38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
-
Upload
eka-wahyuning-dhewanty -
Category
Documents
-
view
761 -
download
2
description
Transcript of 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 1/38
PERSAMAANGARIS LURUS
3
Perhatikangambardisamping.Gambartersebut menunjukkan penampang sebuahderek yang dibangun pada tahun 1886 diDermaga Tilburi dekat London. Derektersebut terdiri dari pipa baja yangdihubungkandengankabelsebagaikerekan.Pipabajabisadiibaratkansebagaigarislurus.Dapatkah kalian menentukan nilaikemiringannya terhadap tanah mendatar?Apakah nilai kemiringan tersebut dapatdipandang sebagai gradien pada persamaangarislurus?
Sumber: Jendela Iptek, 2001
Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:
dapat mengenal pengertian dan menentukan gradien garis lurus dalam berbagaibentuk;dapat menentukan persamaan garis lurus yang melalui dua titik, melaluisatu titik dengan gradien tertentu;dapatmenggambargrafikgarislurus.
Kata-Kata Kunci:gradiengarislurus
persamaangarislurusgrafikgarislurus
7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 2/38
01
X 3
58Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Pada pembahasan sebelumnya kalian telah mempelajarisecara singkat mengenai fungsi linear f ( x) = ax + b dan grafiknya
pada bidang Cartesius. Grafik fungsi linear f ( x) = ax + b berupagaris lurus jika x anggota bilangan real. Sekarang akan kalian
pelajari secara lebih mendalam mengenai garis lurus, bagaimana persamaannya, cara menggambar grafik, gradien, dan bentuk- bentuk persamaan garis tersebut.
Agarkalianmudahmempelajarinya,kalianharusmenguasaimaterisistemkoordinatCartesius,persamaanlinearsatuvariabel,dan kedudukan dua garis.
A. PERSAMAAN GARIS (1)
Gambar 3.2
Pada Gambar 3.2 hubungan nilai x dan nilai y yang terletak pada garis lurus adalah y = – 2 x + 5. Coba kamu buat garis yanglain dan tentukan hubungan nilai x dan nilai y. Secara umum,hubungan nilai x dan nilai y yang terletak pada garis lurus dapatditulis px + qy = r dengan p, q, r , bilangan real dan p, q 0.Persamaan y = – 2 x + 5 disebut persamaan garis lurus atau sering
Sebelum kita membahas lebih mendalam mengenai persamaan garis lurus, coba kalian ingat kembali pengertian persamaan linear satu variabel.
Perhatikan garis lurus pada Gambar 3.2 berikut. Kemudiansalin dan lengkapilah tabel pasangan nilai x dan y dari titik-titikyang terletak pada garis itu.
Y
x y
543
2
1 2
3 2 1 0 1 2 3 4 5 6123
Sumber: Ensiklopedi Matematika dan
Peradaban Manusia, 2003
2
Gambar 3.1 Rene Descartes
Sistem koordinatCartesius pertama kalidiperkenalkan olehRene Descartes
bersama rekannya Pierede Fermet pada perte-ngahan abad ke-17.Sistem koordinatCartesius terdiri at asgaris mendatar, yaitusumbu X dan garistegak, yaitu sumbu Y.Letak suatu titik padakoordinat Cartesiusdiwakili oleh pasangantitik ( x, y), dengan xabsis dan y ordinat.
Y
P(2, 3)3
X
Pada gambar di atas,tampak bahwa koordinattitik P(2, 3) dengan absis= 2 dan ordinat = 3.
7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 3/38
ditulismenjadi y xq .Jika q dinyatakandengan mdan
q dinyatakan dengan c maka persamaan garis tersebut dapat
y xq q
= 6 =2
59 PersamaanGarisLurus
disebut persamaan garis , karena persamaan garis tersebut dapatdisajikan sebagai suatu garis lurus dengan x, y variabel padahimpunanbilangantertentu.
Persamaan dalam bentuk px + qy = r dengan p, q 0 dapat
p r pq
r
dituliskandalambentuksebagaiberikut.
y = mx + c; dengan m, c adalah suatu konstanta
1. Menggambar Grafik Persamaan Garis Lurusy = mx + c pada Bidang Cartesius
Telahkalianketahuibahwamelaluiduabuahtitikdapatditariktepat sebuah garis lurus. Dengan demikian, untuk menggambargrafik garis lurus pada bidang Cartesius dapat dilakukan dengansyarat minimal terdapat dua titik yang memenuhi garis tersebut,kemudianmenarikgarislurusyangmelaluikeduatitikitu.
Gambarlah grafik persa-maan garis lurus2 x + 3 y = 6 pada bidangCartesius,jika x, yvariabel
pada himpunan bilanganreal.
Penyelesaian:Langkah-langkah menggambar grafik persamaan garislurus y = mx + c, c 0 sebagai berikut. – Tentukanduapasangantitikyangmemenuhipersamaan
garis tersebut dengan membuat tabel untuk mencarikoordinatnya.
– Gambar dua titik tersebut pada bidang Cartesius. – Hubungkanduatitiktersebut,sehinggamembentukgaris
lurus yang merupakan grafik persamaan yang dicari.
untuk x = 0 maka 2 0 + 3 y = 60 + 3 y = 6
3 y = 6
y 3 ( x, y) = (0, 2).
(Berpikir kritis)Perhatikan kembali
persamaan y = –
2 x +5 pada Gambar 3.2.a. Bandingkan
dengan bentuk y = mx + c. Dapat-kah kalian menen-tukan nilai m danc?
b. Kemudian, bandingkankembali dengan
bentuk p r
.
Berapakah nilai p,q, dan r ?
c. Apa yang dapatkalian simpulkandari jawaban a dan
b?
x
y
( x, y)
0
2
(0, 2)
3
0
(0, 3)
7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 4/38
= 6 =3
_3 _2 _1 0
persamaan y x ?
60Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
untuk y = 0 maka 2 x + 3 0 =62 x + 0= 6
2 x = 6
x2
( x, y) = (3, 0).
X
Y
(0, 2)
2 x + 3 y = 6
(3, 0)1 2 3 4 5
1
_1
_2
_3
32
Gambar 3.3
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
1. Diantaragambar-gambarberikut,mana-kah yang menunjukkan garis dengan
32
2
0 3X
Y
(i)
0 2X
Y
3
(ii)
7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 5/38
5. Gambarlah grafik dari y x dan
61 PersamaanGarisLurus
0X
Y
_2
3
0 3X
(iii)
Y
3
(iv)
2. Salindanlengkapilahtabelberikutsesuai
denganpersamaangarisyangdiberikan.Kemudian,gambarlahgrafikpersamaangaris lurus tersebut pada bidangCartesius.
b. 13
y
3. Gambarlahgrafikpersamaangarislurus berikut pada bidang Cartesius.
a. y = 4 x – 1 d. y = 4 b. 2 x – 3 y = 12 e. x = – 1c. x = 2 y – 2 f. y = x
4. a. Gambarlahgrafikdari
y = 2 x, y = 2 x + 3, dan y = 2 x – 2 padasatubidang koordinat.
b. Adakah hubungan antara ketiga ga-ris tersebut?
c. Bagaimanakahkoefisien x padaketi-ga garis tersebut?
d. Apa yang dapatkaliansimpulkan?
1
2 y = 2 x + 1 pada satu bidang koordinat.a. Adakah hubungan antara ketiga
garis tersebut? b. Bagaimanakah koefisien x pada
ketiga garis tersebut?c. Apayangdapatkaliansimpulkan?
2. Menyatakan Persamaan Garis Jika GrafiknyaDiketahuia. Persamaan garis y = mx
Untuk menyatakan persamaan garis dari gambar yangdiketahui maka kita harus mencari hubungan absis ( x) danordinat( y)yangdilaluigaristersebut.
a. y = 5 x
x
y
( x, y)
0
....
(..., ...)
....
5
(..., ...)
x 1
x 0 ....
y
( x, y)
.... 0
(..., ...) (..., ...)
7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 6/38
l 22
1
y1 1 x1
garisnya adalah y x x . Adapun garis l 2 melalui
y1 2 x1
y x x atau y = – x.
62Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
1 21
3 54 6X
Y
4
3
2
1
12
2
Gambar 3.4
Perhatikan Gambar 3.4. Misalkan bentuk persamaangaris tersebut adalah y = mx + c dengan m dan c konstanta.Karena titik (0, 0) dan (4, 2) terletak pada garis tersebut makadiperoleh
y = mx + c0 = m(0) + c atau c = 0, sehingga
2 = m(4) + 0 atau m =12
.
12
Jadi,persamaangaristersebutadalah y=mx+catau y x.
Persamaan garis yang melalui titik O(0, 0) dan titik
P( x1, y1) adalah y y1
x1 x . Jika y1
x1m maka persamaan
garisnya adalah y = mx.
Penyelesaian:
Garis l 1melaluititik(0,0)dan(4,1),sehinggapersamaan
4
titik(0,0)dan( – 2,2),sehinggapersamaangarisnyaadalah
2
l 1
X
Tentukanpersamaangarisluruspadagambarberikut.
Y
3(4, 1)
( 2, 2)
2 1 1 2 3 412
Gambar 3.5
7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 7/38
63 PersamaanGarisLurus
b. Persamaan garis y = mx + cPada pembahasan sebelumnya, kalian telah mempe-
lajari bahwa persamaan garis yang melalui titik O(0, 0) dan
P( x1, y1) adalah y y1
x1 x .
22 11
1 34 3 5
65
4
3
2
1
4X
Sekarang, perhatikan Gambar 3.6. Pada gambartersebutgaris k melaluititikO(0,0)dantitikA(4,3),sehingga
34
cobageserlahgaris k sampaiberimpitdengangaris l sehingga(0,0) (0,3)dan(4,3) (4,6).Garis l melaluititikB(0,3)dan C(4, 6) sejajar garis k .
Y
C(4, 6)
A(4, 3)
B(0, 3)
l
k
2
3
Gambar 3.6
Misalkan persamaan garis l adalah y = mx + c.Karena garis l melalui titik (0,3) maka berlaku
3 = m (0) + c
3 = c atau c = 3Karena garis l melalui titik (4, 6) maka berlaku6 = m(4) + c6 = 4m + 34m = 3
m =34
Jadi, persamaan garis l yang sejajar dengan garis k adalah
34
y = mx + c atau y x 3.
7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 8/38
l 2
l 1
_2 _1 0 51 2 3 4 y x 15 .
_2 _1 0
64Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Dengan demikian, kita dapat menentukan persamaan suatugaris l denganmemerhatikanberikutini.1. Titikpotonggaris l dengansumbuY.2. Persamaan garis yang sejajar dengan garis l dan melalui
titik(0,0).
Persamaan garis yang melalui titik (0, c) dan sejajargaris y = mx adalah y = mx + c.
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
1. Tentukan persamaan garis pada gambar berikut.
Y
5
4
3
2
1
X
(i)
1 2 3 4
X
Y
l 4
l 3
5
(ii)
432
1
_1 _2
6
2. Gambarlah garis yang melalui titik pangkal koordinat O(0, 0) dan titik-titik berikut, kemudian tentukan persamaangarisnya.a. (3, 4) c. ( – 3, – 5)
b. ( – 2, 5) d. (4, – 3)3. a. DiketahuititikA( – 8,a )terletakpada
garis yang persamaannya
1
4Tentukannilai a .
b. Diketahui titik B(b, 5) terletak padagaris yang persamaannya 4 x – 3 y +7 = 0. Tentukan nilai b.
4. Gambarlah garis yang melalui titik-titik berikut, kemudian tentukan persamaandari masing-masing garis tersebut.a. P(0, 2) dan Q(2, 0)
b. R(0, 3) dan S(-4, 0)c. K(0, 4) dan L(-1, 0)
7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 9/38
y = 1 x
65 PersamaanGarisLurus
B. GRADIEN
Coba kalian perhatikan orang yang sedang naik tangga.Dapatkah kalian menentukan nilai kemiringannya? Jika tangga
dianggap sebagai garis lurus maka nilai kemiringan tangga dapatditentukandengancaramembandingkantinggitembokyangdapatdicapai ujung tangga dengan jarak kaki tangga dari tembok. Nilaikemiringan tangga tersebut disebut gradien . Pada pembahasanini kita akan membahas cara menentukan gradien dari suatu garislurus.
1. Gradien Suatu Garis yang Melalui Titik Pusat O(0, 0)dan Titik (x , y )
Agar kalian memahami pengertian dan cara menentukangradien suatu garis yang melalui titik O(0, 0) dan titik ( x, y),
perhatikan Gambar 3.8.
Pada Gambar 3.8 tersebut tampak garis y = 1 x dengan titik2
O(0, 0), A(2, 1), dan B(6, 3) terletak pada garis tersebut.Bagaimanakahperbandinganantarakomponen ydankomponen x
dari masing-masing ruas garis pada garis y = 1 x tersebut?2
Y
A(2, 1)
xA
B(6, 3)
yB
X yA
A’
C
B’
2
xB
4
321
O
Gambar 3.8
Perhatikan ruas garis OA pada segitiga OAA .
AAOA
12
yA
xA
Perhatikan ruas garis OB pada segitiga OBB .
BBOB
36
12
yB
xB
Sumber: Dok. Penerbit
Gambar 3.7
7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 10/38
P'
66Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Perhatikan juga ruas garis AB pada segitiga ABC.
BCAC
3 16 2
24
12
yAB
xAB
Dari uraian di atas ternyata perbandingan antara komponen y dan komponen x pada masing-masing ruas garis menunjukkan bilanganyangsama.Bilanganyangsamatersebutdisebut gradien .
12
Jadi, gradien dari garis y x adalah 12
. Bandingkan dengan
2menyimpulkanberikutini?
Gradien suatu garis adalah bilangan yang menyatakankecondongan suatu garis yang merupakan perbandinganantara komponen y dan komponen x.
Besar gradien garis yang persamaannya y = mx adalah besarnyakoefisien x,sehinggadapatdisimpulkansebagaiberikut.
Garis dengan persamaan y = mx memiliki gradien m.
Bagaimana cara menentukan gradien garis yang persamaannya y = mx + c? Agar kalian mudah memahaminya, perhatikan Gambar 3.9.
y = 2 x + 3
S(2, 7)
R(1, 5)
XQ'
1 2 3 4 5P''
Y
765432
Q( 1, 1) 1
3 2 10P( 2, 1)
Gambar 3.9
Pada gambar tersebut tampak bahwa garis yang memiliki persamaan y = 2 x + 3 melalui titik-titik P( – 2, – 1), Q( – 1, 1),R(1, 5), dan S(2, 7).
Sekarang perhatikan perbandingan antara komponen y dankomponen x dari beberapa ruas garis y = 2 x + 3.
7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 11/38
a
b
67 PersamaanGarisLurus
Perhatikan ruas garis PQ pada segitiga PP Q .
221
y p
x p
QP PP
Perhatikan ruas garis QR pada segitiga QQ R .
242
yQ
xQ
RQQQ
Perhatikan ruas garis PS pada segitiga PP S .
284
yS
xS
SP PP
Berdasarkan uraian di atas ternyata perbandingan antarakomponen y dan komponen x pada masing-masing ruas garismenunjukkanbilanganyangselalusama.Bilanganyangselalusamatersebut disebut gradien . Jadi, garis dengan persamaan y = 2 x + 3memilikigradien2.
Garis dengan persamaan y = mx + c memiliki gradien m.
Selanjutnya, bagaimana menentukan gradien garis yang berbentuk ax + by = c?Sebelumnya ubahlah bentuk ax + by = c ke bentuk y = mx + cdengan cara seperti berikut.
ax + by = cb y = – ax + c
y = xab
cb
koefisien x menunjukkan gradien
Gradien garis ax + by = c adalah .
Gradien garis dengan persamaan ax + by = c adalah ab
.
(Berpikir kritis)Kalian telah
mempelajari bahwagradien garis dengan persamaan ax + by = c
adalahab
.
a. Bagaimana jikaa = 0? Berapakahgradiennya?
b. Bagaimana pula jikab = 0? Berapakahgradiennya?
Diskusikan dengantemanmu. Ujilah jawab-anmu dengan uraianmateri selanjutnya.
7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 12/38
y = 5 x – 1
m= 5
68Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Tentukangradiendariper-samaan garis berikut.a. 2 y = 5 x – 1
b. 3 x – 4 y = 10
Penyelesaian:
a. Ubah persamaan garis 2 y = 5 x –
1 ke bentuk y = mx + c.
2 2
2
Atau dengan cara lain, ubah persamaan garis2 y = 5 x – 1 ke bentuk ax + by = c.
2 y = 5 x –
1 5 x –
1 = 2 y5 x – 2 y = 1Gradien garis 5 x – 2 y = 1 adalah
.52
52
m ab
b. 3 x – 4 y = 10
m ab
= 34
= 34
.34
Jadi, gradien garis 3 x – 4 y = 10 adalah m
2. Gradien Garis yang Melalui Dua Titik ( x 1, y 1) dan(x 2, y 2)
Kalian telah mempelajari bahwa gradien suatu garis adalah perbandinganantarakomponen ydankomponen xruasgarisyangterletak pada garis tersebut.
7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 13/38
y 2
y
1 _
y y1 y2
yAB y2 y1 y xAB x2 x1
mAB .
mAB
69 PersamaanGarisLurus
Berdasarkan gambar tersebut tampak bahwa ruas garis ABmelalui titik A ( x1, y 1) dan B( x2, y 2), sehingga perbandingankomponen y dan komponen x ruas garis tersebut adalah
x
Dengandemikian,dapatdisimpulkansebagaiberikut.
Gradien garis yang melalui titik ( x1, y1) dan ( x2, y2) adalah
m y x
y2
x2
y1
x1.
Catatan:
Selisih antara dua bilangan x1 dan x2 dinotasikan dengan
x = x2 – x1 ( dibaca: delta ).
Tentukan gradien garis
yangmelaluititika. A(1, 2) dan B(3, 0);
b. C( – 3, 1) danD( – 2, – 5).
1
0 23 1
22
Penyelesaian:
a. Gradien garis yang melalui titik A(1, 2) dan B(3, 0)adalah
y x yB yA
xB xA
(Berpikir kritis)
Apakah gradien garisyang melalui titik
( x1, y1) dan ( x2, y2)dapat dirumuskansebagai
m ? x x1 x2
Apakah ada syarattertentu agar haltersebut berlaku?
Eksplorasilah hal inidengan mendiskusi-kan bersama tema nsebangkumu.Hasilnya, kemukakansecara singkat didepan kelas.
0
Perhatikan ruas garis AB pada Gambar 3.10.Y
B ( x2, y2)
A
( x1, y1)
yAB y2
y1
X x1
xAB
x2 _ x1
x2
Gambar 3.10
7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 14/38
m
k
, -3
70Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
b. GradiengarisyangmelaluititikC( – 3,1)danD( – 2, – 5)adalah
mCD y x
yD yC
xD xC
5 12 ( 3)6
16
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
-6
(-5 -4
-4 -3 -2 -1 -1-2
) -3
-6
1 2 3 4 5 6 7 8
(7, -6)
1. Gambarlah garis yang melalui titik pangkal koordinat O(0, 0) dan titik berikutpadabidangkoordinatCartesius.Kemudian,tentukangradiendarimasing-masing garis tersebut.a. A(1, 7) d. D(3, – 5)
b. B(5, 3) e. E(5, 0)c. C( – 2, 4) f. F(0, 3)
2. Perhatikangambarberikut.Padagambartersebut garis k melalui titik (0, 0) dan( – 5, – 3), garis l melalui titik (0, 0) dan(7, – 6), serta garis m melalui titik (0, 0)dan(3,4).Tentukangradiendarimasing-masing garis tersebut.
5
l 4 (3, 4)321
3. Tentukan gradien garis berikut.
a. y = x d. y = 1 x2
b. y = – 2 x – 3 e. x + 2 y – 1 = 0c. y = 3 x – 1 f. – 3 x + 5 y = 0
4. Gambarlahgarisyangmelaluikeduatitik berikutpadabidangkoordinatCartesius.a. A(1, 2) dan B( – 2, 3)
b. C(7, 0) dan D( – 1, 5)c. E(1, 1) dan F( – 3, – 4)d. G(5, 0) dan H(0, 4)e. I(2, 0) dan J(0, – 4)Kemudian,tentukangradiendarimasing-masing garis tersebut.
5. Diketahui persamaan garis y = mx + c.Tentukannilai mdan c jikagaristersebutmelaluititika. (2, 1) dan ( – 3, – 1);
b. (2, 0) dan (0, – 4);c. ( – 4, 2) dan (3, – 3);d. (0, 2) dan (5, 0).
7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 15/38
sehingga gradien garis OA 2
0
B2
0
71 PersamaanGarisLurus
3. Mengenal Gradien Garis T ertentua. Gradien garis yang sejajar sumbu X dan gradien garis
yang sejajar sumbu Y
X
Perhatikan Gambar 3.11. Jika garis OA kita putar searah jarumjamsehinggaberimpitdengansumbuXmakadiperolehgarisOA 2. Titik-titik yang terletak pada garis OA 2 memiliki ordinat 0,
komponen yOA 2
0OA 2
Gradien garis yang sejajar sumbu X adalah nol.
Y
A
O
A1
A2
(Berpikir kritis)Diskusikan dengantemanmu.Segitiga PQR sama-kaki dengan PQ = PR= 3. Sisi PR terletak
pada sumbu X danPQ pada sumbu Y de-ngan P terletak padatitik pusat koordinat.Tentukana. koordinat Q dan R;
b. gradien garis PQ,dan PR;
c. persamaan garisPQ dan PR.
BB'B2
O X
Gambar 3.11
Selanjutnya, kita akan menentukan gradien dari garis yangsejajarsumbuY.PerhatikanGambar3.12.JikagarisOBkitaputar
berlawanan arah jarum jam sehingga berimpit dengan sumbu YmakadiperolehgarisOB 2.Titik-titikyangterletakpadagarisOB 2
memilikiabsis0,sehinggaY
Gambar 3.12
GradiengarisyangsejajarsumbuYtidakdidefinisikan.
OB OB 2
komponen x(tidak didefinisikan)
7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 16/38
4
72
X
b. Gradien garis-garis yang saling sejajarPerhatikan Gambar 3.13.Pada gambar tersebut tampak pasangan ruas garis sejajar
AB//CD//EF dan ruas garis GH//IJ//KL. Bagaimanakah gradienruas garis yang saling sejajar tersebut?
Y
B
6
D
5
E
1
F
C
A3 4
G
2
H
I
J
5L
3
2
1
K _4 _3 _2 _1 0 7
76
Gambar 3.13
Perhatikanuraianberikutini.) RuasgarisABmelaluititikA(4,0)danB(6,2),sehinggagradien
ruas garis AB adalah
mAB yB
xB
yA
xA
2 06 4221.
) RuasgarisCDmelaluititikC(3,2)danD(5,4),sehinggagradienruas garis CD adalah
mCD yD
xD
yC
xC
4 2 25 3 2
) RuasgarisEFmelaluititikE(1,1)danF(3,3),sehinggagradienruas garis EF adalah
1.3 1
3 1
Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
2
2
mEF yF
xF
yE
xE
7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 17/38
3 , dengan garis GH//IJ//KL.
(i) x y 2
73 PersamaanGarisLurus
Berdasarkan uraian di atas tampak bahwa mAB = mCD = mEF
= 1, dengan garis AB//CD//EF.
Sekarang kita akan mencari gradien dari garis GH, garis IJ,dan garis KL.) RuasgarisGHmelaluititikG(2,3)danH(0,6),sehinggaberlaku
.6 30 2
32
mGH yH
xH
yG
xG
) RuasgarisIJmelaluititikI(0,3)danJ( – 2,6),sehinggaberlaku
.6 32 0 32
mIJ yJ
xJ
yI
xI
) Ruas garis KL melalui titik K( – 1, 1) dan L( – 3, 4), sehingga berlaku
.4 1 33 ( 1) 2
mKL yL
xL
yK
xK
Berdasarkan uraian tersebut, tampak bahwa mGH = mIJ =
mKL =2
Dariuraiandiatasdapatdisimpulkanbahwagaris-garisyangsejajarmemilikigradienyangsama.
Jika garis y1 = m1 x + c sejajar dengan garis y2 = m2 x + cmaka gradien kedua garis tersebut sama, atau m1 = m2.
Tentukankedudukangaris y = – 2 x + 5 dengan garis berikut.
12
(ii) 4 x + 2 y = 5
Penyelesaian:Garis y = – 2 x + 5 berbentuk y = mx + c, sehingga gradiengaris tersebut adalah m1 = – 2.
12
y 2 menjadibentuk(i) Ubahlahbentuk x
y mx c .
7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 18/38
E
_4 _3 _2 _1 0
74Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
212
x y y12
y
2 x
4 2 x
Gradien dari persamaan garis y = 4 – 2 x adalahm2 = – 2.Karena m2 = m1 = – 2, maka garis y = 2 x + 5 dan garis
12
(ii)Bentuk 4 x + 2 y = 5 jika diubah ke bentuk y = mx + csebagaiberikut.
52
4 x 2 y 5 2 y 5 4 x
y 2 x
52
m2 = m1, maka garis y = 2 x + 5 dan garis 4 x + 2 y = 5salingsejajar.
c. Gradien garis yang saling tegak lurusUntuk menentukan gradien garis yang saling tegak lurus
perhatikanGambar3.14.Denganmenggunakanbusurderajatatau penggarissiku-siku,dapatkahkalianmenunjukkanhubunganantararuas garis AB dengan ruas garis CD? Bagaimana pula hubunganantararuasgarisEFdenganruasgarisGH?Apakahkeduapasangruas garis tersebut saling tegak lurus? Jika kalian menggunakan
penggarissiku-sikudengancermat,kalianakanmemperolehbahwaruas garis AB GH.
1 2 5X
B
C3 4
D
A
F
G
H
432
1
_1 _2 _3
6
CD dan ruas garis EFY
5
Gambar 3.14
7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 19/38
mAB .
mCD 3.
Perhatikan bahwa mAB mCD 3 1.
mEF 1.
mGH 1.
mPQ .
75 PersamaanGarisLurus
Sekarangakankitaselidikigradiendarimasing-masingruasgaristersebut.
) Ruas garis AB melalui titik A(1, 1) dan B(4, 2), sehingga
2 1 1
4 1 3) Ruas garis CD melalui titik C(3, 0) dan D(2, 3), sehingga
3 0 32 3 1
13
Dari Gambar 3.15 tampak bahwa garis AB CD denganmAB mCD = – 1 ........................................................... (i)
Selanjutnya akan kita cari gradien dari ruas garis EF dan GH.
) Ruas garis EF melalui titik E( – 3, 3) dan F(2, – 2), sehingga
2 3 52 ( 3) 5
) Ruas garis GH melalui titik G( – 3, 0) dan H(0, 3), sehingga
3 0 30 ( 3) 3
1 1Perhatikan bahwa mEF mGH 1.
Dari Gambar 3.14 tampak bahwa garis EF GH denganmEF mGH = – 1 ........................................................... (ii)
Berdasarkan(i)dan(ii)dapatdikatakanbahwajikaduabuahgarissalingtegaklurusmakahasilkaligradienkeduagaristersebutadalah – 1.
Hasil kali gradien dua garis yang saling tegak lurus adalah – 1.
Selidikilah apakah garisyang melalui titik P(3, 1)dan Q(9, 5) tegak lurusdengangarisyangmelaluititik R(8, 0) dan S(4, 6).
Penyelesaian:GradiengarisyangmelaluititikP(3,1)danQ(9,5)adalah
5 1 4 29 3 6 3
(Menumbuhkaninovasi)Bentuklah kelompokyang terdiri atas 4orang, 2 pria dan 2wanita. Diskusikan hal
berikut.a. Diketahui persa-
maan garis ax +by = c dan px + qy= r saling sejajar.Bagaimana hu-
bungan antara adan b dengan pdan q?
b. Diketahui persa-maan garis ax +by = c dan px + qy= r saling tegaklurus. Bagaimanahubungan antara adan b dengan pdan q?
Dari jawaban a dan b, buatlah kesimpulan-nya.
7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 20/38
e. 4 x + y – 1 = 01
76Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
1. Tentukangradiendarigaris-garisberikut.a. x = 0 d. y = -4
b. x = 3 e. y = 0c. x = -5 f. y = 6
2. Di antara persamaan garis berikut,manakahyangsejajardengangarisyangmelaluititik(0,0)dan( – 2,1)?a. y = 2 x – 5 d. 2 x – y = 3
b. y x2
c. x + 2 y = 1
3. Tentukan gradien garis y = mx + c, agara. sejajar dengan garis 2 x – 3 y = 10;
b. tegak lurus dengan garis 3 x + 4 y =5.
4. Tentukan gradien garis yang melaluikedua titik berikut. Adakah hubungansejajar atau tegak lurus di antaranya?a. A(-1, 0) dan B(0, 2)
b. C(0, 3) dan D(2, 2)c. E(1, -2) dan F(3, 2)d. G(2, 3) dan H( 6, 1)
5. Diketahui sebuah garis melalui titik
A(3, 0) dan B(0, 2). Suatu garis lainmelaluititikO(0,0)danC(3,3).a. Dengan menentukan gradien
masing-masinggaris,bagaimanakahkedudukan dua garis tersebut?
b. Tentukan persamaan garis yangmelaluititikOdanC?
GradiengarisyangmelaluititikR(8,0)danS(4,6)adalah
.6 04 8
64
32
mRS
12
3
3
2mPQ mRS
Karenahasilkaligradienkeduagarisadalah – 1,sehinggakedua garis tegak lurus.
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
C. PERSAMAAN GARIS (2)
Pada pembahasan yang lalu kalian telah mempelajari caramenentukanpersamaangaris y=mxdan y=mx+c jikagrafiknyadiketahui. Pada bagian ini kalian akan mempelajari secara lebihmendalam mengenai cara menentukan persamaan garis jikagrafiknyatidakdiketahui.Pelajariuraianberikutini.
7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 21/38
12 garis yang melalui titik (3, 5) dan bergradien 1 sebagai
x
x
x
77 PersamaanGarisLurus
1. Persamaan Garis yang Melalui Sebuah Titik ( x 1, y 1)dengan Gradien m
Misalkansuatugarismempunyaigradien mdanmelaluisebuahtitik ( x1, y1). Bentuk persamaan garis tersebut adalah y = mx + c.Untuk menentukan persamaan garis tersebut perhatikan langkah-
langkahberikut.(a) Substitusi titik ( x1, y1) ke persamaan y = mx + c.
y = mx + c
y1 = mx1 + c
c = y1 – mx1
(b) Substitusi nilai c ke persamaan y = mx + c. y = mx + c
y = mx + y1 – mx1
y – y1 = mx – mx1
y – y1 = m( x – x1)
Persamaan garis yang melalui titik ( x1, y1) dan bergradien madalah y – y1 = m( x – x1).
Tentukan persamaangaris yang melalui titik( – 3, 2) dan tegak lurus
dengan garis yangmelalui titik (1, 3) dan( – 1, 4). Gambarlahkedua garis tersebut
pada satu bidang ko-ordinat dan tentukankoordinat titik potong-nya.
Tentukanpersamaangarisyangmelaluititik(3,5)dan
bergradien .
Penyelesaian:Persamaan garis yang melalui titik ( x1, y1) dan bergradienm adalah y – y1 = m( x – x1). Oleh karena itu persamaan
2 berikut.
5
atau
3
3272
y y1 m x x1
y 5
y
y
2 y
121212
x 7
7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 22/38
Gradien garis 3 x + 4 y = 5 adalah m134
78Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
2. Persamaan Garis yang Melalui titik (x 1, y 1) dan Sejajardengan Garis y = mx + c
PerhatikanGambar3.15.Gambartersebutmenunjukkangarisl dengan persamaan y = mx + c bergradien m dan garis g sejajardengan l . Karena garis g // l maka m g = ml = m.
X
Y
0
l
( x1, y1)
g
y = mx + c
Gambar 3.15
Garis g melalui titik ( x1, y1) dan bergradien m, sehingga persamaan garisnya adalah y – y1 = m( x – x1).
Persamaangarisyangmelaluititik( x1, y1)dansejajargaris y = mx + c adalah y – y1 = m( x – x1).
Tentukanpersamaangarisyang melalui titik (2, – 3)dan sejajar dengan garis3 x + 4 y = 5.
Penyelesaian:
. Karena garis
yang melalui titik (2, – 3) sejajar dengan garis 3 x + 4 y = 5,
3
4
maka gradiennya = m2 .
Persamaan garis yang melalui titik (2, – 3) dan bergradien
34
adalah
3434
y y1 m x x1
y 3
y 3
x 2
x 2
7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 23/38
x
x
79 PersamaanGarisLurus
3
atau
y
y
4 y
3 34 23 34 2
3 x 6
3. Persamaan Garis yang Melalui (x 1, y 1) dan Tegak Lurusdengan Garis y = mx + c
Untukmenentukanpersamaangaris g yangtegaklurusgarisl , perhatikan Gambar 3.16. Pada gambar tersebut tampak bahwagaris l memiliki persamaan garis y = mx + c dan bergradien m.
Garis g l , sehingga m g .ml = – 1 atau m g1
ml
1m
0 X
Y
g
l
y = mx + c
( x1, y1)
Gambar 3.16
Karenagaris g melaluititik( x1, y1)danbergradien 1 ,makam
persamaan garisnya adalah y y11m
x x1 .
Persamaan garis yang melalui titik ( x1, y1) dan tegak lurus
dengan garis y = mx + c adalah y y11m
x x1 .
7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 24/38
Gradien garis 2 x – 3 y = 6 adal
y y1 1 x x
y 3 x 1
y 3 x 1
y x 3
y x atau 2 y 3 x 3
_4 _3 _2 _1 0
80Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Tentukanpersamaangarisyang melalui titik ( – 1, 3)
dan tegak lurus garis2 x – 3 y = 6, kemudiangambar grafiknya pada
bidangkoordinat.
Penyelesaian:
3 3
Persamaangarisyangmelalui( – 1,3)dantegaklurusgaris2 x – 3 y = 6 adalah
1m123323 32 23 32 2
Gambar grafiknya sebagai berikut.
X
Y
2 x _ 3 y = 6
21
4321
(_1, 3)
3 4 5 6 _1 _2 _3 _4
65
32
32
y x
Gambar 3.17
7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 25/38
3 ke
81 PersamaanGarisLurus
1 2X
4. Persamaan Garis yang Melalui Dua Titik Sebarang(x 1, y 1) dan (x 2, y 2)
Perhatikan Gambar 3.18.Y
4
_1)
5
l
6 7 8
32
1
_0 1
_2
A(1, 2)
3
B(5,
Gambar 3.18
Misalkan kalian akan menentukan persamaan garis yangmelalui titik A(1, 2) dan titik B(5, – 1) seperti pada Gambar 3.18.
Coba kalian ingat kembali bentuk fungsi linear y = ax + b.Misalkan persamaan garis l adalah y =ax + b. Untuk menentukan
persamaan garis l , perhatikan uraian berikut.) Substitusikan titik (1, 2) ke persamaan y = ax + b.
2 = a(1) + b 2 = a + b ............................................ (i)
Selanjutnya,substitusikantitik(5, – 1)kepersamaan y = ax + b. – 1 = a (5) + b – 1 = 5a + b ..................................... (ii)
Kemudian,eliminasipersamaan(i)dan(ii),sehinggadiperoleh2 = a + b
– 1 = 5a + b
2 – ( – 1)3
= a – (5a )= – 4a
34
a
4Untuk memperoleh nilai b substitusikan nilai a
persamaan (i).2 = a + b
34
b
3
4
11
4
2
b 2
7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 26/38
x
adalah y 3 x 11 atau 4 y = – 3 x + 11.
mAB
82Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
y ax b
y
4 y
3 114 4
3 x 11
Jadi, persamaan garis yang melalui titik A(1, 2) dan B(5, – 1)
4 4
Dari contoh di atas tampak bahwa persamaan garis yangmelaluiduatitikdapatdiselesaikandengansubstitusikefungsili-near y = ax + b.
Persamaangarisyangmelaluiduatitikdapatdiselesaikandengan substitusi ke fungsi linear y = ax + b.
Selaindengancarasubstitusikefungsilinear,untukmenentu-kan persamaan garis yang melalui dua titik dapat diselesaikandengan cara seperti berikut.
Dari Gambar 3.18 diketahui garis l melalui titik A(1, 2) danB(5, – 1). Gradien garis yang melalui titik A dan B adalah
y2 y1
x2 x1
1 25 134
34
dan melalui titikPersamaan garis l yang bergradien m
A(1, 2) adalah y y1 m x x1
343 3
4 43 114 4
Dengan memerhatikan bahwa gradien yang melalui titikA( x1, y1) dan B( x2, y2) adalah
mAB y2
x2
y1
x1
maka persamaan garis yang melalui titik A dan B adalah
y y1 x x1 . y2
x2
y1
x1
(Menumbuhkaninovasi)
Bentuklah kelompokyang terdiri atas 2orang, 1 pria dan 1wanita. Coba diskusi-kan, bagaimanakah
persamaan garis yangmemotong sumbu Y dititik (0, a ) dan memo-tong sumbu X di(b, 0)?Kalian dapat menggu-nakan berbagai cara.Bandingkan hasilnya.
Eksplorasilah, apakahdapat dikatakan
bahwa persamaangaris yang melalui titik(0, a ) dan (b, 0) adalahax + by = ab ?Ujilah jawabanmudengan persamaantersebut.
7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 27/38
y2 y1
x2 x1
y y1
y2 1 y
x
83 PersamaanGarisLurus
Persamaan garis yang melalui titik A( x1, y1) dan B( x2, y2)adalah
y y1 x x1
atau dapat dituliskan . x x1
x2 x1
(Menumbuhkankreativitas)Menurutmu, manakah
yang lebih mudah caramenentukan persa-maan garis yang me-lalui dua titik sebarangdengan substitusi kefungsi linear
y = ax + b, ataukahdengan rumus sepertidi samping? Jelaskan
pendapatmu.
Tentukanpersamaangarisyang melalui titik (3, – 5)dan ( – 2, – 3).
Penyelesaian:Persamaan garis yang melalui titik (3, – 5) dan ( – 2, – 3)sebagaiberikut.Cara 1Dengan substitusi ke fungsi linear y = ax + b.
y = ax + b – 5 = a(3) + b – 3 = a( – 2) + b
– 5 = 3a + b – 3 = – 2a + b
– 5 – ( – 3) = 3a – ( – 2a) – 5 + 3 = 3a + 2a
– 2 = 5a
= a
5 3 2
565195
25
Substitusi nilai a ke persamaan
5 3a b
b
b5
b
Persamaan garis yang memenuhi
2 195 5
y = ax + b adalah y atau – 5 y = 2 x + 19 .
7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 28/38
y x
x
84Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
atau2 195 5
Cara 2Dengan menggunakan rumus.Substitusi titik (3, – 5) dan ( – 2, – 3) ke
persamaan y y1 x x1
y2 y1 x2 x1
y ( 5)3 ( 5)
y 52
5 y 5
x 32 3
x 35
2 x 3
5 y 25 2 x 6
5 y
5 y
2 x 6 25
2 x 19
5 y 2 x 19Jadi,persamaangarisyangmelaluititik(3, – 5)dan( – 2, – 3)
2 195 5
adalah y atau – 5 y = 2 x + 19.
5. Menggambar Garis yang Melalui Titik ( x 1, y 1) denganGradien mPada pembahasan yang lalu kalian telah mempelajari cara
menggambar grafik persamaan garis y = mx + c. Coba kalianingat kembali bagaimana cara menggambarnya.Sekarang, kalianakan mempelajari cara menggambar garis yang belum diketahui
persamaannya.Dalamhalini,garisyangmelaluititik( x1, y1)dengangradien m. Agar kalian lebih mudah memahaminya, perhatikancontohberikut.
Gambarlahgarisyangme-lalui titik P(2, 0) dengan
gradien 12
.
Penyelesaian:Untuk menggambar garis yang melalui titik P(2, 0) dan
bergradien12
langkah-langkahnyasebagaiberikut.
– Gambar titik P(2, 0) pada bidang koordinat Cartesius.
7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 29/38
_1
P(2
15
1
2
85 PersamaanGarisLurus
– Karenagradienadalahperbandinganantarakomponen
y dan komponen x, maka m = .12
y x
X
,0)
1 2 3 4 5 y = _ 1 Q
x =2
21
0
_2
_3
y = – 1, artinya ke bawah 1 satuan dari titik P(2, 0)diteruskan dengan x = 2, artinya ke kanan 2 satuan,sehinggadiperolehtitikQ(4, – 1).
– Hubungkan titik P dan titik Q.Garis yang melalui titik P(2, 0) dan Q(4, – 1) adalahgarisyangdimaksud.
Y
3
6 7
Gambar 3.19
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
1. Tentukan persamaan garis yang melaluititik
a. A(1, 3) dan bergradien 2;
b. C(7, 1) dan bergradien ;
c. D(3, 0) dan bergradien ;d. E( – 2, – 3) dan bergradien – 1.
Kemudian, gambarlah garis tersebut padabidangkoordinatCartesius.Berilahnama untuk masing-masing garistersebut.
2. Tentukan persamaan garis yang melaluititik
a. A( –
2, 3) dan sejajar garis y = – x – 5;
b. B( – 4, 0) dan sejajar garis2 x + 3 y = 1;
c. D( – 3, 1) dan sejajar garis x + 4 y + 5 = 0;
d. E(2, 4) dan sejajar garis x = 3 y + 3.
3. Tentukan persamaan garis yang melalui
titik-titikberikut.a. A(3, – 2) dan B( – 1, 3)
b. Q( – 5, 0) dan R(3, 4)c. K(7, 3) dan L( – 2, – 1)d. M(1, 1) dan N( – 6, 4)
4. Diketahui suatu garis bergradien 5melaluititikP(1,0)danQ( x,5).Tentukannilai x.
7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 30/38
b. y x 6
y x 432
k
86Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
5. Tentukan persamaan garis yang melaluititik (2, 5) dan tegak lurus dengan garis
berikut.a. 2 x + y + 5 = 0
12
c. 3 x = – 4 y + 5
d.
D. MENENTUKAN TITIK POTONG DUA GARIS
X
Kalian telah mempelajari cara menentukan persamaan ga-ris yang saling sejajar maupun tegak lurus. Dua garis yang sejajartidak akan pernah berpotongan di satu titik. Sebaliknya, dua garis
yang saling tegak lurus pasti berpotongan di satu titik. Dengantanpa menggambarnya terlebih dahulu, kalian dapat menentukantitikpotongduagarisyangtidaksejajar.Pelajariuraianberikut.
1. Kedudukan Dua Garis pada Bidang
Ada dua macam kedudukan dua garis pada bidang, yaitusejajar dan berpotongan.
Dua garis sejajar Dua garis berpotongan
Gambar 3.20
Duagarissejajartidakakanberpotongandisatutitiktertentumeskidiperpanjangsampaitakberhingga.Dengandemikian,dapatdikatakanbahwatidakadatitikpotongantaraduagarisyangsejajar.
2. Menentukan Koordinat Titik Potong Dua Garis
Perhatikan Gambar 3.21.Y
l
0
Gambar 3.21
(Menumbuhkankreativitas)Misalkan terdapat tiga
buah garis g , h, dan k ,serta dua titik A dan B.Garis g dengan persa-maan (a + 1) x – 2 y =3 dan garis h dengan
persamaan x – ay = 0.Titik A adalah titik
potong garis g dan h,sedangkan garis k
adalah garis yangmelalui titik B(1, 5)dan sejajar garis g .Tentukana. gradien garis g , h,
dan k ; b. nilai a , jika g h;c. koordinat titik A;d. persamaan garis
k ;e. titik potong garis k
dan h.Gambarlah ketigagaris tersebut pada
bidang koordinatCartesius.Hasilnya, kumpulkankepada gurumu.
7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 31/38
87 PersamaanGarisLurus
Pada Gambar 3.21 tampak bahwa garis k dan garis l tidaksaling sejajar. Telah kalian pelajari bahwa dua garis yang tidaksaling sejajar akan berpotongan di satu titik tertentu. Untukmenentukan titik potong garis k dan l , perhatikan uraian berikut.Misalkan garis k memiliki persamaan y1 = m1 x + c1;
garis l memiliki persamaan y2 = m2 x + c2;Jika kedua garis ini berpotongan di titik P( xo, yo) maka berlaku
yo = m1 xo + c1
yo = m2 xo + c2
Darikeduapersamaanini,diperoleh
0
m1 xo c1 m2 xo c2
m1 xo m2 xo c2 c1
xo m1 m2 c2 c1
xo , m1 m2c2 c1
m1 m2
Selanjutnya,untukmemperolehnilai yo,substitusikannilai xo padasalah satu persamaan garisnya.
Jika y1 = m1 x + c1 dan y2 = m2 x + c2 adalah persamaan duagaris yang tidak saling sejajar maka titik potongnya dapatdicari dengan menyelesaikan persamaan m1 x + c1 =m2 x + c2, kemudian menyubstitusikan nilai x ke salah satu
persamaan garis tersebut.
Tentukan koordinat titik potong garis x + y = 3 dan y = 2 x – 1.
Penyelesaian: x + y = 3 dan y = 2 x – 1Ubahterlebihdahulupersamaangaris x+ y=3kebentuk
y = mx + c.
x + y =3 y =3 – x y = 3 – x ................................................ (i) y = 2 x – 1 .............................................. (ii)Dari persamaan (i) dan (ii) diperoleh
43
43
2 x 11 34
3 x x 2 x
3 x
x
7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 32/38
d. 5 x + 2 y = 1 dan 1 x y 0
c. y = – 3 x dan x y 1
88Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Selanjutnya,untukmenentukannilai ysubstitusikannilai x ke persamaan (i). y 3 x
43
53
Jadi, titik potong garis x + y = 3 dan y = 2 x – 1 adalah
4 53 3
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
1. Tentukan titik potong kedua garis beri-kut.a. y = 3 x – 1 dan y = x + 5
b. y = x + 1 dan y = – 5 x + 3c. 2 x – y – 5 = 0 dan x + 2 y – 1 = 0d. 3 x + 5 y = 2 dan 2 x – 7 y = 3
2. Tentukan persamaan garis yang melaluititik (1, – 3) dan titik potong garis y = 2 xdengan y = 5 x – 4.
3. Tentukan persamaan garis yang melaluititik potong garis 2 x + 3 y = 5 dan
x – 4 y = 1 dengan gradien 2.4. Tentukan persamaan garis yang tegak
lurus garis 2 x + y = 1 dan melalui titik potong garis x = 4 y + 4 dengan y = 7.
5. Selidiki kedudukan kedua garis berikuttanpamenggambarterlebihdahulu.a. x + 2 y = 7 dan y – 2 x = – 1
b. y = 2 x – 5 dan y = 2 x + 3
13
15 2
6. Diketahui ketiga garis 2 x – y – 1 = 0,4 x – y – 5 = 0, dan ax – y – 7 = 0
berpotongandisatutitik.Tentukana. nilai a ;
b. koordinattitikpotongketigagaris;c. persamaangarisyangmelaluititikO
dantitikpotongtersebut.7. Garis 2 x – y = a dan x + by = 4 berpo-
tongandititik(2,1).Tentukana. nilai a dan b;
b. kedudukan kedua garis.8. Diketahui garis 3 x – ay = 4 tegak lurus
dengan garis 4 x – (a – 1) y =5.Tentukana. nilai a ;
b. titikpotongkeduagaris;c. persamaan garis yang melalui titik
O(0, 0) dan titik potong kedua garistersebut.
7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 33/38
a. Gradien garis 6 x + py + 4 = 0 adalah m16
p
Gradien garis 3 x – 2 py – 5 = 0 adalah m23
2 p
89 PersamaanGarisLurus
E. MEMECAHKAN MASALAH Y ANG BER-KAITAN DENGAN KONSEP PERSAMAANGARIS LURUS
Kalian telah mempelajari mengenai persamaan garis lurus.Dengan konsep-konsep yang telah kalian peroleh, hal itu dapatdigunakan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan
persamaan garis lurus.
Diketahui garis 6 x + py +4 = 0 dan 3 x – 2 py – 5 = 0saling tegak lurus. Tentu-
kana. nilai p;
b. persamaan garis yangmemenuhi.
9
Penyelesaian:
.
.
Karena kedua garis saling tegak lurus, maka berlaku
m1 m2 = – 1.m1 m2 1
6 p
1
2 p2
3
32 p
18
p2
p
Jadi, nilai p yang memenuhi adalah p = 3 atau p = – 3.
b. Persamaan garis yang memenuhi sebagai berikut.Untuk p = 3, maka persamaan garisnya adalah6 x + 3 y + 4 = 0 dan 3 x – 6 y – 5 = 0.Untuk p = – 3, maka persamaan garisnya adalah
6 x – 3 y + 4 = 0 dan 3 x + 6 y – 5 = 0.
(Berpikir kritis)
Bacalah buku-buku referensi yang berkaitan dengan konsep persamaan garis lurus. Cobalah memecahkan masalah-masalahyang berkaitan dengan persamaan garis lurus yang terdapat di bukutersebut. Jika mengalami kesulitan, tanyakan pada gurumu agarkalian lebih paham materi tersebut. Diskusikan hal ini dengantemanmu. Susunlah hasilnya dalam b entuk laporan dan kumpulka nkepada gurumu.
7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 34/38
90Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
1. Diketahui garis ax + 3 y + 6 = 0 tegaklurus dengan garis 3 x – 2 y – 2a = 0.Tentukana. nilai a ;
b.titikpotongkeduagaris.2. Tentukan nilai p agar persamaan garis
2 x + py – 3 = 0 sejajar dengan garis x – 3 y + 2 = 0.
3. DiketahuisegitigaABCdenganA(3,6),
B(3, 1), dan C(6, 1). Dengan mencarigradien masing-masing garis yangmelaluisisi-sisisegitigaABC,tunjukkan
bahwasegitigaABCsiku-sikudititikB.
4. Diketahui suatu persegi panjang ABCDsisi-sisinya sejajar dengan sumbu koor-dinat.TitikA( – 2, – 1)danC(2,1)adalahtitik sudut yang saling berhadapan.Tentukana. koordinattitikBdanD;
b. gradiengarisyangdilaluidiagonalACdan BD;
c. persamaan garis yang dilalui diago-nal AC dan BD.
5. DiketahuisebuahpersegiPQRSdenganR(2,6)danS( – 4,6).TitikPdanQterle-takpadasumbuX.Denganmencariper-samaan garis yang melalui diagonal PRdan QS, tunjukkan bahwa diagonal-dia-gonal sebuah persegi saling tegak lurus.
1. Persamaan garis lurus dapat ditulis dalam bentuk y = mx + cdengan m dan c suatu konstanta.
2. Langkah-langkahmenggambargrafikpersamaan y=mxatau y = mx + c, c 0 sebagai berikut. – Tentukanduatitikyangmemenuhipersamaangaristersebut
dengan membuat tabel untuk mencari koordinatnya. – GambarduatitiktersebutpadabidangkoordinatCartesius. –
Hubungkan dua titik tersebut, sehingga membentuk garislurus yang merupakan grafik persamaan yang dicari.
3. Persamaan garis yang melalui titik O(0, 0) dan titik P( x1, y1)
adalah y y1
x1 x .
4. Persamaan garis yang melalui titik (0, c) dan sejajar garis y = mx adalah y = mx + c.
5. Gradien suatu garis adalah bilangan yang menyatakan
kecondongansuatugarisyangmerupakanperbandinganantarakomponen y dan komponen x.
7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 35/38
91 PersamaanGarisLurus
6. Garis dengan persamaan y = mx memiliki gradien m danmelaluititik(0,0).
7. Garis dengan persamaan y = mx + c memiliki gradien m danmelaluititik(0, c).
8. Garis dengan persamaan ax + by + c = 0 memiliki gradien
ab
.
9. Gradien garis yang melalui titik ( x1, y1) dan ( x2, y2) adalah
.m y x
y2
x2
y1
x1
y1
x1
y2
x2
10.11.12.
Gradien garis yang sejajar sumbu X adalah nol.GradiengarisyangsejajarsumbuYtidakdidefinisikan.Garis-garisyangsejajarmemilikigradienyangsama.
13. Hasilkaligradienduagarisyangsalingtegaklurusadalah – 1atau m1 m2 = – 1.
14. Persamaan garis yang melalui titik ( x1, y1) dan bergradien madalah y – y1 = m( x – x1).
15. Persamaan garis yang melalui titik ( x1, y1) dan sejajar garis y = mx + c adalah y – y1 = m( x – x1).
16. Persamaan garis yang melalui titik ( x1, y1) dan tegak lurus
garis y = mx + c adalah y y1
1m x x1 .
17. Persamaan garis yang melalui dua titik dapat diselesaikandengan substitusi ke fungsi linear y = ax + b.
18. Persamaan garis yang melalui titik A( x1, y1) dan B( x2, y2)
adalah y y1
y y1
y2 y1
x x1
x2 x1 .
19. Dua garis yang tidak saling sejajar akan berpotongan di satutitiktertentu.
20. Jika y1 dan y2 adalah dua buah garis yang tidak saling sejajarmaka untuk menentukan titik potong dari dua garis tersebutharus memenuhi y1 = y2.
7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 36/38
32
32
92Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Setelah mempelajari bab ini, apakah kalian sudah pahammengenai Persamaan Garis Lurus ? Jika kalian sudah paham,
coba rangkum kembali materi ini dengan kata-katamu sendiri.Bagianmanadarimateriiniyangbelumkamupahami?Catatdantanyakan kepada temanmu yang lebih tahu atau kepada gurumu.Buatlah dalam sebuah laporan singkat dan serahkan kepadagurumu.
Kerjakan di buku tugasmu.A. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat.
1. Grafik persamaan garis y = 2 x ditun- jukkan oleh gambar ....
Y
a.32
1
b.
1
1
2
2
3
3
X
X
0
Y
3
2
1
0
4
4
c.
X
Y3
21
_4 _3 _2 _1 0
d.
X
Y
3
2
1
_4 _3 _2 _1 0
2. Jika gradien garis yang melalui titikP( – 2, 3a ) dan Q( – 1, a ) adalah – 3maka nilai a = ....a. – 6
b. – 4
c.
d.
133. Persamaangarisyangbergradien
dan melalui titik (1, 3) adalah ....a. 3 x – y + 10 = 0
b. 3 x – y – 10 = 0c. x + 3 y + 10 = 0d. x + 3 y – 10 = 0
7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 37/38
b. y x 19
12
ii. MemotongsumbuXdititik 2, 0 .a. 319 19, 1
b. 312 12, 1
3 ,39 519 19
3 , 19 519 19
93 PersamaanGarisLurus
4. Persamaan garisyangmelaluititik(0, 1) dan (1, 6) adalah ....a. x + 5 y = 5
b. x = 5 y + 1c. y = 5 x – 5d. 5 x – y + 1 = 0
5. Diketahui garis dengan persamaan berikut.(i) 2 y = 5 x – 3(ii) 5 y = 2 x + 15(iii) 3 x + 5 y = 15(iv) 10 y – 4 x = -11
Dari persamaan garis di atas, yangsejajardengangarisyangpersamaan-
nya 2 x – 5 y + 15 = 0 adalah ....a. (i)dan(iii)
b. (ii)dan(iv)c. (ii)dan(iii)d. (iii)dan(iv)
6. Diketahuisuatugarismemilikipersa-maan 2 x – y – 3 = 0.
i. Gradiennya = .
3
iii.MemotongsumbuYdititik(0, – 3).
Dari pernyataan di atas, yang benaradalah ....a. hanya (i) dan (ii)
b. hanya(i)dan(iii)c. hanya(ii)dan(iii)d. (i),(ii),dan(iii)
7. Persamaan garis yang melalui titik(2, – 3) dan tegak lurus dengan garis
x + y = 10 adalah ....a. y = x + 5
b. y = x – 5c. y = – x + 5d. y = – x – 5
X0 3 6
8. Persamaan garis yang melalui titik( – 3, 4) dan sejajar dengan garis yangmelaluititik(0,1)dan(1,6)adalah....a. 2 x – 5 y = 11
1
5c. 5 x – y – 19 = 0d. y = 5 x + 19
9. Y
8
3
Titikpotongkeduagarispadagambardi atas adalah ....
9 5
5 1
c.
d.
10. Titik (a , b) merupakan titik potonggaris y = 3 x – 8 dan x + y = 12. Nilaidari a + b adalah ....a. 3
b. 5c. 10d. 12
7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok
http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 38/38
x 2 y3 5
x 3 y 612
b. y x 5
d. 1 x 2 y 3
l 1X
b. bergradien 1;
( 4, 0)4 3 2 10 1 2 3 4
X
1. Tentukan nilai a dan b agar titika. ( – 3, a) terletak pada garis
2 x – y + 3 = 0;
b. (2b, b + 2) terletak pada garis
1.
2. Gambarlah garis-garis berikut padasatu bidang koordinat. Kemudian,tentukangradienmasing-masinggaristersebut.
a.
34
c. 3 x + 2 y 6=0
12
3. Tentukan persamaan garis k dan l pada gambar berikut.
Yk
5 (0, 5)4321
12345
(a)
Y
54
32
( 5, 0)5 4 3 2 10 1 2 3 4
123456 (0, 6)
(b)
4. Tentukan persamaan garis yangmelaluititikA(1,4)dana. titikB( – 5,7);
2c. sejajar dengan garis x + 3 y = 1;d. tegak lurus dengan garis
2 x – 5 y = 0.
5. Diketahui garis 4 x – ay = 5 dan3 x + (a + 1) y = 10 saling tegak lurus.Tentukana. nilai a ;
b. titikpotongkeduagaris;c. persamaan garis yang melalui titik
O(0,0)dantitikpotongkeduagaristersebut.
B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan tepat.