ESTIMASI TITIK

• Setiap karakteristik dari distribusi populasi disebut dengan parameter.

• Statistik adalah variabel random yang hanya tergantung pada harga observasi sampel.

• Statistik merupakan bentuk dari estimasi titik.

• Metode untuk menemukan estimasi titik/estimator dari suatu parameter adalah

1. Metode Likelihood Maksimum (MLE)

2. Metode Momen (MME)

3. Metode Kuadrat Terkecil

A. METODE MENCARI ESTIMATOR

1. Metode Likelihood Maksimum

• Definisi:

kandidefinisi Likelihood fungsi maka ,parameter dengan

populasi dari random sampeladalah ,...,, Jika 21

nxxx

parameter sebagai dengan

...,...,,

1

2121

n

i

i

nn

xf

xfxfxfxxxfL

• Cara mencari estimator

a. Tentukan fungsi Likelihood L(θ), dengan θsebagai parameter.

Karena fungsi Likelihood sangat kompleks, maka untuk mempermudah dilakukan transformasi ke bentuk logaritma natural.

b. Mencari nilai maksimum

0

d

dL

0ln

ln

d

LdL

Contoh:

1. X adalah variabel random berdistribusi Bernoulli dengan parameter p. Carilah estimator untuk p dengan MLE.

2. Jika X variabel random berdistribusi eksponensial dengan parameter θ, maka carilah estimator untuk θdengan MLE.

3. Jika adalah variabel random yang independen masing-masing berdistribusi Bernoulli dengan parameter p. Carilah estimator untuk p dengan MLE.

nxxx ,...,, 21

4. Jika adalah variabel random yang independen masing-masing berdistribusi eksponensial dengan parameter θ. Carilah estimator untuk θ dengan MLE.

5. Jika X adalah variabel random berdistribusi binomial dengan parameter p. Carilah estimator untuk p dengan MLE.

nxxxx ,...,,, 321

Contoh:

1. X adalah variabel random berdistribusi Bernoulli dengan parameter p. Carilah estimator untuk p dengan MLE.

2. Jika X variabel random berdistribusi eksponensial dengan parameter θ, maka carilah estimator untuk θ !

3. Jika X variabel random berdistribusi normal dengan parameter μ dan σ2 carilah estimator untuk μ dan σ2 .

3. Jika adalah variabel random yang independen masing-masing berdistribusi eksponensial dengan parameter θ. Carilah estimator untuk θ !

4. Jika adalah variabel random yang independen masing-masing berdistribusi binomial dengan parameter p. Carilah estimator untuk p !

5. Jika adalah variabel random yang independen dan mempunyaai fungsi densitas

carilah estimator untuk p dengan MLE.

nxxxx ,...,,, 321

nxxx ,...,, 21

11

ix

i ppxf

nxxx ,...,, 21

2. Metode Momen

• Definisi:

k

n

i

k

i

k

k

n

xn

x

m

m

xxx

1'

'

21

dimana ,dengan disajikan yangk kepangkat darimean

adalah ,...,, observasisuatu darik ke sampelMean

parameter) banyaknya(k p1,2,...,k , dimana

dari

anpenyelesai padaumpu momen tert metode dasarnya Pada

'

''

k

k

kk

XE

m

.seterusnyadan

2k

1kuntuk Sehingga

22

2'

2

1'

1

XEx

XEm

XEx

XEXEm

• Catatan:

karena tidak semua distribusi mempunyai momen, maka metode ini belum tentu dapat digunakan untuk semua distribusi.

Soal:

1. Jika variabel random yang independen berdistribusi eksponensial dengan parameter θ. Carilah estimator untuk θ dengan MME.

nxxx ,...,, 21

Soal:

Jika sampel random dengan fungsi densitas

carilah estimator untuk θ dengan MME!

x

xxf 0untuk ,

22

nxxx ,...,, 21

Soal:

Jika sampel random dengan fungsi densitas

carilah estimator untuk θ dengan MME!

nxxx ,...,, 21

10untuk ,1 xxxf

Soal:

Jika sampel random dengan fungsi densitas

carilah estimator untuk θ dengan MME!

10untuk ,1 xxxf

nxxx ,...,, 21

Soal:

Jika sampel random dengan fungsi densitas

carilah estimator untuk θ dengan MME!

nxxx ,...,, 21

10untuk ,1 1

xxxf

Soal:

Jika sampel random yang independen dengan distribusi yang mempunyai fungsi densitas

carilah estimator untuk β dengan MLE dan MME !

0untuk ,1

2

xexxf

ix

ii

nxxx ,...,, 21

B. SIFAT ESTIMATOR

1. Estimator Unbiased

• Definisi:

ˆE jika dari biastak estimator

atau unbiasedestimator dikatakan ˆestimator Suatu

• Diketahui adalah estimator dari μ. Buktikan bahwa merupakan estimator unbiased dari μ !

x

x

Contoh:

Jika adalah variabel random yang independen dan

Selidiki apakah estimator θ unbiased !

nxxx ,...,, 21

n1,2,...,idengan , )(Eksp ix

2. Varian Minimum

• Definisi:

2

)(ln

1ˆVar

yaitu Rao,-Cramer

aanketidaksam memenuhi ˆ dari varian apabila , dari

minimumian dengan var unbiasedestimator dikatakan ˆ

d

xfdnE

• Teorema

UMVUE = Uniform Minimum Variance Unbiased Estimator.

CRLB = Cramer Rao Lower Bound.

.untuk UMVUEmerupakan ˆ maka

)(ln

1ˆVar

memenuhidan dari unbiasedestimator ˆ Jika

2

d

xfdnE

2)(ln

1untuk CRLB

d

xfdnE

Contoh:

Jika adalah variabel random yang independen dan

a. Carilah CRLB untuk θ !

b. Apakah merupakan UMVUE untuk θ !

nxxx ,..., 21

n1,2,...,idengan , )Eksp( ix

3. Estimator Konsisten

• Definisi:

0ˆVar lim b.

unbiased ˆ a.

:jika parameter

darikonsisten dikatakan estimator suatu ˆ

n

Contoh:

Dari contoh di atas, selidiki apakah merupakan estimator yang konsisten !

Diketahui masing-masing adalah sampel random yang independen dengan fungsi densitas

a. Carilah estimator untuk α dengan MME.

b. Selidiki apakah unbiased.

c. Apakah merupakan UMVUE untuk ?

d. Apakah merupakan estimstor konsisten?

nxxx ,...,, 21

0untuk 1

2

iii xexxfix

Diketahui masing-masing adalah sampel random yang independen dengan fungsi densitas

a. Carilah estimator untuk α dengan MLE.

b. Carilah estimator untuk α dengan MME.

c. Selidiki apakah unbiased.

d. Apakah merupakan UMVUE untuk α?

e. Apakah merupakan estimstor konsisten?

nxxx ,...,, 21

iii xexxfix

0untuk 2

1 2

3