DERETDeret dibentuk oleh jumlah suku-suku barisan.Sebagai contoh : 1, 3, 5, 7, …… adalah barisan

sedang 1+3+5+7+……. adalah deret.

Contoh :

1. Geometric series

2. Binomial :

3. Logaritma :

4. Exponensial :

5. Sinus

6. Cosinus

DERET TAK HINGGA adalah deret yang jumlah sukunya tak berhingga banyaknnya.

Masalah yang muncul pada deret tak hingga adalah apakah deret tersebut konvergen atau divergen.

1

Suatu deret tak hingga disebut deret konvergen jika jumlah n sukunya (Sn) menuju ke sebuah harga tertentu jika n∞. Sebaliknya jika Sn tidak menuju ke harga tertentu ketika n∞ disebut deret divergen. Contoh.1. Tinjau suatu deret: 1+1/2+1/4+1/8+….

Deret ini dikenal sbg deret ukur (geometri) dengan a=1, r=1/2. Jumlah n suku pertama dirumuskan sebagai:

Jika n ∞, maka deret konvergen

2. Tinjau suatu deret: 1+3+9+27+81+….Juga merupakan deret ukur dengan a=1 dan r=3.

deret divergen

3. Tinjau suatu deret: 1+3+5+7+….Deret ini dikenal sbg deret hitung (aritmatika) dengan a=1, d=2. Jumlah n suku pertama dirumuskan sebagai:

deret divergen

Sifat Deret Tak Hingga

1. Jika deret konvergen, maka

(ingat, tidak berlaku sebaliknya)

2. JIka maka deret adalah divergen.

Sifat 1 mengindikasikan bahwa jika deret tersebut belum tentu konvergen.

Tinjaulah deret berikut :

Deret ini harga , tapi bisa dibuktikan bahwa jumlah suku ke n (Sn)

dari deret tsb tidak menuju ke harga tertentu, sehingga merupakan deret divergen. Jumlah suku ke n dari deret tsb:

Karena dan dst

2

Sn=∞

UJI KONVERGENSIUJI BANDING: prinsipnya, deret yang akan diuji dibandingkan dengan deret yang sudah diketahui apakah deret tsb konvergen atau divergen. Ada beberapa deret yang sering dipakai sebagai pembanding.

1. Deret Geometri

2. Deret Hiperharmonis

Prinsip Uji Banding.1. JIka Vn:deret pembanding dan Un:deret yang diselidiki

a. Jika Vn konvergen, sedangkan 0<Un<Vn Un konvergenb. Jika Vn divergen, sedangkan 0<Vn<Un Un divergen

2. Jika Un dan Vn >0 dan maka Un dan Vn kedua-duanya konvergen

atau divergenSelidiki konvergensi deret:

a. b.

3

Karena sering tidak mudah mencari deret pembanding yang sesuai dengan deret yang akan diuji, maka muncul berbagai uji deret.

1. Test Rasio (uji banding de Alembert).Membandingkan deret dengan dirinya sendiri.

4

a. L<1 konvergenb. L>1 divergenc. L=1 didekati dari atas divergen

Didekati dari bawah tak ada keputusanSelidiki konvergensi deret:

a. b. c.

5

6

2. Test Akar (Cauchy).

a. L<1 konvergenb. L>1 divergenc. L=1 didekati dari atas divergen

Didekati dari bawah tak ada keputusanSelidiki konvergensi deret:

a. b.

3. Test Catalan

a. L>1 konvergenb. L<1 divergenc. L=1 didekati dari atas divergen

Didekati dari bawah tak ada keputusanSelidiki konvergensi deret:

a. b.

4. Test Schlomlich

7

a. L>1 konvergenb. L<1 divergen

Selidiki konvergensi deret:

a. b.

5. Test Raabe

a. L>1 konvergenb. L<1 divergenc. L=1 didekati dari bawahdivergen

Selidiki konvergensi deret:

a. b.

DERET BERSELANG-SELING(DERET GANTI TANDA, DERET BERAYUN, ALTERNATING SERIES)

adalah deret tak hingga dimana suku-sukunya berganti-ganti tanda secara teratur positif negatif.

dengan Un>0.

Deret akan konvergen jika:

1. Un turun monoton: atau

2.

Selidiki konvergensi deret:

a. b. c.

KONVERGEN MUTLAK DAN KONVERGEN BERSYARAT

Definisi: Deret dsbt konvergen mutlak jika dan hanya jika

konvergen.

8

Teorema: Jika konvergen mutlak, maka deret tsb konvergen.

Definisi: Deret dsbt konvergen bersyarat (relatif) jika dan hanya jika

deret tb konvergen, tetapi deret divergen.

Selidiki konvergensi deret:

a. b. c. d.

DERET PANGKAT

1. Dalam xBentuk umum:

Suku umum deret

Jari-jari konvergensi

Interval konvergensi

Jika konvergen

divergen

a. Tentukan jari-jari dan interval konvergensi dari deret

Jari-jari konvergensi

interval konvergensi

konvergen divergen dan bagaimana pada x = 1 dan x = -1

9

Pada x = 1 deretnya deret konvergen, deret hiperharmonis dengan k=2

Pada x = -1 deretnya merupakan deret berayun

- turun monoton

-

deret konvergen

Sehingga interval konvergensi menjadi :Konvergen dan divergen pada dan

b. Tentukan jari-jari dan interval konvergensi dari deret

Jari-jari konvergensi

Jadi interval konvergensinya , deret konvergen di semua harga x.

2. Dalam f(x)Bentuk umum:

Suku umum deret

Jari-jari konvergebsi

Jika konvergen

divergen

Tentukan jari-jari dan interval konvergensi dari deret

Jari-jari konvergensi

Interval konvergensi:

Jadi deret konvergen pada dan divergen pada

10

PENDERETAN FUNGSI1. Deret Taylor

Teorema: hanya ada satu deret pangkat dalam (x-c) yang memenuhi untuk f(x) sehingga:

berlaku untuk semua x dalam

beberapa interval di sekitar c dengan

Deret: disebut deret Taylor

Bukti:

Jika f(x) kontinu dalam selang (c-h, c+h) dengan dan andaikan f didefinisikan

sebagai:

(1)

Untuk semua x dalam selang (c-h, c+h), maka:

. . . .

. . . .

Jika pada fungsi turunan di atas ditetapkan x = c, maka diperoleh:

; ; ; ; . . . . .

atau

;

;

;

; . . . . .

Jika harga a0, a1, a2, a3, . . . . , an . . . . . dimasukkan ke persamaan (1) di atas, maka akan

didapat:

11

2. Deret Mac LaurinJika deret Taylor diterapkan untuk c=0 deret Mac Laurin

Contoh. Deretkan a. di sekitar 0b. di sekitar 2

Jawab.

a.

shg deret Mc Laurin

b. ]

shg deret Taylor di sekitar c=2

1. 2.

3. 4.

(karena maka deret dapat diperoleh dengan

mengintegralkan deret no.1

karena maka deret dapat diperoleh

dengan mengintegralkan deret no.2)5. 6. 7. Deret no.7 dapat diperoleh dengan menjumlahkan deret no. 5 dan no.6

12