BAB 6Geometri

Standar Kompetensi:

Menentukan kedudukan, jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis,

dan bidang dalam ruang dimensi tiga.

Kompetensi Dasar: Menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga.

Menentukan jarak dari titik ke garis dan dari titik ke bidang dalam ruang

dimensi tiga.

Menentukan besar sudut antara garis dan bidang dan antara dua bidang

dalam satu ruang dimensi tiga.

Kedudukan Titik, Garis, dan

Bidang dalam Ruang

Titik

Sebuah titik hanya dapat ditentukan oleh letaknya, tetapi tidak mempunyai ukuran (dikatakan tidak berdimensi).

A P

Titik A Titik P

Garis

Garis g

g

Segmen/ruas garis ABA

B

Sebuah garis (dimaksudkan adalah garis lurus) dapat diperpanjang sekehendak kita.

Sebuah garis hanya dilukiskan sebagian saja.

Bagian dari garis ini disebut wakil garis.

Bidang adalah sebuah bidang (dimaksudkan adalah bidang datar) dapat diperlus seluas-

luasnya.

Pada umumnya, sebuah bidang hanya dilukiskan sebagian saja

yang disebut sebagai wakil bidang.

Aksioma Garis dan Bidang

Dalam geometri ruang ada tiga buah aksioma yang penting.

Euclides (300 SM)

Aksioma 1Melalui dua buah titik sebarang hanya dapat dibuat sebuah garis lurus.

Aksioma 2Jika sebuah garis dan sebuah bidang mempunyai dua titik persekutuan, maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang.

Aksioma 3Melalui tiga buah titik sebarang hanya dapat dibuat sebuah bidang.

Dalil 1Sebuah bidang ditentukan oleh tiga titik sebarang.

Dalil 2

Sebuah bidang ditentukan oleh sebuah garis dan sebuah titik (titik berada di luar garis.

Dalil 3Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis berpotongan.

Dalil 4Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis sejajar.

Kedudukan titik, garis, dan bidang dapat dikelompokkan sebagai berikut.

1. Kedudukan titik terhadap garis dan titik terhadap bidang.

2. Kedudukan garis terhadap garis dan garis terhadap bidang.

3. Kedudukan bidang terhadap bidang lain.

Kedudukan Titik Terhadap Garis

Titik Terletak pada GarisJika titik A dilalui oleh garis g, maka titik A dikatakan terletak pada garis g.

Titik di Luar GarisJika titik B tidak dilalui oleh garis h, maka titik B dikatakan berada di luar garis h.

A

g

Titik A terletak pada garis g

B h

Titik B di luar garis h

Titik Terletak pada BidangJika titik A dapat dilalui oleh bidang , maka titik A terletak pada bidang .

Kedudukan Titik Terhadap Bidang

Titik di Luar BidangJika titik B tidak dapat dilalui oleh bidang , maka titik B dikatakan berada di luar bidang .

Dua Garis Berpotongan

Dua buah garis g dan h dikatakan berpotongan, jika kedua garis itu terletak pada sebuah bidang dan mempunyai sebuah titik persekutuan. Dalam geometri bidang, titik persekutuan itu disebut titik potong antara kedua garis.

Kedudukan Garis Terhadap Garis Lain

Kemungkinan kedudukan sebuah garis terhadap garis lain dalam sebuah bangun ruang adalah berpotongan, sejajar, atau bersilangan.

Dua Garis Sejajar

Dua buah g dan h dikatakan sejajar, jika kedua garis itu terletak pada sebuah bidang dan tidak mempunyai satu pun titik persekutuan.

Dua Garis Bersilangan

Dua buah garis g dan h dikatakan bersilangan (tidak berpotongan dan tidak sejajar) jika kedua garis itu tidak terletak pada sebuah bidang.

Aksioma Dua Garis Sejajar

Aksioma 4

Melalui sebuah titik yang berada di luar sebuah garis, hanya dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis itu.

A

h

g

Dalil-Dalil tentang Dua Garis Sejajar

Dalil 5

Jika garis k sejajar dengan garis l dan garis l sejajar dengan garis m, maka garis k sejajar dengan garis m.

m

k

l

k l l m

k m

Dalil 6Jika garis k sejajar dengan garis h dan memotong garis g, garis l sejajar garis h dan juga memotong garis g, maka garis-garis k, l, dan g terletak pada sebuah bidang.

g k

l

k h dan k memotong g

l h dan l memotong g

k, l, dan g terletak pada sebuah bidang

Dalil 7Jika garis k sejajar garis l dan garis l sejajar menembus bidang , maka garis k juga menembus bidang .

l

kQ

F

k l l menembus bidang

k menembus bidang .

Kedudukan Garis Terhadap Bidang

Kemungkinan kedudukan sebuah garis terhadap sebuah bidang.

Garis Terletak pada Bidang

Sebuah garis g dikatakan terletak pada bidang , jika garis g dan bidang sekurang-kurangnya mempunyai dua titik persekutuan.

g

AB

Garis g terletak pada bidang

Garis Sejajar Bidang

Sebuah garis h dikatakan sejajar bidang , jika garis h dan bidang tidak mempunyai satu pun titik persekutuan.

h

Garis h sejajar bidang

Garis Memotong atau Menembus BidangSebuah garis k dikatakan memotong atau menembus bidang , jika garis k dan bidang hanya mempunyai sebuah titik persekutuan. Titik persekutuan itu disebut titik potong atau titik tembus.

k

A

Garis k memotong bidang dititik A

Dalil-Dalil tentang Garis Sejajar Bidang

Dalil 8

Jika garis g sejajar dengan garis h dan garis h terletak pada bidang , maka garis g sejajar dengan bidang .

g hh terletak pada bidang

g bidang

Dalil 9Jika bidang melalui garis g dan garis g sejajar terhadap bidang , maka garis potong antara bidang dengan bidang akan sejajar terhadap garis g.

melalui gh bidang

(, ) g

Dalil 10Jika garis g sejajar dengan garis h dan garis h sejajar terhadap bidang , maka garis g sejajar dengan bidang .

g hh bidang

g bidang

Dalil 11Jika bidang dan bidang berpotongan dan masing-masing sejajar terhadap garis g, maka garis potong antara bidang dengan bidang akan sejajar dengan garis g.

g g

(, ) g

Titik Tembus Garis dan Bidang yang BerpotonganTititk tembus antara garis g dengan bidang (g memotong bidang ) dapat dicari dengan cara sebagai berikut

1. Buatlah bidang melalui garis g

2. Tentukan garis potong bidang dan bidang , dengan cara menghubungkan dua buah titik persekutuan antara bidang dan bidang . Titik persekutuan antara bidang dan bidang ditandai dengan titik A dan titik B. Garis potong bidang dan bidang dilambangkan dengan (, ).

3. Titik potong garis g dengan garis (, ) adalah titik tembus yang diminta, yaitu titik P.

Kedudukan Bidang Terhadap Bidang Lain

Dua Bidang Berimpit

Bidang dan bidang dikatakan berimpit, jika setiap titik yang terletak pada bidang juga terletak pada bidang atau setiap titik yang terletak pada bidang juga terletak pada bidang .

,

Dua Bidang Sejajar

Bidang dan bidang dikatakan sejajar jika kedua bidang itu tidak mempunyai satu pun titik persekutuan.

Dua Bidang Berpotongan

Bidang dan bidang dikatakan berpotongan jika kedua bidang itu tepat memliki sebuah garis persekutuan. Garis persekutuan atau garis potong merupakan tempat kedudukan titik-titik persekutuan bidang dan bidang . Garis persekutuan antara bidang dan bidang dituliskan sebagai (, ).

Dalil-Dalil tentang Dua Bidang Sejajar

Dalil 12Jika garis a sejajar dengan garis g dan garis b sejajar garis h, garis a dan garis b berpotongan terletak pada bidang , garis g dan garis h berpotongan terletak pada bidang , maka bidang sejajar dengan bidang .

a gb h

bidang bidang

a dan b berpotongan pada bidang

g dan h berpotongan pada bidang

Dalil 13

Jika bidang sejajar bidang dan dipotong oleh bidang , maka garis potong (, ) sejajar garis potong (, ).

(, ) (, ).

bidang bidang bidang memotong bidang dan bidang

Dalil 14

Jika garis g menembus bidang dan bidang sejajar bidang , maka garis g juga menembus bidang .

g menembus bidang

g menembus bidang bidang

Dalil 15

Jika bidang g sejajar bidang dan bidang sejajar bidang , maka garis g juga sejajar bidang .

g bidang

g bidang bidang bidang

Dalil 16Jika garis g terletak pada bidang dan bidang sejajar bidang , maka garis g sejajar bidang .

g bidang

g terletak pada bidang bidang bidang

g

Dalil 17Jika bidang sejajar bidang dan bidang memotong bidang , maka bidang juga memotong bidang .

bidang juga memotong bidang

bidang bidang

bidang memotong bidang

Dalil 18Jika bidang sejajar bidang dan bidang sejajar bidang , maka bidang sejajar bidang .

bidang bidang

bidang bidang bidang bidang

Dalil 19Jika bidang sejajar bidang U dan bidang sejajar bidang V, bidang dan bidang berpotongan pada garis (, ), bidang U dan bidang V berpotongan pada garis (U, V), maka garis (, ) sejajar garis (U, V).

(, ) (U, V)

bidang bidang Ubidang bidang Vbidang dan bidang berpotongan pada garis (, )

bidang U dan bidangV berpotongan pada garis (U, V)

Kedudukan Jarak dalam Ruang

d AB == (x x )2 + (y y )2

d adalah jarak titik A(x , y ) ke titik B(x , y ), maka jarak d dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan:

11 2 2

d adalah jarak titik P(x , y ) ke garis g ax + by + c = 0; maka jarak d dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan:

11

d =a2 + b2

ax + by + c1 1

d

A(x , y ) 1 1 B(x , y )

2 2

d

P(x , y ) 1 1

g ax + by + c

Jarak Titik ke TitikJarak titik A ke titik B ditentukan oleh panjang ruas garis AB.

d BA

Jarak Titik ke Garis

Ruas garis AP merupakan jarak titik A ke garis g

dA

Pg

Jarak Titik ke Bidang

Ruas garis AQ merupakan jarak titik A ke bidang .

d

A

Q

g

Jarak Dua Garis Sejajar

Panjang ruas garis AB ditetapkan sebagai jarak antara garis g dan garis h yang sejajar.

d

h

g

B

A

Jarak Dua Garis Bersilangan

PQ tegak lurus terhadap garis g dan juga terhadap garis h, sehingga panjang ruas garis PQ ditetapkan sebagai jarak garis g dan garis h yang bersilangan.

Jarak Garis dan Bidang yang Sejajar

Panjang ruas garis PQ ditetapkan sebagai jarak antara garis g dan bidang yang sejajar.

P

Q

g

k

Jarak Dua Bidang Sejajar

Panjang ruas garis PQ ditetapkan sebagai jarak antara bidang dan bidang yang sejajar.

k

P

Q

°

Menentukan Sudut dalam Ruang

Sudut antara Dua Garis Berpotongan

Besar sudut APB ditetapkan sebagai ukuran sudut antara garis g dan garis h yang berpotongan.

P

B

Ag

h

Sudut antara Dua Garis Bersilangan

Dua buah sudut dikatakan sam besar, jika kaki-kaki kedua sudut itu sejajar dan searah.

Sudut yang dibentuk oleh garis g dan garis h ditetapkan sebagai ukuran besar sudut antara garis g dan garis h yang bersilangan.

°°

h

h

gg

P O

Sudut antara Garis dan Bidang

Sudut QPQ ditetapkan sebagai ukuran besar sudut antara garis g dan bidang yang berpotongan.

Sudut antara garis g dan bidang adalah sudut lancip yang berbentuk oleh garis g dengan proyeksinya pada bidang .

Definisi: Sudut antara garis dan bidang yang berpotongan

Sudut antara Bidang dan Bidang

Sudut QPR ditetapkan sebagai ukuran sudut antara bidang dan bidang yang berpotongan.

Sudut antara dua bidang yang berpotongan adalah sudut yang berbentuk oleh dua garis yang berpotongan (sebuah garis pada bidang pertama dan sebuah garis lagi pada bidang yang kedua), garis-garis itu tegak lurus terhadap garis potong antara kedua bidang tersebut.

Definisi: Sudut antara antara dua bidang berpotongan