Post on 18-Feb-2018
7/23/2019 Kalkulus - 01 Sistem Bilangan Real
http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-01-sistem-bilangan-real 1/33
Sistem Bilangan Riil
7/23/2019 Kalkulus - 01 Sistem Bilangan Real
http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-01-sistem-bilangan-real 2/33
2
Sistem bilangan
N : bilangan
asli
Z : bilangan bulatQ : bilangan rasional
R : bilangan real
N :
1,2,3,….
Z :…,-2,-1,0,1,2,..
0,,, ≠∈= b Z bab
aq
Q :
Irasional Q R ∪=
π ,3,2
Contoh Bil rasional
7/23/2019 Kalkulus - 01 Sistem Bilangan Real
http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-01-sistem-bilangan-real 3/33
3
!aris bilangan
0 1
Setia" bilangan real mem"un#ai "osisi "a$a suatu garis #ang $isebut
$engan garis bilangan%real&
-3
2
π
'im"unan bagian $ari garis bilangan $isebut selang
Selang
7/23/2019 Kalkulus - 01 Sistem Bilangan Real
http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-01-sistem-bilangan-real 4/33
(
Selang
'im"unan selang{ }a x x < ( )a,∞−
{ }a x x ≤ ( ]a,∞−
{ }b xa x << ( )ba,
{ }b xa x ≤≤ [ ]ba,
{ }b x x > ( )∞,b
{ }b x x ≥ [ )∞,b
{ }ℜ∈ x x ( )∞∞,
)enis-*enis selang
!ra+i
a
a
a b
a b
b
b
7/23/2019 Kalkulus - 01 Sistem Bilangan Real
http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-01-sistem-bilangan-real 5/33
Si+atsi+at bilangan real
Si+at-si+at urutan :/riotomi
)ia $an # a$alah suatu bilangan, maa "asti berlau
salah satu $ari # atau # atau #4etransiti+an
)ia # $an # 5 maa 5
6eralian
7isalan 5 bilangan "ositi+ $an # maa 5 #5,se$angan bila 5 bilangan negati+, maa 5 #5
7/23/2019 Kalkulus - 01 Sistem Bilangan Real
http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-01-sistem-bilangan-real 6/33
8
Pertidaksamaan
6erti$asamaan satu 9ariabel a$alahsuatu bentu al*abar $engan satu 9ariabel#ang $ihubungan $engan relasi urutan.
Bentu umum "erti$asamaan :
$engan %&, B%&, ;%&, <%& a$alah suuban#a %"olinom& $an B%& = 0, <%& = 0
( )
( )
( )
( ) x E
x D
x B
x A<
7/23/2019 Kalkulus - 01 Sistem Bilangan Real
http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-01-sistem-bilangan-real 7/33
>
Pertidaksamaan
7en#elesaian suatu "erti$asamaan a$alah
men?ari semua him"unan bilangan real #ang
membuat "erti$asamaan berlau. 'im"unan
bilangan real ini $isebut *uga 'im"unan6en#elesaian %'6&
Cara menentuan '6 :
1. Bentu "erti$asamaan $iubah men*a$i : , $engan ?ara :0
)(
)(<
xQ
x P
7/23/2019 Kalkulus - 01 Sistem Bilangan Real
http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-01-sistem-bilangan-real 8/33
@
Pertidaksamaan
Ruas iri atau ruas anan $inolan
7en#amaan "en#ebut $an men#e$erhanaan
bentu "embilangn#a
2. ;i?ari titi-titi "eme?ah $ari "embilang $an"en#ebut $engan ?ara 6%& $an Q%& $iuraian
men*a$i +ator-+ator linier $anA atau ua$rat
3. !ambaran titi-titi "eme?ah tersebut "a$a
garis bilangan, emu$ian tentuan tan$a %, -&"erti$asamaan $i setia" selang bagian #ang
mun?ul
7/23/2019 Kalkulus - 01 Sistem Bilangan Real
http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-01-sistem-bilangan-real 9/33
Contoh :
/entuan 'im"unan 6en#elesaian
53213 ≥−≥ x
352313 +≥≥+ x
8216 ≥≥ x
48 ≥≥ x
84 ≤≤ x
[ ]8,4'" ( @
1
7/23/2019 Kalkulus - 01 Sistem Bilangan Real
http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-01-sistem-bilangan-real 10/33
10
Contoh :
/entuan 'im"unan 6en#elesaian
8462 ≤−<− x
248 ≤−<− x
248 −≥> x
842 <≤− x
22
1
<≤− x
−= 2,
2
1
22
1−
'"
2
7/23/2019 Kalkulus - 01 Sistem Bilangan Real
http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-01-sistem-bilangan-real 11/33
11
Contoh :
/entuan 'im"unan 6en#elesaian
0352 2 <−− x x
( )( ) 0312 <−+ x x
/iti 6eme?ah %/6& :21−= x $an 3= x
3
--
21−
3
'"
− 3,
2
1
7/23/2019 Kalkulus - 01 Sistem Bilangan Real
http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-01-sistem-bilangan-real 12/33
12
Contoh :
/entuan 'im"unan 6en#elesaian
637642 +≤−≤− x x x
x x 7642 −≤− 6376 +≤− x x$an
4672
+≤+ x x $an 6637
+−≤−− x x
(
109 ≤ x 010 ≤− x$an
9
10≤ x 010 ≥ x$an
9
10≤ x $an 0≥ x
7/23/2019 Kalkulus - 01 Sistem Bilangan Real
http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-01-sistem-bilangan-real 13/33
13
'" [ )∞∩
∞− ,0
9
10,
09
10
;ari gambar tersebut $a"at $isim"ulan :
'"
9
10,0
7/23/2019 Kalkulus - 01 Sistem Bilangan Real
http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-01-sistem-bilangan-real 14/33
1(
Contoh :
/entuan 'im"unan 6en#elesaian
13
2
1
1
−<
+ x x
0
13
2
1
1<
−
−
+ x x( ) ( )
( ) ( ) 0
131
2213<
−++−−
x x
x x
.
( )( ) 0
1313 <−+ − x x
x
/6 : -1,3
1− , 3
3
--
-1
--
3
1−
'" ( )
−∪−∞− 3,
3
11,
7/23/2019 Kalkulus - 01 Sistem Bilangan Real
http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-01-sistem-bilangan-real 15/33
1
Contoh :
/entuan 'im"unan 6en#elesaian
x
x
x
x
+≤
−+
32
1
032
1
≤+−−
+ x
x
x
x
( ) ( ) ( )
( )( ) 0
32
231≤
+−−−++
x x
x x x x
( ) ( ) 0
32
322 2
≤+−++
x x
x x
8.
7/23/2019 Kalkulus - 01 Sistem Bilangan Real
http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-01-sistem-bilangan-real 16/33
18
Dntu "embilang 322 2 ++ x x mem"un#ai nilai
;isriminan %;& 0, sehingga nilain#a selalu
"ositi+, )a$i /6 : 2,-3
6embilang ti$a menghasilan titi "eme?ah.
-3 2
-- --
( ) ( )∞∪−∞ ,23,'"
7/23/2019 Kalkulus - 01 Sistem Bilangan Real
http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-01-sistem-bilangan-real 17/33
1>
Pertidaksamaan nilai mutlak
Nilai mutla x %E xE& $i$e+inisian sebagai
*ara x $ari titi "usat "a$a garis bilangan,
sehingga *ara selalu bernilai "ositi+.
;e+inisi nilai mutla :
<−
≥
= 0,
0,
x x
x x
x
7/23/2019 Kalkulus - 01 Sistem Bilangan Real
http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-01-sistem-bilangan-real 18/33
1@
Pertidaksamaan nilai mutlak
Si+at-si+at nilai mutla:
y
x
y
x
=
2 x x =
a xaaa x ≤≤−↔≥≤ 0,
a xaa x ≥↔≥≥ 0, atau a x −≤↔≤ y x
22 y x ≤
8. 4etasamaan segitiga
y x y x +≤+
1
2
3
(
y x y x −≥−
7/23/2019 Kalkulus - 01 Sistem Bilangan Real
http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-01-sistem-bilangan-real 19/33
1
Contoh : 7enentuan 'im"unan
6en#elesaian
41 <<⇔ x
Contoh :
352 <− x
4ita bisa menggunaan si+at e-2.
3523 <−<−⇔ x
53235 +<<−⇔ x
822 <<⇔ x
'" ( )4,11 (
1.
7/23/2019 Kalkulus - 01 Sistem Bilangan Real
http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-01-sistem-bilangan-real 20/33
20
Contoh : 7enentuan 'im"unan
6en#elesaian
( ) ( ) 0422 <−−⇔ x x
352 <− x2.
4ita bisa *uga menggunaan si+at e-(,
arena ruas iri mau"un anan e$uan#a "ositi+.
( ) 952 2 <−⇔ x
925204 2 <+−⇔ x x016204 2 <+−⇔ x x
08102 2 <+−⇔ x x
/6 : 1, (
1 (
--
'" ( )4,1
7/23/2019 Kalkulus - 01 Sistem Bilangan Real
http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-01-sistem-bilangan-real 21/33
21
Contoh : 7enentuan 'im"unan
6en#elesaian "ae $e+inisi
5432 +≥+ x x3.
4ita bisa menggunaan si+at (
( ) ( ) 22 5432 +≥+⇔ x x
2540169124 22 ++≥++⇔ x x x x
0162812 2 ≥−−−⇔ x x
0473 2 ≥++⇔ x x
3
4−/6 : , -1
7/23/2019 Kalkulus - 01 Sistem Bilangan Real
http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-01-sistem-bilangan-real 22/33
22
Contoh : 7enentuan 'im"unan
6en#elesaian
'" ( ]1,,
3
4−∞−∩
∞−
)ia $igambar "a$a garis bilangan :
-13
4−
--
7/23/2019 Kalkulus - 01 Sistem Bilangan Real
http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-01-sistem-bilangan-real 23/33
23
Contoh : 7enentuan 'im"unan
6en#elesaian
272
≥+ x
272
≥+⇔ x
272
−≤+ x
52
−≥⇔ x9
2−≤
x
10−≥⇔ x 18−≤ x
[ ) ( ]18,,10 −∞−∪∞−
(.
atau
atau
atau
'"
-1@ -10
7/23/2019 Kalkulus - 01 Sistem Bilangan Real
http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-01-sistem-bilangan-real 24/33
2(
Contoh : 7enentuan 'im"unan
6en#elesaian
<−
≥−
=− 22
22
2 x x
x x
x
−<−−
−≥+=+
11
111
x x
x x x
)a$i ita mem"un#ai 3 inter9al :
-1 2
( )1,−∞− [ )2,1− [ )∞,2
. 2123 −≥+−− x x
4ita $e+inisian $ahulu :
7/23/2019 Kalkulus - 01 Sistem Bilangan Real
http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-01-sistem-bilangan-real 25/33
2
Contoh : 7enentuan 'im"unan
6en#elesaian
1−< x ( )1,−∞−
2123 −≥+−− x x
( ) ( ) 2123 −≥−−−−⇔ x x
2136 −≥++−⇔ x x
227 −≥−⇔ x
92 −≥−⇔ x
92 ≤⇔ x
2
9≤⇔ x
∞−
2
9,
. Dntu inter9al atau
atau
7/23/2019 Kalkulus - 01 Sistem Bilangan Real
http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-01-sistem-bilangan-real 26/33
28
Contoh : 7enentuan 'im"unan
6en#elesaian
( )1,2
9, −∞−∩
∞−
29-1
)a$i '"1
;ari gambar garis bilangan tersebut $a"at $isim"ulan
bahFa hasil irisan e$ua inter9al tersebut a$alah ( )1,−∞−
sehingga '"1 ( )1,−∞−
7/23/2019 Kalkulus - 01 Sistem Bilangan Real
http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-01-sistem-bilangan-real 27/33
2>
Contoh : 7enentuan 'im"unan
6en#elesaian
21 <≤− x [ )2,1−. Dntu inter9al atau
2123 −≥+−− x x
( ) ( ) 2123 −≥+−−⇔ x x
2136 −≥−−−⇔ x x
245 −≥−⇔ x
74 −≥−⇔ x
74 ≤⇔ x
4
7≤⇔ x
∞−
4
7,atau
7/23/2019 Kalkulus - 01 Sistem Bilangan Real
http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-01-sistem-bilangan-real 28/33
2@
Contoh : 7enentuan 'im"unan
6en#elesaian
)a$i '"2 [ )2,14
7, −∩
∞−
-1 24
7
;ari gambar garis bilangan tersebut $a"at $isim"ulan
bahFa hasil irisan $ua inter9al tersebut a$alah
−
4
7,1
sehingga '"2
−
4
7,1
7/23/2019 Kalkulus - 01 Sistem Bilangan Real
http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-01-sistem-bilangan-real 29/33
2
Contoh : 7enentuan 'im"unan
6en#elesaian
2≥ x [ )∞,22123 −≥+−− x x
( ) ( ) 2123
−≥+−−⇔ x x
2163 −≥−−−⇔ x x
272 −≥−⇔ x
52 ≥⇔ x
. Dntu inter9al atau
2
5≥⇔ x
∞,2
5 atau
7/23/2019 Kalkulus - 01 Sistem Bilangan Real
http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-01-sistem-bilangan-real 30/33
30
Contoh : 7enentuan 'im"unan
6en#elesaian
)a$i '"3 [ )∞∩
∞ ,2,25
22
5
;ari gambar garis bilangan tersebut $a"at $isim"ulan
bahFa hasil irisan $ua inter9al tersebut a$alah
∞,25
sehingga
'"3
∞,2
5
7/23/2019 Kalkulus - 01 Sistem Bilangan Real
http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-01-sistem-bilangan-real 31/33
31
'" 3Hp2Hp1Hp ∪∪
( )
∞∪
−∪−∞−= ,2
5
4
7,11,Hp
Dntu lebih mem"ermu$ah, masing-masing inter9al
$igambaran $alam sebuah garis bilangan
Contoh : 7enentuan 'im"unan
6en#elesaian
7/23/2019 Kalkulus - 01 Sistem Bilangan Real
http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-01-sistem-bilangan-real 32/33
32
Contoh : 7enentuan 'im"unan
6en#elesaian
)a$i '"
∞∪
∞− ,
2
5
4
7,
47
25-1
47 2
5-1
47
25-1
7/23/2019 Kalkulus - 01 Sistem Bilangan Real
http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-01-sistem-bilangan-real 33/33
33
Soal Gatihan
5432 +≥+ x x
22212 ≥+++ x x
Cari him"unan "en#elesaian $ari "erti$asamaan
3232 ≤−+− x x
1
2
3
x x
x−≥
−+
124
2
(
3
122 +
+≤
− x
x
x
x
23 ≤+ x x8