MAKALAH

GEOMETRI ANALITIK RUANG

“PERSAMAAN GARIS LURUS“

Makalah Ini Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Geometri Analitik Ruang

Dosen Pengampu :

NINA AGUSTYANINGRUM, M.Pd

Disusun Oleh

Yani Novita Murni 15.05.0.002

Aizyah Alifia Supardi 15.05.0.019

Ani Nofianti 15.05.0.021

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS RIAU KEPULAUAN

BATAM

2017

1

GARIS LURUS

1. Persamaan Garis Lurus

Suatu garis lurus dapat kita misal sebagai garis potong pada 2 bidang datar.

Garis-garis istimewa yang sudah kita kenal adalah sumbu x , y dan z. Sumbu x adalah

garis potong bidang XOY dan XOZ, sehingga persamaan sumbu x ialah y = 0 , z = 0.

Dengan pemikiran serupa kita dapat persamaan sumbu y ialah x = 0, z = 0. Dari

persamaan sumbu z ialah x = 0, y = 0.

Gambar 1

Suatu garis dapat mudah ditentukan sebagai garis potong bidang-bidang dengan

memproyeksikannya pada bidang XOZ dan YOZ. Misal kan x = mz + p, y = nz+q atau

dapat ditulis : x = mz + p

y = nz + q

Kalau garis nya diberikan sebagai garis potong dua bidang sebarang saja, maka bidang-

bidang memproyeksikannya dapat mudah dicari. Misalnya garis g persamaannya

g : A1x + B1y + C1z + D1 = 0

A2x + B2y + C2z + D2 = 0

2

Bidang memproyeksikan garis g tersebut pada bidang XOZ, diperoleh dengan

mengeliminirkan y dari kedua persamaan g diatas, dan Bidang memproyeksikan garis

g pada bidang YOZ, diperoleh dengan mengeliminirkan x dari kedua persamaan g

diatas.

Jadi jika y kita eliminir, diperoleh :

(A1B2 - A2B1)x + (B2 C1- B1C2)z + (B2D1 - B1D2) = 0

Jadi jika x kita eliminir, diperoleh :

(A2B1 - A1B2)y + (A2C1 - A1C2)z + (A2D1 - A1D2) = 0

Persamaan garis dapat ditulis sebagai berikut :

x = B1C2− B2 C1

A1B2 − A2B1Z +

B1D2− B2D1

A1B2 − A2B1

y = A2C1 − A1C2

A1B2 − A2B1Z +

A2D1 − A1D2

A1B2 − A2B1

Jika disesuaikan dengan x = mz + p dan y = nz + q, maka diperoleh :

m = |B1 C1

B2 C2|

|A1 B1

A2 B2| p =

|B1 D1

B2 D2|

|A1 B1

A2 B2|

n = |C1 A1

C2 A2|

|A1 B1

A2 B2| q =

|D1 A1

D2 A2|

|A1 B1

A2 B2|

Gambar 2

3

Contoh soal:

Tentukan persamaan dari garis potong bidang-bidang 2x - y - 5z = -14 dan 4x + 5y +

4z = 28 !

Jawab :

x = B1C2− B2 C1

A1B2 − A2B1Z +

B1D2− B2D1

A1B2 − A2B1

= −4+25

10+4Z +

28−70

10+4

= 21

14𝑧 +

(−42)

14

= 3

2𝑧 − 3

y = A2C1 − A1C2

A1B2 − A2B1Z +

A2D1 − A1D2

A1B2 − A2B1

= −20−8

10+4Z +

56+56

10+4

= −28

14𝑧 +

112

14

= −2𝑧 + 8

2. Persamaan Vektor, Parametrik dan Simetrik Garis Lurus

a. Persamaan vektor, parametrik dan simetrik pada satu titik

Pada gambar dibawah ini 𝑙 adalah garis yang melalui titik Po(xo, yo, zo) dengan

vektor posisi 𝑟𝑜 dan sejajar dengan vektor 𝑣 = a𝑖 + b𝑗 + c𝑘. Untuk menentukan

persamaan garis 𝑙, diambil sebarang titik P(x, y, z) pada garis 𝑙, maka 𝑃𝑜𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ // 𝑣 dan

𝑃𝑜𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝜆𝑣 dengan 𝜆 bilangan real. Jika vektor-vektor posisi titik Po dan P terhadap O

adalah 𝑟𝑜 = (𝑥𝑜 ,𝑦𝑜 ,𝑧𝑜 ) dan 𝑟 = ⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ maka 𝑃𝑜𝑃 = 𝑟 − 𝑟𝑜 dan karena 𝑃𝑜𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝜆𝑣

maka :

𝑟 − 𝑟𝑜 = 𝜆𝑣

𝑟 = 𝑟𝑜 + 𝜆𝑣

4

Karena r adalah vektor posisi sebarang titik P pada garis 𝑙 dan memenuhi

persamaan terakhir, maka setiap titik P pada garis l akan memenuhi persamaan tersebut.

Dengan kata lain, persamaan garis 𝑙 yang melalui Po(xo, yo, zo) dan sejajar dengan

vektor 𝑣 = ⟨ 𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ adalah 𝒓 = 𝒓𝒐 + 𝝀𝒗. Atau,

(𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑙)

⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ = ⟨𝑥𝑜 ,𝑦𝑜 ,𝑧𝑜 ⟩ + 𝜆⟨ 𝑎, 𝑏, 𝑐⟩

⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ = ⟨𝑥𝑜 + 𝜆𝑎 , 𝑦𝑜+𝜆𝑏 , 𝑧𝑜 + 𝜆𝑐⟩

Maka diperoleh :

Jika kita eliminir parameter 𝜆 , yaitu 𝜆 = 𝑥−𝑥𝑜

𝑎; 𝜆 =

𝑦−𝑦𝑜

𝑏; 𝜆 =

𝑧−𝑧𝑜

𝑐

Maka untuk persamaan garis lurus diketahui melalui titik Po(xo, yo, zo) dengan bilangan

vektor arah 𝑣 = ⟨ 𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ adalah :

Gambar 3

𝒙 = 𝒙𝒐 + 𝝀𝒂

𝒚 = 𝒚𝒐 + 𝝀𝒃

𝒛 = 𝒛𝒐 + 𝝀𝒄

𝒙−𝒙𝒐

𝒂 =

𝒚−𝒚𝒐

𝒃=

𝒛−𝒛𝒐

𝒄 dengan syarat a,b,c ≠

0

(𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑘 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑙)

(𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑘 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑙)

𝒓 = 𝒓𝒐 + 𝝀𝒗

5

Contoh soal

Tentukan persamaan garis yang melalui P(1,2,3) dan sejajar dengan a = (-1,1,4) !

Penyelesaian :

t = p + λa

Pers. vektor garis g:

⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ = ⟨𝑥𝑜 ,𝑦𝑜 ,𝑧𝑜 ⟩ + 𝜆⟨ 𝑎, 𝑏, 𝑐⟩

⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ = ⟨1, 2, 3⟩ + 𝜆⟨−1, 1, 4⟩

⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ = (1 -𝜆, 2 + 𝜆, 3 + 4𝜆)

Persamaan parameter garis g:

𝑥 = 𝑥𝑜 + 𝜆𝑎 = 1 -𝜆

𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝜆𝑏 = 2 + 𝜆

𝑧 = 𝑧𝑜 + 𝜆𝑐 = 3 + 4𝜆

Persamaan simetrik garis g:

𝑥−𝑥𝑜

𝑎 =

𝑦−𝑦𝑜

𝑏=

𝑧−𝑧𝑜

𝑐

𝑥 − 1

−1 =

𝑦 − 2

1=

𝑧 − 3

4

b. Persamaan vektor pada dua titik

Untuk mencari persamaan vektor dari garis yang melalui 2 titik A(x1, y1, z1) dengan

vektor letak 𝑎 dan B(x2, y2, z2) dengan vektor letak 𝑏, kita dapat mengambil sebarang

titik R(x, y,z) pada garis tersebut yang vektor posisinya adalah 𝑟 = ⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩. Dari

kondisi ini dapat ditentuan bentuk persamaan vektor garis AB sebagai berikut :

𝑟 = 𝑎 + 𝜆 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ dengan λ bilangan real

𝑟 = 𝑎 + 𝜆 (𝑏 − 𝑎)

(𝑥𝑦𝑧) = (

𝑥1

𝑦1

𝑧1

) + 𝜆 (

𝑥2 −𝑦2 −𝑧2 −

𝑥1

𝑦1

𝑧1

)

⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ = ⟨𝑥1 ,𝑦1 ,𝑧1 ⟩ + 𝜆⟨𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 𝑧 − 𝑧1⟩

(𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝐴𝐵)

6

Diperoleh

Dengan mengeliminir λ dari persamaan parametrik diatas, akan diperoleh persamaan

simetrik dari garis AB sebagai berikut:

Contoh soal)

Tentukan persamaan garis g yg melalui (1,2,3) dan (3,5,4) !

Penyelesaian:

𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (3, 5, 4) − (1, 2, 3)

= (2, 3, 1)

𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝑇⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝑇⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑂𝑇⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝜆𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗

(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 2, 3) + 𝜆(2, 3, 1)

Jadi persamaan vektornya adalah

(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝜆 + 1; 3𝜆 + 2; 𝜆 + 3)

Persamaan parameternya adalah

𝑥 = 2𝜆 + 1; 𝑦 = 3𝜆 + 2; 𝑧 = 𝜆 + 3)

Persamaan simetriknya adalah :

𝑥 −1

2 =

𝑦 −2

3=

𝑧−3

1

(𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑘 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝐴𝐵)

(𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑘 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝐴𝐵)

𝑥 = 𝑥1 + 𝜆(𝑥2−𝑥1)

𝑦 = 𝑦1 + 𝜆(𝑦2−𝑦1) .

𝑧 = 𝑧1 + 𝜆(𝑧2−𝑧1)

𝑥 −𝑥1

𝑥2−𝑥1 =

𝑦 −𝑦1

𝑦2−𝑦1=

𝑧−𝑧1

𝑧2−𝑧1

7

3. Garis Lurus sebagai Perpotongan Dua Bidang Rata

Di dalam Ilmu Ukur Analitik Ruang, garis lurus dinyatakan sebagai

perpotongan 2 buah bidang rata yang tidak sejajar. Kita dapat pula menyatakan suatu

garis lurus sebagai perpotongan sebarang dua bidang rata yang melalui garis lurus

tersebut. Misalnya,Garis lurus g adalah perpotongan bidang rata V1 = A1x + B1y + C1z

+ D1 = 0 dan bidang V2 = A2x + B2y + C2z + D2 = 0.

Untuk menentukan vektor arah dari

garis lurus perpotongan dua buah bidang rata,

kita perhatikan gambar disamping. Maka n1=

[A1, B1, C1], n2 = [A2, B2, C2], jelas bahwa

n1 x n2 = a, dimana a = [ a, b, c ] merupakan

vektor arah dari garis g.

Jadi a = n1 x n2

a = |𝑖 𝑗 𝑘𝐴1 𝐵1 𝐶1

𝐴2 𝐵2 𝐶2

|

a = [|𝐵1 𝐶1

𝐵2 𝐶2| |

𝐶1 𝐴1

𝐶2 𝐴2| |

𝐴1 𝐵1

𝐴2 𝐵2|]

Untuk mengubah bentuk persamaan V1 = 0 = V2 menjadi bentuk 𝑥−𝑥1

𝑎 =

𝑦−𝑦1

𝑏=

𝑧−𝑧1

𝑐 ,

kita harus menentukan pula koordinat (x1, y1, z1).

8

Sebarang titik pada garis lurus. Untuk itu (biasanya) kita ambil titik potong dengan

bidang berkoordinat, misalnya, XOY z = 0, diperoleh

A1x + B1y + D1 = 0

A2x + B2y + D2 = 0

Yang bila diselesaikan diperoleh:

𝑥 = |−𝐷1 𝐵1

−𝐷2 𝐵2|

|𝐴1 𝐵1

𝐴2 𝐵2|

𝑦 = |𝐴1 −𝐷1

𝐴2 −𝐷2|

|𝐴1 𝐵1

𝐴2 𝐵2|

Contoh Soal

Tentukan vektor arah (a) Garis lurus x - 2y + z = 1 dan 3x - y + 5z = 8 !

Jawab :

a = |𝑖 𝑗 𝑘𝐴1 𝐵1 𝐶1

𝐴2 𝐵2 𝐶2

|

a = [|𝐵1 𝐶1

𝐵2 𝐶2| |

𝐶1 𝐴1

𝐶2 𝐴2| |

𝐴1 𝐵1

𝐴2 𝐵2|]

a = [|−2 1−1 5

| |1 15 3

| |1 −23 −1

|]

Dimana a = |−2 1−1 5

| = -9 , b = |1 15 3

| = -2 , c = |1 −23 −1

| = 5

atau [a, b, c] = [-9, -2,5]

Ambil z = 0 x = |1 −28 −1

|

|1 −23 −1

| =

15

5 = 3

y = |1 13 8

|

5 = 1

Titik yang melalui garis lurus yang merupakan perpotongan ke-2 bidang rata V1 dan

V2 adalah (3,1,0) pada garis lurus, persamaannya dapat tulis:

[ x, y,z ] = [ 3,1,0 ] + λ [ -9. -2, 5 ]

9

4. Kedudukan Dua Garis Lurus

Didalam ruang berdimensi tiga, dua garis lurus mungkin dapat sejajar, berimpit,

berpotongan, ataupun bersilangan. Diketahui garis lurus:

Garis g1 : [x, y, z] = [x1, y1, z1] + λ [a1, b1,c1]

Garis g2 : [x, y, z] = [x2, y2, z2] + λ [a2, b2,c2]

Ada beberapa kedudukan garis lurus antara g1 dan g2 :

1. g1 // g2 , jika dan hanya jika [a1, b1,c1] = μ [a2, b2,c2] ; μ bilangan ≠ 0 atau

𝑎1

𝑎2=

𝑏1

𝑏2=

𝑐1

𝑐2

2. g1 berimpit g2 jika dan hanya jika :

a. [a1, b1,c1] = μ [a2, b2,c2]

b. [ x2-x1, y2-y1, z2-z1] = μ [a2, b2,c2]

3. kalau arah g1 yaitu [a1, b1,c1] dan arah g2 yaitu [a2, b2,c2] tidak berkelipatan, maka

g1 dan g2 berpotongan di satu titik atau bersilangan. maka titik potongnya [x0, y0, z0]

berarti ada λ1 sehingga [x0, y0, z0] = [x1, y1, z1] + λ1 [a1, b1,c1] dan ada λ2 sehingga

[x0, y0, z0] = [x2, y2, z2] - λ2 [a2, b2,c2].

Berarti [x1, y1, z1] + λ1 [a1, b1,c1]= [x2, y2, z2] - λ2 [a2, b2,c2]. atau

a1 λ1 + a2 λ2 = x2 – x1

b1 λ1 + b2 λ2 = y2 – y1

c1 λ1 + c2 λ2 = z2 – z1

berdasarkan teori persamaan linier, nilai λ1 dan λ2 ada determinan :

|

𝑎1 𝑎2 𝑥2 – 𝑥1

𝑏1 𝑏2 𝑦2 – 𝑦1

𝑐1 𝑐2 𝑧2 – 𝑧1

|= 0

merupakan syarat dua garis lurus berpotongan pada satu titik. sedangkan persamaan

bidang yang memuat kedua garis g1, g2 tersebut :

|

𝑎1 𝑎2 x – 𝑥1

𝑏1 𝑏2 𝑦– 𝑦1

𝑐1 𝑐2 𝑧 – 𝑧1

|= 0

Jika nilai determinannya tidak sama dengan 0, maka kedua garis lurus tersebut

bersilang.

10

Contoh Soal

Tunjukkan bahwa g1 : ( x – 4 ) = 𝑦+3

−4 =

𝑧+1

7 berpotongan dengan g2 :

𝑥−1

2=

𝑦+1

−3=

𝑍+10

8 tentukan titik potong serta bidang yang memuat g1 dan g2 tersebut .

Jawab:

g1 : [x,y,z] = [ 4, -3, -1 ] + λ [1, -4, 7]

g2 : [x,y,z] = [1, -1, -10] + λ [2, -3, 8]

|1 2 1 − 4−4 −3 −1 + 37 8 −10 + 1

| = |1 2 −3−4 −3 27 8 −9

|= 0

Jadi g1 dan g2 berpotongan. titik potong diperoleh dari persamaan:

λ1 + 2 λ2 = -3

-4 λ1 – 3λ2 = 2

7 λ1 + 8 λ2 = -9

cukup diambil dua persamaan saja, diperoleh λ1 = 1, λ2 = -2. titik potong diperoleh

dengan memasukkan λ = λ1 ke persamaan diperoleh [x0, y0, z0] = [4, -3, -1] + 1 [1,

-4, 7] = [5, -7, 6]; sehingga potong : (5, -7, 6). (boleh juga dengan memasukkan λ =

λ2 = 2 persamaan g2).

bidang rata yang memuat g1 dan g2 mempunyai vektor arah [1, -4, 7] dan [2, -3, 8]

serta melalui titik (4, -3, -1), Jadi persamaan vektorisnya : [x,y,z] =[4, -3,-1] + λ [1,

-4, 7] + μ [2, -3, 8] atau bentuk liniernya (sesuai persamaannya (31)) :

|1 2 𝑥 − 4−4 −3 𝑦 + 37 8 𝑧 + 1

| = 0 11x - 6y - 5z – 67 = 0

11

5. Kedudukan Garis Lurus Dan Bidang Rata

Pandang garis lurus g dengan vektor arah a = [a, b, c] dan bidang rata V dengan

vektor normal n = [A, B, C] maka :

1. garis lurus g sejajajr bidang rata V ↔ vektor arah garis tegak lurus normal

bidang atau a.n = 0 atau aA + bB +cC = 0

2. garis lurus g tegak lurus bidang rata V ↔ vektor arah garis lurus = vektor normal

bidang rata (atau kelipatannya) atau ↔ 𝑎

𝐴=

𝑏

𝐵=

𝑐

𝐶

3. Bila garis g terletak seluruhnya pada bidang rata, terpenuhi a┴n atau a.n = 0

atau aA + bB + cC = 0 dan sebarang titik P pada g harus terletak pula pada

bidang V.

12

Latihan :

1. Tentukan persamaan garis potong bidang-bidang x – y – z = 1 dan 3x – 3y +7z = 9 !

2. Carilah persamaan parametrik dan simetrik garis lurus yang melalui titik-titik (1, -2, 3)

dan (4, 5, 6)!

3. Tentukanlah persamaan-persamaan vektor, parametrik dan simetrik untuk garis yang

melalui titik A(3, -2, 4) dan B(5, 6, -2)!

4. Tentukan persamaan garis yang melalui (-1, 3, 2) serta tegak lurus bidang-bidang V1 =

x +2y = 2z = 5 dan V2 = 3x + 5y + 2z = 8

5. Tentukan persamaan garis lurus g yang melalui titik P (1, 0, -1) terletak pada bidang V

= x +3y + z = 0 serta juga tegak lurus garis lurus g1 : x + 2y – z = 3, 2y – 3y +5z =1

13

Daftar Pustaka

Suryadi H.S, D. 1984. Serial Matematika dan Komputer Aski Teori dan Soal ILMU UKUR

ANALITIK RUANG. Jakarta : Ghalia Indonesia.

Sukirman. 2009. Geometri Analitik Bidang dan Ruang. Edisi I. Jakarta : Penerbit Universitas

Terbuka.