x 6
6 y 9
y 3
C 2x 3y 12 1 2x 3y 12
x y 9 2 2x 2y 18
5y 30
y 6
x 6 9
x 3
16. Program LinierProgram LinierProgram LinierProgram LinierProgram Linier
1 1 1cos 2 sin 2
2 2 2
1 1( cos 2 sin 2 )
2 2
x x x C
x x x C
x
y
y2
x2
y1
x
60 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
Fungsi obyektif: 4x 2yNilai maksimum terjadi pada titik-titik A, B, C, DA(4, 0) 4x 2y 4(4) 2(0) 16
B(6, 3) 4x 2y 4(6) 2(3) 30
C(3, 6) 4x 2y 4(3) 2(6) 24
D(0, 4) 4x 2y 4(0) 2(4) 8
Nilai maksimum 30
3. Kunci Jawaban: E
x 0, y 0; 2x y 11 dan x 2y 10
Nilai maksimum untuk fungsi objektif k 3x 4y diperoleh
pada titik (3, 4).
k 3 · 3 4 · 4 25
4. Kunci Jawaban: C
Pakaian Kain polos Kain corak Banyaknya
Model pertama 1 1,5 xModel kedua 2 0,5 yTersedia 20 10
Misal banyak pakaian model pertama x dan model kedua y,
tujuannya untuk menentukan jumlah maksimum pakaian yang
dapat dibuat. Jumlah persediaan kain polos 20, maka x 2y20 jumlah persediaan kain corak 10, maka 1,5x 0,5y 10.
Banyak pakaian model pertama dan kedua harus 0 yaitu
x 0 dan y 0.
Jadi model matematikanya adalah:
x 2y 20 ................ (1)
1,5x 0,5y 10 ................ (2)
x 0 ................ (3)
y 0 ................ (4)
Untuk menentukan jumlah maksimum pakaian yang dapat
dibuat, maka kita selesaikan sistem pertidaksamaan di atas.
x 2y 20 ......... (1) 1 x 2y 20
1,5x 0,5y 10 ......... (2) 4 6x 2y 40
5x 20
x 4
untuk x 4 (1): x 2y 20
4 2y 20
2y 16
y 8
Maka jumlah maksimum pakaian-pakaian yang dapat dibuat
adalah 4 8 12.
5. Kunci Jawaban: D
Pembelian: P(x) 2x2 3x 36
Penjualan: H(x) x 25
Keuntungan H(x) P(x)
(x 25) (2x2 3x 36)
x 25 2x2 3x 36
2x2 4x 61
Keuntungan maksimum:
K(x) 0 4x 4 0
4x 4
x 1
Jadi, keuntungan maksimum per hari adalah
2( 1)2
4( 1) 61 2(1) 4 61
2 4 61
63 (dalam jutaan rupiah)
Rp63.000.000,00
6. Kunci Jawaban: E
Perhiasan Emas Perak Banyaknya
Jenis I 1 1,5 xJenis II 2 0,5 yTersedia 20 10
x 2y 20 ...... (i)
1,5x 05y 10 ...... (ii)
x 0 ...... (iii)
y 0 ...... (iv)
(i) dan (ii): x 2y 20
6x 2y 40
5x 20
x 4
(i) 4 2y 20
2y 16
y 8
Jadi emas 4 dan perak 8
7. Kunci Jawaban: D
V r 2t 1000 cm3
m r 2 m' 2 rn t n' 1, agar tinggi minimum, maka:
V ' 2 r t r 2· 1 0
r 22 r t
r 2tV ( 2t)2 · t 1000
4 t3 1000
t3 250t 3 250
cm
8. Kunci Jawaban: D
Tas (x) Sepatu (y)
Kulit . . . 30 cm
Plastik . . . 15 cm
Keuntungan sepatu Keuntungan tas maka:
Jumlah sepatu Jumlah tas
x y30x 15y 450
30x 15x 450
45 x 450
x 10 y 10
Jadi perusahaan akan mendapat keuntungan maksimum jika
dibuat 10 tas dan 10 sepatu
9. Kunci Jawaban: D
Kendaraan Luas parkir/m2
Biaya parkir
Sedan 4 1000
Bus 20 2000
Misalkan banyaknya sedan x bus y
5,5 10x
y
x 2y 10
2x y 11
11
5
61Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
x 5y 44
(14, 6)
y
x20
20
8,8
44O
Pertidaksamaan
x y 20
4x 20y 176 x 5y 44
x 0, y 0
Perpotongan kedua garis
x y 20
x 5y 44
4 24 6. . . . (14,6)
6 20 14
y yx x
Max: 1000x 2500y(0, 0) 0 0 0
(20, 0) 20.000 0 20.000
(14, 6) 14.000 12.000 26.000
(0, 8) 0 16.000 16.000
(1, 8) 1000 16.000 17.000
(2, 8) 2000 16.000 18.000
Jadi, laba maksimum Rp26.000,00
10. Kunci Jawaban: C
Perumahan Luas Laba
Tipe A(x) 100 800.000
Tipe B(y) 75 600.000
Tersedia 10.000
100x 75y 10.000 . . . . (i)
x y 125 . . . . (ii)
(i) dan (ii)
100x 75y 10.000
75x 75y 9.375
25x 625
x 25
(ii) x y 125
25 y 125
y 100
Laba maksimum: 8000.000x 600.000y 800.000 (25) 600.000 (100)
20.000.000 60.000.000
80.000.000
17. Barisan, Deret dan Notasi SigmaBarisan, Deret dan Notasi SigmaBarisan, Deret dan Notasi SigmaBarisan, Deret dan Notasi SigmaBarisan, Deret dan Notasi Sigma
1. Kunci Jawaban: D
25 25 25
5 5 5
25
5
(2 ) 2 40
2 (25 5 1) 2 21 2 42
k k k
k
pk pk
Jadi,
25 25
5 5
25
5
25
5
(2 ) 42 40
42 40
42 40 82
k k
k
k
pk pk
pk
pk
2. Kunci Jawaban: C
Deret aritmetika diketahui:
Suku tengahnya 32, berarti:
1 322
[ ( 1) ]32
2
2 ( 1) 64 . . . (i)
nU U
a a n b
a n b
Jumlah a suku yang pertama 672
2
n{2a (n 1)b} 672
Karena 2a (n 1)b 64, berarti:
67264 672 21
2 32
n n
3. Kunci Jawaban: B
1
17 8 1
1 1 1
8
8
1 2 1
2 2
1 1 1
2 2 2
2 1 1
22
256 1 128 127
256 256 256
kn n
nk
k k k
k k k
4. Kunci Jawaban: C
2
22
21
2 2 1
1 1
5
2
52 2 4 5 9
2
5 71 1
2 2
7 119
2 2
7
2
nS n n
S
S
U S S
U S
Beda:2 1
11 7 42
2 2 2
b U U
5. Kunci Jawaban: E
Untuk barisan geometri berlaku
Un1
1nU r
62 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
3 34 2
3 32 4
33 3 322 4 4
34
133 1 13
3 44 4
4 31 4
4 1 34 1 1
3
3
4
dan
jadi:
U x x U x x x
U U r U r
x x r
xr x xx
r x x x x
6. Kunci Jawaban: A
Deret aritmetika: Un 3n 5
U1 3 · 1 5 2
Jumlah n suku pertama:
1( )2
( 2 3 5)2
(3 7)2
n nnS U U
n n
n n
7. Kunci Jawaban: E
2
1 1
(5 19)2
2(5 2 19) 9
2
1(5 1 19) 7
2
nnS n
S
S U
8. Kunci Jawaban: E
Ribuan Ratusan Puluhan Satuan
4 7 6 5
4 · 7 · 6 · 5 840
Keterangan:Ribuan : Ada 4 angka yang dapat dipakai yaitu: 2, 3, 4, dan
5. (Bilangan yang diminta antara 2000 dan 6000).
Ratusan : Ada 7 angka yang dapat dipakai, sebab dari 8
angka, 1 angka sudah dipakai untuk ribuan.
Puluhan : Ada 6 angka yang dapat dipakai sebab 2 angka
sudah dipakai untuk ribuan dan ratusan.
Satuan : Ada 5 angka yang dapat dipakai sebab 3 angka
sudah dipakai untuk ribuan, ratusan dan puluhan.
9. Kunci Jawaban: D
Misalkan sisi-sisi segitiga: (a b), a, (a b)
Keliling (a b) a (a b) 12
3a 12 a 4
Aturan cosinus:
(a b)2 a2
(a b)2
2a(a b) cos 120
a2 2ab b2 a2 a 2ab b2
(2a2 2ab)
1
2
2ab a2 2ab a2 ab
2a2 5ab 0
a 4 2 · 42
5 · 4 b 0
20b 32
b32 3
120 5
Jadi sisi segitiga:
3 3 2 34 1 , 4, 4 1 2 , 4, 5
5 5 5 5
Luas1
sin2
1 22 4 sin 120
2 5
1 2 12 4 3
2 5 2
2 122 3 3
5 5
bc A
10. Kunci Jawaban: C
6 anak usianya membentuk barisan aritmetika.
U3 7 tahun, U5 12 tahun.
Karena ada 6 suku, maka rata-ratanya adalah
3 4 1 6
3 54
3 4
2 2
7 129,5 tahun
2 2
7 9,56 49,5 tahun
2 2n
U U U U
U UU
U US n
11. Kunci Jawaban: D
r22 2
2
2 2lim lim
( 2)(2 2)2 6 4
1 1lim
2 2 2
x x
x
x xx xx x
x
Suku pertama deret hasil kali vektor skalar.
a i j 2k dan b 2i j k
a b (1, 1, 2) (2, 1, 1) 2 1 2 1
Jadi 1
112
1
12
1 1n
UUS
r
12. Kunci Jawaban: A
Nilai
5 6
1 2
(3 7) (5 6)
n nn n
5
1
(3 7)
nn (3 · 1 7) (3 · 2 7) (3 · 3 7) (3 · 4 7)
(3 · 5 7)
4 ( 1) 2 5 8 10
6
2
(5 6)
nn (5 · 2 6) (5 · 3 6) (5 · 4 6) (5 · 5 6)
(5 · 6 6)
16 21 26 31 36 130.
Maka hasilnya 10 130 140.
A B
a ba b
120 a
C
63Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
13. Kunci Jawaban: C
Barisan aritmetika: k, k n, k 2nk (k n) (k 2n) 12
k · (k n) · (k 2n) 63
3k 3n 12
k n 4 . . . . . . . . . . . (i)
k · 4 · (k 2n) 63
4k2 8kn 63 . . . . . . . . . . . (ii)
(i) k n 4 kedua ruas dikuadratkan
k 2kn n 16 . . . . . . .. . . (iii)
(ii) dan (iii) 4k2 8kn 63
4k2 8kn 4n2
64
4n21
n2 1 1
4 2n
(i) k n 4
k 12
4
k 31
2
7
2 nilai 2k 7
2 72
14. Kunci Jawaban: A
a ar ar2 ar3 . . . 8 . . . . . . . . . . . . (i)
U2 U4 U6 . . . 8
3
ar ar3 ar5 . . . 8
3. . . . . . . . . . . . (ii)
(i) dan (ii) dikurangkan
a ar2 ar4 . . . 16
3. . . . . . . . . . . . (iii)
Persamaan (i): 41
ar . . . . . . . . . . . . (iv)
Persamaan (ii): 16
1 3
ar . . . . . . . . . . . (v)
Bagilah (iv) dengan (v) diperoleh 1
2r
Dari persamaan (iv)
a 8(1 r) a 8(1 1
2) 4
U5 ar4 4
41
2 4
1 1
16 4
15. Kunci Jawaban: C
Sn 4n2 3n
S5 4 · 52
3 · 5 100 15 115
S4 4 · 42
3 · 4 64 12 76
U5 S5 S4 115 76 39
S3 4 · 32
3 · 3 36 9 45
U4 S4 S3 76 45 31
b U5 U4 39 31 8
Jadi: U5 39 dan b 8
16. Kunci Jawaban: E
3 6
2 5
4 32,
3 81
4 32,
3 81
U U
ar ar
2 3 3
3
32 4 32
81 3 81
8 2
27 3
ar r r
r r
22
2 13 3
4 2 4
3 3 3
4 43
9 3
3 39
1 1
ar a
a a
aSr
17. Kunci Jawaban: B
U1 U2 U3 9
a (a b) (a 2b) 9
3a 3b 9 a b 3 . . . . (*)
U3 U4 U5 15
(a 2b) (a 3b) (a 4b) 15
3a 9b 15
a 3b 5
a 3b 5
a b 3 . . . . . . . . . (*)
2b 8 b 4
a 4 3 a 7
S55
2 (5 1)2
5 514 16 2 5
2 2
a b
18. Kunci Jawaban: C
U1 U3 U5 . . . 9
a ar2 ar4 . . . 9
2 2
2
2
2
2 13 3
59
1 1
5 9 9
9 4
4
9
2
3
5 515
1 1
aSr r
r
r
r
r
aSr
19. Kunci Jawaban: A
50
1
52
3
( 2) (1 2) (2 2) (3 2) . . . (50 2)
3 4 5 . . . 52
n
k
n
n
20. Kunci Jawaban: B
Deret geometri: Un arn 1
U2 · U4 16 ar · ar3 16
a2r4 16
ar2 4 . . . (1)
U1 U2 U3 7 a ar ar2 7 . . . (2)
Untuk menentukan nilai r, bagilah persamaan (2) ke persamaan
(1).
64 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
2
2
22 2 2
2
4
7
71 4 4 4 7
4
3 4 4 0
( 2)(3 2) 0
22 atau
3
ara ar ar
rr r r r r
r rr r
r
Substitusikan nilai r ke salah satu persamaan
ar2 4 a(2)
2 4
4a 4
a 1
21. Kunci Jawaban: B
U1 Tahun pertama 110
U3 Tahun ketiga 150
U1 a, U3 a 2bU15 tahun ke-15 a 14b
U3 110 2b 150
2b 40
b 20
U15 110 14(20) 110 280 390
22. Kunci Jawaban: C
6S
U1 U3 U5 . . . 4
22
6 6 6 . . . (i)1
4 6 6 4 41
aS a rr
aS r rr
4r2 6r 2 0
2r2 3r 1 0
(2r 1) (r 1) 0
r1
2 atau r 1 (Gunakan r
1
2)
r1
2a 6 6 ·
1
2 6 3 3
U6 ar5 3 ·
51
2 3 ·
1
32
3
32
23. Kunci Jawaban: D
1
17
6
17(100 4) 17 52 884
2
n nb U U
S
18. MatriksMatriksMatriksMatriksMatriks
1. Kunci Jawaban: B
2 3 6 12,
1 2 4 10A B
A2 xA yB
2 2 3 2 3
1 2 1 2
4 3 6 6 1 0
2 2 3 4 0 1
A
A2 xA yB dapat ditulis:
1 0 2 3 6 12
0 1 1 2 4 10
2 6 3 12
4 2 10
x y
x y x yx y x y
2x 6y 1 2 4x 12y 2
3x 12y 0 1 3x 12y 0
x 2
Dari persamaan 2x 6y 1 diperoleh:
6y 1 2x6y 1 2 · 2 3
y3 1
6 2
Jadi nilai xy 12 1
2
2. Kunci Jawaban: D
4 9 5 5 10 8; dan
3 4 1 3 4 6
pA B C
p p
A B C 1
C C 1 1 atau C (A B) C C 1
1
10 8 4 9 5 5 1 0
4 6 3 4 1 3 0 1
10 8 (4 5 ) 4 1 0
4 6 2 4 3 0 1
pp p
pp p
4(4 5p) 6p · 2 0
16 20p 12p 0
32p 16 12
p
Jadi, 2p 12
2 1
3. Kunci Jawaban: A
3 2 2
4 4 0
xy
3x 2y 2 2 6x 4y 4
4 4y 0 1 4x 4y 0
2x 4 x 2
4x 4y 0 y x 2
Jadi: x 2y 2 2 · 2 6
4. Kunci Jawaban: B
2 4 10 72
4 8 2 4 1
a b b cc d d a
2a 4 10
2a 6
a 3
2(b 2) b c 7
2b 4 b c 7
3b c 11
2(c 4) 8 4
2c 8 8 4
2c 4
c 2
Untuk c 2 3b c 11
3b 2 11
3b 9
b 3
65Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
2d 2d a 1
4d 3 1
4d 4
d 1
Maka nilai a b c d 3 3 2 1 9
5. Kunci Jawaban: A
5 2 2 1,
9 4
5 2 2 1 10 2 5 2( )
9 4 18 4 9 4( )
A Bp p q
p p qAB
p p q p p q
10 2 5 2 2 1 0
18 4 9 4 4 0 1
p p qp p q
10 2p 1 5 2p 2q 0
2p 9 5 2 92 2q
2q 14
p 92
q 7
Maka:9 9 14 23
72 2 2 2
p q
6. Kunci Jawaban: C
12
1 6 4 1 8, ,
1 1 1 54 1
m mA B C
m
1 12 2 2
1 1 2 1 0
0 2 14 1 4 1
1 8
1 5
mA
mm mm
C
A2 B 1 C, . . . . dikalikan B
BA2 BB 1 BC ; BB 1 1
1 0
0 1
22
2
12 6 8 4
2 1 2 1
6 4 48 20
2 8 5
m m mBAm m
m mBCm
2 21 012 6 8 4 6 4 48 2
0 12 1 2 1 2 8 5
m m m m mm m m
2m 1 2
2m 1
m1
2
7. Kunci Jawaban: E
2 4 1 2 7 10, ,
3 1 1 2 7 9
3 2
4 3
P Q B
A P Q
AX BT A 1 AX A 1 BT
X A 1 BT
3 2 7 71
9 8 4 3 10 9
21 20 20 18 1 3
28 30 28 2 2 1
8. Kunci Jawaban: B
2 1 3 2dan
3 5 1 3A B
XB BABXBB 1 BABB 1
X 3 2 2 1
1 3 3 5BA
0 7
11 16X
9. Kunci Jawaban: B
L PQR1
2
11 2 1
2
QR PR
L P'Q'R'1 2
12 0
0 ( 4) 4
10. Kunci Jawaban: A
1 1 1 4
3 2 2 1
xy
3 4
7 2 1
xy
3 4 1
7 2 1 2 6
3
x xy y
y
Maka x y 1 3 4
11. Kunci Jawaban: C
122
1 12 4
2 2 2 21 1
3(2) 2(2) 22 3 2 3
2 22 2 2 21
4 2 3 2 3 2 3
X
X
12. Kunci Jawaban: E
3 1 2 1
3 2 1 1
2 1 2 11
6 3 3 3 1 1
3 3 1 11
3 3 6 1 2
X
X
13. Kunci Jawaban: A1 1
1 3 4 21
11 2 5 3 4
13 101
11 7 24
AC B C B A
x
y
R
P
Q
66 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
1 1( 13(24) 7(10))
121
2422
121
C
14. Kunci Jawaban: D
,p q x p
p qq p y q
px qy p p . . . (i)
qx py q q . . . (ii)
p2x pqy p2
q2x pqy q2
(p2 q2)x p2 q2
x 1Substitusi x 1 ke (i)
p qy pqy 0 y 0
Maka x 2y 1 2 · 0 1.
15. Kunci Jawaban: E
2
1 1 0,
2
1 0 1 0,
0 1 0 1
p p qA B
p s s t
C C
A B C2
1 1 0 1 0
2 0 1
1 0
5 2 0 1
p p qp s s t
p p qp s t
p 1, p q 0 p s 0
1 q 0 1 s 0
q 1 s 1
2s t 1 q 2t 1 2 ( 1) 1 2 1
2 · 1 t 1
2 t 1
t 1
19. VektorVektorVektorVektorVektor
1. Kunci Jawaban: C
Diketahui a 6, (a b) . (a b) 0 dan a · (a b) 3, maka:
* (a b) · (a b) 0, maka a2
b2
0 atau
2 2a b a b 6
a · (a b) 3
a2
a · b 3
2
2
2
a a b cos 3
3 acos
a b
3 ( 6) 3 6 1
6 26 6
1cos
2 3
2. Kunci Jawaban: A
a 3 I j k dan b 3 I 2j kp p
Panjang proyeksi
ortogonal vektor a
terhadap vektor b
3
2(seperti yang terlihat pada gambar)
Panjang proyeksi ortogonal vektor a terhadap b adalah:
3a cos
2 jadi,
2
2
2
3( 3i j k)( 3i j k) cos
2
33 cos
2
34 cos
2
3cos
2 4
p p
p
p
p
1 12 22 2 2 2 2 2
a . b a b cos
( 3i j k)( 3i 2j k
(( 3) 1 ) (( 3) 2 ) cos
p p
p p
1 12 2
1 12 2
12
12
2 2
2 2
2
2
2
( 3 2 ) (4 ) (7 ) . cos
3( 3 3 ) (4 ) (7 ) .
2 4
3( 3 3 ) (7 ) .
2
2( 3 3 ) (7 )
3
p p p p
p p pp
p p
p p
2 2
2
( 2 2 ) (7 )
3 8 3 0
(3 1)( 3) 0
1atau 3
3
p p
p pp p
p p
3. Kunci Jawaban: C
3 , 1 dan 1a b a b
2 2 2 2
2 2 2
a b 2 a b a b
2 ( 3) 1 1 2(3 1) 1 7
a b 7
4. Kunci Jawaban: A
1 2
a , b 1
2 1
x
Panjang proyeksi a pada b adalah 2
6
Panjang proyeksi a pada b adalah:
a
b
67Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
Panjang proyeksi a pada b adalah:
2 2 2
a b 2a cos
6b
(1, , 2) (2, 1, 1) 2
62 1 ( 1)
2 22 6 2
6
x
x x
Jadi vektor a adalah a (1, 2, 2)
Sudut antara a dan b adalah , maka:
2 2 2
a . b (1, 2, 2) . (2, 1, 1)cos
a b 1 2 2 . 6
2 2 2 2
9 . 6 3 6
5. Kunci Jawaban: B
a bcos
a b
3 2 2 3 4( 3)
a b
6 6 12
a b
0
a b
cos 0 90
6. Kunci Jawaban: E
Misal w Proyeksi vektor ortogonal u pada y
2
22 2 2
u . vw . v
v
2(2) . (2) ( 4)( 2) ( 6)(4) 12
224
2 ( 2) (4) 2
2 24 8 24 12
2 24 4 16 24
4 4
2 11
2 12
4 2
Jadi w i i 2k
7. Kunci Jawaban: D
P titik berat ABC, Q titik tengah AC
CA u dan CB v
1 1PQ BQ CA CB
3 2
1 1 1 1u v u v
3 2 6 3
8. Kunci Jawaban: C
a i 2j 3k ; b 5i 4j 2k
Proyeksi vektor a pada vektor b adalah:
2 2 2 2
a . b (1, 2, 3) . (5, 4, 2)(b) (5, 4, 2)
5 ( 4) 2b
(5 8 6)(5, 4, 2)
45
9 1(5, 4, 3) ( 5, 4, 2)
45 5
9. Kunci Jawaban: A
4 5 7
u 2 , v 3 , dan w 1
5 7 4
4 5 7
3u 2v w 3 2 2 3 1
5 7 4
12 10 7 9
6 6 1 1
15 14 4 5
10. Kunci Jawaban: D
Diketahui vektor
2 3
a 4 dan b
5 5
m
Jika proyeksi skalar ortogonal vektor pada vektor sama dengan
35
5, maka nilai m sama dengan nilai m dapat dihitung
menggunakan rumus proyeksi skalar ortogonal vektor
b pada vektor
2 2 2
b . ac
a
3 6 4 255
5 2 4 5
m
3 4 195
5 4 16 25
3 4 195
5 45
34 19 5 5
5
34 19 5 3 5
5
94 19 5
5
4 28
7
m
m
m
m
m
mm
wv
u
A B
PQ
vu
C
68 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
11. Kunci Jawaban: C
a 4 3
b 3 4
i j pki j pk
2 2 2 2 2 2
2
2 2
2 2
a bcos
a b
(4, 3, )(3, 4, )cos 60
4 3 3 ( 4)
1 12 12
225 25
1(25 )
2
p p
p p
p
p p
p p
2 2 225 2 25 0
( 5)( 5) 0
5 atau 5
p p pp p
p p
12. Kunci Jawaban: A
2 3 4
a 2 , b 2 , c 3
1 2 0
proyeksi vektor padad c adalah
2 2 2 2
85
65
d . c (7, 6, 4) ( 4, 3, 0)(c) ( 4, 3, 0)
( 4) 3 0c
428 18 0 10
( 4, 3, 0) 316 9 25
0
42
35
0 0
13. Kunci Jawaban: E
1
u 1 , v 3
3 2
x
2 2 2 2 2 2
2
2
2
2
u . vcos
u v
( , 1, 3)( 1, 3, 2)cos
3 1 ( 3) ( 1) 3 ( 2)
1 3 6
2 1 9 1 9 4
1 9
2 10 14
19 14 10
2
18 2 14 10
x
xx
xx
x
x x
x x
14 (10 x2) 324 72x 4x2
140 14x2 324 72x 4x2
10x2 72x 184 0
2(x 2)(5x 46) 0
x 2 atau x 465
14. Kunci Jawaban: E
CP u v v u
15. Kunci Jawaban: C
1OP OB (DC)
3
1 1 1a a b
2 3 2
2 1a b
3 3
16. Kunci Jawaban: C
a 2i j 9k, b i j 3k
c 3i 2j k
2 1 4
d a 2b 1 2 1 1
9 3 3
Proyeksi vektor d pada c adalah
2 2 2 2
d . c (4, 1, 3) (3, 2, 1). (c) (3, 2, 1)
3 2 1c
12 2 3 7(3, 2, 1) (3, 2, 1)
9 4 1 14
1c
2
17. Kunci Jawaban: B
a i j 2 k , b i j 2n k
2 2 2 2 2
2 2
a . bcos
a b
( 1, 1, 2)( , 1, 2)cos 60
( 1) 1 ( 2) ( 1) ( 2 )
1 1 2 1 1
2 24 3 2 3
n
nn n
n n
122( 3) 1n n
n2 3 1 2n n2
3 1 2n 2n 2
n 1
18. Kunci Jawaban: E
A F
C D
B EO
v
u
C D
A
B
u
v
A C
O B
PD
69Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
3 2 6
a 1 , b 3 , c 6
1 2 3
3 4 1
a 2b 1 6 5
1 4 3
Proyeksi vektor (a 2b) pada c:
2 2
1 6
5 66
3 3(a 2b) . cc 6
c ( 36 36 9) 3
66 30 9
681
3
27
813
6
6
3
2a 2j k
19. Kunci Jawaban: D
A (7, 4, 1), B (2, 4, 9), C (1, 3, 2)
AP : PB 2 : 3, maka kordinat titik P:
2 2 3 7 255
3 4 5
2 4 3 4 204
3 2 5
2 9 3 ( 1) 153
3 2 5
x
y
z
P
P
P
Jadi, koordinat titik P adalah P(5, 4, 3)
2 2 2
2 2 2
CP (5 1) (4 3) (3 2)
4 1 1 18
20. Kunci Jawaban: D
a 6i 2j 4k , b 2i j 2k
Proyeksi vektor ortogonal a pada b adalah
2 2 2 2
a b (6, 2, 4) (2, 1, 2)b (2, 1, 2)
2 1 ( 2)b
12 2 8(2, 1, 2)
4 1 4
18(2, 1, 2) (4, 2, 4)
9
4i 2j 4k
21. Kunci Jawaban: D
a 2, b 5
a (b a) a b a a
a b cos 60 a a cos0
12 5 2 2 1
2
5 4 9
22. Kunci Jawaban: E
a b a b 0
2 4 12 0 . . . (1)
c d c d 0
10 3 2 0 . . . (2)
x z
z x
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
2x 4z 12 0
2x 3z 10 0
z 2 0
z 2
z 2 2x 4 (2) 12 0
2x 4 0
x 2
Maka,
a 2i 4j 3k
b 2i 2j 4k
Jadi,
a b 2i ( 2i) 4j 2j 3k 4k
4i 6j k
23. Kunci Jawaban: D
a i 2 j k dan b 1 2 j kp p
2 2 2 2 2 2
2
2 2
2
2 2
a bcos
b
(1, 2, )(1, 2, )cos 60
1 ( 2 ) (1) ( 2 )
1 1 2
2 1 2 1 2
1 1
2 ( 3 )
a
p p
p p
p
p p
p
p
3 p 2p 2
p 5 0
(p 5 ) (p 5 ) 0
p 5 atau p 5
24. Kunci Jawaban: B
Proyeksi vektor (3, 1, 1) pada vektor (2, 5, 1) adalah
2 2 2
(3, 1, 1)(2, 5, 1) 6 5 1(2, 5, 1) (2, 5, 1)
302 5 1
1(2, 5, 1)
3
25. Kunci Jawaban: D
P ( 1, 1) dan R (3, 5)
PQ QR, maka koordinat titik Q adalah
3 ( 1) 3 11
2 2
5 1 63
2 2
x
y
Q (1, 3)
a b cos 60 a a cos0
12 5 2 2 1
2
5 4 9
22. Kunci Jawaban: E
a b a b 0
2 4 12 0 . . . (1)
c d c d 0
10 3 2 0 . . . (2)
x z
z x
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
2x 4z 12 0
2x 3z 10 0
z 2 0
z 2
z 2 2x 4 (2) 12 0
2x 4 0
x 2
Maka,
a 2i 4j 3k
b 2i 2j 4k
Jadi,
a b 2i ( 2i) 4j 2j 3k 4k
4i 6j k
23. Kunci Jawaban: D
a i 2 j k dan b 1 2 j kp p
2 2 2 2 2 2
2
2 2
2
2 2
a bcos
b
(1, 2, )(1, 2, )cos 60
1 ( 2 ) (1) ( 2 )
1 1 2
2 1 2 1 2
1 1
2 ( 3 )
a
p p
p p
p
p p
p
p
3 p 2p 2
p 5 0
(p 5 ) (p 5 ) 0
p 5 atau p 5
24. Kunci Jawaban: B
Proyeksi vektor (3, 1, 1) pada vektor (2, 5, 1) adalah
2 2 2
(3, 1, 1)(2, 5, 1) 6 5 1(2, 5, 1) (2, 5, 1)
302 5 1
1(2, 5, 1)
3
25. Kunci Jawaban: D
P ( 1, 1) dan R (3, 5)
PQ QR, maka koordinat titik Q adalah
3 ( 1) 3 11
2 2
5 1 63
2 2
x
y
Q (1, 3)
A P B
70 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
26. Kunci Jawaban: C
a ( , 1, 5)
b (6, 3, 6)
x
Panjang proyeksi a pada b adalah
2 2 2
( , 1, 5)(6, 3, 6)a b5 5
36 9 36b
6 3 305 45 6 33
81
6 12 2
a (2, 1, 5)
a 2 ( 1) 5
4 1 25 30
x
x x
x x
20. Transformasi GeometriTransformasi GeometriTransformasi GeometriTransformasi GeometriTransformasi Geometri
1. Kunci Jawaban: B
Diketahui tiga buah titik, yaitu:
A(3, 2, 1), B(1, 2, 1) dan C(7, p 1, 5)
Agar ketiga titik segaris, maka harus berlaku:
c a (b a)k(7, p 1, 5) (3, 2, 1) k{(1, 2, 1) (3, 2, 1)}
(4, p 3, 4) k ( 2, 4, 2)
Jadi diperoleh:
4 k 2 k 2
p 3 2 · 4 8
p 8 3 11
2. Kunci Jawaban: B
Himpunan titik-titik yang berjarak
sama terhadap titik (1, 2) dan garis
x 1 adalah parabola yang
berpuncak di titik (0, 2) dan garis
arah (direktris) adalah garis x 1.
Karena fokusnya ada di kanan direktris berarti parabola
menghadap ke kanan.
Persamaan parabolanya:
(y )2
4p(x )
di mana: ( , ) titik puncak parabola
p jarak antara fokus dan puncak
Pada soal diketahui titik puncak titik tengah antara fokus dan
direktris. Jadi:
( , ) (0, 2) dan p 1, sehingga:
p 1, jadi:
(y 2)2
4 · 1 (x 0)
y2 4y 4 4x
y2 4y 4x 4 0
3. Kunci Jawaban: A
Garis x 2y 4 0 dirotasikan sejauh 90 .
Matriks transformasinya:
cos 90 sin 90
sin 90 cos 90
x' xy' y
0 1
1 0
xy
yx
Jadi, x y y x
y x x yPersamaan garis yang baru ganti x dengan y dan y dengan
xy 2( x ) 4) 0
y 2x 4 0
Selanjutnya dicerminkan terhadap garis y x. Matriks
transformasinya:
0 1
1 0
x'' x'y'' y'
y'x'
Jadi, x y y x
y x x yPersamaan garisnya ganti y dengan x dan x dengan yy 2x 4 0
x 2y 4 0
Jadi hasil transformasinya adalah:
x 2y 4 0
4. Kunci Jawaban: D
Diketahui ABC dengan A(2, 1), B(6, 1) dan C(5, 3). ABCtersebut ditransformasikan dengan refleksi terhadap sumbu-ydilanjutkan dengan rotasi (0, 90 ). Matriks transformasi untuk
refleksi terhadap sumbu-y adalah1 0
0 1 dan matriks
transformasi dengan pusat O dan sudut rotasi adalah
cos sin
sin cos untuk 90 maka
cos 90 sin 90 0 1
sin 90 cos 90 1 0
Matriks transformasi refleksi terhadap sumbu-y dilanjutkan
rotasi 90 adalah:
0 1 1 0 0 1
1 0 0 1 1 0
Jadi bayangan titik A, B dan C adalah:
1 2 3
1 2 3
0 1 2 6 5
1 0 1 1 3
1 1 3
2 6 5
x x xy y y
' ' '' ' '
Jadi A ( 1, 2), B ( 1, 6) dan C ( 3, 5)
5. Kunci Jawaban: E
Diketahui persegi panjang PQRS dengan P( 1, 2), Q(3, 2),
R(3, 1) dan S( 1, 1) mengalami dilatasi [O, 3] kemudian
rotasi2
[0, ] .
Panjang dan lebar persegi panjang mula-mula:
p (x2 x1) (3 ( 1)) 4
l (y3 y2) ( 1 2) 3 l 3
x
y
p
2
11
71Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
Panjang bangun setelah dilatasi [O, 3]
p' 3 4 12
l' 3 3 9
Karena dilatasi tidak mengubah bentuk geometri maka
bentuk hasil dilatasinya tetap persegi panjang. Jadi:
Luas bayangannya setelah dilatasi [O, 3] adalah:
A p' l ' 12 9 108
Rotasi tidak mengubah bentuk bangun dan ukuran (hasil rotasi
(0, 0) kongruen dengan bangun aslinya), jadi tidak mengubah
luas.
6. Kunci Jawaban: C
Garis y 2x 2 dicerminkan terhadap garis y xy 2x 2
x yJadi x 2y 2
2y x 2
y1
2x 1
7. Kunci Jawaban: D
Titik A(x, y) direfleksikan terhadap garis x 2, dilanjutkan
refleksi terhadap garis y 3 dan rotasi dengan pusat O sejauh
2. Refleksi titik A(x, y) terhadap garis x p, kemudian terhadap
garis y q dan rotasi sejauh 2
adalah:
2 4
2 6
2 3 4 2
2 ( 2) 6 10
q yp x
y yx x
Jadi titik A( 10, 2).
8. Kunci Jawaban: E
Bayangan titik M(x, y) oleh transformasi yang bersesuaian
dengan matriks 2 1
1 0dilanjutkan dengan
3 2
0 1 adalah
titik M( 50, 5) maka koordinat titik M adalah (x, y)
Misalkan:1 2
2 1 3 2,
1 0 0 1T T
50 3 2 2 1
5 0 1 1 0
50 4 3
5 1 0
xy
xy
0 3 501
0 3 1 4 5
151
3 30
5Koordinat (5, 10)
10
xy
xM
y
9. Kunci Jawaban: D
A(a, b)90
( 1, 1) A' ( 2 b, a)
[ (1, 2), 2]( 2 , ) (2[ 2 1] 1, 2( 2) 2)12]
(2[ 2 1] 1, 2( 2) 2) (1, 4)
FA' b a A'' b aA'' b a A''
Sehingga,
2( 2 b 1) 1 1 2 ( a 2) 2 4
4 2b 2 1 1 2a 4 2 4
2b 6 2a 6
b 3 a 3
Jadi, A (a, b) A (3, 3).
10. Kunci Jawaban:
y x2 3x 1 . . . (*)
1 0 0 1
0 1 1 0
0 1
1 0
x' xy' yx' xy' yx' yy' x
x yy x x ySubstitusi ke (*)
x ( y )2
3 ( y ) 1
x y23y 1
x y2 3y 1
11. Kunci Jawaban: A
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
5 12 5 2 1 0 1
0 11 5 1 3 1 0
5 12 5 1 2
0 11 5 3 1
1 2
5 12 55 5
3 1 0 11 5
5 5
1 2 1
3 5 2
x x xy y y
x x xy y y
x x xy y y
x x xy y y
Jadi titik A( 1, 3), B(2, 5) dan C(1, 2).
12. Kunci Jawaban: B
13. Kunci Jawaban: A
T1 Pencerminan terhadap sumbu-xT2 Pencerminan terhadap y xT3 R (0, 90 )
T4
3 2
2 1
3 2
1 1 2 2
( , ) ( , ) ( , )T TA x y y x x y
x y x y
1 4
3 3 4 4
( , ) (8, 6)T Tx y
x y x y
1
1
cos 90 sin 90
sin 90 cos 90
x xy y
72 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
34
4 3
0 1
1 0
3 2 8 3 2
2 1 6 2 1
y yx x
xx xy y y
atau
1 2 81
3 4 2 3 6
8 12 4
16 18 2
xy
Jadi, A(4, 2).
14. Kunci Jawaban: A
sb-
2 2
( , ) ( , ) ( , )
( , )
x y xx y x y y x
x y
x2 y y x2
y2 x x y2
Persamaan peta: y 5x 5
x2 5y2 5
5y2 x2 5
2 2
11
5y x
y1
15
x
15. Kunci Jawaban: A
Digeser ke kanan maka x 1
3(x 1) 4y 2 0
3x 3 4y 2 0
3x 4y 5 0
16. Kunci Jawaban: A
y 2x2 4 . . . (*)
1 1
3 3
x' x xy' y y
Kemudian dilatasi oleh [0, 2], maka
2 2
2 6
x' xy' y
x 2x 2 x1
2x 1
y 2y 6 y1
2y 3
Substitusi nilai x dan y ke (*)
2
2
2
2
2
2
1 13 2 1 4
2 2
1 13 2 1 4
2 4
1 13 2 2 4
2 2
6 4 4 8
4 18
4 18
y' x'
y' x' x'
y' x' x'
y' x' x'
y' x' x'
y x x
17. Kunci Jawaban: B
1 2 2 1 2 6 9 10
2 0 2 4 4 4 2 4
P Q R P' Q' R'
Luas bayangan P 'Q 'R ' adalah
4 2 84
2 2 2
P'R' OQ'
21. Fungsi Persamaan dan PertidaksamaanFungsi Persamaan dan PertidaksamaanFungsi Persamaan dan PertidaksamaanFungsi Persamaan dan PertidaksamaanFungsi Persamaan dan PertidaksamaanEksponenEksponenEksponenEksponenEksponen
1. Kunci Jawaban: E
3
32 18 36
183 6
18 36
2 18 18 36
2 36
1 (64)
8 2
22
2
2 2
2 2
2 36
18
x
x x
xx
x
x x x
x
xx
2. Kunci Jawaban: D
32 1
8x · 3 3 0
31 (3
x)2
8 · 3x
3 0
Misalkan 3x y, maka:
3y2 8y 3 0
(3y 1) (y 3) 0
3 13
y 3 atau y 13
Karena nilai dari eksponen tidak boleh negatif, maka yang
dipakai y 13
, berarti:
3x 1
3x 1
3. Kunci Jawaban: D
22x
3 · 2x 2
32 0
(2x)2
3 · 22 · 2
x 32 0
Misalkan: 2x y
y2 12y 32 0
(y 8) (y 4) 0
y 8 atau y 4
y 8 2x
8 2x
23
x a 3
y 4 2x
4 2x
22
x b 2
a b 3 2 5
x
y
P' R'
Q'
73Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
4. Kunci Jawaban: E
2
22
2 512
8
x xx x
Mempunyai akar-akar persamaan p dan q.
Jadi,
2 23(2 ) 2 5
2 2
2
2 2
3 6 2 5
2 4 5 0
( 4) 42
2 2
x x x x
x x x x
x xbp q
a
6. Kunci Jawaban: C
2
2
2 3 5 164
2(2 3 5) 6
4
2 2
x x
x x
2
2
4 6 10 6
4 6 4 0
2 3 2 0
(2 1)( 2) 0
1atau 2
2
x x
x xx xx x
x x
Nilai x yang memenuhi adalah x1
2 atau x 2.
22. Fungsi Persamaan dan PertidaksamaanFungsi Persamaan dan PertidaksamaanFungsi Persamaan dan PertidaksamaanFungsi Persamaan dan PertidaksamaanFungsi Persamaan dan PertidaksamaanLogaritmaLogaritmaLogaritmaLogaritmaLogaritma
1. Kunci Jawaban: E
log (x 1)2
log (x 1)
Syarat pertama:
(x 1)2
0 (selalu dipenuhi)
Syarat kedua:
x 1 0 x 1
Syarat ketiga:
log (x 1)2
log (x 1)
log (x 1)2
log (x 1) 0
2( 1)log 0 log ( 1) 0
( 1
x xx
Agar log (x 1) < 0 maka harus dipenuhi:
x 1 1 x 2
Jadi batas-batas nilai x yang memenuhi pertidaksamaan di atas
adalah 1 x 2.
2. Kunci Jawaban: E
9log (x 2x)
1
2
Untuk menyelesaikan soal seperti di atas, pertama cari dulu
nilai-nilai x yang membuat bilangan yang dilogaritmakan lebih
besar dari nol. Jadi:
x2 2x 0
x (x 2) 0
HP {x 0 atau x 2}
Selanjutnya selesaikan pertidaksamaan logaritma:
9log (x 2x)
1
2
9log (x2
2x)9log
129
9log (x2
2x)9log 3
x2 2x 3
x2 2x 3 0
(x 3) (x 1) 0
HP { 3 x 1}
Irisan dari penyelesaian pertama dan kedua adalah:
HP { 3 x 2 atau 0 x 1}
3. Kunci Jawaban: A x
log (10x3 9x)
xlog x5
10x3
9x x5
x5 10x3
9x 0
x(x4 10x2
9) 0
x(x 1)(x 9) 0
x(x 1)(x 1)(x 3)(x 3) 0
x1 0; x2 1; x3 1; x4 3; x5 3
Syarat: x 0; x 1
10x3 9x 0
x5 0
x1 0 (tidak memenuhi)
x2 1 (tidak memenuhi)
x3 1 (tidak memenuhi)
x4 3 (tidak memenuhi)
x5 3 (memenuhi)
4. Kunci Jawaban: B
2log
2 (4x 4)
2log (4x 4)
4 2log
1
8
2log
2 (4x 4)
2log (4x 4)
4 2log 2
3
{2log (4x 4)
2 4
2log (4x 4) 3
Misalkan2log (4x 4) p, maka
p2 4p 3 0
(p 1) (p 3) 0
p 1 atau p 3
p 1 2log (4x 4) 1
4x 4 2 x3
2
p 3 2log (4x 4) 3
4x 4 23
4x 4 8
4x 12 x 3
3 0
2 0
2 12
74 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA
5. Kunci Jawaban: B
25
1 15 5
2
2
2
2
log ( 2 3) 1
log ( 2 3) log 5
2 3 5
2 8 0
x x
x x
x x
x x
(x 4)(x 2) 0
x 4 atau x 2
3 3
1 6
1 6
log 1 log 6
3 6
1
3
p p
x x
x x
x
HP:61
{ 0 atau 3 }3
x x x
9. Kunci Jawaban: E
2log (x 2)
2log (x 3) 1
2log 45
2log (x 2) · (x 3)
2log 2 · 45
(x 2) (x 3) 90
x2 5x 6 90 0
x2 5x 84 0
(x 12) (x 7) 0
x 2 atau x 7
HP: { 12, 7}
10. Kunci Jawaban: C
2log (x2 x) 1
2log x2 x 2
log 2
x2 x 2 0
(x 2) (x 1)
2 4
1 2
1 2
1 6
HP {x | 2 x 4}
6. Kunci Jawaban: C
6log (x 1)
6log (x 4) 1
6log (x 1) (x 4)
6log 6
(x2 3x 4) 6
x2 3x 10 0
(x 5) (x 2) 0
x 5 atau x 2
HP: { 2, 5}
7. Kunci Jawaban: B
2 3 22
2 2
22
2 2
log log 2 1log
log log
3 log 1 1log
log log
x xx x
x xx x
Misalkan:2log x p
2
2
3 1 1
3 1 1
3 2 0
p pp p
p pp p
p p
(p 2)(p 1) 0
2log x 1
2log x 2
x 21 x 2
2
x 2 x 4
Nilai x adalah 2 x 4
8. Kunci Jawaban: A
33 2 22 log
10 log 4 log 3 log 2log 9
2
xx x
3log
2
x 1 4 42
4 4
3 log 3 log 2
33 log 3 . 4 log 2
10 log 4log 3
log5 log 4
log 3
x
x
x
x
Misalkan:3log x p x
log 31
p
15 3 . 2
p
p p
p2 5p 6 0
(p 6)(p 1) 0
HP: { 1 x x 2}
Syarat: x x 0
x(x 1) 0
HP: { 1 x 0 atau 1 x 2}
75Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional
11. Kunci Jawaban: D
24 2
24 2
3log log 0
4
3log log 0
4
x x
x x
Misalkan:4log x p
p2 p 3
40
4p2 4p 3 0
(p 3) (2p 1) 0
3 1atau
2 2p p
32
4
3
3 3log
2 2
4 2 8
p x
x
12
41 1log
2 2
14
2
p x
x
Nilai x 8 atau 12
.
12. Kunci Jawaban: B
2log
2log (xx 1
3) 1 2log x
2log
2log (2
x 1 3)
2log 2 · x
2log (2
x 1 3) 2x
2log (2
x 1 3)
2log 2
2x
2x 1
3 (2x)2
2 · 2x
3 (2x
)2
Misalkan: 2x p
2p 3 p2
p2 2p 3 0
(p 3) (p 1) 0
p 3 atau p 1
p 3 2x
3
x 2log 3
p 1 2 1 (tidak memenuhi)
Jadi x 2log 3.
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA76
1. Kunci Jawaban: A
p 2q 3r 7 ....... (1)
2p 3q 3r 5 ....... (2)
3p 3q 2r 8 ....... (3)
Eliminasi r dari Persamaan (1) dan (2)
p 2q 3r 7 1 p 2q 3r 7
2p 3q 3r 5 3 6p 3q 3r 15
7p q 8 ..... (4)
Eliminasi r dari Persamaan (2) dan (3)
2p q 3r 5 2 4p 2q 2r 10
3p q 2r 8 1 3p 3q 2r 18
p q 2 ..... (5)
Eliminasi q dari Persamaan (4) dan (5)
7p q 8
p q 2
6p 6
p 1
Substitusi nilai p ke Persamaan (4) atau (5)
7p q 7(1) q 8
7 q 8
q 1
Substitusi nilai p dan q ke salah satu persamaan
p 2q 3r 7
1 2( 1) 3r 7
1 2 3r 7
1 3r 7
3r 6
r 2
Jadi, q r 1 2 3
2. Kunci Jawaban: A
10 2 1 3 2 2 3 0 43
5 11 2 4 1 1 1 1
9 2 (3 2) 6 9 0 4
3 15 3 3 1 1
9 2 3 2 6 0 ( 9)( 1) 6 4 ( 9)1
3 15 3 0 3( 1) 3 4 (3)1
9 3 9 15
3 15 3 15
3 15
5
x
x
x
x
xx
3. Kunci Jawaban: -
2x2 4x 1 0 maka a 2, b 4, c 1
( 4)2
2
1
2
ba
ca
2 2
2
2
2 12
212
14
1212
( ) 2
( )
2 2
4 112
1
Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah x2 12x 1 0.
4. Kunci Jawaban: C
U3
a 2b 10 a 2bU
7a 6b 18 a 6b
8 4bb 2
Sehingga diperoleh
a 2b 10 U25
a 24ba 4 10 6 24(2)
a 6 54
12
125 2
( )
25(6 54)
12,5 60
750
n nS n a U
S
5. Kunci Jawaban: B
U1
4 a 2
1
2 1
4 2
UrU
U2
2
U3
1
(1 )1
1
n
na rr S
r61 1
2 646 1 1
2 2
6364
638
4 1 ( ) 4 1 ( )
1
8
S
6. Kunci Jawaban: A
5sin
7
y BCr AB
r 7 y 5
x 6
B
A C
7. Kunci Jawaban: E
2 sin2 x 5 sin x 3 0
(2 sin x 1)(sin x 3) 0
KUNCI JAWABAN DAN PEMBAHASANTRY OUT 1
UJIAN NASIONAL 2005/2006
Kunci dan Pembahasan Soal Ujian Nasional 77
2 sin x 1 0 atau sin x 3 0
2 sin x 1 sin x 3
sin x 12
(tidak memenuhi)
x 30°
Sehingga,
cos x cos 30° 12
3
8. Kunci Jawaban: D
6 cos x° 6 3 sin x° dapat ditulis dalam bentuk k cos (x )°
menjadi a cos x b sin x k cos (x )
a 6, b 6 3
2 2 2 26 ( 6 3) 36 108 144 12k a b
tan 6 33
6
ba
( di kuadran IV)
300°
Jadi, 6 cos x° 6 3 sin x° 12 cos (x 300)°
9. Kunci Jawaban: B
a 3log2 6 3log2 2 2 · 9log 6
3log2 6 3log2 2 2 23 log 6
3log2 6 3log2 2 3log 63log 6 (3log 6 1) 3log2 2
32
63
4 6
3 9 3
3 3 3 33 12 2
3 3 3 2
312
3 3 3 2
312
3 3
1 12 2
log 81log 2 3
log 9 log 3
log 2 log 4 log 8
log 2 log 2 3 log 2 log 2
log 6( log 6 1) log 2
log 2
( log 2 1) log 2 log 2
log 2
log 2 1 log 2 12
b
ab
10. Kunci Jawaban: C
34 x 3x 30 0
34 x 3x 30
x 3
11. Kunci Jawaban: D
7 37 6 5 47
(7 3)P
4210
12. Kunci Jawaban: E
Nilai fi xi fi xi
0 4 2 2 114
5 9 6 7 156
10 14 8 12 196
15 19 10 17 170
20 29 8 22 176
25 29 4 27 108
30 34 2 32 64
fi 40 fi xi 674
67416,85
40
i i
i
f xx
f
13. Kunci Jawaban: B
( )( ) ( ( ))
2 3(1 )
4
f g x f g xxf x
x Misalkan: 1 x y
1 y xx 1 y
2(1 ) 3 2 2 3 1 2( )
(1 ) 4 1 4 5
1 2 2 1 2 1( ) , 5
5 5 5
y y yf yy y yx x xf x x
x x x
14. Kunci Jawaban: C
Misalkan: Kelas utama xKelas ekonomi y
60x y20 48 ...... (1)
60x 20y 1.440 ...... (2)
Maksimum pada f(x, y) 600.000x 400.000yKalikan Persamaan (1) dengan 20, kemudian eliminasi y dari
Pesamaan (1) dan (2)
20x 20y 1.960
60x 70y 1.440
40x 480
x 12
Substitusi nilai x ke Persamaan (1) atau (2)
1 x y 48 12 y 48 y 36
Sehingga pendapatan maksimum: f(x, y) f(12, 36)
f(12, 36) 600.000(12) 400.000(36)
7.200.000 14.400.000 21.600.000
15. Kunci Jawaban: A
22 2
2 2 23 3
2 2
23
2 2
23
2
3
2
3
2
4 79 9lim lim
4 7 4 7 4 7
9 4 7lim
16 ( 7)
9 4 7lim
9
lim 4 7
lim 4 7
4 (3) 7
4 16 4 4 8
x x
x
x
x
x
xx x
x x x
x x
x
x x
x
x
x
16. Kunci Jawaban: A
22 2
( 3) sin ( 2) ( 3) sin ( 2)lim lim
(2 4)( 5)2 6 20
(2 3) sin 0 00
2(0) 6(0) 20 20
x x
x x x xx xx x
17. Kunci Jawaban: D
Fungsi keuntungan
k(x) (225x x2)xk(x) 225x2 x3
Keuntungan maksimum dicapai jika k (x) 0
450x 3x2 0
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA78
x2 150x 0
x(x 150) 0
x 150 atau x 0 (tidak memenuhi)
Maka banyak barang yang harus diproduksi adalah 150 buah
barang.
18. Kunci Jawaban: B
1
2 3 1y
x 1
2
1
2
1 0
2(3 1)
(3 1)
u u
v x
v x
1
2
1
2
2
2
3
0 (3 1)
(2 3 1)
(3 1)
4(3 1)
1
4 (3 1)
u v uvyv
xx
xx
x
19. Kunci Jawaban: --
2 2
0
23 21 1
3 2 0
83
23
( 2)
2
2 4
8 satuan volum e
V x x dx
x x x
20. Kunci Jawaban: A
31 22
3
2
32
34 43 3
43
2 (4 5)2 (4 5)
(8 10) (8 10)
(5 ) 4 5
x xx x dx
x x C
x x
21. Kunci Jawaban: A
3(6) 1(2) 205
4 4
3(4) 1( 4) 82
4 4
3(7) 1(3) 246
4 4
R
R
R
x
y
z
Sehingga diperoleh R(5, 2, 6)
2 2 2
1 5 4
PR 2 2 4
2 6 8
PR 4 4 8 16 16 64 98 2 7
22. Kunci Jawaban: E
P(x) x3 2x 3 dibagi oleh x2 2x 3
P(x) h(x)g(x) s(x)
Faktor faktor dari x2 2x 3 adalah (x 3) dan (x 1).
f(a) f(3) 33 2(3) 3 27 6 3 24
f(b) f( 1) ( 1)3 2( 1) 3 1 2 3 4
y
2
2 O 2
x
( ) ( ) ( ) ( )( )
24 4 (3)(4) ( 1)(24)( )
3 1 3 1
12 24205 9
4 3
f a f b af b bf aS x xa b a b
S x x
x x
23. Kunci Jawaban: D
Persamaan garis singgung lingkaran
x2 y2 10x 12y 20 0
melalui titik ( 9, 1) x1
9, y1
1, A 10, B 12 dan C 20.
x1x y
1y 1
2A(x x
1) 1
2B(y y
1) C 0
9x y 12
(10)(x 9) 12
( 12)(y 1) 20 0
9x y 5x 45 6y 6 20 0
4x 5y 31 0
4x 5y 31 0
24. Kunci Jawaban: C
Persamaan parabola yang koordinat puncak ( 2, 4) dan fokus
( 6, 4)
P( 2, 4) a 2, b 4
F( 6, 4) a p 6, b 4
a p 6 p 4
Sehingga diperoleh persamaan parabola
(y b)2 4p(x a)
(y 4)2 16(x 2)
25. Kunci Jawaban: A
2 2( 2) ( 1)1
16 9
x y tegak lurus garis x y 3
maka gradien dari persamaan elips adalah m 1
(y q) m(x p) 2 2 2a m b
y 1 1(x 2) 216( 1) 9
y 1 x 2 25
y1
x 2 5 1 y1
x 8
atau
y2
x 2 5 1 y2
x 2
26. Kunci Jawaban: --
T1
Refleksi terhadap garis x 3
1 26 0 2 4
dan0 5 1 1
6 0 2 4 6 0
0 5 1 1 0 25
6
25
M M
x x xy y yx xy y
Sehingga diperoleh,
x 6x x 16
x
y 25y y 125
y
Kemudian substitusikan nilai x dan y yang baru ke dalam
persamaan garis.
2x y 5 0
2( 16
x ) ( 125
y ) 5 0
1 13 25
5x y 0
27. Kunci Jawaban: E
p (p q)
p p q
Kunci dan Pembahasan Soal Ujian Nasional 79
28. Kunci Jawaban: D
I. p qp
q (sah)
II. p q p qp r p r
p r p r (sah)
III. p qp r
q r (tidak sah)
29. Kunci Jawaban: --
2 28 8 8 2EG
Perhatikan MCG!
2 24 8 16 64
80 4 5
MG
8 2EB EG
2 28 1 4
128 16
144 12
EM
4 5
128 2
48 5 8 2
48 5 2 48 103 10
168 2 2
MN
MN
MN
30. Kunci Jawaban: C
Perhatikan RST!
H G
E F
D C
A B
N
4
4
8
N
M
E G
M
12
8 2
4 5
T
D CS
A R B
S
3
2
1. Kunci Jawaban: --
1 1 16
2 2 13
3 1 27
x y z
x y z
x y z
Misalkan1 1 1
, , dana b cx y z
, sehingga diperoleh
persamaan berikut ini.
a b c 6 ...... (1)
2a 2b c 3 ...... (2)
3a b 2c 7 ...... (3)
(1) (2) a 2b c 6
2a 2b c 3
a b 4 ...... (4)
2(2) (3) 4a 4b 2c 6
3a b 2c 7
a 3b 1 ...... (5)
(4) (5) a 3b 3
a 3b 1
2b 2
b 1
Substitusi nilai b ke Persamaan (4) atau (5).
a b 3 a (1) 3
a 4 a 4
Substitusi nilai a dan b ke salah satu persamaan.
a b c 6 4 (1) c 6
3 c 6 c 9
Sehingga diperoleh,
1 14
4
11 1
1 19
9
a xx
b yy
c zz
Jadi, 19
12 3 2(1) 3
4
1 1 252 2,08
4 3 12
x y z
2. Kunci Jawaban: C
1 2
3 4
1 3 2 4
1 3 3 4
1 2 3 2
3 5 1 4
2 2 3 2
3 5 3 5 1 4
A P BP PP P
P P P PP P P P
KUNCI JAWABAN DAN PEMBAHASANTRY OUT 2
UJIAN NASIONAL 2005/2006
RST merupakan segitiga samasisi
karena TR TS RS2 21 ( 3)
1 3 4 2 cm
TR TS
Besar sudut antara bidang TAB dan
TCD adalah 60°
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA80
cos 2x cos x 0
2 cos 12
(2x x) cos 12
(2x x) 0
2 cos 32
x cos 12
x 0
2 cos 32
x 0 atau cos 12
x 0
cos 32
x 0
32
x 90° k · 360° atau 32
x 90° k · 360°
x 60° k · 240° x 60° k · 240
k 0 x 60° k 0 x 180°
cos 12
x cos 90°
12
x 90° k · 360°atau 12
x 90° k · 360°
x 180° k · 720° x 180° k · 720°
k 0 180° k 0 x 180°
Maka nilai x yang memenuhi adalah 3
dan jika batas 0 x .
8. Kunci Jawaban: --
cos 2x 3 sin 2x ditulis dalam bentuk k cos n(x )
n periode 2
a 1, b 3
2 2 2 2( 1) ( 3)
1 3 4 2
k a b
tan3
31
ba
150° atau 330°
Jadi, cos 2x 3 sin 2x 2 cos 2(x 56
)
9. Kunci Jawaban: E
log 3 a dan log 2 b
log 38
3 27log log 27 log 8
8
log (33) log (23)
3 log 3 3 log 2
3a 3b
10. Kunci Jawaban: D
2 · 9x 3x 1 1 0
2 · (32)x 3x · 3 1 0
Misalkan 3x a2 · a2 3a 1 0
(2a 1)(a 1) 0
2a 1 atau a 1
2a 12
1 12 2
3 11 2
2
3
log
1 3 1
0
x
x
a
x
ax
Maka HP 3 1
20, log
P1
2P3
3 P2
2P4
2
P1
3 2P3
P2
2 2P4
3P1
5P3
1 3P2
5P4
4
3(3 2P3) 5P
3 1 3(2 2P
4) 5P
4 4
9 6P3
5P3
1 6 6P4
5P4
4
P3
8 P4
10
P3
8 P4
10
P1
2P3
3 P2
2P4
2
P1
2(8) 3 P2
2( 10) 2
P1
13 P2
18
Jadi, matriks 13 18
8 10P
3. Kunci Jawaban: D
x2 4x 3 0
(x 1)(x 3) 0
x 1 atau x 3
2x1
5 2(1) 5 7 7
2x2
5 2(3) 5 11 11
Persamaan kuadrat yang baru adalah
(x 7)(x 11) 0 x2 18x 77 0
4. Kunci Jawaban: D
U3
a 2b 13 a 2bU
7a 6b 29 a 6b
16 4bb 4
13 a 2b13 a 2(4)
13 a 8
a 5
U25
a 24b 5 24(4)
5 96
101
Sn12
n(a Un)
S25
12
(25)(5 101)
12,5 106
1.325
5. Kunci Jawaban: B
U1
a 25 m S25
45
25
1 1
ar
r 4m
515
25
125 m
6. Kunci Jawaban: A
c2 a2 b2 2ab cos c49 25 36 2(30) cos c
60 cos c 12
2 · 5 · 6 cos 12
2 2
1cos 1, 5
5
25 1 24
xc x rr
y r x
24 2 6 2sin 6
5 5 5
yACBr
7. Kunci Jawaban: D
cos 2x cos x 0, untuk 0 xIngat rumus: cos A cos B
Kunci dan Pembahasan Soal Ujian Nasional 81
11. Kunci Jawaban: C
3 pria dari 7 : 7C
3
735
3 (7 3)
2 wanita dari 9 : 9C
2
936
2 (9 2)
Jadi, banyak susunan panitia yang dibentuk adalah
35 36 1.260 cara.
12. Kunci Jawaban: E
(4 3) (5 7) (6 12) (7 11) (8 7)
3 7 12 11 7
2526,3
40
x
13. Kunci Jawaban: A
( )( )f g x f(g(x)) 42x 1
f(2x 1) 42x 1
f(2x 1) 4(2x 1) 2
f(x) 4x 2 22x 4
14. Kunci Jawaban: C
Misalkan sepeda A adalah x dan sepeda B adalah y.
x y 25 ...... (1)
600.000x 800.000y 16.800.000 ...... (2)
F(x, y) 100.000x 120.000y
Eliminasi x dari Persamaan (1) dan (2)
x y 25 6 6x 6y 150
6x 8y 168 1 6x 8y 168
2y 18
y 9 x 16
F(x, y) 100.000 (16) 120.000 (9)
1.600.000 1.080.000 2.680.000
15. Kunci Jawaban: B
lim (4 5) 2 1x
x x x
2
2 2
lim 4 5 (2 1)
1lim 4 5 4 4 1
4
x
x
x x x
x x x x
Petunjuk:Jika a p maka diperoleh
2 2lim2x
b qax bx c px qx ra
16. Kunci Jawaban: A
2 2
2 10 02
2
2 102
1 102 2
lim lim1 cos 1 (1 2 sin )
lim2 sin
lim 1 2 22 sin sin
x x
x
x
x xx x
xx
x xx x
17. Kunci Jawaban: --
Luas ABCD 2 r
Luas 12
lingkaran 12
r2
Luas kusen 2 r 12
r2
L2
2 212
4 2 4
k k
D C
A 2r B
r r
Keliling ABCD 2 4r
Keliling 12
lingkaran 12
(2 r) r
Keliling kusen 2 4r rK (4 )r 2
r 2
4
K
18. Kunci Jawaban: C
f(x) cos3 xf (x) 3 cos x( sin x)
3 cos x sin x
19. Kunci Jawaban: --
12
32
4 120
424 1
3 30
3 24 13 4
4 13 4
43
20 23 3
2
4 (4) 0
64 (16
(8) 4
6
V x x dx
x x
20. Kunci Jawaban: C
2 28 sin cos 4 sin 2x x x dx x x dx
Misalkan u 4x2 du 8x dxdv sin 2x dx
v sin 2x dx 1
2 cos 2
2 1 12 2
2
4 cos 2 cos 2 8
2 cos 2 4 cos 2
u dv uv v du
x x x x dx
x x x x dx
Misalkan a 4x da 4 dxdb cos 2x dx
b sin 2x dx 1
2 sin 2x
28 sin cosx x x dx2x2 cos 2x 2 sin 2x cos 2x C
21. Kunci Jawaban: D
( 4) 3(4) 82
4 4
( 3) 3(9) 246
4 4
2 3( 6) 164
4 4
P
P
P
x
y
z
y
x 4y 1
2x
y122x
xO 4
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA82
Sehingga diperoleh P(2, 6, 4)
2 2 2
4 2 6
PB 3 6 9
2 4 2
PB ( 6) ( 9) (2)
36 81 4 121
22. Kunci Jawaban: A
Misalkan P(x) dibagi 2x2 5x 3 mempunyai hasil bagi H(x)
dan sisa Ax B, maka:
P(x) (2x 1)(x 3) · H(x) Ax B
P(x) dibagi (2x 1) sisanya 12
17P , sehingga:
12
A B 17 ...... (1)
P(x) dibagi (x 3) sisanya P( 3) 3, sehingga:
3A B 3 ...... (2)
Dari Persamaan (1) dan (2) diperoleh:
12
A B 17
3A B 13
72
A 14
A 4 B 15
Jadi, P(x) dibagi 2x2 5x 3 memiliki sisa 4x 15.
23. Kunci Jawaban: E
Persamaan garis singgung lingkaran
x2 y2 6x 2y 15 0 di titik (7, 2)
x1
7, y1
2, A 6, B 2, dan C 15
x1x y
1y 1
2A(x x
1) 1
2B(y y
1) C 0
7x 2y 12
( 6)(x 7) 12
(2)(y 2) 15 0
7x 2y 3x 21 y 2 15 0
4x 3y 34 0
24. Kunci Jawaban: A
Persamaan parabola dengan F(6, 3) dan P(1, 3)
a p 6, b 3, a 1
a p 6 1 p 6 p 5
Persamaan parabola:
(y b)2 4p(x a)
(y 3)2 4( 5)(x 1)
y2 6y 9 20x 20
y2 6y 20x 29 0
25. Kunci Jawaban: C
Persamaan garis singgung elips x2 2y2 2 0 sejajar dengan
garis 2x y 1 0 maka m 2
2 2 2
2
1 2
2 1(2) 2
2 6
2 6 atau 2 6
y mx a m b
y x
y x
y x y x
26. Kunci Jawaban: E
0 1 1 0
1 0 0 1
0 1
1 0
x xy yx xy yx yy x
Sehingga diperoleh,
x y y xy x x y
2x 3y 1 0
2( y ) 3( x ) 1 0
2y 3x 1 0
3x 2y 1 0
27. Kunci Jawaban: E
( p q) ( p q)
(p q) (p q)
(p q) ( p q)
28. Kunci Jawaban: E
I. p q p qp pq q (tidak sah)
II. p q p qq r q rp r p r (sah)
III. p ( p q) p p qp q p q
p p (sah)
29. Kunci Jawaban: B
T
A RV
P U Q
2
2
Perhatikan TUR!
TU 2 2TQ UQ 2 22 1 3
UV2 TU2 TV2 2 · TU · TV · cos
22 2 2( 3) ( 3) 2 3 3 cos
4 3 3 6 cos
6 cos 6 4
6 cos 2
cos 13
30. Kunci Jawaban: B
D
A B
H G
E F
D C
A B
Perhatikan ADB!
Segitiga ADB adalah segitiga siku siku samakaki sehingga besar
sudut 45°
Kunci dan Pembahasan Soal Ujian Nasional 83
KUNCI JAWABAN DAN PEMBAHASANTRY OUT 3
UJIAN NASIONAL 2005/2006
1. Kunci Jawaban: A
2 log x log(2x 5) 2 log 2
log x log(2x 5) log 2
x (2x 5) · 4
x 8x 20
x 8x 20 0
(x 10) (x 2) 0
x 10 atau x 2
HP: {x | 2 x 10}
2. Kunci Jawaban: E
AB AC xBC yK AB AC BC 8
x x y 8
2x y 8
y 8 2x . . . (i)
Rumus Phytagoras
AB AC BCx x y
2x y . . . (ii)
Substitusikan (i) dan (ii)
2x (8 2x)
2x 64 32x 4x2x2 32x 64 0
2 (x2 16x 32) 0
2
1, 2
1 2
16 ( 16) 4 32 16 128
2 2
16 8 28 4 2
2
8 4 2 atau 8 4 2
x
x AB x AB
3. Kunci Jawaban: B
Misalkan umur ayah x umur Budi y
x 7 6 (y 7)
x 7 6y 42
x 6y 35 . . . (1)
2(x 4) 5 (y 4) 9
2x 8 5y 20 9
2x 5y 21 . . . (2)
Persamaan (1) dan (2)
2x 12y 70
2x 5y 21
7y 91
y 13
x 6 (13) 35
x 78 35
x 43
2 10
4. Kunci Jawaban: A
Rumah Luas (m2)
Tipe A (x) 100
Tipe B (y) 75
100x 75y 10.000
x y 125
(i) 100 75y 10.000
(ii) 100x 100y 12.500
25y 2.500
y 100
x 125 100 25
Tipe A x 25 unit
Tipe B y 100 unit
Keuntungan (25 6.000.000) (100 4.000.000)
150.000.000 400.000.000
550.000.000
5. Kunci Jawaban: D
b2 a2 c2 2 · a · c · cos 30
(60)2 (30)2 2 (60) (30) . 12
3
3600 900 1800 3
4500 1800 3
900 (s 2 3 )
b 30 12
5 2 3
6. Kunci Jawaban: A
1 1 1 12 2 2 21 1 1 12 2 2 2
1 1 14 4 41 1 14 4 4
sin 165 sin (120 45)tan 165
cos 165 cos (120 45)
sin 120 cos 45 cos 120 sin 45
cos 120 cos 45 sin 120 sin 45
3 . 2 ( ) . 2
. 2 3 . 2
6 2 2 ( 3 1)
2 6 2 ( 1 3)
( 3 1)3 1
3 1( 3 1)
A B
C
a 60
c 30
b . . .
30
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA84
3 3 3 1 4 2 3
23 3 3 1
2 ( 2 3)2 3
2
7. Kunci Jawaban: D
2
2 2 2
2 3 cos 2sin . 3 cos 3 0
3 cos 2sin .cos cos sin 3 0
x x x
x x x x x
Ingat:2 2cos sin 1x x
2 2 2
2 2
2 3 cos 2sin cos 3 cos sin 0
3 cos 2sin cos 3 sin 0
x x x x x
x x x x
Dibagi2cos x
3 2 tan 3 tan 0x xMisalkan: tan x y
3 2 3 0
3 1 3 0
13 , atau 3
3
y y
y y
y y
3 tan 3y x tan x tan 120
x 120 k. 180
k 0 x 120 k 1 x 300
tany x tan x tan 30
x 30 k.180
k 0 x 30
k 1 x 210
HP :{30, 120, 210, 300}
8. Kunci Jawaban: D
Banyak bola 5 4 3 12
Peluang terambil 2 bola merah:
2
5! 4 55 10
3! 2! 2C cara
Peluang terambil 1 bola biru:
1
4!4 4
1! 3!C cara
Peluang terambil dua bola merah dan satu bola biru
3
10 4 40
12 220
4 2
22 11
C
9. Kunci Jawaban: B
fi 50
xi fi 1250
1250
50
25
xi fixfi
xi f i xi · fi
13 5 65
18 6 108
23 12 276
28 18 504
33 9 297
10. Kunci Jawaban: D
Lingkaran pusat (1, 4) dan menyinggung garis 3x 4y 2 0
2 2
3.(1) 4.(4) 2 153
53 4r
L (x 1)2 (y 4)2 32
x2 2x 1 y2 8y 16 9
x2 y2 2x 8y 8 0
11. Kunci Jawaban: D
Persamaan lingkaran: x y 25
Tegak lurus dengan garis 2y x 3 0
atau y 312 2
x , maka gradien m 2
Persamaan garis singgung lingkaran
22 5 ( 2) 1
2 5 5
y x
x
y 2x 5 5 atau y 2x 5 5
12. Kunci Jawaban: D
BG U1
U2
U3
U4
U5
U6
U7
Tali terpanjang a U1
384
Tali terpendek 47 6
U7
ar 6
384 r 6 6
r 6 164
r 12
1711282
7 1 12 2
384 1384 (1 )
1
384
S
3127
1282 3 127 2 762
13. Kunci Jawaban: D
BA: U1
a 50.000
U2
a b 55.000
U3
a 2b 60.000
U3
U2
a 2b 60.000
a b 55.000
b 5.000
S24
[2 . (50.000) (24 1) . 5000]
[100.000 115.000]
12 (215.000) 2.580.000.
14. Kunci Jawaban: A
1 2 4 3
3 4 2 1
4 2 4 313 1 2 14 6
2 14 3
3 12 1
2 2
6 5
5 4
X
X
X
X
14. Kunci Jawaban: A
A (1, 2, 3) , B (3, 3, 1) , C (7, 5, 3)
3 1 2
AB 3 2 1
1 3 2
Kunci dan Pembahasan Soal Ujian Nasional 85
7 3 4
BC 5 3 2
3 1 4
2 4
AB : BC 1 : 2
2 4
2 2
1 : 2 1
2 2
1 : 2
16. Kunci Jawaban: E
Peta kurva: x'' 2 y'' y'' . . . (*)
12
12
12
12
2 0 0 1
0 2 1 0
0 2
2 0
0
0
0 21
0 ( 4) 2 0
x'' xy'' y
xy
x''y''
x x''y y''
y''xy x''
x 12
y'' y'' 2x
y 12
x'' x'' 2y
Substitusi ke (*)
( 2y) 2 2x (2x)2
2y 2 2x 4x2
y 2x2 x 1
17. Kunci Jawaban: D
Misalkan: Modal awal M0
Suku bunga bMn M
0 (1 b) M
0 (1 b)2 . . .
M0 (1 b)n
Rasio r2(1 )
1 11
b bb
Sehingga,
0
0
0
5
5
5
(1 ) (1 ) 1
1 1
(1 ) (1 ) 1
1.000.000, 15% 0,15 : 5
(1, 15) (1, 15) 11.000.000
0,15
1.150.000 (1, 15) 1, 15 1
0,15
n
n
n
M b bM
bM b b
bM b n
M
18. Kunci Jawaban: A
0
0
0
0
4 1 2 2lim
1 2 1 2 1 2 1 2
4 1 2 1 2lim
(1 2 ) (1 2 )
4 1 2 1 2lim
4
lim 1 2 1 2
1 1 (1 1) 2
x
x
x
x
x x xx x x x
x x x
x x
x x x
xx x
19. Kunci Jawaban: E
30
2
30
2
30
0
sin 3 sin 3 cos 2lim
2
sin 3 sin 3 (1 2 sin )lim
2
sin 3 1 (1 2 sin )lim
2
sin 3 2lim
x
x
x
x
x x xx
x x xx
x x
xx 2sin
2
x3
30
0 00
sin3 sin sin 3lim dikali
3
sin 3 sin sin3lim lim lim
3
3 1 1 1 3
x
x xx
xx x x
xx x x
x x x
20. Kunci Jawaban: E
S f(t) 3 1t
f(8) 3 8 1 24 1
25 5
21. Kunci Jawaban: C
K 3p 4l 120
4 l 120 3p
l 30 3
4p
L p (l l) p 2l
p 2 (30 32
p )
p (60 32
p ) 60p 232
p
Agar L maksimum maka L 0
60 3p 0
3p 60
p 20 m
22. Kunci Jawaban: C
Misalkan: Biaya C 4x 800 1200 1
C 4x2 800x 120
C minimum, maka C1 0
C1 8x 800 0
8x 800
x 100
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA86
23. Kunci Jawaban: E
F(x) 2 23 cos (3 5 )x x
F(x) y 2 2cos (3 5 )
3x x
y23u
Dengan u cos x dan x 3x2 5x
13
132 2
22
2
2 2 2
2 2 23
2( sin ) (6 5)
3
2cos (3 5 ) sin (3 5 )(6 5)
3
2 sin(3 5 ) 2(6 5) cos (3 5 )
3 3cos (3 5 )
2 1(6 5) tan (3 5 ) (cos (3 )
3 3
2(6 5) tan (3 5 cos (3 5 )
3
dy dy du dxdx du dx dx
u x x
x x x x x
x xx x xx x
x x x x x
x x x x x
24. Kunci Jawaban: A
02
0
3 3 1x x dx . . .
Misalkan: u 3x 1
du 6x dx12
dx 3x dx
1 1
2 2
3
2
3
2
3
2
3 3
2 2
1 1
0 0
1
0
12
0
2
1 1
2 2
1 2
2 3
1(3 1)
2
1(3 1) (3 0 1
2
1 74 1 (8 1)
2 2
u du u dx
u
x
25. Kunci Jawaban: A
Parabola: x2 2x y 0 y x2 2x . . . (1)
Garis lurus: x 2y 0 y2x . . . (2)
(1) (2) : x2 2x2x 0
x2 32
x 0 a 1, b 32
, c 0
D b 4ac2
3 92 4
Luas daerah yang diarsir:
9 94 4
2 2
9 34 2
6 6(1)
27 9
6 48 16
D DLa
26. Kunci Jawaban: D
5cos x dx cos x · cos2 x · cos2 x dx
cos x (1 sin2 x) (1 sin2 x) dx
cos x (1 2 sin2 x sin4 x) dx
(cos x 2 sin2 x cos x sin4 x · cos x) dx
Misalkan: u sin xdu cos x dx
• 2sin x · cos x dx u2 · du 13
u3 13
sin3 x
• 4sin x · cos x dx u4 · du 15
u5 15
sin5 x
Maka,
(cos x 2 sin2 x cos x sin4 x cos x) dx
cos x · dx 2 2sin x · cos x dx 4sin x · cos x dx
sin x c1
23
sin3 x c2
15
sin5 x c3
sin x 23
sin3 x 15
sin5 x c
dengan c c1
c2
c3
27. Kunci Jawaban: A
B1
V1 1
34
3r
Diameter B1
panjang diagonal ruang
a 3
Jari jari B1
32
a
B2
V2 2
34
3r
Diameter B2
panjang sisi kubus a
Jari-jari B2 2
a
Maka: V1
V2
4
3
34
3 :2 3
a 3
33
2
3 3:
8 8
3 3 :1
a
aa
28. Kunci Jawaban: B
A 4 B
E F
H Q G
P
D C
DQ2 HD2 HQ2 BQ2 BP2 PQ2
42 22 2 2( 2) (2 2)
16 4 20 8 8
DQ 2 5 16
BQ 4
Kunci dan Pembahasan Soal Ujian Nasional 87
BD 2 2
2 2 2
2 2 2
cos2 4 4 2
(4 2) (4) (2 5)
32 2
32 16 20 88 7
32 2 32 2 8 2
BD BQ DQ
x 7, 8 2r
2 2 2 2(8 2) (7)
128 49 79
79 1tan 79
7 7
y r x
yx
29. Kunci Jawaban: D
BT2 AB2 AT2
2( 3) (1)2 3 1 4
BT 2 · 2
A B
D C
E F
H G
T M
a 3
TM BM1
2BT 1
AM2 AT2 TM2
12 12
1 1 2
AM 2
30. Kunci Jawaban: C
Misalkan: p Budi rajin belajar
q Ia menjadi pandai
r Ia lulus ujian
1. p q2. q r3. rKesimpulan yang sah
I. p qq rp r
Jika Budi rajin belajar maka ia lulus ujian.
Kesimpulan: Budi lulus ujian.
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA88
1. Kunci Jawaban: C
Eliminasi z dari Persamaan (1) dan (2)
x 2y 3z 11
2x 2y 3z 4
3x y 7 ....... (4)
Eliminasi z dari Persamaan (2) dan (3)
x 2y 3z 11 1 x 2y 3z 11
x 2y 3z 3 3 3x 6y 3z 9
4x 4y 20 ..... (5)
Eliminasi y dari Persamaan (4) dan (5)
3x 4y 7 4 12x 4y 28
4x 4y 20 1 4x 4y 20
16x 48
x 3
Substitusi nilai x ke Persamaan (4) atau (5)
3(3) y 7 9 y 7 y 2
Substitusi nilai x dan y ke salah satu persamaan.
x 2y 3z 11
3 2( 2) 3z 11 3 4 3z 11
3z 12
z 4
Jadi, x y z 3 ( 2) 4 5
2. Kunci Jawaban: D
1 2 2 3 1 2, ,
3 4 0 1 3 4A B C
1 2 1 2 2 3 1 2( ) ( )
3 4 3 4 0 1 3 4
2 4 1 5
6 8 3 5
3 1
3 3
A C B C
3. Kunci Jawaban:
2x2 4x 1 2x2 4x 1 0 maka a 2, b 4, c 1
x1
x2
( 4)2
2
ba
x1 · x
2
1 1
2 2
ca
2 21 2
1 13 3
x x2 2 2
2 1 1 2 1 22 2
2 1 2 1
2 12
2 11
42
( ) 26
( ) ( )
(2) 2 4 120
x x x x x xx x x x
2 21 2
1 13 3
x x
2 21 2
2 21 2
2 2 2 21 2 1 2
2 21 2
2 21 2 1 2 1 2
21 2
22 1 12 2
212
1 3 1 3
1 3 3 9
1 3( ) 2 9( )
( )
1 3(2) 2 965
x xx x
x x x xx x
x x x x x xx x
Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah x2 20x 65 0
4. Kunci Jawaban: C
U2
8
U6
8
Un a (n 1)b Un a (n 1)bU
2a (2 1)b U
6a (6 1)b
8 a b ..... (1) 8 a 5b ..... (2)
Eliminasi a dari Persamaan (1) dan (2)
a 5b 8
a 5b 8
4b 16
b 4 a 12
Un a (n 1)bU
7 12 (7 1)( 4)
12
5. Kunci Jawaban: A
U1
a Jumlah penduduk pada tahun 1950
1950, 1960, 1970, 1980, 1990, 2000
3,2 juta
r 2, n 6, U6
3,2 juta
U6
ar5 a · 25 3,2 juta
a 5
3,2 juta
2
3,2 juta
32
0,1 juta
100.000
6. Kunci Jawaban: E
s 12
Keliling ABC12
(AB BC AC)
12
(15 13 14) 12
42 21
A
C 13 B
D
1415
KUNCI JAWABAN DAN PEMBAHASANPREDIKSI 1
UJIAN NASIONAL 2005/2006
Kunci dan Pembahasan Soal Ujian Nasional 89
214
17
1 17 7
21(21 13)(21 14)(21 15)
(21)(8)(7)(6)
7.056 84 12 cm
BD
7. Kunci Jawaban: E
cos 2x 3 sin x 1 0
(1 2 sin2 x) 3 sin x 1 0
2 sin2 x 3 sin x 1 1 0
Misalkan sin x a2a2 3a 2 0
(2a 1)(a 2) 0
a 12
atau a 2
Sehingga,
sin x 12
atau sin x 2 (tidak memenuhi)
sin x 30° ; 150°
1516
5 6 66
30HP ,
150
xx
8. Kunci Jawaban: C
3 cos (x ) 3 sin (x ) dalam bentuk k cos (x a)
3 cos ( ) 3 cos3, 3
3 sin ( ) 3 cos
x x a bx x
22 2 23 3 9 3
12 2 3
k a b
3 1tan 3
3 3
120 ; 300
ba
Sehingga,
43 cos ( ) 3 sin ( ) 2 3 cos
6x x x
9. Kunci Jawaban: Arlog p 5 · qlog r 3 · plog q 1
5 rlog p · 3 qlog r · ( 1) plog q ( 5)( 3)( 1) rlog p · plog q · qlog r 15
10. Kunci Jawaban: D
2 · 22x 17 23 2x
2 · 22x 23 · 2 2x 17 0
2 · 22x2
8
2 x 17 0
Misalkan 22x a
2a 8
a 17 0 .... kedua ruas dikali a
2a2 8 17a 0
2a2 17a 8 0
(2a 1)(a 8) 0
Sehingga diperoleh,
a 12
atau a 8
22x 2 1 22x 23
2x 1 2x 3
x1
12
x2
23
Jadi, x1
x2
1 22 3
1
11. Kunci Jawaban: C
10
( ) 3 (10 3)
8
n rnC
r n r4
93
10
1 2 3120 cara
12. Kunci Jawaban: D
Nilai fi xi fi xi
13 15 3 4 12
16 18 4 7 28
19 11 9 10 90
12 14 6 13 78
15 17 2 16 32
fi 24 fi xi 240
Rataan240
1024
x
13. Kunci Jawaban: A
( )( )f g x f(g(x) 12x2 32x 26
f(2x 3) 3(4x2 12x 9) (4x 6) 5
f(2x 3) 3(2x 3)2 2(2x 3) 5
f(x) 3x2 2x 5
14. Kunci Jawaban: D
Misalkan mobil adalah x dan bus adalah y10x 20y 300 ...... (1)
x y 324 ...... (2)
x 0 dan y 0
f(x, y) 1.000x 3.000y
Eliminasi x dari Persamaan (1) dan (2)
10x 20y 300 1 10x 20y 300
x y 24 10 10x 10y 240
10y 60
y 6 x 18
Titik Pojok f(x,y) 1.000x 3.000y
(18, 6) Rp36.000,00
(24, 0) Rp24.000,00
(0, 15) Rp45.000,00
Jadi, hasil maksimum tempat parkir tersebut adalah Rp45.000,00.
y
x18 24 30
24
15
6
O
x y 24
(18, 6)
10x 20y 300
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA90
15. Kunci Jawaban: E
2 2
0
2 2
0
lim (3 1) 9 11 9
lim 9 6 1 9 11 9
x
x
x x x
x x x x
6 ( 11) 5Karena maka
62 2 9
b qa pa
16. Kunci Jawaban: A
30
30
2
30
2
30
2
0
0
2
0
tan 2 cos 8 tan 2lim
16
tan 2 (cos 8 1)lim
16
tan 2 (1 2 sin 4 1)lim
16
tan 2 ( 2 sin 4 )lim
16
tan 2 2 sin 4lim
4 4
tan 2 sin 2 2lim ( 2)
2 2 2
1lim ( 2)(2) 4
2
x
x
x
x
x
x
x
x x xx
x xx
x xx
x xx
x xx x
x xx x
17. Kunci Jawaban: A
x 2y 20 ...... (1)
1,5x 0,5y 10 ...... (2)
x 0, y 0
Titik potong Persamaan (1) dan (2)
x 2y 20 3 3x 6y 60
1,5x 0,5y 10 2 3x 6y 20
5y 40
y 8 x 4
Jadi pakaian akan maksimum jika jumlah model I dan II masing
masing adalah 4 dan 8.
18. Kunci Jawaban: D
f(x) sin 2(2x 3)
f(x) sinn x dxf (x) n sinn 1 x (cos x)
Jadi, f (x) 2 sin (2x 3) cos (2x 3) · 2
4 sin (2x 3) cos (2x 3) 2 sin (4x 6)
19. Kunci Jawaban: D
2 2
1 2 2 2
0
1 4
0
12 51 1
2 0
2 51 12 5
1 12 5
( ) ( )
( ) ( )
( )
(1) (1) 0
3 9
10 30
b
a
y
V f y g y dy
y y dy
y y dy
y y
20. Kunci Jawaban: A
2( 1) cosx x dx Misalkan u x2 1 du 2x dx
dv cos x dx
v cos sinx dx x
2
2
( 1) sin sin
( 1) sin sin 2
u dv uv v du
x x x du
x x x x dx
Misalkan a 2x da 2 dxdb sin x dx
b cos x
2 sin 2 ( cos ) ( cos ) 2
2 cos 2 sin
x x dx x x x dx
x x x C
Sehingga,
u dv (x2 1) sin x 2x cos x 2 sin x C
x2 sin x sin x 2x cos x 2 sin x C (x2 1) sin x 2x cos x C
21. Kunci Jawaban: --
AB (5 2, 0 ( 3), 1 4)
(3, 3, 3)
AP : AB 2 : 3
2 3
2 3 3 3
4 3
xyz
2x 4 9 2y 6 9 2z 4 9
2x 13 2y 3 2z 5
x 132
y 32
z 52
13 52 23 72 25 52 2
2 25 572 2 2
25 49 254 4 4
99 34 2
4
2
5
PC
11
PC
22. Kunci Jawaban: D
x4 x3 10x2 9x 5 dibagi x2 3x 2
Faktor faktor dari x2 3x 2 adalah (x 1) dan (x 2)
f(1) 14 13 10(1)2 9(1) 5
1 1 10 9 5 4
f(2) 24 23 10(2)2 9(2) 5
16 8 40 18 5 3
( ) ( ) ( ) ( )( )
4 ( 3) 1( 3) 2( 4)
1 2 1 2
3 815
1 1
f a f b af b bf aS x xa b a b
x
x x
x
y
x y
x y2
a b p q
Kunci dan Pembahasan Soal Ujian Nasional 91
23. Kunci Jawaban: B
Persamaan garis singgung lingkaran
x2 y2 4x 2y 20 0 di titik P(5, 3)
x1
5 dan y1
3, A 4, B 2, dan C 20
x1x y
1y 1
2A(x x
1) 1
2B(y y
1) C 0
5x 3y 12
( 4)(x 5) 12
(2)(y 3) ( 20) 0
5x 3y 2x 10 y 3 20 0
3x 4y 27 0
24. Kunci Jawaban: B
Persamaan parabola dengan titik puncak P( 4, 2) dan titik fokus
F(2, 2) a 4, b 2 dan a p 2
Sehingga diperoleh,
a p 2 4 p 2 p 6
Maka persamaan parabola adalah
(y b)2 4p(x a)
(y 2)2 4( 6)(x 4)
(y 2)2 24(x 4)
y2 4y 4 24x 96
y2 4y 24x 92 0
25. Kunci Jawaban: A
16x2 9y2 64x 54y 1 0 sejajar garis x y 4 0, maka
gradien elips adalah m 1.
16x2 9y2 64x 54y 1
2 22( 2) ( 3)
129 16
x y
Persamaan garis singgungnya adalah
y q m(x p)2 2 2a m b
y 3 1(x 2) 2(9)(1) 16
y 3 x 2 25
y1
x 2 5 3 x 10
y2
x 2 5 3 x
26. Kunci Jawaban: A
0 1 0 1
1 0 1 0
1 0
0 1
x xy y
xy
x xy y
Sehingga diperoleh,
x x x xy y y y
x 2y 4 0
x 2( y ) 4 0
x 2y 4 0
27. Kunci Jawaban: B
(p q) pp q p
28. Kunci Jawaban: A
I. p q p qq qp p (tidak sah)
II. p qr qp r (sah)
III. p q p qq r q r
r p p r (tidak sah)
29. Kunci Jawaban: C
T
D C
A BPQ
H G
E F
D C
A B
T
S4
8
8
4 2
Sudut antara TAD dan alas adalah
PQ 12
AB 3
TP 3
tan13
33
3
TPPQ
tan 30° atau 210°
2 2
1 12 2
2 2
8 8 8 2 cm
8 2 4 2 cm
4 (4 2) 16 32 4 3 cm
AC
AS AC
TS
30. Kunci Jawaban: A
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA92
KUNCI JAWABAN DAN PEMBAHASANPREDIKSI 2
UJIAN NASIONAL 2005/2006
1. Kunci Jawaban: B
I.2log (x2
2x) 3
(x2 2x) 2
3 8
x2 2x 8 0
(x 4) (x 2) 0
x 4 atau x 2
HP I: 2 x 4
II. x2 2x 0
x (x 2) 0
x(x 2) 0
x 0 atau x 2
HP II: x 0 atau x 2
Jadi, HP: {x 2 x 0 atau 2 x 4}
2. Kunci Jawaban: C
Misalkan PQ x dan QS yPQ QT RT PR TS x RS 2x
KPQRS PQ PR RS QS14 x x 2x y14 4x y y 14 4x . . . . (i)
Dengan rumus Pythagoras :
QT2 TS2 QS2
x2 x2 y2
2x2 y2 . . . . (ii)
Subtitusi Persamaan (i) ke Persamaan (ii)
2x2 (14 4x)
2x2 196 112x 16x2
196 112x 14x2 0
14 8x x2 0
2
1 2
8 8 4(1)(14) 8 64 56
2(1) 2
8 8 8 2 24 2
2 2
4 2 atau 4 2
x
x x
Jadi, panjang RS adalah 8 2 2 cm atau 8 2 2 cm .
P Q
R ST
3. Kunci Jawaban : E
Misalkan umur Sultan x, Ari y, dan Ayah z.
x y 6 . . . . (1)
(x 18) (y 18) z 18 . . . . (2)
14 4 4
2x y z . . . . (3)
Persamaan (ii) dapat ditulis:
x 18 y 18 z 18
x y z 18 . . . . (4)
Persamaan (3) dapat ditulis:
14 4 4
2x y z
2x 8 2y 8 z 4
2x 2y z 4 16
2x 2y z 12 . . . . (5)
Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh:
x y z 18
2x 2y z 12
x y 30 . . . . (6)
Dari persamaan (1) dan (6) diperoleh:
x y 6
x y 30
2x 36
x 18
Subtitusi nilai x ke persamaan (1)
18 y 6 y 12
Subsitusi nilai x 18 dan y 12 ke persamaan (4):
x y z 18
18 12 z 18
z 18 30
z 48
Jadi, x y z 18 12 48 78 tahun.
4. Kunci Jawaban: C
Kayu (kg) Plastik (kg) Kaca (kg)
Produk A 1 3 2
Produk B 3 4 1
2400 3700 1300
Misalkan: Produk A xProduk B y
x 3y 2400 . . . (i)
3x 4y 3700 . . . (ii)
2x y 1300 . . . (iii)
Substitusi Persamaan (i) dan (iii)
x 3y 2400 1 x 3y 2400
2x y 1300 3 6x 3y 3900
5x 1500
x 300
Kunci dan Pembahasan Soal Ujian Nasional 93
Substitusi x 300 ke (ii)
3(300) 4y 3700
4y 2800 y 700
Pendapatan max (300 Rp40.000) (700 Rp60.000)
Rp12.000.000 Rp42.000.000
Rp54.000.000
5. Kunci Jawaban: C
b2 a2 c2 2 · a · c · cos 150º
102 152 2 · 10 · 15 · 1
32
100 225 150 3
325 150 3
25 (13 6 3 )
b 5 13 6 3
6. Kunci Jawaban: D
sin 255º sin 75º
sin (45 30)º
(sin 45º cos 30º cos 45º sin 30º)
1 1 1 12 3 2
2 2 2 2
16 2
4
7. Kunci Jawaban: A
sin 2x sin x, di mana 0 x 2
sin 2x sin x 0
Ubah dulu menjadi persamaan
sin x sin x 0
1 12 2
32
3 12 2
3 12 2
2 cos (2 ) sin (2 ) 0
12 cos sin 0
2
cos 0 atau sin 0
cos 0 atau sin 0
x x x x
x x
x
x x
32
32
32
3
cos 0
cos cos 90
90 360
60 atau
x
x
x k
x x
a 10 km
c 15 km
b
C
AB150º
1
0
1
00
a 2
32
32
12
12
cos 90
90 360
60 240
180 atau
sin sin 0
0 360
0 720 0
x
x k
x kx x
x
x k
x k x
12
12
sin sin 180
180 360
360 720
360 atau 2
x
x k
x kx x
1
0
1
00
a2
a3
232
1
0
1
32
22
2
0
2
HP: { x | 0 x3
atau x 2 }
8. Kunci Jawaban: C
Banyaknya cara ahli kimia yang terpilih:
6! 6 5 4!6 4
4! 2! 2 1 4!
15 cara
Banyaknya cara ahli biologi yang terpilih:
5 3
5! 5 4 3!
3! 2! 2 1 3!C
10 cara
Banyaknya cara yang dapat dilakukan dalam pemilihan itu
adalah: 15 1 150 cara.
9. Kunci Jawaban: C
i i
i
f xx
f , di mana xi nilai tengah data.
(3 137) (5 142) (8 147) (10 152) (9 157) (5 162)
3 5 8 10 9 5
411 710 1176 1520 1413 810
40
6040151
40
x
10. Kunci Jawaban: A
AB diameter lingkaran
12
2 2
jari-jari
8 6 100 10
5
r AB
ABr
Titik pusatnya 7 1 6 2
, (4, 2)2 2
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA94
m tan 120° 3
Persamaan garis singgungnya
22 3( 4) 5 ( 3) 1
2 3 4 3 10
3 4 3 10 2
3 4 3 12 atau 3 4 3 8
y x
y x
y x
y x y x
11. Kunci Jawaban: A
x2 y2 2x 4y 4 0
(x 1)2 1 (y 2)2 4 4
(x 1)2 (y 2)2 9
Pusat (1,2) dan r 9 3
Sejajar dengan 5x 12y 15 0
5x 12y 15 0 y 115 15 5
12 12 12x m
sejajar : m1
m2
5
12
Persamaan garis singgung lingkaran adalah:
25 5
2 1 3 112 12
y x
5 392 1
12 12y x
12y 24 5x 5 39
12y 5x 29 39
y1
29 395 5 17
12 12 12 3x x
y2
29 395 5 5
12 12 12 6x x
12. Kunci Jawaban: E
1 5
4
5
U
r
Panjang lintasan U1
U2
U3
. . . S
45
4 5 525
1 451S
rJadi panjang lintasan 25 meter.
13. Kunci Jawaban: B
U1
10 , U3
150
2b 150 110 b 20
U15
a 14b 110 14(20) 390
14. Kunci Jawaban: E
1
31 2
24 31
2 2 2 1 1
A B C
A
32
2 2 2 8 4
2 0 5 21 1
x yx y
2 (x 2y)3
2 ( 2x y) 8
2x 4y 3x 3
2 y 8
x 5
2 y 8 . . . (i)
x 2y ( 2x y) 5
x y 5 . . . (ii)
(i) dan (ii) x 5
2y 8
x y 5
3
2y 3
y 2
Substitusi y 2 ke (ii)
x 2 5 x 3
maka nilai x y 3, 2 5
15. Kunci Jawaban: E
A a (3, 2, 1), B b (2, 1, 3)
C c (2, m, n)
a c 3 (3, 2, 1) · (2, m, n) 3
6 2m n 3 2m n 3 . . . (i)
b c 2 (2, 1, 3) (2, m, n) 2
4 m 3n 2 m 3n 6 . . . (ii)
(i) dan (ii)
2m n 3 1 2m n 3
m 3n 6 2 2m 6n 12
5n 15 n 3
Substitusi n 3 ke (i)
2m 3 3
2m 6 m 3
Jadi C c (2, 3, 3)
AC (2, 3, 3) (3, 2, 1) ( 1, 5, 2) p
AB (2, 1, 3) (3, 2, 1) ( 1, 3, 4) q
Proyeksi skalar ortogonal p pada q.
2 2 2
p q ( 1, 5, 2)( 1, 3, 4)
q ( 1) ( 3) ( 4)
1 15 8 8 8 426 26
26 131 9 16 26
16. Kunci Jawaban: C
Garis: 4x y 5 0
13
13
1 13 3
4 13 3
3 0 0 1
0 3 1 0
0 3 3
3 0 3
3
3
4 5 0
5 0
4 15 0
x xy y
x yy x
y y y x
y x x
y x
y x
y xPeta garisnya adalah x 4y 15 0
17. Kunci Jawaban: D
Nilai jual barang tahun 2003 mNilai jual barang tahun 2007 m(1 p)7
Kunci dan Pembahasan Soal Ujian Nasional 95
18. Kunci Jawaban: D
2
123 32 2
9 2lim lim
4 7 17 2
2
x xx x
x x x
2 2
3 3lim 2 7 2 lim 7
x xx x
2 16 2 4 8
19. Kunci Jawaban: C
2 2
4 4
1 sin2 1 sin2lim lim
cos 2 1 sin 2x x
x xx x
4
1 sin 2lim
1 sin 2 1 sin 2x
xx x
4
1lim
1 sin2x x
1 1
1 1 2
20. Kunci Jawaban: C
g(x) 3x 1
f(g(x)) 9x2 12x 8
f(3x 1) 9x2 12x 8
f( 2) . . .
f(3x 1) (3x 1)2
6x 1 12x 8
(3x 1)2
6x 7
(3x 1)2
2 (3x 1) 5
f(x) x2 2x 5
f( 2) ( 2)2
2 ( 2) 5
4 4 5 13
21. Kunci Jawaban: D
V a2 t 32
V minimum, maka V 0
Misalkan:m a2 m 2an t n 1
• V 2at a2· 1 0
a22at
a 2t• V ( 2t)2
· t 32
4t3 32
t3 8
Jadi, t 2 atau t 42
.
22. Kunci Jawaban: E
Misalkan biaya proyek B(x)
B(x) x (3x 900 120
x ) 3x2 900x 120
Biaya proyek minimum : B (x) 0
6x 900 0
6x 900
x 150
Jadi, agar biaya proyek minimum harus diselesaikan dalam
150 hari.
23. Kunci Jawaban: D
y cos (3 4x2)2
cos (9 24x2 16x4
)
Misalkan: u 9 24x2 16x4
u' 48x 64x3
y cos 4 y' sin u
3sin ( 48 64 )dy dy u x xdx du
16x (3 4x2) sin 4
16x (3 4x2) sin (9 24x2
16x4)
16x (3 4x2) sin (3 4x2
)2
24. Kunci Jawaban: D
( 5) 4 3x x dx
Misalkan: u x 5 dan u' 1
dv31
2 229
(4 3 ) (4 3 )x dx v x
3 32 2
3 52 2
32
1 29 9
2 2 29 9 15
2 29 15
( 5) 4 3
( 5) (4 3 ) (4 3 )
( 5) (4 3 ) (4 3 )
(4 3 ) ( 5) (4 3 )
x x dx
x x x dx
x x x C
x x x C
25. Kunci Jawaban: A
y x x2 2
x2 x 2 0
(x 2)(x 1) 0
x 2 atau x 1
12
2
12
2
12 31 1
2 3 2
2 3 2 31 1 1 12 3 2 3
81 12 3 3
91 1 16 3 2 2
( 2)
2
2
1 1 2 1 ( 2) ( 2) 2( 2)
2 2 4
1 ( 3 ) 4
L x x dx
x x dx
x x x
26. Kunci Jawaban: A
3sin cosx x dx Misalkan u sin x
du cos x dxSehingga,
3 3sin cosx x dx u du
41
4u C
41sin
4x C
27. Kunci Jawaban: D
Volume tabung VT2r t
3,14 x 102 x 20
6280 cm3
Volume bola VB34
3r
343,14 10
3
4186,7 cm3
y
x
y x2 2
y xx 2
Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA96
Volume air VT VB
6280 4186,7
2093,3 cm3
28. Kunci Jawaban: A
12
2 2 2 2
2 2 2 2 2
8 2, 4 2
8 4
80
( 80) (4 2)
80 32
112
4 7
CH HI CH
HM HE EM
MI HM HI
MI
29. Kunci Jawaban: B
Sudut antara TPQ dan PQR adalah sudut TOR.
tan TOR3
25
TROR
OR 1 12 2
10 5QR
A B
D C
H G
E F
M
I
8
8
8
T
Q
P
OR 90
10
10
III. q p q pq r q r
tan TOR3 2
5 5
TR
TR 3 2
30. Kunci Jawaban: D
I. p qq rp r
soal: p qq rr p
II. p qp
p qq r
q
Soal: p qpq
p qq rp q
Soal: q pq rp q
Argumen yang benar adalah II dan III.
PT LITERATUR MEDIA SUKSES 117
1. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
2 log x log (2x 5) 2 log 2 adalah . . . .
A. 2 x 10 D. 52< x 0
B. 2 < x < 10 E. 0 10x
C. 52
x < 10
2. Keliling segitiga ABC pada gambar adalah 8 cm.
Panjang sisi AB adalah . . . .
A. 4 2 cm
B. 4 2 cm
C. 4 2 2 cm
D. 8 2 2 cm
E. 8 4 2 cm
3. Tujuh tahun lalu umur Ayah sama dengan 6 kali
umur Budi. Empat tahun yang akan datang 2 kali
umur Ayah sama dengan 5 kali umur Budi
ditambah 9 tahun. Umur Ayah sekarang adalah
. . . .
A. 39 tahun D. 54 tahun
B. 43 tahun E. 78 tahun
C. 49 tahun
4. Tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun rumah
tipe A dan tipe B. Untuk rumah tipe A diperlukan
100 m2 dan tipe B diperlukan 75 m
2. Jumlah
rumah yang dibangun paling banyak 125 unit.
Keuntungan rumah tipe A adalah Rp6.000.000,00
per unit dan tipe B adalah Rp4.000.000,00 per
unit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh
dari penjualan rumah tersebut adalah . . . .
A. Rp550.000.000,00
B. Rp600.000.000,00
C. Rp700.000.000,00
D. Rp800.000.000,00
E. Rp900.000.000,00
5. Sebuah kapal berlayar ke arah timur sejauh
30 mil. Kemudian kapal melanjutkan perjalanan
dengan arah 30° sejauh 60 mil. Jarak kapal
C
A B
terhadap posisi saat kapal berangkat adalah
. . . .
A. 10 37 mil D. 30 (5 2 3) mil
B. 30 7 mil E. 30 (5 2 3) mil
C. 30 (5 2 2) mil
6. Nilai dari tan 165° adalah . . . .
A. 2 3 D. 2 3
B. 1 3 E. 2 3
C. 1 3
7. Nilai x yang memenuhi persamaan
22 3 cos 2 sin cos 1 3 0x x x u n t u k
0 x 360 adalah . . . .
A. 60°, 240°, 270°, 330°
B. 60°, 150°, 270°, 330°
C. 60°, 120°, 150°, 300°
D. 30°, 120°, 210°, 300°
E. 30°, 150°, 240°, 330°
8. Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola biru
dan 3 bola kuning. Dari dalam kotak diambil
3 bola sekaligus secara acak, peluang terambil
2 bola merah dan 1 bola biru adalah . . . .
A. 110
D. 211
B. 536
E. 411
C. 16
12.
1817161514131211109
65
10,5 15,5 20,5 25,5 30,5 35,5
Data
Frekuensi
118 PT LITERATUR MEDIA SUKSES
Nilai rataan dari data pada diagram tersebut adalah
. . . .
A. 23 D. 28
B. 25 E. 30
C. 26
10. Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 4) dan
menyinggung garis 3x 4y 2 0 adalah . . . .
A. x2 y2 3x 4y 2 0
B. x2 y2 4x 6y 3 0
C. x2 y2 2x 8y 8 0
D. x2 y2 2x 8y 8 0
E. x2 y2 2x 8y 16 0
11. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran
x2 y2 25 yang tegak lurus garis
2y x 3 0 adalah . . . .
A. 512 2
5y x
B. 12
5 5y x
C. 2 5 5y x
D. y 2x 5 5
E. y 2x 5 5
12. Seutas tali dipotong manjadi 7 bagian dan panjang
masing-masing potongan membentuk barisan
geometri. Jika panjang potongan tali terpendek
sama dengan 6 cm dan panjang potongan tali
terpanjang sama dengan 384 cm, panjang
keseluruhan tali tersebut adalah . . . .
A. 378 cm D. 762 cm
B. 390 cm E. 1.530 cm
C. 570 cm
13. Seorang anak menabung di suatu bank dengan
selisih kenaikan tabungan antarbulan tetap. Pada
bulan pertama sebesar Rp 50.000,00 bulan kedua
Rp55.000,00, bulan ketiga Rp60.000,00 dan
seterusnya. Besar tabungan anak tersebut selama
dua tahun adalah . . . .
A. Rp 1.315.000.00 D. Rp 2.580.000,00
B. Rp 1.320.000.00 E. Rp 2.640.000,00
C. Rp 2.040.000.00
14. Matriks X berordo (2 2) yang memenuhi
1 2 4 3
3 4 2 1X adalah . . . .
A.6 5
5 4D.
4 2
3 1
B.5 6
4 5E.
12 10
10 8
C.6 5
5 4
15. Diketahui A(1, 2, 3), B(3, 3, 1), dan C(7, 5, 3).
Jika A, B, dan C segaris (kolinier), perbandingan
AB : BC . . . .
A. 1 : 2 D. 5 : 7
B. 2 : 1 E. 7 : 5
C. 2 : 5
16. Persamaan peta suatu kurva oleh rotasi pusat O
bersudut 12
, dilanjutkan dilatasi [0, 2] adalah
x 2 y y2Persamaan kurva semula
adalah . . . .
A. y 12
x2 x 4
B. y 12
x2 x 4
C. y 12
x2 x 4
D. y 2x2 x 1
E. y 2x2 x 1
17. Setiap awal tahun Budi menyimpan modal sebesar
Rp1.000.000,00 pada suatu bank dengan bunga
majemuk 15% per tahun. Jumlah modal tersebut
setelah akhir tahun kelima adalah . . . .
A. Rp1.000.000,00 (1,15)5
B. Rp1.000.000,00 5(1,15 1)
0,15
C. Rp1.000.000,00 4(1,15 1)
0,15
D. Rp1.150.000,00 5(1,15 1)
0,15
E. Rp1.150.000,00 4(1,15 1)
0,15
18.0
4lim
1 2 1 2x
xx x . . . .
A. 2 D. 2
B. 0 E. 4
C. 1
19.30
sin 3 sin 3 cos 2lim
2x
x x xx
. . . .
A. 12
D. 2
B. 23
E. 3
C. 32
20. Persamaan gerak suatu partikel dinyatakan
dengan rumus ( ) 3 1s f t t (s dalam meter
dan t dalam detik). Kecepatan partikel tersebut
pada saat t 8 detik) adalah . . . .
PT LITERATUR MEDIA SUKSES 119
A. 310
m/det D. 3 m/det
B. 35
m/det E. 5 m/det
C. 32
m/det
21. Kawat sepanjang 120 m akan dibuat kerangka
seperti pada gambar. Agar luasnya maksimum
panjang kerangka (p) tersebut adalah . . . .
A. 16 m
B. 18 m
C. 20 m
D. 22 m
E. 24 m
22. Suatu perusahaan menghasilkan produk yang
dapat diselesaikan dalam x jam, dengan biaya
per jam (4x 800 120x
) ratus ribu rupiah. Agar
biaya minimum, produk tersebut dapat
diselesaikan dalam waktu . . . .
A. 40 jam D. 120 jam
B. 60 jam E. 150 jam
C. 100 jam
23. Turunan dari 2 23 cos (3 5 )x x adalah
F (x) . . . .
A.13 2 22
3cos (3 5 ) sin (3 5 )x x x x
B.13 22
3(6 5) cos (3 5 )x x x
C.13 2 22
3cos (3 5) sin (3 5 )x x x
D. 2 2 2323
(6 5) tan (3 5 ) cos (3 5 )x x x x x
E. 2 2 2323
(6 5) tan (3 5 ) cos (3 5 )x x x x x
24.1
2
0
3 3 1x x dx . . . .
A. 72
D. 43
B. 83
E. 23
C. 73
25.
Luas daerah yang diarsir pada gambar
adalah . . . .
p
l
l
x 2y 0
x2 2x y 0
O 1 2
1
y
x
A. 916
satuan luas D. 18
2 satuan luas
B. 2 satuan luas E. 38
2 satuan luas
C. 12
2 satuan luas
26.5cos x dx . . . .
A.61
6cos sinx x C
B.61
6cos sinx x C
C.3 52 1
3 5sin sin sinx x x C
D.3 52 1
3 5sin sin sinx x x C
E.3 52 1
3 5sin sin sinx x x C
27. Pada kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk
a satuan, terdapat bola luar dinyatakan B1 dan
bola dalam dinyatakan B2. Perbandingan volume
bola B1 dan bola B2 adalah . . . .
A. 3 3 : 1 D. 3 : 1
B. 2 3 : 1 E. 2 : 1
C. 3 : 1
28. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang
rusuk 3 cm dan titik T pada AD dengan panjang
AT 1 cm. Jarak A pada BT adalah . . . .
A. 12
cm D. 2 cm
B. 13
3 cm E. 23
3 cm
C. 12
3 cm
29. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm.
Titik P dan Q masing-masing terletak pada
pertengahan CG dan HG. Sudut antara BD dan
bidang BPQE adalah , nilai tan . . . .
A. 38
2 D. 32
2
B. 17
79 E. 2 2
C. 79
30. Diketahui premis-premis berikut ini.
1. Jika Budi rajin belajar maka ia menjadi pandai.
2. Jika Budi menjadi pandai maka ia lulus ujian.
3. Budi tidak lulus ujian.
Kesimpulan yang sah adalah . . . .
A. Budi menjadi pandai.
B. Budi rajin belajar.
C. Budi lulus ujian.
D. Budi tidak pandai.
E. Budi rajin belajar.
PT LITERATUR MEDIA SUKSES 129
1. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan2log (x2 2x) 3 adalah . . . .
A. {x 4 x 2 atau x 0}
B. {x 2 x 0 atau 2 x 4}
C. {x 0 x 2 atau x 4}
D. {x x 2 atau 4 x 0}
E. {x x 4 atau x 2}
2. Keliling trapesium PQRS pada gambar adalah
14 cm. Panjang RS adalah . . . .
A. 4 2 2 cm
B. 4 2 cm
C. 8 2 2 cm
D. 8 2 cm
E. 2 2 cm
3. Umur Sultan dan Ari berselisih enam tahun.
Delapan belas tahun lagi jumlah umur mereka sama
dengan umur Ayah. Empat tahun yang lalu jumlah
umur mereka sama dengan setengah umur Ayah.
Jumlah umur Sultan, Ari, dan Ayah sekarang
adalah . . . .
A. 48 tahun D. 76 tahun
B. 42 tahun E. 78 tahun
C. 60 tahun
4. Sebuah pabrik mempunyai kayu, plastik, dan kaca
masing-masing 2.400 kg, 3.700 kg, dan 1.300 kg.
Produk A memerlukan kayu, plastik, dan kaca.
Masing-masing 1 kg, 3 kg, dan 2 kg. Produk Bmemerlukan masing-masing 3 kg, 4 kg, dan 1 kg.
Jika produk A dijual seharga Rp40.000,00 dan
produk B seharga Rp60.000,00 maka pendapatan
maksimum pabrik tersebut adalah . . . .
A. Rp 64.000.000,00
B. Rp 62.000.000,00
C. Rp 54.000.000,00
D. Rp 48.000.000,00
E. Rp 46.000.000,00
5. Sebuah mobil melaju ke arah Barat 15 km.
Kemudian mobil melanjutkan perjalanan dengan
arah 150º sejauh 10 km. Jarak mobil terhadap
posisi saat mobil berangkat adalah ....
A. 5 13 6 3 km
B. 5 13 6 3 km
C. 5 13 6 2 km
D. 5 13 6 7 km
E. 5 7 km
6. Nilai dari sin 255º adalah . . . .
A. 2 6
B.1
2 64
C.1
2 64
D.1
6 24
E.1
6 24
7. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
sin 2x sin x, untuk 0 x 2 adalah . . . .
A. {x 0 x3
atau x 2 }
B. {x 0 x6
atau x 23
1 }
C. {x6
x atau 56
1 x 2 }
D. {x x6
atau x 56
1 }
E. {x3
x atau 23
1 x 2 }
8. Dari 6 ahli kimia dan 5 ahli biologi, dipilih 7 anggota
untuk sebuah panitia, di antaranya 4 adalah ahli
kimia. Banyaknya cara yang dapat dilakukan
P Q
R ST
130 PT LITERATUR MEDIA SUKSES
dalam pemilihan itu adalah . . . .
A. 25 D. 300
B. 50 E. 600
C. 150
9.
Rataan dari data pada diagram adalah . . . .
A. 153,5 D. 149
B. 152 E. 148,5
C. 151
10. Salah satu persamaan garis singgung yang
bersudut 120° terhadap sumbu x pada lingkaran
dengan ujung diameter titik (7, 6) dan (1, 2)
adalah . . . .
A. y x 3 4 3 12
B. y x 3 4 3 8
C. y x 3 4 3 4
D. y x 3 4 3 8
E. y x 3 4 3 4
11. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran
2 2+ -2 +4 -4=0x y x y yang sejajar dengan garis
5 -12 +15=0x y adalah . . . .
A.5 5
12 6y x
B.5 5
6 12y x
C.5 17
12 3y x
D.5 17
4 3y x
E.5 5
4 12y x
12. Sebuah kelereng jatuh dari ketinggian 5 m dan
memantul kembali dengan ketinggian 45
kali tinggi
sebelumnya, demikian seterusnya sampai kelereng
berhenti. Panjang lintasan kelereng adalah . . . .
A. 55 m D. 40 m
B. 50 m E. 25 m
C. 45 m
10
8
5
33
5
8
10
9
4
134,5 139,5 144,5 149,5 154,5 159,5 164,5
f
13. Grafik hasil produksi suatu pabrik per tahun
merupakan suatu garis lurus. Jika produksi pada
tahun pertama 110 unit dan pada pada tahun ketiga
150 unit, maka produksi tahun ke-15 adalah ....
A. 370 D. 430
B. 390 E. 670
C. 410
14. Diketahui matriks A 2 3
2 4,
B2 2
2 0
x yx y dan C
8 4
5 2.
Jika A 1B C dan A 1 invers matriks A, maka
nilai x y . . . .
A. 5 D. 3
B. 3 E. 5
C. 1
15. Diketahui titik A(3, 2, 1), B(2, 1, 3), C(2, m, n)
dan vektor _ _ _
a, b, c berturut-turut vektor posisi titik
A, B, C. Jika a c 3, b c 2, AC_
p dan
AB q , maka proyeksi skalar ortogonal vektor
_
p pada q adalah . . . .
A. 1214
28 D. 813
26
B. 1114
28 E. 413
26
C. 1213
26
16. Persamaan peta garis 4x y 5 0 karena rotasi
pusat O sebesar 32
dilanjutkan dilatasi [0, 3]
adalah . . . .
A. x 4y 5 0 D. x 4y 5 0
B. x 4y 15 0 E. x 4y 15 0
C. x 4y 15 0
17. Suatu barang diperkirakan akan mengalami
pengurangan harga setiap tahunnya sebesar p%.
Jika nilai jual barang tersebut pada tahun 2003
adalah M rupiah, maka nilai jual barang itu pada
tahun 2010 adalah . . . .
A.
7
1 rupiah100
pM M
B.
8
1 rupiah100
pM M
C.
7
1 rupiah100
pM
PT LITERATUR MEDIA SUKSES 131
D.
6
1 rupiah100
pM
E.
8
1 rupiah100
pM
18.
2
23
9lim . . . .
4 7x
x
x
A. 0 D. 8
B. 5 E. 10
C. 6,5
19. 2
4
1 sin 2lim . . . .
cos 2x
xx
A.1
2D.
1
4
B. 0 E.1
16
C.1
2
20. Diketahui: g(x) 3x 1
f(g(x)) 9x2 12x 8.
Nilai f( 2) . . . .
A. 17 D. 9
B. 15 E. 5
C. 13
21. Dari selembar karton akan dibuat kotak tanpa tutup
yang alasnya berbentuk persegi dengan volume
32 m3. Supaya karton yang diperlukan minimum
maka tinggi kotak adalah . . . .
A. 12
m D. 42
m
B. 22
m E. 82
m
C. 32
m
22. Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat
diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek
per hari 1203 900x
x ratus ribu rupiah. Agar
biaya proyek minimum, maka proyek tersebut
diselesaikan dalam waktu . . . .
A. 40 hari D. 120 hari
B. 60 hari E. 150 hari
C. 90 hari
23. Turunan pertama dari y cos (3 4x2)2 adalah
y . . . .
A. 2 sin (3 4x2)
B. 16x sin (3 4x2)
C. 16x sin (3 4x2)2
D. 16x(3 4x2) sin (3 4x2)2
E. 16x(3 4x2) sin (3 4x2)2
24. Hasil 5 4 3x x dx . . . .
A.322 2
9 154 3 {( 5) (4 3 )}x x x C
B.13222
94 3 {( 5) (4 3 ) }x x x C
C.322
94 3 {( 5) (4 3 )}x x x C
D.322 2
9 154 3 {( 5) (4 3 )}x x x C
E.13222
94 3 {( 5) (4 3 ) }x x x C
25. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y x2 2,
y x, x 2 dan sumbu -y adalah . . . .
A. 92
satuan luas D. 52
satuan luas
B. 103
satuan luas E. 23
satuan luas
C. 83
satuan luas
26.3sin cos ....x x dx
A.41
sin4
x C D.21
sin3
x C
B.41
cos4
x C E.41
sin3
x C
C.21
cos4
x C
27. Sebuah tabung berjari-jari 10 cm dan tinggi 20 cm
diisi air sampai penuh. Sebuah bola kaca padat
berdiameter 20 cm, dimasukkan ke dalam tabung
tersebut. Volume air yang masih ada dalam tabung
tersebut . . . .
A. 6.280 cm3 D. 2.093,3 cm3
B. 4.186,7 cm3 E. 10.466,7 cm3
C. 4.186,6 cm3
28. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm.
Jika M titik tengah AE maka jarak M dan CHadalah . . . .
A. 4 7 cm D. 2 19 cm
B. 4 6 cm E. 6 2 cm
C. 4 5 cm
132 PT LITERATUR MEDIA SUKSES
29. Diketahui bidang empat T.PQR, TR tegak lurus
bidang PQR, PRQ 90° dan PR QR 10 cm.
Jika tan (TPQ, PQR) 35
2 , maka TR . . . .
A. 4 cm D. 5 2 cm
B. 3 2 cm E. 8 cm
C. 6 cm
30. Diketahui argumentasi
I. p q II. p q III. q p q r p q r
r p q p rYang merupakan argumentasi sah adalah . . . .
A. Hanya I D. Hanya II & III
B. Hanya I & II E. Hanya III
C. Hanya I & III