ESTIMASI TITIK - srirejeki171 · •Statistik adalah variabel random yang hanya tergantung pada...
Transcript of ESTIMASI TITIK - srirejeki171 · •Statistik adalah variabel random yang hanya tergantung pada...
ESTIMASI TITIK
• Setiap karakteristik dari distribusi populasi disebut dengan parameter.
• Statistik adalah variabel random yang hanya tergantung pada harga observasi sampel.
• Statistik merupakan bentuk dari estimasi titik.
• Metode untuk menemukan estimasi titik/estimator dari suatu parameter adalah
1. Metode Likelihood Maksimum (MLE)
2. Metode Momen (MME)
3. Metode Kuadrat Terkecil
A. METODE MENCARI ESTIMATOR
1. Metode Likelihood Maksimum
• Definisi:
kandidefinisi Likelihood fungsi maka ,parameter dengan
populasi dari random sampeladalah ,...,, Jika 21
nxxx
parameter sebagai dengan
...,...,,
1
2121
n
i
i
nn
xf
xfxfxfxxxfL
• Cara mencari estimator
a. Tentukan fungsi Likelihood L(θ), dengan θsebagai parameter.
Karena fungsi Likelihood sangat kompleks, maka untuk mempermudah dilakukan transformasi ke bentuk logaritma natural.
b. Mencari nilai maksimum
0
d
dL
0ln
ln
d
LdL
Contoh:
1. X adalah variabel random berdistribusi Bernoulli dengan parameter p. Carilah estimator untuk p dengan MLE.
2. Jika X variabel random berdistribusi eksponensial dengan parameter θ, maka carilah estimator untuk θdengan MLE.
3. Jika adalah variabel random yang independen masing-masing berdistribusi Bernoulli dengan parameter p. Carilah estimator untuk p dengan MLE.
nxxx ,...,, 21
4. Jika adalah variabel random yang independen masing-masing berdistribusi eksponensial dengan parameter θ. Carilah estimator untuk θ dengan MLE.
5. Jika X adalah variabel random berdistribusi binomial dengan parameter p. Carilah estimator untuk p dengan MLE.
nxxxx ,...,,, 321
Contoh:
1. X adalah variabel random berdistribusi Bernoulli dengan parameter p. Carilah estimator untuk p dengan MLE.
2. Jika X variabel random berdistribusi eksponensial dengan parameter θ, maka carilah estimator untuk θ !
3. Jika X variabel random berdistribusi normal dengan parameter μ dan σ2 carilah estimator untuk μ dan σ2 .
3. Jika adalah variabel random yang independen masing-masing berdistribusi eksponensial dengan parameter θ. Carilah estimator untuk θ !
4. Jika adalah variabel random yang independen masing-masing berdistribusi binomial dengan parameter p. Carilah estimator untuk p !
5. Jika adalah variabel random yang independen dan mempunyaai fungsi densitas
carilah estimator untuk p dengan MLE.
nxxxx ,...,,, 321
nxxx ,...,, 21
11
ix
i ppxf
nxxx ,...,, 21
2. Metode Momen
• Definisi:
k
n
i
k
i
k
k
n
xn
x
m
m
xxx
1'
'
21
dimana ,dengan disajikan yangk kepangkat darimean
adalah ,...,, observasisuatu darik ke sampelMean
parameter) banyaknya(k p1,2,...,k , dimana
dari
anpenyelesai padaumpu momen tert metode dasarnya Pada
'
''
k
k
kk
XE
m
.seterusnyadan
2k
1kuntuk Sehingga
22
2'
2
1'
1
XEx
XEm
XEx
XEXEm
• Catatan:
karena tidak semua distribusi mempunyai momen, maka metode ini belum tentu dapat digunakan untuk semua distribusi.
Soal:
1. Jika variabel random yang independen berdistribusi eksponensial dengan parameter θ. Carilah estimator untuk θ dengan MME.
nxxx ,...,, 21
Soal:
Jika sampel random dengan fungsi densitas
carilah estimator untuk θ dengan MME!
x
xxf 0untuk ,
22
nxxx ,...,, 21
Soal:
Jika sampel random dengan fungsi densitas
carilah estimator untuk θ dengan MME!
nxxx ,...,, 21
10untuk ,1 xxxf
Soal:
Jika sampel random dengan fungsi densitas
carilah estimator untuk θ dengan MME!
10untuk ,1 xxxf
nxxx ,...,, 21
Soal:
Jika sampel random dengan fungsi densitas
carilah estimator untuk θ dengan MME!
nxxx ,...,, 21
10untuk ,1 1
xxxf
Soal:
Jika sampel random yang independen dengan distribusi yang mempunyai fungsi densitas
carilah estimator untuk β dengan MLE dan MME !
0untuk ,1
2
xexxf
ix
ii
nxxx ,...,, 21
B. SIFAT ESTIMATOR
1. Estimator Unbiased
• Definisi:
ˆE jika dari biastak estimator
atau unbiasedestimator dikatakan ˆestimator Suatu
• Diketahui adalah estimator dari μ. Buktikan bahwa merupakan estimator unbiased dari μ !
x
x
Contoh:
Jika adalah variabel random yang independen dan
Selidiki apakah estimator θ unbiased !
nxxx ,...,, 21
n1,2,...,idengan , )(Eksp ix
2. Varian Minimum
• Definisi:
2
)(ln
1ˆVar
yaitu Rao,-Cramer
aanketidaksam memenuhi ˆ dari varian apabila , dari
minimumian dengan var unbiasedestimator dikatakan ˆ
d
xfdnE
• Teorema
UMVUE = Uniform Minimum Variance Unbiased Estimator.
CRLB = Cramer Rao Lower Bound.
.untuk UMVUEmerupakan ˆ maka
)(ln
1ˆVar
memenuhidan dari unbiasedestimator ˆ Jika
2
d
xfdnE
2)(ln
1untuk CRLB
d
xfdnE
Contoh:
Jika adalah variabel random yang independen dan
a. Carilah CRLB untuk θ !
b. Apakah merupakan UMVUE untuk θ !
nxxx ,..., 21
n1,2,...,idengan , )Eksp( ix
3. Estimator Konsisten
• Definisi:
0ˆVar lim b.
unbiased ˆ a.
:jika parameter
darikonsisten dikatakan estimator suatu ˆ
n
Contoh:
Dari contoh di atas, selidiki apakah merupakan estimator yang konsisten !
Diketahui masing-masing adalah sampel random yang independen dengan fungsi densitas
a. Carilah estimator untuk α dengan MME.
b. Selidiki apakah unbiased.
c. Apakah merupakan UMVUE untuk ?
d. Apakah merupakan estimstor konsisten?
nxxx ,...,, 21
0untuk 1
2
iii xexxfix
Diketahui masing-masing adalah sampel random yang independen dengan fungsi densitas
a. Carilah estimator untuk α dengan MLE.
b. Carilah estimator untuk α dengan MME.
c. Selidiki apakah unbiased.
d. Apakah merupakan UMVUE untuk α?
e. Apakah merupakan estimstor konsisten?
nxxx ,...,, 21
iii xexxfix
0untuk 2
1 2
3