Post on 05-Jul-2015
Bilangan
Bilangan Asli
Dalam matematika, terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan bilangan asli.
Yang pertama definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu himpunan bilangan bulat
positif yang bukan nol {1, 2, 3, 4, ...}. Sedangkan yang kedua definisi oleh logikawan dan
ilmuwan komputer, adalah himpunan nol dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, ...}. Bilangan
asli merupakan salah satu konsep matematika yg paling sederhana dan termasuk konsep
pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian
menunjukkan beberapa jenis kera juga bisa menangkapnya.
Wajar apabila bilangan asli adalah jenis pertama dari bilangan yang digunakan untuk
membilang, menghitung, dsb. Sifat yang lebih dalam tentang bilangan asli, termasuk
kaitannya dengan bilangan prima, dipelajari dalam teori bilangan. Untuk matematika lanjut,
bilangan asli dapat dipakai untuk mengurutkan dan mendefinisikan sifat hitungan suatu
himpunan.
Setiap bilangan, misalnya bilangan 1, adalah konsep abstrak yg tak bisa tertangkap
oleh indera manusia, tetapi bersifat universal. Salah satu cara memperkenalkan konsep
himpunan semua bilangan asli sebagai sebuah struktur abstrak adalah melalui aksioma Peano
(sebagai ilustrasi, lihat aritmetika Peano).
Konsep bilangan-bilangan yg lebih umum dan lebih luas memerlukan pembahasan
lebih jauh, bahkan kadang-kadang memerlukan kedalaman logika untuk bisa memahami dan
mendefinisikannya. Misalnya dalam teori matematika, himpunan semua bilangan rasional
bisa dibangun secara bertahap, diawali dari himpunan bilangan-bilangan asli.
Sejarah bilangan Asli
Bilangan asli memiliki asal dari kata-kata yang digunakan untuk menghitung benda-
benda, dimulai dari bilangan satu.
Kemajuan besar pertama dalam abstraksi adalah penggunaan sistem bilangan untuk
melambangkan angka-angka. Ini memungkinkan pencatatan bilangan besar. Sebagai contoh,
orang-orang Babylonia mengembangkan sistem berbasis posisi untuk angka 1 dan 10. Orang
Mesir kuno memiliki sistem bilangan dengan hieroglif berbeda untuk 1, 10, dan semua
pangkat 10 sampai pada satu juta. Sebuah ukuran batu dari Karnak, tertanggal sekitar 1500
SM dan sekarang berada di Louvre, Paris, melambangkan 276 sebagai 2 ratusan, 7 puluhan
dan 6 satuan; hal yang sama dilakukan untuk angka 4622.
1 | P a g e
Kemajuan besar lainnya adalah pengembangan gagasan angka nol sebagai bilangan
dengan lambangnya tersendiri. Nol telah digunakan dalam notasi posisi sedini 700 SM oleh
orang-orang Babylon, namun mereka mencopotnya bila menjadi lambang terakhir pada
bilangan tersebut. Konsep nol pada masa modern berasal dari matematikawan India
Brahmagupta.
Pada abad ke-19 dikembangkan definisi bilangan asli menggunakan teori himpunan.
Dengan definisi ini, dirasakan lebih mudah memasukkan nol (berkorespondensi dengan
himpunan kosong) sebagai bilangan asli, dan sekarang menjadi konvensi dalam bidang teori
himpunan, logika dan ilmu komputer. Matematikawan lain, seperti dalam bidang teori
bilangan, bertahan pada tradisi lama dan tetap menjadikan 1 sebagai bilangan asli pertama.
Bilangan irrasional
Penemu bilangan irasional adalah Hippasus dari Metapontum (ca. 500 SM).
Sayangnya, penemuannya tersebut justru menyebabkan ia dihukum mati oleh Pythagoras
karena dianggap penganut ajaran sesat.
Hippasus berasal dari kota Metapontum. Karena ia merupakan anggota sekolah
aliran Phytagoras, berarti ia juga pernah tinggal di Kroton. Ia hidup dan berkarya pada abad
ke-5 SM, yakni sebelum sekolah aliran Phytagoras ditutup. Selain itu, diketahui juga bahwa
ia hidup sezaman dengan Philolaos sehingga diperkirakan ia berkarya sekitar tahun 470 SM.
Menurut sebuah legenda dari sumber-sumber kuno, Hippasus dihukum mati dengan
ditenggelamkan di laut oleh para pemimpin aliran Phytagoras karena dianggap sebagai
pemberontak. Sebelum penemuan Hippasos, Pythagoras dan pengikutnya menganggap bahwa
semua bilangan bersifat rasional, atau dapat dinyatakan dalam perbandingan bilangan bulat.
Namun, dengan menggunakan reductio ad absurdum (pembuktian melalui kontradiksi)
terbukti bahwa √2 adalah bilangan irasional. Pythagoras tidak dapat membantah pembuktian
Hipassus, namun bilangan irasional bertentangan dengan filosofi yang dianut Pythagoras.
Phytagoras tidak mau mengakui kesalahan filosofinya, dan menuduh Hippasus sebagai
penganut ajaran sesat. Hipassus akhirnya dihukum mati dengan cara ditenggelamkan.
Sejarah Bilangan prima
Sejarah bilangan prima dimulai pada zaman Mesir kuno dengan ditemukannya
sebuah catatan yang menyatakan penggunaan bilangan prima pada zaman tersebut. Namun,
bilangan prima dan bilangan komposit pada zaman ini berbeda dengan bilangan prima dan
bilangan komposit yang dikenal saat ini. Bukti lain permulaan sejarah bilangan prima adalah
2 | P a g e
sebuah catatan penelitian bilangan prima oleh bangsa Yunani kuno. Euclid’s Elements (300
BC) berisi beberapa teorema penting mengenai bilangan prima, termasuk ketakberhinggan
bilangan prima dan teorema fundamental aritmetik. Euclid juga memperlihatkan bagaimana
cara menyusun sebuah bilangan sempurna (perfect number) dari sebuah bilangan prima
Mersenne yang ditemukan kemudian. Bukti lain adalah Sieve of Eratosthenes, yaitu sebuah
cara untuk menghitung seluruh bilangan prima dalam suatu rentang tertentu.
Pada abad XVII, penelitian terhadap bilangan prima dilanjutkan kembali setelah
berabad-abad berhenti. Pada tahun 1640, Pierre de Fermat memulainya dengan membuat
Teorema Kecil Fermat (Fermat’s Little Theorem) yang nantinya akan dibuktikan oleh
Leibniz dan Euler. Kasus khusus dari teorema ini mungkin telah diketahui oleh bangsa Cina
sebelumnya, namun belum ada bukti yang pasti mengenai hal ini. Lama setelah itu, Euler
menemukan “lubang”pada teorema ini. Sebagai pengganti, seorang Prancis, Marin Mersenne,
membuat suatu bentuk baru dari bilangan prima yang akhirnya namanya diabadikan menjadi
nama bilangan ini, yaitu bilangan prima Mersenne (Mersenne prime). Cara penentuan inipun
belum sempurna karena terdapat beberapa prima semu diantaranya.
Sampai abad XIX, banyak matematikawan masih beranggapan bahwa 1 adalah
bilangan prima, dengan definisi bilangan prima adalah bilangan yang habis dibagi satu dan
bilangan tersebut tanpa membatasi jumlah pembagi. Pada abad XIX, Legendre dan Gauss
membuat sebuah konjektural untuk menghitung banyaknya bilangan prima yang kurang dari
atau sama dengan suatu bilangan. Konjektural ini akhirnya dibuktikan pada tahun 1896 dan
berganti nama menjadi Teorema Bilangan Prima (Prime Number Theorem). Sebelumnya,
pada tahun 1859, Riemann mencoba membuktikan konjektural tersebut menggunakan fungsi-
zeta. Pencarian bilangan prima tidak berhenti sampai disitu, khususnya untuk bilangan-
bilangan besar. Banyak matematikawan yang meneliti mengenai tes bilangan prima,
contohnya: Pepin’s test untuk bilangan Fermat (1877), Lucas-Lehmer test untuk bilangan
Mersenne (1856), dan Lucas-Lehmer test yang digeneralisasikan.
Pada abad XX, penggunaan bilangan prima di luar bidang matematika mulai
dikembangkan. Pada era 1970-an, ketika konsep kriptografi kunci-publik ditemukan,
bilangan prima menjadi salah satu dasar pembuatan kunci algoritma enkripsi seperti RSA.
3 | P a g e
menjadi satu atau lebih bilangan prima. Dengan dasar tersebut, Q dapat difaktorkan menjadi
satu atau lebih bilangan prima. Namun, tidak ada satu pun bilangan prima (yang telah
diasumsikan berjumlah berhingga) yang dapat habis membagi Q karena apapun bilangan
primanya, misalkan pj, Q dibagi pj selalu akan menghasilkan sisa minimal 1. Jadi, terdapat
suatu bilangan prima baru yang tidak termasuk dalam bilangan prima p1, p2, p3, ... pn, yaitu
Q sendiri bila prima atau faktor prima dari Q. Kesimpulan ini kontradiktif dengan asumsi
sebelumnya bahwa ada sejumlah berhingga bilangan prima. Oleh karena itu, bilangan prima
berjumlah tak berhingga.
Teori grup
Teori Grup merupakan cabang matematika yang khusus membahas tentang grup.
Ada tiga akar sejarah teori grup: teori persamaaan aljabar, teori bilangan dan geometri. Euler,
Gauss, Lagrange, Abel, dan Galois merupakan para peneliti awal dalam bidang teori grup.
Galois dihormati sebagai ahli matematika pertama yang mengaitkan teori grup dan teori
medan, dengan teorinya yang sekarang disebut teori Galois.
Sumber pertama muncul dalam hal cara membuat suatu persamaan tingkat ke-m
yang memiliki akar m seperti akar dari suatu persamaan tingkat ke-n (m<n). Untuk
sederhananya, persoalan itu dikembalikan pada Hudde(1659). Saunderson(1740) menyatakan
bahwa penentuan faktor kuadratik dari peernyataan bikuadratik biasanya menghasilkan suatu
persamaan sektik, dan Le Soeur (1748) dan Waring (1762-1782) masih menganalisi data
lebih lanjut.
Fondasi umum yang digunakan dalam teori persamaan dasar dari permutasi grup
ditemukan oleh Lagrange(1770, 1771), dan berhasil merumuskan teori substitusi. Lagrange
menemukan bahwa akan dari seluruh resolvent yang dia periksa merupakan fungsi rasional
dari akar persamaan yang bersangkutan. Untuk mempelajari sifat-sifat dari fungsi-fungsi ini,
Lagrange mengusulkan suatu Calcul des Combinaisons. Hasil kerja dari Vandermonde
(1770) juga turut mewarnai teori-teori berikutnya. Ruffini (1799) berusaha membuktikan
kemungkinan untuk menyelesaikan persamaan quintic dan persamaan lain dengan tingkat
lebih tinggi.
Ruffini (1799) membedakan intransitif dan transitif, dan grup imprimitif dan
primitif, dan (1801) menggunakan grup dari suatu persamaan yang disebut l'assieme della
permutazioni. Dia juga mempublikasikan sebuah surat dari Abbati untuk dirinya sendiri, yang
di dalamnya berisi tentang ide tentang grup.
4 | P a g e
Galois menemukan bahwa jika r_1, r_2, \Idots r_n merupakan akar-akar n dari suatu
persamaan, maka selalu ada suatu grup permutasi dari r yang
(1) setiap fungsi akar yang bersifat invariabel dengan cara substitusi grup diketahui secara
rasional, dan (2), kebalikannya, setiap fungsi akar yang dapat ditentukan secara rasioanl
bersifat invarian dalam proses substitusi grup. Galois juga merumuskan teori persamaan
modular dan fungsi eliptik. Punlikasi pertama Galois dalam bidang teori grup diluncurkan
saat usianya mencapai 18 tahun (1829), namun kontribusinya tidak begitu menarik perhatian
sebelum publikasi paper-paper koleksinya pada tahun 1846 (Liouville, Vol. XI).
Arthur Cayley dan Augustin Louis Cauchy merupakan orang-orang pertama yang
menghargai pentingnya teori itu, yang selanjutnya secara khusu berhubungan dengan teori-
teori penting yang lain. Materi ini turut dipopulerkan oleh Serret, yang merelakan bagian VI
dari aljabarnya untuk teori itu; oleh Camille Jordan, yang Traité des Substitutions bersifat
klasik; dan kepada Netto (1882), yang kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Inggris oleh
Cole (1892). Ahli-ahli teori grup yang lain dari abad ke-19 adalah Bertrand, Charles Hermite,
Frobenius, Leopold Kronecker, dan Mathieu.
Pada tahun 1882, Walther von Dyck berhasil merumuskan definisi modern dari
suatu grup.
Pembahasan mengenai grup Lie, dan subgrup diskrit, sebagai grup transformasi,
mulai secara sistematis pada tahun 1884 oleh Sophus Lie; diikuti oleh Killing, Study, Schur,
dan Maurer. Teori diskontinu (grup diskrit) dicetuskan oleh Felix Klein, Lie, Poincaré, and
Charles Emile Picard, dihubungkan dengan bentuk modular dan monodromi.
Ahli matematika lainnya yang turut berkecimpung dalam masalah ini adalah Emil
Artin, Emmy Noether, Sylow dan masih banyak lagi.
Strukutur geometri
Geometri (dari bahasa Yunani γεωμετρία; geo = bumi, metria = pengukuran) secara
harafiah berarti pengukuran tentang bumi, adalah cabang dari matematika yang mempelajari
hubungan di dalam ruang. Dari pengalaman, atau mungkin secara intuitif, orang dapat
mengetahui ruang dari ciri dasarnya, yang diistilahkan sebagai aksioma dalam geometri.
Catatan paling awal mengenai geometri dapat ditelusuri hingga ke zaman Mesir
kuno, peradaban Lembah Sungai Indus dan Babilonia. Peradaban-peradaban ini diketahui
memiliki keahlian dalam drainase rawa, irigasi, pengendalian banjir dan pendirian bangunan-
5 | P a g e
bagunan besar. Kebanyakan geometri Mesir kuno dan Babilonia terbatas hanya pada
perhitungan panjang segmen-segmen garis, luas, dan volume.Salah satu teori awal mengenai
geometri dikatakan oleh Plato dalam dialog Timaeus {360SM) bahwa alam semesta terdiri
dari 4 elemen: tanah, air, udara dan api. Hal tersebut tersebut dimaksud untuk
menggambarkan kondisi material padat, cair, gas dan plasma.
Hal ini mendasari bentuk-bentuk geometri: tetrahedron, kubus (hexahedron),
octahedron, dan icosahedron dimana masing-masing bentuk tersebut menggambarkan elemen
api, tanah, udara dan air. Bentuk-bentuk ini yang lalu lebih dikenal dengan nama Platonic
Solid. Ada penambahan bentuk kelima yaitu Dodecahedron, yang menurut Aristoteles untuk
menggambarkan elemen kelima yaitu ether
Postulat Lima
Euclid adalah matematikawan yunani kuno yang membawa pembaruan dalam
geometri dengan buku berjudul element. dalam bukunya ini ia mengajukan lima buah postlat
yang menjadi dasar semua teorema yang dikemukakannya. Lima postulat adalah,
1. Garis lurus dapat digambar dari sebarang titik ke sebarang titik lain
2. Ujung garis lurus dapat idlanjutkan terus sebagai garis lurus
3. Lingkaran dapat digambar dari sembarang titik pusat dengan jari- jari berbeda
4. Semua sudut di sisi kanan besarnya sama dengan sisi lainnya
5. Jika sebuah garis berpotongan dengan dua garis membentuk dua sudut interior
pada sisi yang sama dengan jumlah kurang dari jumlah sisi kanannya, maka kedua garis itu
jika diperpanjang tak hingga, akan berpotongan satu sama lain dengan jumlah (derajat) sudut
lebih kecil dibandingkan jumlah sudut sisi kanannya.
Paradoks Matematika
Paradoks adalah suatu situasi yang timbul dari sejumlah premis (apa yg dianggap
benar sebagai landasan kesimpulan kemudian,dasar pemikiran,alasan,asumsi,kalimat atau
proposisi yang dijadikan dasar penarikan kesimpulan di dalam logika) yang diakui
kebenarannya yang bertolak dari suatu pernyataan dan akan tiba pada suatu konflik atau
kontradiksi.
Paradoks Zeno merupakan sebuah paradoks yang terkenal dalam sejarah Yunani dan
juga matematika. Achilles dan kura-kura ini salah satu dari 8 paradoks Zeno yang paling
6 | P a g e
terkenal. Terkenal karena orang Yunani gagal menjelaskan paradoks ini. Walau sekarang
terkesan tidak terlalu sulit, tapi butuh waktu ribuan tahun sebelum matematikawan dapat
menjelaskannya. Paradoks Achilles dan kura-kura kira-kira seperti ini :
Pelari tercepat (A) tidak akan bisa mendahului pelari yang lebih lambat (B). Hal ini
terjadi karena A harus berada pada titik B mula-mula, sementara B sudah meninggalkan
(berada di depan) titik tersebut.
Zeno menganalogikan paradoks ini dengan membayangkan lomba lari Achilles dan
seekor kura-kura. Keduanya dianggap lari dengan kecepatan konstan dan kura-kura sudah
tentu jauh lebih lambat. Untuk itu, si kura-kura diberi keuntungan dengan start awal di depan,
katakanlah 100 meter. Ketika lomba sudah dimulai, Achilles akan mencapai titik 100 m (titik
di mana kura-kura mula-mula). Tetapi si kura ini juga pasti sudah melangkah maju, jauh lebih
lambat memang, katakanlah dia baru melangkah 10 meter. Beberapa saat kemudian Achilles
berada di titik 110 m, tapi si kura lagi-lagi udah melangkah maju. Demikian seterusnya,
setiap kali Achilles berada pada titik di mana kura-kura tadinya berada, si kura-kura sudah
melangkah maju. Artinya, Achilles, secepat apa pun dia berlari tidak akan bisa mendahului
kura-kura (selambat apa pun dia melangkah).
Paradoks yang diciptakan oleh Cantor di paruh kedua abad ke 19 mencakup konsep
kardinalitas dan hubungannya dengan Teori himpunan (Katz 734). Kardinalitas pada
dasarnya menjelaskan berapa banyak nomor dalam satu himpunan, karena himpunan terbatas
itu adalah yang sederhana seperti menghitung, tetapi himpunan yang tak terbatas tidak dapat
memiliki kardinalitas yang dapat diwakili oleh seluruh nomor. Ia menemukan bahwa jika
anggota suatu himpunan tak terhingga dapat dimasukkan ke dalam satu-ke-satu
korespondensi dengan satu sama lain, tanpa meninggalkan angka tambahan di himpunan
baik, maka dua himpunan memiliki kardinalitas yang sama. Satu-ke-satu korespondensi
berarti bahwa untuk himpunaniap anggota dalam satu himpunan, ada anggota yang sesuai
pada himpunan kedua. Sebagai contoh, dalam sebuah e-mail dengan profesor saya, Shirley
Dr mencatat bahwa himpunan bilangan bulat positif dan himpunan kuadrat sempurna
keduanya terbatas dan memiliki hubungan n n2 untuk setiap anggota dari himpunan, yang
berarti mereka memiliki satu-ke-satu korespondensi. Cantor membuktikan bahwa himpunan
bilangan real memiliki kardinalitas lebih besar dari himpunan bilangan bulat, paradoks berarti
bahwa himpunan tak terhingga dari bilangan real adalah "lebih besar" dari himpunan tak
terhingga bilangan bulat. Secara umum, paradoks Cantor dimulai dengan menyatakan bahwa
himpunan semua himpunan (sebut saja himpunan B) adalah kekuatannya sendiri himpunan,
dimana himpunan daya adalah himpunan semua subhimpunan dari sebuah himpunan A.
7 | P a g e
Power himpunan selalu lebih besar daripada himpunan yang terkait dengan mereka
(Weisstein, "Power Himpunan" 1). Paradoksnya menyimpulkan yang diberikan himpunan B,
kardinalitas himpunan B harus lebih besar dari dirinya sendiri. Untuk memahami paradoks,
kita harus mempertimbangkan Teorema Cantor, yang menyatakan bahwa kardinalitas
himpunan lebih rendah dari kardinalitas dari semua himpunan bagian perusahaan (Weisstein,
"Cantori Teorema 1). Paradoksnya adalah bahwa jika himpunan B adalah himpunan semua
himpunan, maka kardinalitas subhimpunan dari B akan lebih besar dari B himpunan, namun
kardinalitas himpunan B harus sama karena himpunan B dan subhimpunan dari B yang sama
(Weisstein, Paradoks 1 Cantor).
Paradoks Russell, ditemukan pada awal abad ke-20, memberikan pandangan bahkan
lebih umum dari paradoks teori himpunan ditemukan oleh Cantor. Ini menyatakan bahwa R
adalah himpunan semua himpunan yang tidak menjadi anggota dari diri mereka sendiri, yang
berarti bahwa semua himpunan dalam R tidak mengandung diri mereka sebagai elemen.
Pertanyaannya kemudian menjadi, apakah R mengandung dirinya sebagai elemen? Jika kita
menganggap bahwa R tidak mengandung sendiri, kemudian oleh R definisi tidak dapat berisi
itu sendiri dan sebaliknya. Masalahnya adalah yang paling sering diberikan sebagai paradoks
tukang cukur. Misalkan di kota kecil hanya ada satu tukang cukur yang didefinisikan sebagai
orang yang mencukur semua orang yang tidak bercukur sendiri. Lalu pertanyaannya adalah
"yang mencukur si tukang cukur?" Jika tukang cukur tidak mencukur dirinya sendiri, maka ia
tidak menurut definisi. Jika tukang cukur tidak mencukur dirinya sendiri, maka dengan
definisi yang dia lakukan (Russell Paradox 3).
Paradoks Cantor dan Russell sangat penting untuk bidang teori himpunan karena
mereka disebabkan matematikawan untuk memeriksa asumsi mereka buat sebelumnya.
Paradoks ini menunjukkan bahwa teori himpunan pada waktu itu (banyak yang dirancang
oleh Cantor) memiliki banyak inkonsistensi karena banyak dari itu murni intuitif dan tidak
didasarkan pada semua jenis aksioma atau bukti. Matematikawan ini dipaksa untuk
merumuskan sebuah cara untuk membuat teori mengatur lebih konsisten dan untuk
memberikan pembatasan yang jelas. Pada 1900-an Ernst Zermelo menyusun tujuh aksioma
yang memberikan aturan yang jelas untuk teori himpunan (Katz 809-11). Salah satunya,
aksioma pemisahan (atau keteraturan) dihindari dan Russell paradoks Cantori dengan
melarang diri menelan himpunan ("Russell's Paradox" 1). Paradoks ini sangat penting bagi
8 | P a g e
perkembangan teori himpunan karena mereka menyatakan perlunya aturan, seperti dalam
aljabar atau geometri.
Meskipun paradoks yang mengganggu dan membingungkan oleh alam, mereka tetap
menjadi penting untuk matematika di mengidentifikasi masalah dan inkonsistensi dalam
matematika sepanjang sejarah. Selain itu, dengan menantang pemikiran waktu, paradoks
dapat menyebabkan lebih banyak penemuan yang brilian bahkan dalam matematika. Jelas,
paradoks telah penting bagi matematika, dan disiplin mungkin tidak berada di tempat seperti
sekarang ini tanpa mereka.
Irisan kerucut
Dalam matematika, irisan kerucut adalah lokus dari semua titik yang membentuk
kurva dua-dimensi, yang terbentuk oleh irisan sebuah kerucut dengan sebuah bidang. Tiga
jenis kurva yang dapat terjadi adalah Parabola, Elips, dan hiperbola. Apollonius dari Perga
adalah matematikawan Yunani yang pertama mempelajari irisan kerucut secara sistematik
pada awal abad ke-2 SM. Dalam memahami geometri irisan kerucut, sebuah kerucut
dianggap memiliki dua kulit yang membentang sampai tak berhingga di kedua arah. Sebuah
generator adalah sebuah garis yang dapat dibuat pada kulit kerucut, dan semua generator
saling berpotongan di satu titik yang disebut verteks kerucut.
Jika sebuah bidang mengiris kerucut sejajar dengan satu dan hanya satu generator,
maka irisannya adalah parabola. Jika bidang pengiris sejajar dengan dua generator, maka
irisannya akan memotong kedua kulit dan membentuk sebuah hiperbola. Sebuah elips terjadi
jika bidang pengiris tidak sejajar dengan generator mana pun. Lingkaran adalah kasus khusus
dari elips, yang terbentuk jika bidang pengiris memotong semua generator dan tegak lurus
sumbu kerucut.
9 | P a g e
kasus degenerasi
Kasus-kasus degenerasi terjadi jika bidang-bidang pengiris melalui verteks kerucut.
Irisan-irisannya dapat berupa titik, garis lurus, dan dua garis lurus yang saling berpotongan.
Sebuah titik terjadi jika bidang pengiris melalui verteks kerucut namun tidak memotong
generator manapun. Kasus ini merupakan elips yang terdegenerasi. Jika bidang pengiris
melalui verteks kerucut, dan hanya satu generator, maka yang terjadi adalah sebuah garis
lurus, dan merupakan parabola yang terdegenerasi. Sebuah hiperbola terdegenerasi terjadi
jika bidang pengiris melalui verteks kerucut dan dua generator sehingga memberikan dua
garis lurus yang saling berpotongan.
Secara geometri analitis, irisan kerucut dapat didefinisikan sebagai:
“ tempat kedudukan titik-titik pada sebuah bidang, sedemikian, sehingga jarak titik-titik
tersebut ke sebuah titik tetap F (yang disebut fokus) memiliki rasio yang konstan terhadap
jarak titik-titik tersebut ke sebuah garis tetap L (disebut direktriks) yang tidak mengandung
F.”
Koordinat Kartesius
Dalam koordinat kartesius, grafik dari persamaan kuadrat dengan dua variabel selalu
menghasilkan irisan kerucut, dan semua irisan kerucut dapat dihasilkan dengan cara ini.
Jika terdapat persamaan dengan bentuk:
Ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0
maka:
10 | P a g e
jika h2 = ab, persamaan ini menghasilkan parabola.
Jika h2 < ab, persamaan ini menghasilkan elips.
Jika h2 > ab, persamaan ini menghasilkan hiperbola.
Jika a = b and h = 0, persamaan ini menghasilkan lingkaran.
Jika a + b = 0, persamaan ini menghasilkan hiperbola persegi.
Lingkaran
Lingkaran sudah ada sejak jaman prasejarah. Penemuan roda adalah penemuan
mendasar dari sifat lingkaran. Orang-orang Yunani menganggap Mesir sebagai penemu
geometri. Juru tulis Ahmes, penulis dari papirus Rhind, memberikan aturan untuk
menentukan area dari sebuah lingkaran yang sesuai dengan π = 256 / 81 atau sekitar 3,16.
Teorema pertama yang berhubungan dengan lingkaran yang dikaitkan dengan
Thales sekitar 650 SM. Buku III dari Euclid 's Elements berurusan dengan sifat lingkaran dan
masalah inscribing dan escribing poligon.
Salah satu masalah matematika Yunani adalah masalah menemukan persegi dengan
wilayah yang sama sebagai sebuah lingkaran yang diberikan. Beberapa 'kurva terkenal dalam
tumpukan pertama kali dipelajari dalam upaya untuk memecahkan masalah ini. Anaxagoras
di 450 SM adalah matematikawan recored pertama untuk studi masalah ini.
Masalah untuk menemukan luas lingkaran menyebabkan integrasi. Untuk lingkaran
dengan rumus yang diberikan di atas wilayah ini π2 dan panjang kurva adalah suatu 2π.
Pedal lingkaran adalah cardioid jika titik pedal diambil pada lingkar dan merupakan
limacon jika titik pedal bukan pada keliling.
kaustik dari sebuah lingkaran dengan titik bersinar di keliling adalah cardioid,
sedangkan bila sinar sejajar maka kaustik adalah nephroid .
Apollonius, pada sekitar 240 SM, efektif menunjukkan bahwa persamaan r bipolar =
kr merupakan sistem lingkaran koaksial sebagai k bervariasi. Dalam hal persamaan bipolar
mr2 + nr2 = c2 merupakan sebuah lingkaran yang pusatnya membagi ruas garis antara dua titik
tetap dari sistem dalam rasio n ke m.
Dalam geometri Euclid, sebuah lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang
dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat.
Lingkaran adalah contoh dari kurva tertutup sederhana, membagi bidang menjadi bagian
dalam dan bagian luar.
Elemen-elemen yang terdapat pada lingkaran, yaitu sbb:
11 | P a g e
n sebuah titik di dalam lingkaran yang menjadi acuan untuk menentukan jarak
terhadap himpunan titik yang membangun lingkaran sehingga sama. Elemen
lngkiaran yang berupa titik, yaitu :
1. Titik pusat (P)
merupakan jarak antara titik pusat dengan lingkaran harganya konstan dan disebut
jari-jari.
Elemen lingkaran yang berupa garisan, yaitu :
1. Jari-jari (R)
merupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan lingkaran.
2. Tali busur (TB)
merupakan garis lurus di dalam lingkaran yang memotong lingkaran pada dua titik
yang berbeda (TB).
3. Busur (B)
merupakan garis lengkung baik terbuka, maupun tertutup yang berimpit dengan
lingkaran.
4. Keliling lingkaran (K)
merupakan busur terpanjang pada lingkaran.
5. Diameter (D)
merupakan tali busur terbesar yang panjangnya adalah dua kali dari jari-jarinya.
Diameter ini membagi lingkaran sama luas.
6. Apotema
merupakan garis terpendek antara tali busur dan pusat lingkaran.
Elemen lingkaran yang berupa luasan, yaitu :
1. Juring (J)
merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh busur dan dua buah jari-jari yang
berada pada kedua ujungnya.
2. Tembereng (T)
merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dengan tali
busurnya.
3. Cakram (C)
merupakan semua daerah yang berada di dalam lingkaran. Luasnya yaitu jari-jari
kuadrat dikalikan dengan pi. Cakram merupakan juring terbesar.
12 | P a g e
Persamaan
Suatu lingkaran memiliki persamaan
dengan adalah jari-jari lingkaran dan adalah koordinat pusat lingkaran.
Persamaan Karakteristik
Lingkaran dapat pula dirumuskan dalam suatu persamaan parameterik, yaitu
yang apabila dibiarkan menjalani t akan dibuat suatu lintasan berbentuk lingkaran dalam
ruang x-y.
Luas lingkaran
Luas lingkaran memiliki rumus
yang dapat diturunkan dengan melakukan integrasi elemen luas suatu lingkaran
dalam koordinat polar, yaitu
Dengan cara yang sama dapat pula dihitung luas setengah lingkaran, seperempat lingkaran,
dan bagian-bagian lingkaran. Juga tidak ketinggalan dapat dihitung luas suatu cincin
lingkaran dengan jari-jari dalam dan jari-jari luar .
13 | P a g e
Penjumlahan elemen juring
Luas juring suatu lingkaran dapat dihitung apabila luas lingkaran dijadikan fungsi dari R dan
θ, yaitu;
dengan batasan nilai θ adalah antara 0 dan 3π. Saat θ bernilai 2π, juring yang dihitung adalah
juring terluas, atau luas lingkaran.
14 | P a g e