Post on 23-Apr-2021
Pendugaan Interval - Srava Chrisdes 1
PENDUGAAN INTERVAL
A. DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL
Distribusi probabilitas normal:
π π₯ =1
π 2ππβ
πβπ 2
2π2
dengan
π = 3,1416....
π = 2,7183....
π = parameter, yang merupakan rata-rata untuk distribusi
π = parameter, yang merupakan simpangan baku (deviasi standar) untuk
distribusi
Karakteristik dari distribusi probabilitas normal:
berbentuk bell-shaped, yaitu saat mean aritmetika, median, dan modus bernilai sama
dan terletak di tengah kurva distribusi; total luas daerah di bawah kurva adalah 1 mean-nya bersifat simetris, sehingga luas daerah di bawah kurva ke kiri dari mean
adalah 0,5 dan luas daerah di bawah kurva ke kanan dari mean adalah 0,5 lokasi dari distribusi normal ditentukan oleh mean (π), sedangkan penyebaran data
ditentukan oleh simpangan baku (π)
Secara grafik, karakteristik dari distribusi probabilitas normal adalah sebagai berikut.
Gambar 1. Karakteristik dari suatu distribusi probabilitas normal
Banyaknya distribusi normal tidak terbatas karena setiap sampel dari populasi bisa jadi akan
memiliki mean yang berbeda dan simpangan baku yang berbeda pula.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh gambar berikut dengan:
a. mean-nya sama dan simpangan bakunya berbeda,
b. mean-nya berbeda dan simpangan bakunya sama,
c. mean dan simpangan bakunya berbeda.
Pendugaan Interval - Srava Chrisdes 2
a.
b.
c.
Gambar 2. Contoh suatu distribusi probabilitas normal dengan beragam nilai π dan π
Sembarang distribusi probabilitas normal dapat diubah menjadi distribusi probabilitas
normal standar. Distribusi probabilitas normal standar ini disebut juga distribusi π§, karena
hasil standardisasi dari distribusi probabilitas normal menjadi distribusi probabilitas normal
standar disebut dengan nilai-π§, yaitu:
π =π β π
π β π₯ = π + ππ
dengan π = nilai observasi pada data
π = mean populasi
π = simpangan baku populasi
Pendugaan Interval - Srava Chrisdes 3
Distribusi π§ atau distribusi probabilitas normal standar ini memiliki keunikan, yaitu mean
π = 0 dan simpangan baku π = 1.
Setelah memiliki distribusi probabilitas normal standar yang didapat dari distribusi
probabilitas normal, maka daftar distribusi normal standar (tabel distribusi π§) dapat
digunakan. Dengan daftar ini, bagian-bagian luas dari distribusi normal standar dapat dicari.
Contoh 1
Tentukan π(π β€ 1,63).
Jawab:
π(π β€ 1,63) berarti bahwa probabilitas ini bergantung pada luas area di bawah kurva ke kiri
dari titik π§ = 1,63.
π π β€ 1,63 = π ββ < π < 0 + π 0 β€ π β€ 1,63 = 0,5 + 0,4484 = 0,9484
Gambar 3. Luas area di bawah kurva normal standar pada Contoh 1
Pada Contoh 1, perhatikan bahwa π 0 β€ π β€ 1,63 = 0,4484 (lihat tabel distribusi π§). Ini
menunjukkan bahwa probabilitas secara acak terpilihnya suatu objek yang berada antara
π§ = 0 hingga π§ = 1,63, atau antara π₯ = π dan π₯ = π + 1,63π adalah sebesar 0,4484 .
Contoh 2
PT Work Electric memproduksi bola lampu yang dapat menyala dengan rata-rata selama 900
jam dan deviasi standarnya 50 jam. Perusahaan tersebut ingin mengetahui berapa persen
produksi bola lampu dapat menyala sekitar 800 β 1000 jam, dan sebanyak berapa persen
perusahaan tersebut harus menyediakan garansi. Bantulah perusahaan tersebut dalam
menghitung persentase-persentasenya.
Jawab:
Diketahui 900 dan 50 .
Lalu, misalkan 1 800X dan 2 1000X . Dengan menggunakan transformasi distribusi π§,
didapatlah nilai-nilai π§-nya:
11
22
800 9002
50
1000 9002
50
XZ
XZ
Jadi, probabilitas produksi bola lampu dapat menyala selama sekitar 800 β 1000 jam adalah:
(800 1000)P X = ( 2 2)P Z
= ( 2 0) (0 2)P Z P Z (lihat tabel distribusi π§)
= 0,4772 + 0,4772 = 0,9544
Pendugaan Interval - Srava Chrisdes 4
Dengan demikian, persentase produksi bola lampu dapat menyala selama sekitar 800 β 1000
jam adalah 95,44%.
Hasil ini dapat diinterpretasikan bahwa hasil produksi bola lampu yang dapat menyala selama
800 β 1000 jam adalah sebanyak 95,44% ; dan, perusahaan tersebut harus menyediakan
garansi sebanyak (100 β 95,44)% = 4,56% .
B. ESTIMASI TITIK (POINT ESTIMATE) UNTUK MEAN POPULASI
Estimasi titik adalah suatu nilai tunggal yang diturunkan dari sampel dan digunakan untuk
menduga nilai dari populasi, sehingga estimasi titik sering juga disebut sebagai suatu statistik
tunggal yang diperoleh dari informasi pada sampel dan kemudian digunakan untuk menduga
parameter dari populasi.
Sebagai contoh, suatu biro pariwisata di Bali ingin menduga mean dari dana yang dihabiskan
oleh para wisatawan yang berkunjung ke Bali. Karena menghubungi semua wisatawan
tidaklah mungkin, maka 500 wisatawan dipilih secara acak ketika mereka akan meninggalkan
Bali dan mereka ditanya tentang detil dana yang mereka habiskan selama berkunjung di Bali.
Mean yang diperoleh dari 500 wisatawan ini digunakan untuk menduga mean dari seluruh
wisatawan yang berkunjung ke pulau Bali, sehingga mean dari dana yang dikeluarkan oleh
500 wisatawan tersebut menjadi estimasi titik.
C. INTERVAL KEPERCAYAAN UNTUK MEAN POPULASI
Walaupun estimasi titik hanyalah bagian cerita dari suatu populasi, namun diharapkan
estimasi titik tersebut sangat dekat pada parameter populasi. Oleh karena itu, perlu diukur
seberapa dekat estimasi titik dengan parameter populasi, yakni melalui interval kepercayaan.
Interval kepercayaan (confidence interval) merupakan suatu rentang nilai yang diperoleh
dari data sampel sehingga parameter populasi kemungkinan akan terjadi di dalam rentang
nilai yang diperoleh tadi pada suatu probabilitas tertentu. Probabilitas tertentu tersebut
selanjutnya disebut sebagai tingkat kepercayaan (level of confidence).
Pendugaan interval akan memberikan nilai-nilai statistik dalam suatu interval, atau dengan
kata lain, dapat menyatakan seberapa besar kepercayaan bahwa interval benar-benar
mencakup parameter yang diduga. Pendugaan interval ini selanjutnya akan menjadi interval
kepercayaan.
Dalam pendugaan interval ini, ada dua hal yang perlu diperhatikan:
1) penggunaan data pada sampel untuk menduga mean dari populasi dengan simpangan
baku populasi diketahui
2) penggunaan data pada sampel untuk menduga mean dari populasi dengan simpangan
baku populasi tidak diketahui. Dalam hal ini, simpangan baku sampel digunakan untuk
menggantikan nilai simpangan baku populasi.
Perhatikan gambar berikut ini.
Pendugaan Interval - Srava Chrisdes 5
Gambar 4. Penentuan kapan saat yang tepat untuk menggunakan distribusi π atau distribusi π
Macam-macam pendugaan interval:
1. pendugaan interval satu rata-rata
2. pendugaan interval selisih dua rata-rata
3. pendugaan interval satu proporsi
4. pendugaan interval selisih dua proporsi
Interval kepercayaan dihitung dengan menggunakan 2 statistik, yaitu mean dari sampel ( X )
dan simpangan baku dari sampel.
Rumus umum pendugaan interval untuk populasi tidak terbatas:
βMean atau Proporsiβ "distribusi" SE
dengan SE merupakan kesalahan baku (standar error) dari mean atau proporsi.
1. Pendugaan interval satu rata-rata
>> SIMPANGAN BAKU POPULASI ( π ) DIKETAHUI
Interval kepercayaan untuk mean populasi dengan simpangan baku populasi diketahui dan
populasinya tidak terbatas adalah:
π Β± π§πΌ/2
π
π β π β π§πΌ/2
π
πβ€ π β€ π + π§πΌ/2
π
π
dengan π mean sampel, πΌ tingkat kepercayaan, π simpangan baku populasi, π ukuran
sampel, π
π sebagai kesalahan baku (SE) dari mean populasi, dan π§πΌ/2
π
π sebagai margin
error (ME).
Contoh 3
Asosiasi Manajemen Amerika ingin mengetahui informasi mean dari pendapatan manager-
manager toko di industri retail. Secara acak, dipilih 256 manajer dan terungkap bahwa mean
dari pendapatan manajer toko di industri retail adalah $45.420. Simpangan baku dari populasi
ini adalah $2.050. Hitunglah berapa estimasi nilai mean yang wajar untuk populasi jika
tingkat kepercayaan yang diinginkan adalah 95% ?
TIDAK YA
Asumsikan populasinya berdistribusi normal.
Apakah simpangan bakunya diketahui?
Gunakan distribusi π. Gunakan distribusi π.
Pendugaan Interval - Srava Chrisdes 6
Jawab:
Dengan tingkat kepercayaan 95%, maka 0,95 sehingga / 2 0,475 .
Nilai π§ yang memenuhi untuk / 2 0,475 adalah π§0,475 = 1,96. (lihat tabel distribusi π§)
Selain itu, diketahui pula π = 45420, π = 2050, dan π = 256.
Jadi, interval kepercayaan untuk nilai mean yang wajar untuk populasi jika tingkat
kepercayaan yang diinginkan adalah 95% adalah:
π Β± π§ βπ
π = 45.420 Β± 1,96 Γ
2.050
256 = 45.420 Β± 251
β $45.420 β $251 β€ π β€ $45.420 + $251
β $ππ.πππ β€ π β€ $ππ.πππ
Dalam Contoh 3 ini, $251 adalah margin error-nya.
>> SIMPANGAN BAKU POPULASI ( π ) TIDAK DIKETAHUI
Jika simpangan baku populasi tidak diketahui, maka simpangan baku populasi dapat diduga
dengan menggunakan simpangan baku sampel. Namun dalam hal ini, tidak bisa lagi
menggunakan distribusi π§, melainkan digunakan distribusi π‘, yaitu:
π‘ =π β π
π
π
dengan π = mean sampel
π = mean populasi
π = simpangan baku sampel
π = ukuran sampel
Interval kepercayaan untuk mean populasi dengan simpangan baku populasi tidak diketahui
dan populasinya tidak terbatas adalah:
π Β± π‘1βπΌ2
(ππ)π
π β π β π‘1βπΌ
2(ππ)
π
πβ€ π β€ π + π‘1βπΌ
2(ππ)
π
π
dengan π mean sampel, πΌ tingkat kepercayaan, ππ derajat kebebasan (ππ = π β 1), π
simpangan baku sampel, π ukuran sampel, π
π sebagai kesalahan baku (SE) dari mean sampel,
dan π‘(1βπΌ)/2π
π sebagai margin error (ME).
Contoh 4
Manager dari Inlet Square Mall ingin mengestimasi mean dari dana yang dihabiskan oleh
pelanggan setiap kali belanja. Suatu sampel yang terdiri dari 20 pelanggan mengungkapkan
dana yang dihabiskan oleh mereka adalah sebagai berikut.
a) Berapa estimasi terbaik untuk mean dari populasi ?
b) Dengan tingkat kepercayaan 95%, tentukan interval kepercayaan untuk mean populasi ! c) Interpretasikan hasil yang diperoleh pada jawaban b !
$48,16 $51,45 $54,86 $48,59 $61,83 $61,46 $58,84
$42,22 $23,78 $37,92 $50,82 $61,69 $51,35 $43,88
$46,82 $41,86 $52,64 $46,94 $49,17 $52,68
Pendugaan Interval - Srava Chrisdes 7
d) Apakah wajar jika populasi diduga pada $50 ?
e) Apakah wajar jika populasi diduga pada $60 ?
Jawab:
Diasumsikan populasi dari dana yang dihabiskan oleh pelanggan di mal tersebut berdistribusi
normal.
a) Mean dari sampel yang terdiri dari 20 pelanggan tersebut adalah:
π =48,16 + 42,22 + 46,82 + β― + 43,88
20= 49,35
Mean populasi dalam hal ini tidak diketahui, tapi mean sampel merupakan estimasi titik
untuk mengestimasi nilai mean dari populasi, sehingga estimasi terbaik tentang mean
populasi adalah $49,35.
b) Dengan tingkat kepercayaan 95%, maka 0,95 sehingga (1 ) / 2 0,025 .
Diketahui juga π = 20, sehingga derajat kebebasannya ππ = π β 1 = 19.
Maka, π‘0,025 (19) = 2,093. (lihat tabel distribusi π‘)
Ingat kembali cara mencari simpangan baku sampel:
2
1 1
ni
i
X Xs
n
Jadi, interval kepercayaan untuk populasi ini jika tingkat kepercayaannya 95% adalah:
π Β± π‘ βπ
π= 49,35 Β± 2,093 Γ
9,01
20= 49,35 Β± 4,218
No Amount spent (dalam $) (x-mean)2
1 48,16 1,41
2 42,22 50,81
3 46,82 6,39
4 51,45 4,42
5 23,78 653,72
6 41,86 56,07
7 54,86 30,38
8 37,92 130,60
9 52,64 10,84
10 48,59 0,57
11 50,82 2,17
12 46,94 5,80
13 61,83 155,80
14 61,69 152,32
15 49,17 0,03
16 61,46 146,70
17 51,35 4,01
18 52,68 11,10
19 58,84 90,10
20 43,88 29,90
TOTAL = 986,96 TOTAL = 1543,14
Mean = 49,35 std deviasi (s) = 9,01
t = 2,093
margin error = 4,218=
986,96
20
= 1543,14
20 β 1
Perhatikan tabel distribusi π‘ dengan tingkat kepercayaan 95%, ππ = 19.
= π‘.π
π= 2,093 Γ
9,01
20
Pendugaan Interval - Srava Chrisdes 8
β $49,35 β $4,218 β€ π β€ $49,35 β $4,218
β $ππ,πππ β€ π β€ $ππ,πππ
c) Dengan tingkat kepercayaan 95%, dapat dikatakan bahwa estimasi mean dari dana yang
dihabiskan oleh semua pelanggan yang berkunjung ke Inlet Square Mall berada antara
$45,132 sampai $53,566.
d) Dengan memperhatikan interval kepercayaan pada tingkat kepercayaan 95%, menduga
mean populasi sama dengan $50 adalah hal yang wajar.
e) Dengan memperhatikan interval kepercayaan pada tingkat kepercayaan 95%, menduga
mean populasi sama dengan $60 adalah hal yang tidak wajar.
3. Pendugaan interval satu proporsi
Proporsi adalah pecahan atau rasio atau persentase yang menunjukkan bagian dari sampel
atau bagian dari populasi yang memiliki sifat khusus.
Proporsi dari sampel:
π =π
π
dengan π = proporsi dari sampel
π = banyaknya sampel yang βsuksesβ
π = ukuran sampel
Populasi proporsi diidentifikasikan oleh π. Maka, π sebagai persentase βsuksesβ dalam suatu
populasi.
Interval kepercayaan untuk proporsi dari populasi yang tidak terbatas adalah:
π Β± π§πΌ/2 π (1 β π )
π β π β π§πΌ/2
π (1 β π )
πβ€ π β€ π + π§πΌ/2
π (1 β π )
π
dengan π proporsi sampel, πΌ tingkat kepercayaan, π ukuran sampel, π (1βπ )
π sebagai
kesalahan baku (SE) dari proporsi sampel, dan π§πΌ/2 π (1βπ )
π sebagai margin error (ME).
Contoh 5
Cliff Obermeyer adalah seorang kandidat yang mengikuti kongres pemilu pada periode ke-6
di New Jersey. Asumsikan 500 pemilih dihubungi setelah melakukan pemungutan suara, dan
terindikasi bahwa sebanyak 275 pemilih mendukung Cliff Obermeyer.
a) Berapa proporsi populasi yang memilih Obermeyer ?
b) Cliff Obermeyer akan memenangkan pemilu tersebut jika dia bisa memperoleh lebih
dari 50% dukungan, maka apakah Cliff Obermeyer memiliki chance besar untuk
terpilih menjadi anggota kongres ? Jawab:
a) Proporsi dari sampel yang memilih Cliff Obermeyer adalah:
π =π
π=
275
500= 0,55
Pendugaan Interval - Srava Chrisdes 9
Proporsi ini merupakan proporsi terbaik untuk menduga proporsi populasi yang
mendukung Cliff Obermeyer, sehingga bisa dikatakan bahwa sebesar 55% dari populasi
kemungkinan besar mendukung Cliff Obermeyer.
b) Dengan tingkat kepercayaan 95%, maka nilai π§0,475 = 1,96, sehingga interval
kepercayaan untuk proporsi populasi adalah:
π Β± π§ β π 1 β π
π= 0,55 Β± 1,96 Γ
0,55 1 β 0,55
500= 0,55 Β± 0,044
β 0,55 β 0,044 β€ π β€ 0,55 + 0,044
β π, πππ β€ π β€ π, πππ
Artinya, dengan tingkat kepercayaan 95%, dapat dikatakan bahwa proporsi populasi
yang mendukung Cliff Obermeyer adalah antara 50,6% hingga 59,4%, sehingga dapat
disimpulkan bahwa lebih dari 50% dari pemilih mendukung Cliff Obermeyer dan hal
itu cukup untuk menyatakan Obermeyer terpilih sebagai anggota kongres.
Prosedur ini sangat sering digunakan oleh lembaga-lembaga survei, TV, ataupun majalah
dalam hal pemilihan/pemungutan suara.
_._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._.
Sampai sejauh ini, populasi yang dibicarakan adalah populasi yang tidak terbatas. Jika
populasinya terbatas, maka perlu memperbaiki kesalahan baku dari mean/proporsi, yaitu
dengan cara mengalikan kesalahan baku tersebut dengan faktor koreksi populasi terbatas
(FPC), yakni:
πΉππΆ = π β π
π β 1
dengan π = banyaknya populasi
π = ukuran sampel
Rumus umum pendugaan interval untuk populasi terbatas:
βMean atau Proporsiβ "distribusi" SE FPC
dengan SE merupakan kesalahan baku dan FPC merupakan faktor koreksi populasi terbatas.
Interval kepercayaan untuk mean populasi dengan simpangan baku populasi diketahui dan
populasinya terbatas adalah:
π Β± π§πΌ/2
π
π β
π β π
π β 1
π β π§πΌ/2
π
π β
π β π
π β 1β€ π β€ π + π§πΌ/2
π
π β
π β π
π β 1
Pendugaan Interval - Srava Chrisdes 10
dengan π mean sampel, πΌ tingkat kepercayaan, π simpangan baku populasi, π banyaknya
populasi, π ukuran sampel, π
π sebagai kesalahan baku (SE) dari mean populasi, dan π§πΌ/2
π
π
sebagai margin error (ME).
Interval kepercayaan untuk mean populasi dengan simpangan baku populasi tidak diketahui
dan populasinya terbatas adalah:
π Β± π‘(1βπΌ)/2 ππ π
πβ
π β π
π β 1
π β π‘(1βπΌ)/2(ππ)π
πβ
π β π
π β 1β€ π β€ π + π‘(1βπΌ)/2(ππ)
π
πβ
π β π
π β 1
dengan π mean sampel, πΌ tingkat kepercayaan, ππ derajat kebebasan (ππ = π β 1), π
simpangan baku sampel, π ukuran sampel, π
π sebagai kesalahan baku (SE) dari mean sampel,
dan π‘(1βπΌ)/2π
π sebagai margin error (ME).
Interval kepercayaan untuk proporsi dari populasi yang terbatas adalah:
π Β± π§πΌ/2 π 1 β π
πβ
π β π
π β 1
π β π§πΌ/2 π (1 β π )
πβ
π β π
π β 1β€ π β€ π + π§πΌ/2
π (1 β π )
πβ
π β π
π β 1
dengan π proporsi sampel, πΌ tingkat kepercayaan, π ukuran sampel, π (1βπ )
π sebagai
kesalahan baku (SE) dari proporsi sampel, dan π§πΌ/2 π (1βπ )
π sebagai margin error (ME).
Contoh 6
Ada 250 keluarga di Scandia. Sampel acak berupa 40 keluarga menyatakan rata-rata
sumbangan untuk gereja per tahun adalah $450 dan simpangan bakunya sebesar $75.
a) Tentukan estimasi terbaik untuk rata-rata populasi !
b) Dengan tingkat kepercayaan 90%, tentukan interval kepercayaan untuk rata-rata
populasi !
c) Interpretasikan interval kepercayaan yang diperoleh dari jawaban b !
Jawab:
Diketahui π = 250, π = 40, π = 450, dan π = 75.
a) Rata-rata populasi dalam hal ini tidak diketahui, tapi rata-rata sampel merupakan
estimasi titik untuk mengestimasi nilai rata-rata dari populasi, sehingga estimasi terbaik
tentang rata-rata populasi adalah $450.
b) Dengan tingkat kepercayaan 90%, maka 0,90 sehingga (1 ) / 2 0,05 .
Karena π = 40 dan derajat kebebasannya ππ = π β 1 = 39, maka π‘0,05 (39) = 1,685.
(lihat tabel distribusi π‘)
Pendugaan Interval - Srava Chrisdes 11
π Β± π‘ βπ
πβ
π β π
π β 1= 450 Β± 1,685 Γ
75
40Γ
250 β 40
250 β 1= $450 Β± 18,343
β 450 β 18,343 β€ π β€ 450 + 18,343
β πππ, πππ β€ π β€ πππ,πππ Dengan demikian, dengan tingkat kepercayaan 90%, rata-rata populasi berada di antara
$431,657 dan $468,343.
c) Interpretasi dari jawaban b adalah bahwa kemungkinan rata-rata populasi dari
pengeluaran keluarga untuk kebutuhan rumah tangga di Scandia itu lebih dari $431,657
tetapi kurangdari $468,343.
2. Pendugaan interval selisih dua rata-rata
>> SIMPANGAN BAKU POPULASI ( π1 dan π2 ) DIKETAHUI
Karena ini merupakan βselisih dua rata-rataβ, maka harus ada dua simpangan baku populasi
yang diketahui.
(a) Jika π1 = π2, maka : - Interval kepercayaan dari selisih dua rata-rata dengan populasi tidak terbatas adalah:
π 1 β π 2 Β± π§πΌ/2 β π 1
π1+
1
π2
π 1 β π 2 β π§πΌ/2 β π 1
π1+
1
π2β€ π1 β π2 β€ π 1 β π 2 + π§πΌ/2 β π
1
π1+
1
π2
dengan π 1,2 mean sampel pertama dan kedua, πΌ tingkat kepercayaan, π = π1 = π2
simpangan baku kedua populasi, dan π1,2 ukuran sampel pertama dan kedua.
- Interval kepercayaan dari selisih dua rata-rata dengan populasi terbatas adalah:
π 1 β π 2 Β± π§πΌ/2 β π 1
π1+
1
π2β
π1 + π2 β (π1 + π2)
π1 + π2 β 1
dengan π 1,2 mean sampel pertama dan kedua, πΌ tingkat kepercayaan, π1,2 banyaknya
populasi pertama dan kedua, π = π1 = π2 simpangan baku kedua populasi, dan π1,2
ukuran sampel pertama dan kedua.
(b) Jika π1 β π2, maka :
- Interval kepercayaan dari selisih dua rata-rata dengan populasi tidak terbatas adalah:
π 1 β π 2 Β± π§πΌ/2 β π1
2
π1+
π22
π2
π 1 β π 2 β π§πΌ/2 β π1
2
π1+
π22
π2β€ π1 β π2 β€ π 1 β π 2 + π§πΌ/2 β
π12
π1+
π22
π2
Pendugaan Interval - Srava Chrisdes 12
dengan π 1,2 mean sampel pertama dan kedua, πΌ tingkat kepercayaan, π1,2 simpangan
baku populasi pertama dan kedua, dan π1,2 ukuran sampel pertama dan kedua.
- Interval kepercayaan dari selisih dua rata-rata dengan populasi terbatas adalah:
π 1 β π 2 Β± π§πΌ/2 β π1
2
π1+
π22
π2β
π1 + π2 β (π1 + π2)
π1 + π2 β 1
dengan π 1,2 mean sampel pertama dan kedua, πΌ tingkat kepercayaan, π1,2 banyaknya
populasi pertama dan kedua, π1,2 simpangan baku populasi pertama dan kedua, dan π1,2
ukuran sampel pertama dan kedua.
>> SIMPANGAN BAKU POPULASI ( π1 dan π2 ) TIDAK DIKETAHUI
Karena ini merupakan βselisih dua rata-rataβ dan simpangan baku populasi tidak diketahui,
maka harus ada dua simpangan baku sampel yang diketahui.
(a) Jika π1 = π2, maka :
- Interval kepercayaan dari selisih dua rata-rata dengan populasi tidak terbatas adalah:
π 1 β π 2 Β± π‘1βπΌ2
(ππ) β π 1
π1+
1
π2
π 1 β π 2 β π‘1βπΌ2
ππ β π 1
π1+
1
π2β€ π1 β π2 β€ π 1 β π 2 + π‘1βπΌ
2(ππ) β π
1
π1+
1
π2
dengan
π 2 = π1 β 1 π 1
2 + π2 β 1 π 22
π1 + π2 β 2
dan
ππ = π1 + π2 β 2
dimana π 1,2 mean sampel pertama dan kedua, πΌ tingkat kepercayaan, ππ derajat
kebebasan, π = π 1 = π 2 simpangan baku kedua sampel, dan π1,2 ukuran sampel pertama
dan kedua.
- Interval kepercayaan dari selisih dua rata-rata dengan populasi terbatas adalah:
π 1 β π 2 Β± π‘1βπΌ2
(ππ) β π 1
π1+
1
π2β
π1 + π2 β (π1 + π2)
π1 + π2 β 1
dengan dengan π 1,2 mean sampel pertama dan kedua, πΌ tingkat kepercayaan, π1,2
banyaknya populasi pertama dan kedua, ππ derajat kebebasan, π = π 1 = π 2 simpangan
baku kedua sampel, dan π1,2 ukuran sampel pertama dan kedua.
Pendugaan Interval - Srava Chrisdes 13
(b) Jika π1 β π2, maka :
- Interval kepercayaan dari selisih dua rata-rata dengan populasi tidak terbatas adalah:
π 1 β π 2 Β± π‘1βπΌ2
(ππ) β π 1
2
(π1 β 1)+
π 22
(π2 β 1)
π 1 β π 2 β π‘1βπΌ2
ππ β π 1
2
π1 β 1 +
π 22
π2 β 1 β€ π1 β π2 β€ π 1 β π 2 + π‘1βπΌ
2(ππ) β
π 12
(π1 β 1)+
π 22
(π2 β 1)
dengan
π 2 = π1 β 1 π 1
2 + π2 β 1 π 22
π1 + π2 β 2
dan
ππ = π1 + π2 β 2
dimana π 1,2 mean sampel pertama dan kedua, πΌ tingkat kepercayaan, ππ derajat
kebebasan, π 1,2 simpangan baku sampel pertama dan kedua, dan π1,2 ukuran sampel
pertama dan kedua.
- Interval kepercayaan dari selisih dua rata-rata dengan populasi terbatas adalah:
π 1 β π 2 Β± π‘1βπΌ2
(ππ) β π 1
2
π1 β 1+
π 22
π2 β 1β
π1 + π2 β (π1 + π2)
π1 + π2 β 1
dengan dengan π 1,2 mean sampel pertama dan kedua, πΌ tingkat kepercayaan, π1,2
banyaknya populasi pertama dan kedua, ππ derajat kebebasan, π 1,2 simpangan baku
sampel pertama dan kedua, dan π1,2 ukuran sampel pertama dan kedua.
Contoh 7
Diketahui ada dua cara untuk mengukur kelembaban suatu zat. Cara I dilakukan sebanyak 50
kali yang menghasilkan rata-rata 60,2 dan variansnya 24,7. Sedangkan, cara II dilakukan
sebanyak 60 kali yang menghasilkan rata-rata 70,4 dan variansnya 37,2. Dengan tingkat
kepercayaan 95%, tentukanlah interval kepercayaan dari perbedaan rata-rata pengukuran
kedua cara itu ?
Jawab:
Diketahui:
π1 = 60 ; π 1 = 70,4 ; π 12 = 37,2
π2 = 50 ; π 2 = 60,2 ; π 22 = 24,7
Karena π1 dan π2 tidak diketahui, π 1 β π 2, serta populasinya tidak terbatas, maka
digunakanlah
π 1 β π 2 Β± π‘1βπΌ2
(ππ) β π 1
2
(π1 β 1)+
π 22
(π2 β 1)
Dengan πΌ = 0,95, maka 1βπΌ
2= 0,025. Lalu, ππ = 60 + 50 β 2 = 108. Jadi, didapatlah
π‘0,025 108 = 1,984.
Pendugaan Interval - Srava Chrisdes 14
π 1 β π 2 Β± π‘ β π 1
2
(π1 β 1)+
π 22
(π2 β 1)= (70,4 β 60,2) Β± 1,984
37,2
60 β 1+
24,7
50 β 1
= 10,2 Β± 1,984 Γ 1,065 = 10,2 Β± 2,113
β π, πππ β€ ππ β ππ β€ ππ, πππ
Dengan demikian, dengan tingkat kepercayaan 95%, selisih rata-rata cara I dan cara II berada
di antara 8,087 dan 12,313.
4. Pendugaan interval selisih dua proporsi
Karena ini merupakan βselisih dua proporsiβ, maka harus ada dua proporsi sampel yang
diketahui.
Interval kepercayaan untuk selisih dua proporsi dari populasi yang tidak terbatas adalah:
(π 1 β π 2) Β± π§πΌ/2 π 1(1 β π 1)
π1+
π 2(1 β π 2)
π2
π 1 β π 2 β π§πΌ/2 π 1(1 β π 1)
π1
+π 2(1 β π 2)
π2
β€ π1 β π2 β€ π 1 β π 2 + π§πΌ/2 π 1(1 β π 1)
π1
+π 2(1 β π 2)
π2
dengan π 1,2 proporsi sampel pertama dan kedua, πΌ tingkat kepercayaan, dan π1,2 ukuran
sampel pertama dan kedua.
Contoh 8 Dua sampel acak yang terdiri dari 500 pemudi dan 700 pemuda yang mengunjungi sebuah
pameran telah diambil. Ternyata, 325 pemudi dan 400 pemuda menyenangi pameran itu.
Dengan tingkat kepercayaan 95%, tentukan interval kepercayaan untuk perbedaan persentase
pemudi dan pemuda yang mengunjungi pameran dan menyenanginya ?
Jawab:
Proporsi pemudi yang menyenangi pameran adalah:
π 1 =325
500= 0,65 = 65% β 1 β π 1 = 0,35 = 35%
Proporsi pemuda yang menyenangi pameran adalah:
π 2 =400
700= 0,57 = 57% β 1 β π 2 = 0,43 = 43%
Dengan π1 = 500 dan π2 = 700, didapat:
π 1(1 β π 1)
π1+
π 2(1 β π 2)
π2=
0,65 Γ 0,35
500+
0,57 Γ 0,43
700= 0,0284
Untuk tingkat kepercayaan 95%, maka π§ = 1,96, sehingga
π 1 β π 2 Β± π§ π 1 1 β π 1
π1+
π 2 1 β π 2
π2= 0,65 β 0,57 Β± 1,96 Γ 0,0284 = 0,08 Β± 0,0557
β π, ππππ β€ π π β π π β€ π, ππππ
Jadi, 95% yakin bahwa perbedaan persentase pemudi dan pemuda yang mengunjungi
pameran dan menyenanginya akan ada dalam interval yang dibatasi oleh 2,43% dan 13,57%.