Universitas Jenderal Achmad Yani 1

BAB II2.1 Bidang Bilangan dan Grafik Persamaan

Universitas Jenderal Achmad Yani 2

• Definisi.Himpunan semua pasangan terurut bil. riil dinamakan bidang bilangan, dan bidang bilangan dinyatakan dg R2. Setiap pasangan terurut (x,y) dinamakan titik di dalam bidang bilangan.

y

y1 P: (x1 , y1)

y1 ( ordinat P )KW II KW I

O x

KW III KW IV

x1 ( absis P )

x1

• Sumbu mendatar: sumbu-x

Sumbu tegak: sumbu-y. • Kedua sumbu dsb sumbu koordinat. • Perpotongan sumbu: titik asal O:(0,0).

• Titik P(x1,y1): pasangan terurut x1 dan y1.

Jarak P ke sumbu-y : x1, dsb absis P

Jarak P ke sumbu-x : y1, dsb ordinat P.

• Kedua sumbu koordinat membagi bidang atas empat bagian yang dinamakan kuadran.

3

Definisi

• Grafik suatu persamaan di R2 adalah himpunan semua titik (x,y) di R2 yang bilangan koordinatnya memenuhi persamaan tersebut.

• Grafik suatu persamaan disebut juga tempat kedudukan atau kurva dari persamaan tersebut.

Contoh. Sketsa grafik persamaan: (x – 2y + 3 ) ( y – x2 ) = 0

x y = ½ x + 3/2 y = x2

-3 0 9-2 ½ 4-1 1 10 3/2 01 2 12 5/2 43 3 9… … …

y y-x2=09

x-2y+3 = 03

x-3 -2 -1 0 1 2 3

(-3,9)

Universitas Jenderal Achmad Yani

Universitas Jenderal Achmad Yani 4

Cth. Gambar skets grafik persamaan : y = x-2 Jawab:

x -1 0 1 2 3 4

y 3 2 1 0 1 2

02xbila2x02xbila2x

)(

)(

2xbilax22xbila2x

y = x-2

untuk x < 2:y =2-x

untuk x 2:y = x-2

y

y= 2-x

y= x-2

x0 3 4

1

3

2

-1 1 2

Universitas Jenderal Achmad Yani 5

Teorema. ( Uji Kesimetrian )

Grafik persamaan akan:

• simetri terhadap sumbu-x

• simetri terhadap sumbu-y

• simetri terhadap titik asal

C: (- x,y) A:(x,y)

O

D:(-x,-y) B:(x, - y)

f(-x,y) = f(x,y)

f(x,- y) = f(x, y)

f(-x, -y) = f(x,y)

Universitas Jenderal Achmad Yani 6

Contoh • Grafik persamaan y = x2 simetri terhadap sumbu-y,• Grafik persamaan y = x3 simetri terhadap titik asal,• Grafik persaman y2 – x = 0 simetri terhadap sumbu-x.

f(x,y) : y = x²

f(-x,y) : y = (-x)² = x² : f(x,y)

Simetri thdp sb-y

)y,x(f:xyx)y(:)y,x(f

xy:)y,x(f22

2

Simetri thdp sb-x

Universitas Jenderal Achmad Yani 7

1.8 Rumus Jarak, Titik Tengah, dan Lingkaran

Teorema. ( Jarak )

Jarak titik P:(x1,y1) dan Q:(x2,y2)

ditentukan oleh :

PQ =

y

Q : (x2 ,y2)

y2

y 2- y 1

P:(x1,y1)

y1 x2-x1

xx1 xt x2

y t T

212

212 )yy()xx(

Titik Tengah ruas garis PQ adalah

T : (xt , yt ) =

2

yy,

2

xx 2121

Contoh.Buktikan bhw segitiga dg titik sudut P:(3,-6), Q: (8,- 2), dan R: (-1,-1) adalah suatu segitiga siku-siku.

Universitas Jenderal Achmad Yani 8

Jawab:P:(3,-6), Q: (8,- 2), dan R: (-1,-1) Jarak dua titik merupakan panjang sisi segitiga.

412514))6(1()31(PR

82181))2(1()81(QR

411625))6(2()38(PQ

22

22

22

PdisikusikuPQRberartiIni

)Phitagorasdalilberlaku(PRPQQR

:Bahwa222

Universitas Jenderal Achmad Yani 9

Persamaan garis melalui dua titik P:(x1,y1) dan Q:(x2,y2) ?

Definisi.Jika garis g melalui dua titik P(x1,y1) dan Q(x2,y2) yang tidak sejajar dg sumbu-y, maka kemiringan garis g , dinyata-kan dg m, ditentukan oleh:

m = …. (1.9.1)

y

Q: (x2,y2)

y2- y1

R (x2, y1 )

x2-x1 x

O

y2

y1

x1 x2

P:(x1,y1)

α

Kemiringan garis = tanjakan, slope, garis tangen, atau gradien garis.

12

12

xx

yy

Misalkan α sudut yang dibentuk garis dengan sumbu-x positif Gradien: m = tan α

Universitas Jenderal Achmad Yani 10

Dari sifat ketunggalan gradien, diperoleh:

Teorema. Pers. garis yg melalui dua titik P(x1,y1) dan Q(x2,y2) adalah

…. (*)

12

12

1

1

xx

yy

xx

yy

)xx)(

xx

yy(yy 1

12

121

1112

12 y)xx)(xx

yy(y

1112

12 y)xx)(xx

yy(y

• AkibatPersamaan garis dengan gradien m dan melalui titik A:(a,b) adalah: baxmy )(

Universitas Jenderal Achmad Yani 11

Cth. 1Tentukan persamaan garis yang melalui titik (6, -3 ) dan ( -2, 3).Jawab:

Cth. 2Tentukan persamaan garis yang melalui titik (6, -3 ) dan membentuk sudut ¼ π radian dengan sumbu-x positif.

Jawab:

3047x3atau30x3y4atau4

30x

4

3y

34

18x

4

33)6x(

4

33)6x(

62

)3(3y

:garis.Pers

3y,3y,2x,6x 2121

9xyatau9x3)6x(1b)ax(my

:garis.persJadi

3b,6a)3,6(titikmelaluiGaris

1tantanm:garisGradien41

12

• Bentuk Lain Persamaan Garis LurusPersamaan Ax + By + C = 0 , dimana A,B, dan C konstanta; A dan B tidak keduanya nol, adalah persamaan garis lurus

Ax + By + C = 0 By = – A x – C y = (– A/B) x – (C/B)

B

Am

tanm

:gradien

Jika x = 0, maka y = - C/B → garis melalui titik M: (0, - C/B)→ titik potong dg sb-y

Jika y = 0, maka x = - C/A

→ garis melalui titik N: (- C/A, 0)→ titik potong dg sb-x

y

M:(0, -C/B)

α xO

N:(-C/A,0)

Universitas Jenderal Achmad Yani

Universitas Jenderal Achmad Yani 13

Hubungan dua garisMisalkan garis g dan l mempunyai gradien masing-masing mg dan ml

g sejajar l ↔ mg = ml

g tegak lurus l ↔ mg .ml = - 1

gl g

α α l

Universitas Jenderal Achmad Yani 14

Cth. 4Dengan menggunakan kemiringan garis, buktikan bhw keempat titik A: (6,2), B: (8,6), C: (4,8), dan D: (2,4) titik sudut suatu persegi panjang.

Cth. 5Garis g dengan pers. 2x + 3y – 5 = 0. Tentukan suatu pers. garis yang tegak lurus garis g dan melalui titik A:( - 1, 3)

Petunjuk: Tunjukkan bahwa gradien garis dari sisi yang berhadapan sama (sejajar)Kemudian tunjukkan bahwa sudut persegi adalah siku-siku

Misal garis yang dicari: garis l . Karena keduanya tegak lurus, maka: 1m.m gl

32

g

35

32

mgradien

Mempunyai.xy5x2y305y3x2:ggrs

23

32lgl1

m1m.m:demikianDengan

9x3y2atau4x3)1x(b)ax(my

:adalahlgaris.Pers

21

23

23

Universitas Jenderal Achmad Yani 15

Persamaan Lingkaran

Misalkan C: (a,b) menyatakan pusat lingkaran dan r sebagai jari-jari lingkaran, maka untuk sebarang titik P(x,y) pada lingkaran berlaku: Jarak P dan C = jari-jari lingk. PC = r

Lingkaran adalah himpunan semua titik di bidang yang berjarak tetap (sama) dari suatu titik tetap. Titik tetap tersebut dinamakan pusat dan jarak yang tetap dinamakan jari-jari lingkaran.

y

P :(x,y)

rb

C :(a,b)

x

O ar)by()ax( 22

222 r)by()ax( Persamaan lingkaran dengan pusat C:(a,b) dan jejari r

Universitas Jenderal Achmad Yani 16

Dengan menjabarkan persamaan sebelumnyadiperoleh:( x – a )2 + ( y – b )2 = r2 x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2

x2 + y2 – 2ax – 2by + (a2 + b2 - r2) = 0 x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Menghasilkan : A = -2a atau a = - ½ A , B = -2b atau b = - ½ B , dan

C = a2 + b2 - r2 atau r =

=

C)B()A( 2212

21

CBA 2412

41

Teorema.

Persamaan x2 + y2 + Ax + By + C = 0 adalah perssamaan lingkaran

dengan pusat C:(- ½ A, - ½ B) dan jari-jari r = CBA 2412

41

Universitas Jenderal Achmad Yani 17

Cth. 6

• Persamaan x2 + y2 + 6x – 2y – 15 = 0 adalah persamaan lingkaran dengan pusat C : ( - 3 , 1 ) dan jari-jari r = 5 .

• Tentukan pers. lingkaran yang melalui titik (4,5), (3,-2), dan (1,-4).

Jawab:

Petunjuk: Gunakan rumus pada teorema sebelumnya

Misalkan persamaan lingkaran: x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Melalui (4, 5) ==> 14 + 25 + 4A + 5B + C = 0 .... (1)

Melalui (3, -2) ==> 9 + 4 + 3A – 2B + C = 0 .... (2)

Melalui (1, -4) ==> 1 + 16 + A – 4B + C = 0 .... (3)

Dari ketiga persamaan, dengan eliminasi atau substitusidiperoleh A, B, dan C, sehingga persamaan lingkaran adalah:x2 + y2 + 7x - 5y - 44 = 0

Universitas Jenderal Achmad Yani 18

HUBUNGAN LINGKARAN DAN GARIS

Berpotongan pada dua titik: D > 0

Berpotongan pada satu titik(Garis menyinggung lingkaran): D = 0

Tidak berpotongan (Garis di luar lingkaran): D < 0

kuadratpersamaananmindiskri:ac4bD

:tanCata2

Universitas Jenderal Achmad Yani 19

2.2 Persamaan dan Pertidaksamaan2.3 Nilai Mutlak (Absolute)

Universitas Jenderal Achmad Yani 20

2.2 Persamaan dan Pertidaksamaan

A. Persamaan

• Persamaan adalah kalimat terbuka yg mengandung minimal satu variabel yg melibatkan pernyataan “sama dengan”.

Misalnya: x2 - 4 = 0

Nilai tertentu variabel x yang membuat kalimat bernilai benar dsb penyelesaian atau akar pers.

Misalnya, x = 2 atau x = - 2 adalah akar dari persamaan x2 – 4 =0.

Universitas Jenderal Achmad Yani 21

Cth. Persamaan• Persamaan Linear.

Bentuk umum PL: ax + b = 0 … (1)

Penyelesaian (akar)nya : x = - b/a

• Persamaan KuadratBU Pers. kuadrat : ax2 + bx + c = 0 …(2)

dimana a,b, dan c konstanta riil dan a≠0.

Penyelesaian/akar-akarnya:

, dimana: D = b2 - 4ac.a2

Dbx 2,1

• Persamaan Derajat-nBU Pers. Derajat-n : axn +an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0

dimana: ai , i=1,2,3, …,n konstanta riil dan an ≠ 0

Universitas Jenderal Achmad Yani 22

Sifat Akar Persamaan Kuadrat

Jika x1 dan x2 akar-akar PK: ax2 + bx + c = 0, maka berlaku:

Cth: Tentukan penyelesaian pers. : 2x2 – 7x +5 = 0

a

Dxx)iii

a

cx.x)ii

a

bxx)i 212121

14

37xdan

2

5

4

37x

4

37

4

97

)2(2

)5)(2(4)7()7(

a2

ac4bbx

21

22

2,1

Universitas Jenderal Achmad Yani 23

B. Pertidaksamaan.

• Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka dg minimal satu variabel yg mengandung salah satu tanda berikut:

lebih besar dari ( > ) ,lebih kecil dari ( < ) , lebih besar atau sama dengan ( ), ataulebih kecil atau sama dengan ( ).

• Bentuk Umum:

dimana P(x) dan Q(x) merupakan fungsi polinom derajat- n.

atautanda > diganti oleh tanda : < , ≥ , ≤

0xQxP )()(

Universitas Jenderal Achmad Yani 24

Cara menentukanpenyelesaian pertidaksamaan.

Menentukan solusi:

0x2x4

9x3x2x1x22

22

))((

))()((

Untuk mempermudah pemahaman, kita diskusikan melalui contoh berikut ini. Prosedur dan proses penyelesaian pertaksamaan mengacu kepada contoh tersebut.

Pembilang: P(x)

Penyebut: Q(x)

Tanda Pertidaksamaan: ≥

Universitas Jenderal Achmad Yani 25

Langkah-1:• Faktorkan pembilang P(x) dan penyebut Q(x) dalam bentuk

perkalian faktor linear, dan tentukan pembuat nol faktor.Ini untuk menentukan akar atau pembuat nol pembilang dan penyebut. Dalam hal tidak dapat difaktorkan menjadi faktor linear berarti bentuknya adalah kuadrat dan definit (definit positif atau negatif).

P(x) = (x-1)(x2-2x-3)(x2-9)

= (x-1)(x-3)(x+1)(x-3)(x+3)

= (x-1)(x+1)(x-3)2(x+3)

Pembuat nol faktor-faktor tersebut adalah: { - 3, - 2, - 1, 1, 2, 3 }Faktor berderajat ganjil adalah: (x-1), (x+1), (2+x), (2-x), dan (x+3)Faktor berderajat genap adalah: (x-3)

Q(x) = (4-x2)(2-x)2

= (2-x)(2+x)(2-x)2

= (2-x)3(2+x).

26

Langkah-2:• Nyatakan pembuat nol faktor tsb pada garis bilangan dg ketentuan:

Jika tanda pertidaksamaan memuat tanda “sama dengan” maka pembuat nol pembilang dinyatakan tertutup dan pembuat nol penyebut dinyatakan terbuka; Jika tanda pertidaksamaan soal tidak memuat sama dengan ( > atau < ) maka semua tanda pembuat nol dinyatakan terbuka, yang berarti tidak ikut.

• Kemudian tentukan salah satu tanda bagian dengan melakukan uji oleh salah satu nilai x yang diambil sembarang pada bagian itu.

-3 -2 -1 1 2 3

uji dengan x = 10

tandanya: ( - )

( - )

(x-1)(x+1)(x-3)2(x+3)

(2-x)3(2+x).X=10 )(

)()(

)()(

)())()((

3

2

Universitas Jenderal Achmad Yani

Universitas Jenderal Achmad Yani 27

Langkah-3:• Tentukan tanda bagian lain secara berurutan dari tanda bagian

yang telah ditentukan sebelumnya, dengan ketentuan berikut :

Jika melewati pembuat nol dari faktor berderajat ganjil maka tanda berubah dari tanda sebelumnya dan jika melewati pembuat nol dari faktor yang berpangkat genap maka tandanya tetap dari tanda sebelumnya.

Berubah Berubah

Berubah

-3 -2 -1 1 2 3

Tetap

BerubahBerubah

Tanda yang sudah ditentukan

Sebelumnya (Langkah-2)

( - )( + ) ( - ) ( + ) ( - ) ( + ) ( - )

0)x2()x2(

)3x()3x)(1x)(1x(3

2

Universitas Jenderal Achmad Yani 28

Langkah-4:Arsir daerah penyelesaian kemudian terjemahkan dalam bentuk himpunan, dengan ketentuan berikut:• Arsir daerah positif jika tanda soal pertidaksamaan atau > dan • Arsir daerah negatif jika tanda pertidaksamaan soal adalah atau < .

Dalam contoh ini, arsir daerah bertanda (+) karena soal pertidaksamaan bertanda “ 0 “.

-3 -2 -1 1 2 3

( - )( + ) ( - ) ( + ) ( - ) ( + ) ( - )

HP = { x/ x -3 atau -2 < x -1 atau 1 x < 2 atau x = 3 }

Universitas Jenderal Achmad Yani 29

Cth. Tentukan solusi dari:

1. 3 – 2x 9 + 4x

2.

3.

0)3x(

)4x)(2x(5

2

7x23

x4

Soal LatihanTentukan penyelesaian dari pertidaksamaanBuatlah ilustrasinya pada garis bilangan riil.

132

11

xx

0.4 3

2

)3x(

)2x)(1x(

0.5 43

2

)1x()2x(3x2x

Universitas Jenderal Achmad Yani 30

2.3 Nilai Mutlak

Notasi yang digunakan adalah:

0xjika,x

0xjika,xx

Secara geometri,Nilai mutlak atau nilai absolut dari bilangan riil x didefinisikan sebagai jarak dari x terhadap 0.

Berarti nilai mutlak dari setiap bil. selalu bernilai tak negatif.

Ini berarti:

4= 4 , - 4= - (- 4) = 4 , 0= 0

Universitas Jenderal Achmad Yani 31

Sifat-Sifat Nilai Mutlak.

Misalkan x dan y bilangan riil dan a bilangan riil positif, maka:

1. -x x x

2. x2 = x2

3. x y=xy

4. x / y= x/y , asalkan y≠ 0

5. x + y x+y

6. xy x2 y2

Universitas Jenderal Achmad Yani 32

7. x< a - a < x < a dan x a - a x a

- a a - a a x < a - a < x < a x a - a x a

8. x > a x < - a atau x > a dan x a x - a atau x a

- a a - a a a a

Universitas Jenderal Achmad Yani 33

Jawab:

Cara 1 : Menggunakan sifat 8, diperoleh:

½ x + 1 > 4 x + 1 < - 4 atau x + 1 > 4

x < - 5 atau x > 3

Jadi HP = { x/ x < - 5 atau x > 3 }

Contoh.Tentukan penyelesaian dari : x + 1 > 4

Universitas Jenderal Achmad Yani 34

Cara 2: Menggunakan sifat 2 dan 6, diperoleh:

x + 1 > 4 (x + 1)2 > (4)2

x2 + 2x + 1 > 16

x2 + 2x – 15 > 0

(x-3) (x+5) > 0

Jadi HP = { x/ x < - 5 atau x > 3 }

(+) ( - ) (+ )

- 5 3Uji dengan x = 10, maka tanda: f(10) = (+)(+) = (+)

Pembuat nol faktor : pnf = { - 5 , 3 }

Universitas Jenderal Achmad Yani 35

Contoh.Tentukan penyelesaian dari: Jawab:

52

2

x

x

Pembuat nol pembilang: { 4/3 , 3 } Pembuat nol penyebut : { 2 }

52

2

x

x 2

2

2

5)2(

)2(

x

x 0254x4x4x4x

2

2

044

)44(25442

22

xx

xxxx

0)2(

96104242

2

x

xx 0)2(

)3)(43(82

x

xx

0)(

))((82

Jadi HP = { x/ x 4/3 atau x 3 }

Jika diuji dengan x = 5, maka

Tanda f(5) = 4/3 2 3

( - )( + )( + )( - )