38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

38
PERSAMAAN GARIS LURUS 3 Perhatikangambardisamping.Gambar tersebut menunjukkan  penampang  sebuah derek  yang dibangun  pada tahun 1886 di Dermaga  Tilburi dekat  London. Derek tersebut terdiri  dari  pipa  baja yang dihubung kandenga nkabelsebagaiker ekan. Pipabajabisadiibaratkansebagaigarislurus. Dapatkah  kalian menentukan nilai kemiringannya terhadap tanah mendatar? Apakah nilai kemiringan tersebut dapat dipandang sebagai gradien   pada  persamaan garislurus? Sumber:   Jendela  Iptek, 2001 Tujuan  pembelajaranmu  pada bab ini adalah: dapat mengenal  penge rtian dan menentukan  gradien garis lurus dalam  berbagaibe ntuk; dapat menentukan   persama an garis lurus yang melalui dua titik,  melalui satu titik  dengan gradien tertentu; dapatmenggambargrafikgarislurus.  Kata-Kata  Kunci: gradiengarislurus  persamaa ngarisl urus grafikgarislurus

description

ok

Transcript of 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

Page 1: 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 1/38

PERSAMAANGARIS LURUS

3

Perhatikangambardisamping.Gambartersebut menunjukkan penampang sebuahderek yang dibangun pada tahun 1886 diDermaga Tilburi dekat London. Derektersebut terdiri dari pipa baja yangdihubungkandengankabelsebagaikerekan.Pipabajabisadiibaratkansebagaigarislurus.Dapatkah kalian menentukan nilaikemiringannya terhadap tanah mendatar?Apakah nilai kemiringan tersebut dapatdipandang sebagai gradien pada persamaangarislurus?

Sumber: Jendela Iptek, 2001

Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:

dapat mengenal pengertian dan menentukan gradien garis lurus dalam berbagaibentuk;dapat menentukan persamaan garis lurus yang melalui dua titik, melaluisatu titik dengan gradien tertentu;dapatmenggambargrafikgarislurus.

Kata-Kata Kunci:gradiengarislurus

persamaangarislurusgrafikgarislurus

Page 2: 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 2/38

01

X 3

58Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

Pada pembahasan sebelumnya kalian telah mempelajarisecara singkat mengenai fungsi linear f ( x) = ax + b dan grafiknya

pada bidang Cartesius. Grafik fungsi linear f ( x) = ax + b berupagaris lurus jika x anggota bilangan real. Sekarang akan kalian

pelajari secara lebih mendalam mengenai garis lurus, bagaimana persamaannya, cara menggambar grafik, gradien, dan bentuk- bentuk persamaan garis tersebut.

Agarkalianmudahmempelajarinya,kalianharusmenguasaimaterisistemkoordinatCartesius,persamaanlinearsatuvariabel,dan kedudukan dua garis.

A. PERSAMAAN GARIS (1)

Gambar 3.2

Pada Gambar 3.2 hubungan nilai x dan nilai y yang terletak pada garis lurus adalah y = – 2 x + 5. Coba kamu buat garis yanglain dan tentukan hubungan nilai x dan nilai y. Secara umum,hubungan nilai x dan nilai y yang terletak pada garis lurus dapatditulis px + qy = r dengan p, q, r , bilangan real dan p, q 0.Persamaan y = – 2 x + 5 disebut persamaan garis lurus atau sering

Sebelum kita membahas lebih mendalam mengenai persamaan garis lurus, coba kalian ingat kembali pengertian persamaan linear satu variabel.

Perhatikan garis lurus pada Gambar 3.2 berikut. Kemudiansalin dan lengkapilah tabel pasangan nilai x dan y dari titik-titikyang terletak pada garis itu.

Y

x y

543

2

1 2

3 2 1 0 1 2 3 4 5 6123

Sumber: Ensiklopedi Matematika dan

Peradaban Manusia, 2003

2

Gambar 3.1 Rene Descartes

Sistem koordinatCartesius pertama kalidiperkenalkan olehRene Descartes

bersama rekannya Pierede Fermet pada perte-ngahan abad ke-17.Sistem koordinatCartesius terdiri at asgaris mendatar, yaitusumbu X dan garistegak, yaitu sumbu Y.Letak suatu titik padakoordinat Cartesiusdiwakili oleh pasangantitik ( x, y), dengan xabsis dan y ordinat.

Y

P(2, 3)3

X

Pada gambar di atas,tampak bahwa koordinattitik P(2, 3) dengan absis= 2 dan ordinat = 3.

Page 3: 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 3/38

ditulismenjadi y xq .Jika q dinyatakandengan mdan

q dinyatakan dengan c maka persamaan garis tersebut dapat

y xq q

= 6 =2

59 PersamaanGarisLurus

disebut persamaan garis , karena persamaan garis tersebut dapatdisajikan sebagai suatu garis lurus dengan x, y variabel padahimpunanbilangantertentu.

Persamaan dalam bentuk px + qy = r dengan p, q 0 dapat

p r pq

r

dituliskandalambentuksebagaiberikut.

y = mx + c; dengan m, c adalah suatu konstanta

1. Menggambar Grafik Persamaan Garis Lurusy = mx + c pada Bidang Cartesius

Telahkalianketahuibahwamelaluiduabuahtitikdapatditariktepat sebuah garis lurus. Dengan demikian, untuk menggambargrafik garis lurus pada bidang Cartesius dapat dilakukan dengansyarat minimal terdapat dua titik yang memenuhi garis tersebut,kemudianmenarikgarislurusyangmelaluikeduatitikitu.

Gambarlah grafik persa-maan garis lurus2 x + 3 y = 6 pada bidangCartesius,jika x, yvariabel

pada himpunan bilanganreal.

Penyelesaian:Langkah-langkah menggambar grafik persamaan garislurus y = mx + c, c 0 sebagai berikut. – Tentukanduapasangantitikyangmemenuhipersamaan

garis tersebut dengan membuat tabel untuk mencarikoordinatnya.

– Gambar dua titik tersebut pada bidang Cartesius. – Hubungkanduatitiktersebut,sehinggamembentukgaris

lurus yang merupakan grafik persamaan yang dicari.

untuk x = 0 maka 2 0 + 3 y = 60 + 3 y = 6

3 y = 6

y 3 ( x, y) = (0, 2).

(Berpikir kritis)Perhatikan kembali

persamaan y = –

2 x +5 pada Gambar 3.2.a. Bandingkan

dengan bentuk y = mx + c. Dapat-kah kalian menen-tukan nilai m danc?

b. Kemudian, bandingkankembali dengan

bentuk p r

.

Berapakah nilai p,q, dan r ?

c. Apa yang dapatkalian simpulkandari jawaban a dan

b?

x

y

( x, y)

0

2

(0, 2)

3

0

(0, 3)

Page 4: 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 4/38

= 6 =3

_3 _2 _1 0

persamaan y x ?

60Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

untuk y = 0 maka 2 x + 3 0 =62 x + 0= 6

2 x = 6

x2

( x, y) = (3, 0).

X

Y

(0, 2)

2 x + 3 y = 6

(3, 0)1 2 3 4 5

1

_1

_2

_3

32

Gambar 3.3

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.

1. Diantaragambar-gambarberikut,mana-kah yang menunjukkan garis dengan

32

2

0 3X

Y

(i)

0 2X

Y

3

(ii)

Page 5: 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 5/38

5. Gambarlah grafik dari y x dan

61 PersamaanGarisLurus

0X

Y

_2

3

0 3X

(iii)

Y

3

(iv)

2. Salindanlengkapilahtabelberikutsesuai

denganpersamaangarisyangdiberikan.Kemudian,gambarlahgrafikpersamaangaris lurus tersebut pada bidangCartesius.

b. 13

y

3. Gambarlahgrafikpersamaangarislurus berikut pada bidang Cartesius.

a. y = 4 x – 1 d. y = 4 b. 2 x – 3 y = 12 e. x = – 1c. x = 2 y – 2 f. y = x

4. a. Gambarlahgrafikdari

y = 2 x, y = 2 x + 3, dan y = 2 x – 2 padasatubidang koordinat.

b. Adakah hubungan antara ketiga ga-ris tersebut?

c. Bagaimanakahkoefisien x padaketi-ga garis tersebut?

d. Apa yang dapatkaliansimpulkan?

1

2 y = 2 x + 1 pada satu bidang koordinat.a. Adakah hubungan antara ketiga

garis tersebut? b. Bagaimanakah koefisien x pada

ketiga garis tersebut?c. Apayangdapatkaliansimpulkan?

2. Menyatakan Persamaan Garis Jika GrafiknyaDiketahuia. Persamaan garis y = mx

Untuk menyatakan persamaan garis dari gambar yangdiketahui maka kita harus mencari hubungan absis ( x) danordinat( y)yangdilaluigaristersebut.

a. y = 5 x

x

y

( x, y)

0

....

(..., ...)

....

5

(..., ...)

x 1

x 0 ....

y

( x, y)

.... 0

(..., ...) (..., ...)

Page 6: 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 6/38

l 22

1

y1 1 x1

garisnya adalah y x x . Adapun garis l 2 melalui

y1 2 x1

y x x atau y = – x.

62Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

1 21

3 54 6X

Y

4

3

2

1

12

2

Gambar 3.4

Perhatikan Gambar 3.4. Misalkan bentuk persamaangaris tersebut adalah y = mx + c dengan m dan c konstanta.Karena titik (0, 0) dan (4, 2) terletak pada garis tersebut makadiperoleh

y = mx + c0 = m(0) + c atau c = 0, sehingga

2 = m(4) + 0 atau m =12

.

12

Jadi,persamaangaristersebutadalah y=mx+catau y x.

Persamaan garis yang melalui titik O(0, 0) dan titik

P( x1, y1) adalah y y1

x1 x . Jika y1

x1m maka persamaan

garisnya adalah y = mx.

Penyelesaian:

Garis l 1melaluititik(0,0)dan(4,1),sehinggapersamaan

4

titik(0,0)dan( – 2,2),sehinggapersamaangarisnyaadalah

2

l 1

X

Tentukanpersamaangarisluruspadagambarberikut.

Y

3(4, 1)

( 2, 2)

2 1 1 2 3 412

Gambar 3.5

Page 7: 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 7/38

63 PersamaanGarisLurus

b. Persamaan garis y = mx + cPada pembahasan sebelumnya, kalian telah mempe-

lajari bahwa persamaan garis yang melalui titik O(0, 0) dan

P( x1, y1) adalah y y1

x1 x .

22 11

1 34 3 5

65

4

3

2

1

4X

Sekarang, perhatikan Gambar 3.6. Pada gambartersebutgaris k melaluititikO(0,0)dantitikA(4,3),sehingga

34

cobageserlahgaris k sampaiberimpitdengangaris l sehingga(0,0) (0,3)dan(4,3) (4,6).Garis l melaluititikB(0,3)dan C(4, 6) sejajar garis k .

Y

C(4, 6)

A(4, 3)

B(0, 3)

l

k

2

3

Gambar 3.6

Misalkan persamaan garis l adalah y = mx + c.Karena garis l melalui titik (0,3) maka berlaku

3 = m (0) + c

3 = c atau c = 3Karena garis l melalui titik (4, 6) maka berlaku6 = m(4) + c6 = 4m + 34m = 3

m =34

Jadi, persamaan garis l yang sejajar dengan garis k adalah

34

y = mx + c atau y x 3.

Page 8: 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 8/38

l 2

l 1

_2 _1 0 51 2 3 4 y x 15 .

_2 _1 0

64Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

Dengan demikian, kita dapat menentukan persamaan suatugaris l denganmemerhatikanberikutini.1. Titikpotonggaris l dengansumbuY.2. Persamaan garis yang sejajar dengan garis l dan melalui

titik(0,0).

Persamaan garis yang melalui titik (0, c) dan sejajargaris y = mx adalah y = mx + c.

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.

1. Tentukan persamaan garis pada gambar berikut.

Y

5

4

3

2

1

X

(i)

1 2 3 4

X

Y

l 4

l 3

5

(ii)

432

1

_1 _2

6

2. Gambarlah garis yang melalui titik pangkal koordinat O(0, 0) dan titik-titik berikut, kemudian tentukan persamaangarisnya.a. (3, 4) c. ( – 3, – 5)

b. ( – 2, 5) d. (4, – 3)3. a. DiketahuititikA( – 8,a )terletakpada

garis yang persamaannya

1

4Tentukannilai a .

b. Diketahui titik B(b, 5) terletak padagaris yang persamaannya 4 x – 3 y +7 = 0. Tentukan nilai b.

4. Gambarlah garis yang melalui titik-titik berikut, kemudian tentukan persamaandari masing-masing garis tersebut.a. P(0, 2) dan Q(2, 0)

b. R(0, 3) dan S(-4, 0)c. K(0, 4) dan L(-1, 0)

Page 9: 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 9/38

y = 1 x

65 PersamaanGarisLurus

B. GRADIEN

Coba kalian perhatikan orang yang sedang naik tangga.Dapatkah kalian menentukan nilai kemiringannya? Jika tangga

dianggap sebagai garis lurus maka nilai kemiringan tangga dapatditentukandengancaramembandingkantinggitembokyangdapatdicapai ujung tangga dengan jarak kaki tangga dari tembok. Nilaikemiringan tangga tersebut disebut gradien . Pada pembahasanini kita akan membahas cara menentukan gradien dari suatu garislurus.

1. Gradien Suatu Garis yang Melalui Titik Pusat O(0, 0)dan Titik (x , y )

Agar kalian memahami pengertian dan cara menentukangradien suatu garis yang melalui titik O(0, 0) dan titik ( x, y),

perhatikan Gambar 3.8.

Pada Gambar 3.8 tersebut tampak garis y = 1 x dengan titik2

O(0, 0), A(2, 1), dan B(6, 3) terletak pada garis tersebut.Bagaimanakahperbandinganantarakomponen ydankomponen x

dari masing-masing ruas garis pada garis y = 1 x tersebut?2

Y

A(2, 1)

xA

B(6, 3)

yB

X yA

A’

C

B’

2

xB

4

321

O

Gambar 3.8

Perhatikan ruas garis OA pada segitiga OAA .

AAOA

12

yA

xA

Perhatikan ruas garis OB pada segitiga OBB .

BBOB

36

12

yB

xB

Sumber: Dok. Penerbit

Gambar 3.7

Page 10: 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 10/38

P'

66Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

Perhatikan juga ruas garis AB pada segitiga ABC.

BCAC

3 16 2

24

12

yAB

xAB

Dari uraian di atas ternyata perbandingan antara komponen y dan komponen x pada masing-masing ruas garis menunjukkan bilanganyangsama.Bilanganyangsamatersebutdisebut gradien .

12

Jadi, gradien dari garis y x adalah 12

. Bandingkan dengan

2menyimpulkanberikutini?

Gradien suatu garis adalah bilangan yang menyatakankecondongan suatu garis yang merupakan perbandinganantara komponen y dan komponen x.

Besar gradien garis yang persamaannya y = mx adalah besarnyakoefisien x,sehinggadapatdisimpulkansebagaiberikut.

Garis dengan persamaan y = mx memiliki gradien m.

Bagaimana cara menentukan gradien garis yang persamaannya y = mx + c? Agar kalian mudah memahaminya, perhatikan Gambar 3.9.

y = 2 x + 3

S(2, 7)

R(1, 5)

XQ'

1 2 3 4 5P''

Y

765432

Q( 1, 1) 1

3 2 10P( 2, 1)

Gambar 3.9

Pada gambar tersebut tampak bahwa garis yang memiliki persamaan y = 2 x + 3 melalui titik-titik P( – 2, – 1), Q( – 1, 1),R(1, 5), dan S(2, 7).

Sekarang perhatikan perbandingan antara komponen y dankomponen x dari beberapa ruas garis y = 2 x + 3.

Page 11: 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 11/38

a

b

67 PersamaanGarisLurus

Perhatikan ruas garis PQ pada segitiga PP Q .

221

y p

x p

QP PP

Perhatikan ruas garis QR pada segitiga QQ R .

242

yQ

xQ

RQQQ

Perhatikan ruas garis PS pada segitiga PP S .

284

yS

xS

SP PP

Berdasarkan uraian di atas ternyata perbandingan antarakomponen y dan komponen x pada masing-masing ruas garismenunjukkanbilanganyangselalusama.Bilanganyangselalusamatersebut disebut gradien . Jadi, garis dengan persamaan y = 2 x + 3memilikigradien2.

Garis dengan persamaan y = mx + c memiliki gradien m.

Selanjutnya, bagaimana menentukan gradien garis yang berbentuk ax + by = c?Sebelumnya ubahlah bentuk ax + by = c ke bentuk y = mx + cdengan cara seperti berikut.

ax + by = cb y = – ax + c

y = xab

cb

koefisien x menunjukkan gradien

Gradien garis ax + by = c adalah .

Gradien garis dengan persamaan ax + by = c adalah ab

.

(Berpikir kritis)Kalian telah

mempelajari bahwagradien garis dengan persamaan ax + by = c

adalahab

.

a. Bagaimana jikaa = 0? Berapakahgradiennya?

b. Bagaimana pula jikab = 0? Berapakahgradiennya?

Diskusikan dengantemanmu. Ujilah jawab-anmu dengan uraianmateri selanjutnya.

Page 12: 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 12/38

y = 5 x – 1

m= 5

68Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

Tentukangradiendariper-samaan garis berikut.a. 2 y = 5 x – 1

b. 3 x – 4 y = 10

Penyelesaian:

a. Ubah persamaan garis 2 y = 5 x –

1 ke bentuk y = mx + c.

2 2

2

Atau dengan cara lain, ubah persamaan garis2 y = 5 x – 1 ke bentuk ax + by = c.

2 y = 5 x –

1 5 x –

1 = 2 y5 x – 2 y = 1Gradien garis 5 x – 2 y = 1 adalah

.52

52

m ab

b. 3 x – 4 y = 10

m ab

= 34

= 34

.34

Jadi, gradien garis 3 x – 4 y = 10 adalah m

2. Gradien Garis yang Melalui Dua Titik ( x 1, y 1) dan(x 2, y 2)

Kalian telah mempelajari bahwa gradien suatu garis adalah perbandinganantarakomponen ydankomponen xruasgarisyangterletak pada garis tersebut.

Page 13: 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 13/38

y 2

y

1 _

y y1 y2

yAB y2 y1 y xAB x2 x1

mAB .

mAB

69 PersamaanGarisLurus

Berdasarkan gambar tersebut tampak bahwa ruas garis ABmelalui titik A ( x1, y 1) dan B( x2, y 2), sehingga perbandingankomponen y dan komponen x ruas garis tersebut adalah

x

Dengandemikian,dapatdisimpulkansebagaiberikut.

Gradien garis yang melalui titik ( x1, y1) dan ( x2, y2) adalah

m y x

y2

x2

y1

x1.

Catatan:

Selisih antara dua bilangan x1 dan x2 dinotasikan dengan

x = x2 – x1 ( dibaca: delta ).

Tentukan gradien garis

yangmelaluititika. A(1, 2) dan B(3, 0);

b. C( – 3, 1) danD( – 2, – 5).

1

0 23 1

22

Penyelesaian:

a. Gradien garis yang melalui titik A(1, 2) dan B(3, 0)adalah

y x yB yA

xB xA

(Berpikir kritis)

Apakah gradien garisyang melalui titik

( x1, y1) dan ( x2, y2)dapat dirumuskansebagai

m ? x x1 x2

Apakah ada syarattertentu agar haltersebut berlaku?

Eksplorasilah hal inidengan mendiskusi-kan bersama tema nsebangkumu.Hasilnya, kemukakansecara singkat didepan kelas.

0

Perhatikan ruas garis AB pada Gambar 3.10.Y

B ( x2, y2)

A

( x1, y1)

yAB y2

y1

X x1

xAB

x2 _ x1

x2

Gambar 3.10

Page 14: 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 14/38

m

k

, -3

70Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

b. GradiengarisyangmelaluititikC( – 3,1)danD( – 2, – 5)adalah

mCD y x

yD yC

xD xC

5 12 ( 3)6

16

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.

-6

(-5 -4

-4 -3 -2 -1 -1-2

) -3

-6

1 2 3 4 5 6 7 8

(7, -6)

1. Gambarlah garis yang melalui titik pangkal koordinat O(0, 0) dan titik berikutpadabidangkoordinatCartesius.Kemudian,tentukangradiendarimasing-masing garis tersebut.a. A(1, 7) d. D(3, – 5)

b. B(5, 3) e. E(5, 0)c. C( – 2, 4) f. F(0, 3)

2. Perhatikangambarberikut.Padagambartersebut garis k melalui titik (0, 0) dan( – 5, – 3), garis l melalui titik (0, 0) dan(7, – 6), serta garis m melalui titik (0, 0)dan(3,4).Tentukangradiendarimasing-masing garis tersebut.

5

l 4 (3, 4)321

3. Tentukan gradien garis berikut.

a. y = x d. y = 1 x2

b. y = – 2 x – 3 e. x + 2 y – 1 = 0c. y = 3 x – 1 f. – 3 x + 5 y = 0

4. Gambarlahgarisyangmelaluikeduatitik berikutpadabidangkoordinatCartesius.a. A(1, 2) dan B( – 2, 3)

b. C(7, 0) dan D( – 1, 5)c. E(1, 1) dan F( – 3, – 4)d. G(5, 0) dan H(0, 4)e. I(2, 0) dan J(0, – 4)Kemudian,tentukangradiendarimasing-masing garis tersebut.

5. Diketahui persamaan garis y = mx + c.Tentukannilai mdan c jikagaristersebutmelaluititika. (2, 1) dan ( – 3, – 1);

b. (2, 0) dan (0, – 4);c. ( – 4, 2) dan (3, – 3);d. (0, 2) dan (5, 0).

Page 15: 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 15/38

sehingga gradien garis OA 2

0

B2

0

71 PersamaanGarisLurus

3. Mengenal Gradien Garis T ertentua. Gradien garis yang sejajar sumbu X dan gradien garis

yang sejajar sumbu Y

X

Perhatikan Gambar 3.11. Jika garis OA kita putar searah jarumjamsehinggaberimpitdengansumbuXmakadiperolehgarisOA 2. Titik-titik yang terletak pada garis OA 2 memiliki ordinat 0,

komponen yOA 2

0OA 2

Gradien garis yang sejajar sumbu X adalah nol.

Y

A

O

A1

A2

(Berpikir kritis)Diskusikan dengantemanmu.Segitiga PQR sama-kaki dengan PQ = PR= 3. Sisi PR terletak

pada sumbu X danPQ pada sumbu Y de-ngan P terletak padatitik pusat koordinat.Tentukana. koordinat Q dan R;

b. gradien garis PQ,dan PR;

c. persamaan garisPQ dan PR.

BB'B2

O X

Gambar 3.11

Selanjutnya, kita akan menentukan gradien dari garis yangsejajarsumbuY.PerhatikanGambar3.12.JikagarisOBkitaputar

berlawanan arah jarum jam sehingga berimpit dengan sumbu YmakadiperolehgarisOB 2.Titik-titikyangterletakpadagarisOB 2

memilikiabsis0,sehinggaY

Gambar 3.12

GradiengarisyangsejajarsumbuYtidakdidefinisikan.

OB OB 2

komponen x(tidak didefinisikan)

Page 16: 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 16/38

4

72

X

b. Gradien garis-garis yang saling sejajarPerhatikan Gambar 3.13.Pada gambar tersebut tampak pasangan ruas garis sejajar

AB//CD//EF dan ruas garis GH//IJ//KL. Bagaimanakah gradienruas garis yang saling sejajar tersebut?

Y

B

6

D

5

E

1

F

C

A3 4

G

2

H

I

J

5L

3

2

1

K _4 _3 _2 _1 0 7

76

Gambar 3.13

Perhatikanuraianberikutini.) RuasgarisABmelaluititikA(4,0)danB(6,2),sehinggagradien

ruas garis AB adalah

mAB yB

xB

yA

xA

2 06 4221.

) RuasgarisCDmelaluititikC(3,2)danD(5,4),sehinggagradienruas garis CD adalah

mCD yD

xD

yC

xC

4 2 25 3 2

) RuasgarisEFmelaluititikE(1,1)danF(3,3),sehinggagradienruas garis EF adalah

1.3 1

3 1

Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

2

2

mEF yF

xF

yE

xE

Page 17: 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 17/38

3 , dengan garis GH//IJ//KL.

(i) x y 2

73 PersamaanGarisLurus

Berdasarkan uraian di atas tampak bahwa mAB = mCD = mEF

= 1, dengan garis AB//CD//EF.

Sekarang kita akan mencari gradien dari garis GH, garis IJ,dan garis KL.) RuasgarisGHmelaluititikG(2,3)danH(0,6),sehinggaberlaku

.6 30 2

32

mGH yH

xH

yG

xG

) RuasgarisIJmelaluititikI(0,3)danJ( – 2,6),sehinggaberlaku

.6 32 0 32

mIJ yJ

xJ

yI

xI

) Ruas garis KL melalui titik K( – 1, 1) dan L( – 3, 4), sehingga berlaku

.4 1 33 ( 1) 2

mKL yL

xL

yK

xK

Berdasarkan uraian tersebut, tampak bahwa mGH = mIJ =

mKL =2

Dariuraiandiatasdapatdisimpulkanbahwagaris-garisyangsejajarmemilikigradienyangsama.

Jika garis y1 = m1 x + c sejajar dengan garis y2 = m2 x + cmaka gradien kedua garis tersebut sama, atau m1 = m2.

Tentukankedudukangaris y = – 2 x + 5 dengan garis berikut.

12

(ii) 4 x + 2 y = 5

Penyelesaian:Garis y = – 2 x + 5 berbentuk y = mx + c, sehingga gradiengaris tersebut adalah m1 = – 2.

12

y 2 menjadibentuk(i) Ubahlahbentuk x

y mx c .

Page 18: 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 18/38

E

_4 _3 _2 _1 0

74Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

212

x y y12

y

2 x

4 2 x

Gradien dari persamaan garis y = 4 – 2 x adalahm2 = – 2.Karena m2 = m1 = – 2, maka garis y = 2 x + 5 dan garis

12

(ii)Bentuk 4 x + 2 y = 5 jika diubah ke bentuk y = mx + csebagaiberikut.

52

4 x 2 y 5 2 y 5 4 x

y 2 x

52

m2 = m1, maka garis y = 2 x + 5 dan garis 4 x + 2 y = 5salingsejajar.

c. Gradien garis yang saling tegak lurusUntuk menentukan gradien garis yang saling tegak lurus

perhatikanGambar3.14.Denganmenggunakanbusurderajatatau penggarissiku-siku,dapatkahkalianmenunjukkanhubunganantararuas garis AB dengan ruas garis CD? Bagaimana pula hubunganantararuasgarisEFdenganruasgarisGH?Apakahkeduapasangruas garis tersebut saling tegak lurus? Jika kalian menggunakan

penggarissiku-sikudengancermat,kalianakanmemperolehbahwaruas garis AB GH.

1 2 5X

B

C3 4

D

A

F

G

H

432

1

_1 _2 _3

6

CD dan ruas garis EFY

5

Gambar 3.14

Page 19: 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 19/38

mAB .

mCD 3.

Perhatikan bahwa mAB mCD 3 1.

mEF 1.

mGH 1.

mPQ .

75 PersamaanGarisLurus

Sekarangakankitaselidikigradiendarimasing-masingruasgaristersebut.

) Ruas garis AB melalui titik A(1, 1) dan B(4, 2), sehingga

2 1 1

4 1 3) Ruas garis CD melalui titik C(3, 0) dan D(2, 3), sehingga

3 0 32 3 1

13

Dari Gambar 3.15 tampak bahwa garis AB CD denganmAB mCD = – 1 ........................................................... (i)

Selanjutnya akan kita cari gradien dari ruas garis EF dan GH.

) Ruas garis EF melalui titik E( – 3, 3) dan F(2, – 2), sehingga

2 3 52 ( 3) 5

) Ruas garis GH melalui titik G( – 3, 0) dan H(0, 3), sehingga

3 0 30 ( 3) 3

1 1Perhatikan bahwa mEF mGH 1.

Dari Gambar 3.14 tampak bahwa garis EF GH denganmEF mGH = – 1 ........................................................... (ii)

Berdasarkan(i)dan(ii)dapatdikatakanbahwajikaduabuahgarissalingtegaklurusmakahasilkaligradienkeduagaristersebutadalah – 1.

Hasil kali gradien dua garis yang saling tegak lurus adalah – 1.

Selidikilah apakah garisyang melalui titik P(3, 1)dan Q(9, 5) tegak lurusdengangarisyangmelaluititik R(8, 0) dan S(4, 6).

Penyelesaian:GradiengarisyangmelaluititikP(3,1)danQ(9,5)adalah

5 1 4 29 3 6 3

(Menumbuhkaninovasi)Bentuklah kelompokyang terdiri atas 4orang, 2 pria dan 2wanita. Diskusikan hal

berikut.a. Diketahui persa-

maan garis ax +by = c dan px + qy= r saling sejajar.Bagaimana hu-

bungan antara adan b dengan pdan q?

b. Diketahui persa-maan garis ax +by = c dan px + qy= r saling tegaklurus. Bagaimanahubungan antara adan b dengan pdan q?

Dari jawaban a dan b, buatlah kesimpulan-nya.

Page 20: 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 20/38

e. 4 x + y – 1 = 01

76Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

1. Tentukangradiendarigaris-garisberikut.a. x = 0 d. y = -4

b. x = 3 e. y = 0c. x = -5 f. y = 6

2. Di antara persamaan garis berikut,manakahyangsejajardengangarisyangmelaluititik(0,0)dan( – 2,1)?a. y = 2 x – 5 d. 2 x – y = 3

b. y x2

c. x + 2 y = 1

3. Tentukan gradien garis y = mx + c, agara. sejajar dengan garis 2 x – 3 y = 10;

b. tegak lurus dengan garis 3 x + 4 y =5.

4. Tentukan gradien garis yang melaluikedua titik berikut. Adakah hubungansejajar atau tegak lurus di antaranya?a. A(-1, 0) dan B(0, 2)

b. C(0, 3) dan D(2, 2)c. E(1, -2) dan F(3, 2)d. G(2, 3) dan H( 6, 1)

5. Diketahui sebuah garis melalui titik

A(3, 0) dan B(0, 2). Suatu garis lainmelaluititikO(0,0)danC(3,3).a. Dengan menentukan gradien

masing-masinggaris,bagaimanakahkedudukan dua garis tersebut?

b. Tentukan persamaan garis yangmelaluititikOdanC?

GradiengarisyangmelaluititikR(8,0)danS(4,6)adalah

.6 04 8

64

32

mRS

12

3

3

2mPQ mRS

Karenahasilkaligradienkeduagarisadalah – 1,sehinggakedua garis tegak lurus.

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.

C. PERSAMAAN GARIS (2)

Pada pembahasan yang lalu kalian telah mempelajari caramenentukanpersamaangaris y=mxdan y=mx+c jikagrafiknyadiketahui. Pada bagian ini kalian akan mempelajari secara lebihmendalam mengenai cara menentukan persamaan garis jikagrafiknyatidakdiketahui.Pelajariuraianberikutini.

Page 21: 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 21/38

12 garis yang melalui titik (3, 5) dan bergradien 1 sebagai

x

x

x

77 PersamaanGarisLurus

1. Persamaan Garis yang Melalui Sebuah Titik ( x 1, y 1)dengan Gradien m

Misalkansuatugarismempunyaigradien mdanmelaluisebuahtitik ( x1, y1). Bentuk persamaan garis tersebut adalah y = mx + c.Untuk menentukan persamaan garis tersebut perhatikan langkah-

langkahberikut.(a) Substitusi titik ( x1, y1) ke persamaan y = mx + c.

y = mx + c

y1 = mx1 + c

c = y1 – mx1

(b) Substitusi nilai c ke persamaan y = mx + c. y = mx + c

y = mx + y1 – mx1

y – y1 = mx – mx1

y – y1 = m( x – x1)

Persamaan garis yang melalui titik ( x1, y1) dan bergradien madalah y – y1 = m( x – x1).

Tentukan persamaangaris yang melalui titik( – 3, 2) dan tegak lurus

dengan garis yangmelalui titik (1, 3) dan( – 1, 4). Gambarlahkedua garis tersebut

pada satu bidang ko-ordinat dan tentukankoordinat titik potong-nya.

Tentukanpersamaangarisyangmelaluititik(3,5)dan

bergradien .

Penyelesaian:Persamaan garis yang melalui titik ( x1, y1) dan bergradienm adalah y – y1 = m( x – x1). Oleh karena itu persamaan

2 berikut.

5

atau

3

3272

y y1 m x x1

y 5

y

y

2 y

121212

x 7

Page 22: 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 22/38

Gradien garis 3 x + 4 y = 5 adalah m134

78Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

2. Persamaan Garis yang Melalui titik (x 1, y 1) dan Sejajardengan Garis y = mx + c

PerhatikanGambar3.15.Gambartersebutmenunjukkangarisl dengan persamaan y = mx + c bergradien m dan garis g sejajardengan l . Karena garis g // l maka m g = ml = m.

X

Y

0

l

( x1, y1)

g

y = mx + c

Gambar 3.15

Garis g melalui titik ( x1, y1) dan bergradien m, sehingga persamaan garisnya adalah y – y1 = m( x – x1).

Persamaangarisyangmelaluititik( x1, y1)dansejajargaris y = mx + c adalah y – y1 = m( x – x1).

Tentukanpersamaangarisyang melalui titik (2, – 3)dan sejajar dengan garis3 x + 4 y = 5.

Penyelesaian:

. Karena garis

yang melalui titik (2, – 3) sejajar dengan garis 3 x + 4 y = 5,

3

4

maka gradiennya = m2 .

Persamaan garis yang melalui titik (2, – 3) dan bergradien

34

adalah

3434

y y1 m x x1

y 3

y 3

x 2

x 2

Page 23: 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 23/38

x

x

79 PersamaanGarisLurus

3

atau

y

y

4 y

3 34 23 34 2

3 x 6

3. Persamaan Garis yang Melalui (x 1, y 1) dan Tegak Lurusdengan Garis y = mx + c

Untukmenentukanpersamaangaris g yangtegaklurusgarisl , perhatikan Gambar 3.16. Pada gambar tersebut tampak bahwagaris l memiliki persamaan garis y = mx + c dan bergradien m.

Garis g l , sehingga m g .ml = – 1 atau m g1

ml

1m

0 X

Y

g

l

y = mx + c

( x1, y1)

Gambar 3.16

Karenagaris g melaluititik( x1, y1)danbergradien 1 ,makam

persamaan garisnya adalah y y11m

x x1 .

Persamaan garis yang melalui titik ( x1, y1) dan tegak lurus

dengan garis y = mx + c adalah y y11m

x x1 .

Page 24: 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 24/38

Gradien garis 2 x – 3 y = 6 adal

y y1 1 x x

y 3 x 1

y 3 x 1

y x 3

y x atau 2 y 3 x 3

_4 _3 _2 _1 0

80Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

Tentukanpersamaangarisyang melalui titik ( – 1, 3)

dan tegak lurus garis2 x – 3 y = 6, kemudiangambar grafiknya pada

bidangkoordinat.

Penyelesaian:

3 3

Persamaangarisyangmelalui( – 1,3)dantegaklurusgaris2 x – 3 y = 6 adalah

1m123323 32 23 32 2

Gambar grafiknya sebagai berikut.

X

Y

2 x _ 3 y = 6

21

4321

(_1, 3)

3 4 5 6 _1 _2 _3 _4

65

32

32

y x

Gambar 3.17

Page 25: 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 25/38

3 ke

81 PersamaanGarisLurus

1 2X

4. Persamaan Garis yang Melalui Dua Titik Sebarang(x 1, y 1) dan (x 2, y 2)

Perhatikan Gambar 3.18.Y

4

_1)

5

l

6 7 8

32

1

_0 1

_2

A(1, 2)

3

B(5,

Gambar 3.18

Misalkan kalian akan menentukan persamaan garis yangmelalui titik A(1, 2) dan titik B(5, – 1) seperti pada Gambar 3.18.

Coba kalian ingat kembali bentuk fungsi linear y = ax + b.Misalkan persamaan garis l adalah y =ax + b. Untuk menentukan

persamaan garis l , perhatikan uraian berikut.) Substitusikan titik (1, 2) ke persamaan y = ax + b.

2 = a(1) + b 2 = a + b ............................................ (i)

Selanjutnya,substitusikantitik(5, – 1)kepersamaan y = ax + b. – 1 = a (5) + b – 1 = 5a + b ..................................... (ii)

Kemudian,eliminasipersamaan(i)dan(ii),sehinggadiperoleh2 = a + b

– 1 = 5a + b

2 – ( – 1)3

= a – (5a )= – 4a

34

a

4Untuk memperoleh nilai b substitusikan nilai a

persamaan (i).2 = a + b

34

b

3

4

11

4

2

b 2

Page 26: 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 26/38

x

adalah y 3 x 11 atau 4 y = – 3 x + 11.

mAB

82Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

y ax b

y

4 y

3 114 4

3 x 11

Jadi, persamaan garis yang melalui titik A(1, 2) dan B(5, – 1)

4 4

Dari contoh di atas tampak bahwa persamaan garis yangmelaluiduatitikdapatdiselesaikandengansubstitusikefungsili-near y = ax + b.

Persamaangarisyangmelaluiduatitikdapatdiselesaikandengan substitusi ke fungsi linear y = ax + b.

Selaindengancarasubstitusikefungsilinear,untukmenentu-kan persamaan garis yang melalui dua titik dapat diselesaikandengan cara seperti berikut.

Dari Gambar 3.18 diketahui garis l melalui titik A(1, 2) danB(5, – 1). Gradien garis yang melalui titik A dan B adalah

y2 y1

x2 x1

1 25 134

34

dan melalui titikPersamaan garis l yang bergradien m

A(1, 2) adalah y y1 m x x1

343 3

4 43 114 4

Dengan memerhatikan bahwa gradien yang melalui titikA( x1, y1) dan B( x2, y2) adalah

mAB y2

x2

y1

x1

maka persamaan garis yang melalui titik A dan B adalah

y y1 x x1 . y2

x2

y1

x1

(Menumbuhkaninovasi)

Bentuklah kelompokyang terdiri atas 2orang, 1 pria dan 1wanita. Coba diskusi-kan, bagaimanakah

persamaan garis yangmemotong sumbu Y dititik (0, a ) dan memo-tong sumbu X di(b, 0)?Kalian dapat menggu-nakan berbagai cara.Bandingkan hasilnya.

Eksplorasilah, apakahdapat dikatakan

bahwa persamaangaris yang melalui titik(0, a ) dan (b, 0) adalahax + by = ab ?Ujilah jawabanmudengan persamaantersebut.

Page 27: 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 27/38

y2 y1

x2 x1

y y1

y2 1 y

x

83 PersamaanGarisLurus

Persamaan garis yang melalui titik A( x1, y1) dan B( x2, y2)adalah

y y1 x x1

atau dapat dituliskan . x x1

x2 x1

(Menumbuhkankreativitas)Menurutmu, manakah

yang lebih mudah caramenentukan persa-maan garis yang me-lalui dua titik sebarangdengan substitusi kefungsi linear

y = ax + b, ataukahdengan rumus sepertidi samping? Jelaskan

pendapatmu.

Tentukanpersamaangarisyang melalui titik (3, – 5)dan ( – 2, – 3).

Penyelesaian:Persamaan garis yang melalui titik (3, – 5) dan ( – 2, – 3)sebagaiberikut.Cara 1Dengan substitusi ke fungsi linear y = ax + b.

y = ax + b – 5 = a(3) + b – 3 = a( – 2) + b

– 5 = 3a + b – 3 = – 2a + b

– 5 – ( – 3) = 3a – ( – 2a) – 5 + 3 = 3a + 2a

– 2 = 5a

= a

5 3 2

565195

25

Substitusi nilai a ke persamaan

5 3a b

b

b5

b

Persamaan garis yang memenuhi

2 195 5

y = ax + b adalah y atau – 5 y = 2 x + 19 .

Page 28: 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 28/38

y x

x

84Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

atau2 195 5

Cara 2Dengan menggunakan rumus.Substitusi titik (3, – 5) dan ( – 2, – 3) ke

persamaan y y1 x x1

y2 y1 x2 x1

y ( 5)3 ( 5)

y 52

5 y 5

x 32 3

x 35

2 x 3

5 y 25 2 x 6

5 y

5 y

2 x 6 25

2 x 19

5 y 2 x 19Jadi,persamaangarisyangmelaluititik(3, – 5)dan( – 2, – 3)

2 195 5

adalah y atau – 5 y = 2 x + 19.

5. Menggambar Garis yang Melalui Titik ( x 1, y 1) denganGradien mPada pembahasan yang lalu kalian telah mempelajari cara

menggambar grafik persamaan garis y = mx + c. Coba kalianingat kembali bagaimana cara menggambarnya.Sekarang, kalianakan mempelajari cara menggambar garis yang belum diketahui

persamaannya.Dalamhalini,garisyangmelaluititik( x1, y1)dengangradien m. Agar kalian lebih mudah memahaminya, perhatikancontohberikut.

Gambarlahgarisyangme-lalui titik P(2, 0) dengan

gradien 12

.

Penyelesaian:Untuk menggambar garis yang melalui titik P(2, 0) dan

bergradien12

langkah-langkahnyasebagaiberikut.

– Gambar titik P(2, 0) pada bidang koordinat Cartesius.

Page 29: 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 29/38

_1

P(2

15

1

2

85 PersamaanGarisLurus

– Karenagradienadalahperbandinganantarakomponen

y dan komponen x, maka m = .12

y x

X

,0)

1 2 3 4 5 y = _ 1 Q

x =2

21

0

_2

_3

y = – 1, artinya ke bawah 1 satuan dari titik P(2, 0)diteruskan dengan x = 2, artinya ke kanan 2 satuan,sehinggadiperolehtitikQ(4, – 1).

– Hubungkan titik P dan titik Q.Garis yang melalui titik P(2, 0) dan Q(4, – 1) adalahgarisyangdimaksud.

Y

3

6 7

Gambar 3.19

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.

1. Tentukan persamaan garis yang melaluititik

a. A(1, 3) dan bergradien 2;

b. C(7, 1) dan bergradien ;

c. D(3, 0) dan bergradien ;d. E( – 2, – 3) dan bergradien – 1.

Kemudian, gambarlah garis tersebut padabidangkoordinatCartesius.Berilahnama untuk masing-masing garistersebut.

2. Tentukan persamaan garis yang melaluititik

a. A( –

2, 3) dan sejajar garis y = – x – 5;

b. B( – 4, 0) dan sejajar garis2 x + 3 y = 1;

c. D( – 3, 1) dan sejajar garis x + 4 y + 5 = 0;

d. E(2, 4) dan sejajar garis x = 3 y + 3.

3. Tentukan persamaan garis yang melalui

titik-titikberikut.a. A(3, – 2) dan B( – 1, 3)

b. Q( – 5, 0) dan R(3, 4)c. K(7, 3) dan L( – 2, – 1)d. M(1, 1) dan N( – 6, 4)

4. Diketahui suatu garis bergradien 5melaluititikP(1,0)danQ( x,5).Tentukannilai x.

Page 30: 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 30/38

b. y x 6

y x 432

k

86Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

5. Tentukan persamaan garis yang melaluititik (2, 5) dan tegak lurus dengan garis

berikut.a. 2 x + y + 5 = 0

12

c. 3 x = – 4 y + 5

d.

D. MENENTUKAN TITIK POTONG DUA GARIS

X

Kalian telah mempelajari cara menentukan persamaan ga-ris yang saling sejajar maupun tegak lurus. Dua garis yang sejajartidak akan pernah berpotongan di satu titik. Sebaliknya, dua garis

yang saling tegak lurus pasti berpotongan di satu titik. Dengantanpa menggambarnya terlebih dahulu, kalian dapat menentukantitikpotongduagarisyangtidaksejajar.Pelajariuraianberikut.

1. Kedudukan Dua Garis pada Bidang

Ada dua macam kedudukan dua garis pada bidang, yaitusejajar dan berpotongan.

Dua garis sejajar Dua garis berpotongan

Gambar 3.20

Duagarissejajartidakakanberpotongandisatutitiktertentumeskidiperpanjangsampaitakberhingga.Dengandemikian,dapatdikatakanbahwatidakadatitikpotongantaraduagarisyangsejajar.

2. Menentukan Koordinat Titik Potong Dua Garis

Perhatikan Gambar 3.21.Y

l

0

Gambar 3.21

(Menumbuhkankreativitas)Misalkan terdapat tiga

buah garis g , h, dan k ,serta dua titik A dan B.Garis g dengan persa-maan (a + 1) x – 2 y =3 dan garis h dengan

persamaan x – ay = 0.Titik A adalah titik

potong garis g dan h,sedangkan garis k

adalah garis yangmelalui titik B(1, 5)dan sejajar garis g .Tentukana. gradien garis g , h,

dan k ; b. nilai a , jika g h;c. koordinat titik A;d. persamaan garis

k ;e. titik potong garis k

dan h.Gambarlah ketigagaris tersebut pada

bidang koordinatCartesius.Hasilnya, kumpulkankepada gurumu.

Page 31: 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 31/38

87 PersamaanGarisLurus

Pada Gambar 3.21 tampak bahwa garis k dan garis l tidaksaling sejajar. Telah kalian pelajari bahwa dua garis yang tidaksaling sejajar akan berpotongan di satu titik tertentu. Untukmenentukan titik potong garis k dan l , perhatikan uraian berikut.Misalkan garis k memiliki persamaan y1 = m1 x + c1;

garis l memiliki persamaan y2 = m2 x + c2;Jika kedua garis ini berpotongan di titik P( xo, yo) maka berlaku

yo = m1 xo + c1

yo = m2 xo + c2

Darikeduapersamaanini,diperoleh

0

m1 xo c1 m2 xo c2

m1 xo m2 xo c2 c1

xo m1 m2 c2 c1

xo , m1 m2c2 c1

m1 m2

Selanjutnya,untukmemperolehnilai yo,substitusikannilai xo padasalah satu persamaan garisnya.

Jika y1 = m1 x + c1 dan y2 = m2 x + c2 adalah persamaan duagaris yang tidak saling sejajar maka titik potongnya dapatdicari dengan menyelesaikan persamaan m1 x + c1 =m2 x + c2, kemudian menyubstitusikan nilai x ke salah satu

persamaan garis tersebut.

Tentukan koordinat titik potong garis x + y = 3 dan y = 2 x – 1.

Penyelesaian: x + y = 3 dan y = 2 x – 1Ubahterlebihdahulupersamaangaris x+ y=3kebentuk

y = mx + c.

x + y =3 y =3 – x y = 3 – x ................................................ (i) y = 2 x – 1 .............................................. (ii)Dari persamaan (i) dan (ii) diperoleh

43

43

2 x 11 34

3 x x 2 x

3 x

x

Page 32: 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 32/38

d. 5 x + 2 y = 1 dan 1 x y 0

c. y = – 3 x dan x y 1

88Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

Selanjutnya,untukmenentukannilai ysubstitusikannilai x ke persamaan (i). y 3 x

43

53

Jadi, titik potong garis x + y = 3 dan y = 2 x – 1 adalah

4 53 3

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.

1. Tentukan titik potong kedua garis beri-kut.a. y = 3 x – 1 dan y = x + 5

b. y = x + 1 dan y = – 5 x + 3c. 2 x – y – 5 = 0 dan x + 2 y – 1 = 0d. 3 x + 5 y = 2 dan 2 x – 7 y = 3

2. Tentukan persamaan garis yang melaluititik (1, – 3) dan titik potong garis y = 2 xdengan y = 5 x – 4.

3. Tentukan persamaan garis yang melaluititik potong garis 2 x + 3 y = 5 dan

x – 4 y = 1 dengan gradien 2.4. Tentukan persamaan garis yang tegak

lurus garis 2 x + y = 1 dan melalui titik potong garis x = 4 y + 4 dengan y = 7.

5. Selidiki kedudukan kedua garis berikuttanpamenggambarterlebihdahulu.a. x + 2 y = 7 dan y – 2 x = – 1

b. y = 2 x – 5 dan y = 2 x + 3

13

15 2

6. Diketahui ketiga garis 2 x – y – 1 = 0,4 x – y – 5 = 0, dan ax – y – 7 = 0

berpotongandisatutitik.Tentukana. nilai a ;

b. koordinattitikpotongketigagaris;c. persamaangarisyangmelaluititikO

dantitikpotongtersebut.7. Garis 2 x – y = a dan x + by = 4 berpo-

tongandititik(2,1).Tentukana. nilai a dan b;

b. kedudukan kedua garis.8. Diketahui garis 3 x – ay = 4 tegak lurus

dengan garis 4 x – (a – 1) y =5.Tentukana. nilai a ;

b. titikpotongkeduagaris;c. persamaan garis yang melalui titik

O(0, 0) dan titik potong kedua garistersebut.

Page 33: 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 33/38

a. Gradien garis 6 x + py + 4 = 0 adalah m16

p

Gradien garis 3 x – 2 py – 5 = 0 adalah m23

2 p

89 PersamaanGarisLurus

E. MEMECAHKAN MASALAH Y ANG BER-KAITAN DENGAN KONSEP PERSAMAANGARIS LURUS

Kalian telah mempelajari mengenai persamaan garis lurus.Dengan konsep-konsep yang telah kalian peroleh, hal itu dapatdigunakan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan

persamaan garis lurus.

Diketahui garis 6 x + py +4 = 0 dan 3 x – 2 py – 5 = 0saling tegak lurus. Tentu-

kana. nilai p;

b. persamaan garis yangmemenuhi.

9

Penyelesaian:

.

.

Karena kedua garis saling tegak lurus, maka berlaku

m1 m2 = – 1.m1 m2 1

6 p

1

2 p2

3

32 p

18

p2

p

Jadi, nilai p yang memenuhi adalah p = 3 atau p = – 3.

b. Persamaan garis yang memenuhi sebagai berikut.Untuk p = 3, maka persamaan garisnya adalah6 x + 3 y + 4 = 0 dan 3 x – 6 y – 5 = 0.Untuk p = – 3, maka persamaan garisnya adalah

6 x – 3 y + 4 = 0 dan 3 x + 6 y – 5 = 0.

(Berpikir kritis)

Bacalah buku-buku referensi yang berkaitan dengan konsep persamaan garis lurus. Cobalah memecahkan masalah-masalahyang berkaitan dengan persamaan garis lurus yang terdapat di bukutersebut. Jika mengalami kesulitan, tanyakan pada gurumu agarkalian lebih paham materi tersebut. Diskusikan hal ini dengantemanmu. Susunlah hasilnya dalam b entuk laporan dan kumpulka nkepada gurumu.

Page 34: 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 34/38

90Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.

1. Diketahui garis ax + 3 y + 6 = 0 tegaklurus dengan garis 3 x – 2 y – 2a = 0.Tentukana. nilai a ;

b.titikpotongkeduagaris.2. Tentukan nilai p agar persamaan garis

2 x + py – 3 = 0 sejajar dengan garis x – 3 y + 2 = 0.

3. DiketahuisegitigaABCdenganA(3,6),

B(3, 1), dan C(6, 1). Dengan mencarigradien masing-masing garis yangmelaluisisi-sisisegitigaABC,tunjukkan

bahwasegitigaABCsiku-sikudititikB.

4. Diketahui suatu persegi panjang ABCDsisi-sisinya sejajar dengan sumbu koor-dinat.TitikA( – 2, – 1)danC(2,1)adalahtitik sudut yang saling berhadapan.Tentukana. koordinattitikBdanD;

b. gradiengarisyangdilaluidiagonalACdan BD;

c. persamaan garis yang dilalui diago-nal AC dan BD.

5. DiketahuisebuahpersegiPQRSdenganR(2,6)danS( – 4,6).TitikPdanQterle-takpadasumbuX.Denganmencariper-samaan garis yang melalui diagonal PRdan QS, tunjukkan bahwa diagonal-dia-gonal sebuah persegi saling tegak lurus.

1. Persamaan garis lurus dapat ditulis dalam bentuk y = mx + cdengan m dan c suatu konstanta.

2. Langkah-langkahmenggambargrafikpersamaan y=mxatau y = mx + c, c 0 sebagai berikut. – Tentukanduatitikyangmemenuhipersamaangaristersebut

dengan membuat tabel untuk mencari koordinatnya. – GambarduatitiktersebutpadabidangkoordinatCartesius. –

Hubungkan dua titik tersebut, sehingga membentuk garislurus yang merupakan grafik persamaan yang dicari.

3. Persamaan garis yang melalui titik O(0, 0) dan titik P( x1, y1)

adalah y y1

x1 x .

4. Persamaan garis yang melalui titik (0, c) dan sejajar garis y = mx adalah y = mx + c.

5. Gradien suatu garis adalah bilangan yang menyatakan

kecondongansuatugarisyangmerupakanperbandinganantarakomponen y dan komponen x.

Page 35: 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 35/38

91 PersamaanGarisLurus

6. Garis dengan persamaan y = mx memiliki gradien m danmelaluititik(0,0).

7. Garis dengan persamaan y = mx + c memiliki gradien m danmelaluititik(0, c).

8. Garis dengan persamaan ax + by + c = 0 memiliki gradien

ab

.

9. Gradien garis yang melalui titik ( x1, y1) dan ( x2, y2) adalah

.m y x

y2

x2

y1

x1

y1

x1

y2

x2

10.11.12.

Gradien garis yang sejajar sumbu X adalah nol.GradiengarisyangsejajarsumbuYtidakdidefinisikan.Garis-garisyangsejajarmemilikigradienyangsama.

13. Hasilkaligradienduagarisyangsalingtegaklurusadalah – 1atau m1 m2 = – 1.

14. Persamaan garis yang melalui titik ( x1, y1) dan bergradien madalah y – y1 = m( x – x1).

15. Persamaan garis yang melalui titik ( x1, y1) dan sejajar garis y = mx + c adalah y – y1 = m( x – x1).

16. Persamaan garis yang melalui titik ( x1, y1) dan tegak lurus

garis y = mx + c adalah y y1

1m x x1 .

17. Persamaan garis yang melalui dua titik dapat diselesaikandengan substitusi ke fungsi linear y = ax + b.

18. Persamaan garis yang melalui titik A( x1, y1) dan B( x2, y2)

adalah y y1

y y1

y2 y1

x x1

x2 x1 .

19. Dua garis yang tidak saling sejajar akan berpotongan di satutitiktertentu.

20. Jika y1 dan y2 adalah dua buah garis yang tidak saling sejajarmaka untuk menentukan titik potong dari dua garis tersebutharus memenuhi y1 = y2.

Page 36: 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 36/38

32

32

92Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

Setelah mempelajari bab ini, apakah kalian sudah pahammengenai Persamaan Garis Lurus ? Jika kalian sudah paham,

coba rangkum kembali materi ini dengan kata-katamu sendiri.Bagianmanadarimateriiniyangbelumkamupahami?Catatdantanyakan kepada temanmu yang lebih tahu atau kepada gurumu.Buatlah dalam sebuah laporan singkat dan serahkan kepadagurumu.

Kerjakan di buku tugasmu.A. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat.

1. Grafik persamaan garis y = 2 x ditun- jukkan oleh gambar ....

Y

a.32

1

b.

1

1

2

2

3

3

X

X

0

Y

3

2

1

0

4

4

c.

X

Y3

21

_4 _3 _2 _1 0

d.

X

Y

3

2

1

_4 _3 _2 _1 0

2. Jika gradien garis yang melalui titikP( – 2, 3a ) dan Q( – 1, a ) adalah – 3maka nilai a = ....a. – 6

b. – 4

c.

d.

133. Persamaangarisyangbergradien

dan melalui titik (1, 3) adalah ....a. 3 x – y + 10 = 0

b. 3 x – y – 10 = 0c. x + 3 y + 10 = 0d. x + 3 y – 10 = 0

Page 37: 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 37/38

b. y x 19

12

ii. MemotongsumbuXdititik 2, 0 .a. 319 19, 1

b. 312 12, 1

3 ,39 519 19

3 , 19 519 19

93 PersamaanGarisLurus

4. Persamaan garisyangmelaluititik(0, 1) dan (1, 6) adalah ....a. x + 5 y = 5

b. x = 5 y + 1c. y = 5 x – 5d. 5 x – y + 1 = 0

5. Diketahui garis dengan persamaan berikut.(i) 2 y = 5 x – 3(ii) 5 y = 2 x + 15(iii) 3 x + 5 y = 15(iv) 10 y – 4 x = -11

Dari persamaan garis di atas, yangsejajardengangarisyangpersamaan-

nya 2 x – 5 y + 15 = 0 adalah ....a. (i)dan(iii)

b. (ii)dan(iv)c. (ii)dan(iii)d. (iii)dan(iv)

6. Diketahuisuatugarismemilikipersa-maan 2 x – y – 3 = 0.

i. Gradiennya = .

3

iii.MemotongsumbuYdititik(0, – 3).

Dari pernyataan di atas, yang benaradalah ....a. hanya (i) dan (ii)

b. hanya(i)dan(iii)c. hanya(ii)dan(iii)d. (i),(ii),dan(iii)

7. Persamaan garis yang melalui titik(2, – 3) dan tegak lurus dengan garis

x + y = 10 adalah ....a. y = x + 5

b. y = x – 5c. y = – x + 5d. y = – x – 5

X0 3 6

8. Persamaan garis yang melalui titik( – 3, 4) dan sejajar dengan garis yangmelaluititik(0,1)dan(1,6)adalah....a. 2 x – 5 y = 11

1

5c. 5 x – y – 19 = 0d. y = 5 x + 19

9. Y

8

3

Titikpotongkeduagarispadagambardi atas adalah ....

9 5

5 1

c.

d.

10. Titik (a , b) merupakan titik potonggaris y = 3 x – 8 dan x + y = 12. Nilaidari a + b adalah ....a. 3

b. 5c. 10d. 12

Page 38: 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

7/18/2019 38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0 Persamaan Garis Lurus Ok

http://slidepdf.com/reader/full/38da804c1bf8e1ea9094fabfd95377b0-persamaan-garis-lurus-ok 38/38

x 2 y3 5

x 3 y 612

b. y x 5

d. 1 x 2 y 3

l 1X

b. bergradien 1;

( 4, 0)4 3 2 10 1 2 3 4

X

1. Tentukan nilai a dan b agar titika. ( – 3, a) terletak pada garis

2 x – y + 3 = 0;

b. (2b, b + 2) terletak pada garis

1.

2. Gambarlah garis-garis berikut padasatu bidang koordinat. Kemudian,tentukangradienmasing-masinggaristersebut.

a.

34

c. 3 x + 2 y 6=0

12

3. Tentukan persamaan garis k dan l pada gambar berikut.

Yk

5 (0, 5)4321

12345

(a)

Y

54

32

( 5, 0)5 4 3 2 10 1 2 3 4

123456 (0, 6)

(b)

4. Tentukan persamaan garis yangmelaluititikA(1,4)dana. titikB( – 5,7);

2c. sejajar dengan garis x + 3 y = 1;d. tegak lurus dengan garis

2 x – 5 y = 0.

5. Diketahui garis 4 x – ay = 5 dan3 x + (a + 1) y = 10 saling tegak lurus.Tentukana. nilai a ;

b. titikpotongkeduagaris;c. persamaan garis yang melalui titik

O(0,0)dantitikpotongkeduagaristersebut.

B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan tepat.