GEOMETRI ANALITIK RUANG PERSAMAAN GARIS · PDF filemengeliminirkan y dari kedua persamaan g...

14
MAKALAH GEOMETRI ANALITIK RUANG PERSAMAAN GARIS LURUSMakalah Ini Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Geometri Analitik Ruang Dosen Pengampu : NINA AGUSTYANINGRUM, M.Pd Disusun Oleh Yani Novita Murni 15.05.0.002 Aizyah Alifia Supardi 15.05.0.019 Ani Nofianti 15.05.0.021 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS RIAU KEPULAUAN BATAM 2017

Transcript of GEOMETRI ANALITIK RUANG PERSAMAAN GARIS · PDF filemengeliminirkan y dari kedua persamaan g...

Page 1: GEOMETRI ANALITIK RUANG PERSAMAAN GARIS · PDF filemengeliminirkan y dari kedua persamaan g diatas, dan Bidang memproyeksikan garis g pada bidang YOZ, ... Persamaan Vektor, Parametrik

MAKALAH

GEOMETRI ANALITIK RUANG

“PERSAMAAN GARIS LURUS“

Makalah Ini Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Geometri Analitik Ruang

Dosen Pengampu :

NINA AGUSTYANINGRUM, M.Pd

Disusun Oleh

Yani Novita Murni 15.05.0.002

Aizyah Alifia Supardi 15.05.0.019

Ani Nofianti 15.05.0.021

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS RIAU KEPULAUAN

BATAM

2017

Page 2: GEOMETRI ANALITIK RUANG PERSAMAAN GARIS · PDF filemengeliminirkan y dari kedua persamaan g diatas, dan Bidang memproyeksikan garis g pada bidang YOZ, ... Persamaan Vektor, Parametrik

1

GARIS LURUS

1. Persamaan Garis Lurus

Suatu garis lurus dapat kita misal sebagai garis potong pada 2 bidang datar.

Garis-garis istimewa yang sudah kita kenal adalah sumbu x , y dan z. Sumbu x adalah

garis potong bidang XOY dan XOZ, sehingga persamaan sumbu x ialah y = 0 , z = 0.

Dengan pemikiran serupa kita dapat persamaan sumbu y ialah x = 0, z = 0. Dari

persamaan sumbu z ialah x = 0, y = 0.

Gambar 1

Suatu garis dapat mudah ditentukan sebagai garis potong bidang-bidang dengan

memproyeksikannya pada bidang XOZ dan YOZ. Misal kan x = mz + p, y = nz+q atau

dapat ditulis : x = mz + p

y = nz + q

Kalau garis nya diberikan sebagai garis potong dua bidang sebarang saja, maka bidang-

bidang memproyeksikannya dapat mudah dicari. Misalnya garis g persamaannya

g : A1x + B1y + C1z + D1 = 0

A2x + B2y + C2z + D2 = 0

Page 3: GEOMETRI ANALITIK RUANG PERSAMAAN GARIS · PDF filemengeliminirkan y dari kedua persamaan g diatas, dan Bidang memproyeksikan garis g pada bidang YOZ, ... Persamaan Vektor, Parametrik

2

Bidang memproyeksikan garis g tersebut pada bidang XOZ, diperoleh dengan

mengeliminirkan y dari kedua persamaan g diatas, dan Bidang memproyeksikan garis

g pada bidang YOZ, diperoleh dengan mengeliminirkan x dari kedua persamaan g

diatas.

Jadi jika y kita eliminir, diperoleh :

(A1B2 - A2B1)x + (B2 C1- B1C2)z + (B2D1 - B1D2) = 0

Jadi jika x kita eliminir, diperoleh :

(A2B1 - A1B2)y + (A2C1 - A1C2)z + (A2D1 - A1D2) = 0

Persamaan garis dapat ditulis sebagai berikut :

x = B1C2− B2 C1

A1B2 − A2B1Z +

B1D2− B2D1

A1B2 − A2B1

y = A2C1 − A1C2

A1B2 − A2B1Z +

A2D1 − A1D2

A1B2 − A2B1

Jika disesuaikan dengan x = mz + p dan y = nz + q, maka diperoleh :

m = |B1 C1

B2 C2|

|A1 B1

A2 B2| p =

|B1 D1

B2 D2|

|A1 B1

A2 B2|

n = |C1 A1

C2 A2|

|A1 B1

A2 B2| q =

|D1 A1

D2 A2|

|A1 B1

A2 B2|

Gambar 2

Page 4: GEOMETRI ANALITIK RUANG PERSAMAAN GARIS · PDF filemengeliminirkan y dari kedua persamaan g diatas, dan Bidang memproyeksikan garis g pada bidang YOZ, ... Persamaan Vektor, Parametrik

3

Contoh soal:

Tentukan persamaan dari garis potong bidang-bidang 2x - y - 5z = -14 dan 4x + 5y +

4z = 28 !

Jawab :

x = B1C2− B2 C1

A1B2 − A2B1Z +

B1D2− B2D1

A1B2 − A2B1

= −4+25

10+4Z +

28−70

10+4

= 21

14𝑧 +

(−42)

14

= 3

2𝑧 − 3

y = A2C1 − A1C2

A1B2 − A2B1Z +

A2D1 − A1D2

A1B2 − A2B1

= −20−8

10+4Z +

56+56

10+4

= −28

14𝑧 +

112

14

= −2𝑧 + 8

2. Persamaan Vektor, Parametrik dan Simetrik Garis Lurus

a. Persamaan vektor, parametrik dan simetrik pada satu titik

Pada gambar dibawah ini 𝑙 adalah garis yang melalui titik Po(xo, yo, zo) dengan

vektor posisi 𝑟𝑜 dan sejajar dengan vektor 𝑣 = a𝑖 + b𝑗 + c𝑘. Untuk menentukan

persamaan garis 𝑙, diambil sebarang titik P(x, y, z) pada garis 𝑙, maka 𝑃𝑜𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ // 𝑣 dan

𝑃𝑜𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝜆𝑣 dengan 𝜆 bilangan real. Jika vektor-vektor posisi titik Po dan P terhadap O

adalah 𝑟𝑜 = (𝑥𝑜 ,𝑦𝑜 ,𝑧𝑜 ) dan 𝑟 = ⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ maka 𝑃𝑜𝑃 = 𝑟 − 𝑟𝑜 dan karena 𝑃𝑜𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝜆𝑣

maka :

𝑟 − 𝑟𝑜 = 𝜆𝑣

𝑟 = 𝑟𝑜 + 𝜆𝑣

Page 5: GEOMETRI ANALITIK RUANG PERSAMAAN GARIS · PDF filemengeliminirkan y dari kedua persamaan g diatas, dan Bidang memproyeksikan garis g pada bidang YOZ, ... Persamaan Vektor, Parametrik

4

Karena r adalah vektor posisi sebarang titik P pada garis 𝑙 dan memenuhi

persamaan terakhir, maka setiap titik P pada garis l akan memenuhi persamaan tersebut.

Dengan kata lain, persamaan garis 𝑙 yang melalui Po(xo, yo, zo) dan sejajar dengan

vektor 𝑣 = ⟨ 𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ adalah 𝒓 = 𝒓𝒐 + 𝝀𝒗. Atau,

(𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑙)

⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ = ⟨𝑥𝑜 ,𝑦𝑜 ,𝑧𝑜 ⟩ + 𝜆⟨ 𝑎, 𝑏, 𝑐⟩

⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ = ⟨𝑥𝑜 + 𝜆𝑎 , 𝑦𝑜+𝜆𝑏 , 𝑧𝑜 + 𝜆𝑐⟩

Maka diperoleh :

Jika kita eliminir parameter 𝜆 , yaitu 𝜆 = 𝑥−𝑥𝑜

𝑎; 𝜆 =

𝑦−𝑦𝑜

𝑏; 𝜆 =

𝑧−𝑧𝑜

𝑐

Maka untuk persamaan garis lurus diketahui melalui titik Po(xo, yo, zo) dengan bilangan

vektor arah 𝑣 = ⟨ 𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ adalah :

Gambar 3

𝒙 = 𝒙𝒐 + 𝝀𝒂

𝒚 = 𝒚𝒐 + 𝝀𝒃

𝒛 = 𝒛𝒐 + 𝝀𝒄

𝒙−𝒙𝒐

𝒂 =

𝒚−𝒚𝒐

𝒃=

𝒛−𝒛𝒐

𝒄 dengan syarat a,b,c ≠

0

(𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑘 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑙)

(𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑘 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑙)

𝒓 = 𝒓𝒐 + 𝝀𝒗

Page 6: GEOMETRI ANALITIK RUANG PERSAMAAN GARIS · PDF filemengeliminirkan y dari kedua persamaan g diatas, dan Bidang memproyeksikan garis g pada bidang YOZ, ... Persamaan Vektor, Parametrik

5

Contoh soal

Tentukan persamaan garis yang melalui P(1,2,3) dan sejajar dengan a = (-1,1,4) !

Penyelesaian :

t = p + λa

Pers. vektor garis g:

⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ = ⟨𝑥𝑜 ,𝑦𝑜 ,𝑧𝑜 ⟩ + 𝜆⟨ 𝑎, 𝑏, 𝑐⟩

⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ = ⟨1, 2, 3⟩ + 𝜆⟨−1, 1, 4⟩

⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ = (1 -𝜆, 2 + 𝜆, 3 + 4𝜆)

Persamaan parameter garis g:

𝑥 = 𝑥𝑜 + 𝜆𝑎 = 1 -𝜆

𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝜆𝑏 = 2 + 𝜆

𝑧 = 𝑧𝑜 + 𝜆𝑐 = 3 + 4𝜆

Persamaan simetrik garis g:

𝑥−𝑥𝑜

𝑎 =

𝑦−𝑦𝑜

𝑏=

𝑧−𝑧𝑜

𝑐

𝑥 − 1

−1 =

𝑦 − 2

1=

𝑧 − 3

4

b. Persamaan vektor pada dua titik

Untuk mencari persamaan vektor dari garis yang melalui 2 titik A(x1, y1, z1) dengan

vektor letak 𝑎 dan B(x2, y2, z2) dengan vektor letak 𝑏, kita dapat mengambil sebarang

titik R(x, y,z) pada garis tersebut yang vektor posisinya adalah 𝑟 = ⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩. Dari

kondisi ini dapat ditentuan bentuk persamaan vektor garis AB sebagai berikut :

𝑟 = 𝑎 + 𝜆 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ dengan λ bilangan real

𝑟 = 𝑎 + 𝜆 (𝑏 − 𝑎)

(𝑥𝑦𝑧) = (

𝑥1

𝑦1

𝑧1

) + 𝜆 (

𝑥2 −𝑦2 −𝑧2 −

𝑥1

𝑦1

𝑧1

)

⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ = ⟨𝑥1 ,𝑦1 ,𝑧1 ⟩ + 𝜆⟨𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 𝑧 − 𝑧1⟩

(𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝐴𝐵)

Page 7: GEOMETRI ANALITIK RUANG PERSAMAAN GARIS · PDF filemengeliminirkan y dari kedua persamaan g diatas, dan Bidang memproyeksikan garis g pada bidang YOZ, ... Persamaan Vektor, Parametrik

6

Diperoleh

Dengan mengeliminir λ dari persamaan parametrik diatas, akan diperoleh persamaan

simetrik dari garis AB sebagai berikut:

Contoh soal)

Tentukan persamaan garis g yg melalui (1,2,3) dan (3,5,4) !

Penyelesaian:

𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (3, 5, 4) − (1, 2, 3)

= (2, 3, 1)

𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝑇⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝑇⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑂𝑇⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝜆𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗

(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 2, 3) + 𝜆(2, 3, 1)

Jadi persamaan vektornya adalah

(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝜆 + 1; 3𝜆 + 2; 𝜆 + 3)

Persamaan parameternya adalah

𝑥 = 2𝜆 + 1; 𝑦 = 3𝜆 + 2; 𝑧 = 𝜆 + 3)

Persamaan simetriknya adalah :

𝑥 −1

2 =

𝑦 −2

3=

𝑧−3

1

(𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑘 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝐴𝐵)

(𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑘 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝐴𝐵)

𝑥 = 𝑥1 + 𝜆(𝑥2−𝑥1)

𝑦 = 𝑦1 + 𝜆(𝑦2−𝑦1) .

𝑧 = 𝑧1 + 𝜆(𝑧2−𝑧1)

𝑥 −𝑥1

𝑥2−𝑥1 =

𝑦 −𝑦1

𝑦2−𝑦1=

𝑧−𝑧1

𝑧2−𝑧1

Page 8: GEOMETRI ANALITIK RUANG PERSAMAAN GARIS · PDF filemengeliminirkan y dari kedua persamaan g diatas, dan Bidang memproyeksikan garis g pada bidang YOZ, ... Persamaan Vektor, Parametrik

7

3. Garis Lurus sebagai Perpotongan Dua Bidang Rata

Di dalam Ilmu Ukur Analitik Ruang, garis lurus dinyatakan sebagai

perpotongan 2 buah bidang rata yang tidak sejajar. Kita dapat pula menyatakan suatu

garis lurus sebagai perpotongan sebarang dua bidang rata yang melalui garis lurus

tersebut. Misalnya,Garis lurus g adalah perpotongan bidang rata V1 = A1x + B1y + C1z

+ D1 = 0 dan bidang V2 = A2x + B2y + C2z + D2 = 0.

Untuk menentukan vektor arah dari

garis lurus perpotongan dua buah bidang rata,

kita perhatikan gambar disamping. Maka n1=

[A1, B1, C1], n2 = [A2, B2, C2], jelas bahwa

n1 x n2 = a, dimana a = [ a, b, c ] merupakan

vektor arah dari garis g.

Jadi a = n1 x n2

a = |𝑖 𝑗 𝑘𝐴1 𝐵1 𝐶1

𝐴2 𝐵2 𝐶2

|

a = [|𝐵1 𝐶1

𝐵2 𝐶2| |

𝐶1 𝐴1

𝐶2 𝐴2| |

𝐴1 𝐵1

𝐴2 𝐵2|]

Untuk mengubah bentuk persamaan V1 = 0 = V2 menjadi bentuk 𝑥−𝑥1

𝑎 =

𝑦−𝑦1

𝑏=

𝑧−𝑧1

𝑐 ,

kita harus menentukan pula koordinat (x1, y1, z1).

Page 9: GEOMETRI ANALITIK RUANG PERSAMAAN GARIS · PDF filemengeliminirkan y dari kedua persamaan g diatas, dan Bidang memproyeksikan garis g pada bidang YOZ, ... Persamaan Vektor, Parametrik

8

Sebarang titik pada garis lurus. Untuk itu (biasanya) kita ambil titik potong dengan

bidang berkoordinat, misalnya, XOY z = 0, diperoleh

A1x + B1y + D1 = 0

A2x + B2y + D2 = 0

Yang bila diselesaikan diperoleh:

𝑥 = |−𝐷1 𝐵1

−𝐷2 𝐵2|

|𝐴1 𝐵1

𝐴2 𝐵2|

𝑦 = |𝐴1 −𝐷1

𝐴2 −𝐷2|

|𝐴1 𝐵1

𝐴2 𝐵2|

Contoh Soal

Tentukan vektor arah (a) Garis lurus x - 2y + z = 1 dan 3x - y + 5z = 8 !

Jawab :

a = |𝑖 𝑗 𝑘𝐴1 𝐵1 𝐶1

𝐴2 𝐵2 𝐶2

|

a = [|𝐵1 𝐶1

𝐵2 𝐶2| |

𝐶1 𝐴1

𝐶2 𝐴2| |

𝐴1 𝐵1

𝐴2 𝐵2|]

a = [|−2 1−1 5

| |1 15 3

| |1 −23 −1

|]

Dimana a = |−2 1−1 5

| = -9 , b = |1 15 3

| = -2 , c = |1 −23 −1

| = 5

atau [a, b, c] = [-9, -2,5]

Ambil z = 0 x = |1 −28 −1

|

|1 −23 −1

| =

15

5 = 3

y = |1 13 8

|

5 = 1

Titik yang melalui garis lurus yang merupakan perpotongan ke-2 bidang rata V1 dan

V2 adalah (3,1,0) pada garis lurus, persamaannya dapat tulis:

[ x, y,z ] = [ 3,1,0 ] + λ [ -9. -2, 5 ]

Page 10: GEOMETRI ANALITIK RUANG PERSAMAAN GARIS · PDF filemengeliminirkan y dari kedua persamaan g diatas, dan Bidang memproyeksikan garis g pada bidang YOZ, ... Persamaan Vektor, Parametrik

9

4. Kedudukan Dua Garis Lurus

Didalam ruang berdimensi tiga, dua garis lurus mungkin dapat sejajar, berimpit,

berpotongan, ataupun bersilangan. Diketahui garis lurus:

Garis g1 : [x, y, z] = [x1, y1, z1] + λ [a1, b1,c1]

Garis g2 : [x, y, z] = [x2, y2, z2] + λ [a2, b2,c2]

Ada beberapa kedudukan garis lurus antara g1 dan g2 :

1. g1 // g2 , jika dan hanya jika [a1, b1,c1] = μ [a2, b2,c2] ; μ bilangan ≠ 0 atau

𝑎1

𝑎2=

𝑏1

𝑏2=

𝑐1

𝑐2

2. g1 berimpit g2 jika dan hanya jika :

a. [a1, b1,c1] = μ [a2, b2,c2]

b. [ x2-x1, y2-y1, z2-z1] = μ [a2, b2,c2]

3. kalau arah g1 yaitu [a1, b1,c1] dan arah g2 yaitu [a2, b2,c2] tidak berkelipatan, maka

g1 dan g2 berpotongan di satu titik atau bersilangan. maka titik potongnya [x0, y0, z0]

berarti ada λ1 sehingga [x0, y0, z0] = [x1, y1, z1] + λ1 [a1, b1,c1] dan ada λ2 sehingga

[x0, y0, z0] = [x2, y2, z2] - λ2 [a2, b2,c2].

Berarti [x1, y1, z1] + λ1 [a1, b1,c1]= [x2, y2, z2] - λ2 [a2, b2,c2]. atau

a1 λ1 + a2 λ2 = x2 – x1

b1 λ1 + b2 λ2 = y2 – y1

c1 λ1 + c2 λ2 = z2 – z1

berdasarkan teori persamaan linier, nilai λ1 dan λ2 ada determinan :

|

𝑎1 𝑎2 𝑥2 – 𝑥1

𝑏1 𝑏2 𝑦2 – 𝑦1

𝑐1 𝑐2 𝑧2 – 𝑧1

|= 0

merupakan syarat dua garis lurus berpotongan pada satu titik. sedangkan persamaan

bidang yang memuat kedua garis g1, g2 tersebut :

|

𝑎1 𝑎2 x – 𝑥1

𝑏1 𝑏2 𝑦– 𝑦1

𝑐1 𝑐2 𝑧 – 𝑧1

|= 0

Jika nilai determinannya tidak sama dengan 0, maka kedua garis lurus tersebut

bersilang.

Page 11: GEOMETRI ANALITIK RUANG PERSAMAAN GARIS · PDF filemengeliminirkan y dari kedua persamaan g diatas, dan Bidang memproyeksikan garis g pada bidang YOZ, ... Persamaan Vektor, Parametrik

10

Contoh Soal

Tunjukkan bahwa g1 : ( x – 4 ) = 𝑦+3

−4 =

𝑧+1

7 berpotongan dengan g2 :

𝑥−1

2=

𝑦+1

−3=

𝑍+10

8 tentukan titik potong serta bidang yang memuat g1 dan g2 tersebut .

Jawab:

g1 : [x,y,z] = [ 4, -3, -1 ] + λ [1, -4, 7]

g2 : [x,y,z] = [1, -1, -10] + λ [2, -3, 8]

|1 2 1 − 4−4 −3 −1 + 37 8 −10 + 1

| = |1 2 −3−4 −3 27 8 −9

|= 0

Jadi g1 dan g2 berpotongan. titik potong diperoleh dari persamaan:

λ1 + 2 λ2 = -3

-4 λ1 – 3λ2 = 2

7 λ1 + 8 λ2 = -9

cukup diambil dua persamaan saja, diperoleh λ1 = 1, λ2 = -2. titik potong diperoleh

dengan memasukkan λ = λ1 ke persamaan diperoleh [x0, y0, z0] = [4, -3, -1] + 1 [1,

-4, 7] = [5, -7, 6]; sehingga potong : (5, -7, 6). (boleh juga dengan memasukkan λ =

λ2 = 2 persamaan g2).

bidang rata yang memuat g1 dan g2 mempunyai vektor arah [1, -4, 7] dan [2, -3, 8]

serta melalui titik (4, -3, -1), Jadi persamaan vektorisnya : [x,y,z] =[4, -3,-1] + λ [1,

-4, 7] + μ [2, -3, 8] atau bentuk liniernya (sesuai persamaannya (31)) :

|1 2 𝑥 − 4−4 −3 𝑦 + 37 8 𝑧 + 1

| = 0 11x - 6y - 5z – 67 = 0

Page 12: GEOMETRI ANALITIK RUANG PERSAMAAN GARIS · PDF filemengeliminirkan y dari kedua persamaan g diatas, dan Bidang memproyeksikan garis g pada bidang YOZ, ... Persamaan Vektor, Parametrik

11

5. Kedudukan Garis Lurus Dan Bidang Rata

Pandang garis lurus g dengan vektor arah a = [a, b, c] dan bidang rata V dengan

vektor normal n = [A, B, C] maka :

1. garis lurus g sejajajr bidang rata V ↔ vektor arah garis tegak lurus normal

bidang atau a.n = 0 atau aA + bB +cC = 0

2. garis lurus g tegak lurus bidang rata V ↔ vektor arah garis lurus = vektor normal

bidang rata (atau kelipatannya) atau ↔ 𝑎

𝐴=

𝑏

𝐵=

𝑐

𝐶

3. Bila garis g terletak seluruhnya pada bidang rata, terpenuhi a┴n atau a.n = 0

atau aA + bB + cC = 0 dan sebarang titik P pada g harus terletak pula pada

bidang V.

Page 13: GEOMETRI ANALITIK RUANG PERSAMAAN GARIS · PDF filemengeliminirkan y dari kedua persamaan g diatas, dan Bidang memproyeksikan garis g pada bidang YOZ, ... Persamaan Vektor, Parametrik

12

Latihan :

1. Tentukan persamaan garis potong bidang-bidang x – y – z = 1 dan 3x – 3y +7z = 9 !

2. Carilah persamaan parametrik dan simetrik garis lurus yang melalui titik-titik (1, -2, 3)

dan (4, 5, 6)!

3. Tentukanlah persamaan-persamaan vektor, parametrik dan simetrik untuk garis yang

melalui titik A(3, -2, 4) dan B(5, 6, -2)!

4. Tentukan persamaan garis yang melalui (-1, 3, 2) serta tegak lurus bidang-bidang V1 =

x +2y = 2z = 5 dan V2 = 3x + 5y + 2z = 8

5. Tentukan persamaan garis lurus g yang melalui titik P (1, 0, -1) terletak pada bidang V

= x +3y + z = 0 serta juga tegak lurus garis lurus g1 : x + 2y – z = 3, 2y – 3y +5z =1

Page 14: GEOMETRI ANALITIK RUANG PERSAMAAN GARIS · PDF filemengeliminirkan y dari kedua persamaan g diatas, dan Bidang memproyeksikan garis g pada bidang YOZ, ... Persamaan Vektor, Parametrik

13

Daftar Pustaka

Suryadi H.S, D. 1984. Serial Matematika dan Komputer Aski Teori dan Soal ILMU UKUR

ANALITIK RUANG. Jakarta : Ghalia Indonesia.

Sukirman. 2009. Geometri Analitik Bidang dan Ruang. Edisi I. Jakarta : Penerbit Universitas

Terbuka.